Bac M2 2014, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2014 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați numărul real $x$ pentru care numerele $2$, $x+2$ și $10$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați valoarea minimă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x-10$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2\left(x^2-2x\right)=3$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie par.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care vectorii $\vec{u}=(a-2)\vec{i}-2\vec{j}$ și $\vec{v}=3\vec{i}+2\vec{j}$ sunt opuși.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați cosinusul unghiului $A$ al triunghiului $ABC$ în care $AB=4$, $AC=5$ și $BC=6$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Calculați $\det B$.

b) (5 puncte) Arătați că $AB=BA$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det (B+xA)=1$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=xy-4(x+y-5)$.

a) (5 puncte) Calculați $4\ast 5$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=(x-4)(y-4)+4$ pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Calculați $1\ast 2\ast 3\ast \cdots \ast 2014$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-3}{x^2+3}$.

a) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

b) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{12x}{{\left(x^2+3\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

c) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este convexă pe intervalul $(-1,1)$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^{e}f(x)\cdot f^{\prime }(x)dx=\frac{1}{2}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e{x}^{3}f(x)dx=\frac{3e^4+1}{16}$.

c) (5 puncte) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=e$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2014; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. La cerința 4 baremul are trei rânduri punctate; le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — progresii.

Termenul din mijloc al unei progresii aritmetice este media aritmetică a vecinilor săi: $$x+2=\frac{2+10}{2}\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{x}=4\text{(2 p)}.$$

(Control: numerele sunt $2$, $6$, $10$, cu rația $4$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x=\frac{2+10}{2}=6$, uitând că termenul din mijloc este $x+2$, nu $x$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea.

Pentru $a=1$, $b=-2$, $c=-10$: $$\Delta =4+40=44\text{(2 p)}.$$ Valoarea minimă a funcției $f$ este egală cu $-\frac{\Delta }{4a}=-11$ (3 p).

(Funcția are un minim pentru că $a=1>0$. Control: vârful parabolei este în $x=-\frac{b}{2a}=1$, iar $f(1)=1-2-10=-11$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\Delta =4-40$, uitând că $-4ac=-4\cdot 1\cdot (-10)=+40$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Din definiția logaritmului, $x^2-2x=2^3=8$: $$x^2-2x-8=0\text{(3 p)}.$$ $x_1=-2$ și $x_2=4$, care verifică ecuația (2 p).

(Verificarea: pentru ambele valori, $x^2-2x=8>0$, deci logaritmul are sens și este egal cu $3$. Soluția negativă nu se elimină: condiția de existență privește argumentul logaritmului, nu pe $x$. Unde se greșește de obicei: se păstrează doar $x=4$, eliminând fără motiv soluția negativă.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Sunt $45$ de numere pare de două cifre, deci sunt $45$ de cazuri favorabile (2 p).

Sunt $90$ de numere de două cifre, deci sunt $90$ de cazuri posibile (1 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{45}{90}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(De unde $45$: numerele pare de două cifre sunt $10,12,\dots ,98$ — prima cifră în $9$ moduri, ultima în $5$ moduri ($0,2,4,6,8$), $9\cdot 5=45$. Numerele de două cifre sunt de la $10$ la $99$, adică $90$. Unde se greșește de obicei: se numără $99$ sau $100$ de cazuri posibile, incluzând numerele de o cifră.)

Exercițiul 5. (5 p) — vectori.

Doi vectori sunt opuși când coordonatele lor corespunzătoare sunt opuse: $$\vec{u}=-\vec{v}⟺a-2=-3\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{a}=-1\text{(2 p)}.$$

(Coordonatele după $\vec{j}$ sunt deja opuse: $-2$ și $2$. Control: pentru $a=-1$, $\vec{u}=-3\vec{i}-2\vec{j}=-\vec{v}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $a-2=3$ (condiția de vectori egali) și iese $a=5$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Teorema cosinusului, cu latura opusă unghiului $A$ scăzută: $$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{16+25-36}{2\cdot 4\cdot 5}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}\text{(2 p)}.$$

(Unghiul $A$ se opune laturii $BC$, cea mai mare, iar $\cos A>0$ arată că unghiul este totuși ascuțit. Unde se greșește de obicei: se scade altă latură, de exemplu $\frac{16+36-25}{2\cdot 4\cdot 6}$, care este $\cos B$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea.

a) (5 p) Regula lui Sarrus: $$\det B=\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right|=0+0+0-1-0-0=\text{(3 p)}$$ $$=-1\text{(2 p)}.$$

(Singurul produs nenul este cel de pe diagonala secundară, $1\cdot 1\cdot 1=1$, care se scade. Unde se greșește de obicei: se ia determinantul egal cu $1$, adunând diagonala secundară.)

b) (5 p) Produsele în cele două ordini: $$AB=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ $$BA=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)⟹AB=BA\text{(3 p)}.$$

(De ce: înmulțirea la dreapta cu $B$ inversează ordinea coloanelor lui $A$, iar înmulțirea la stânga cu $B$ inversează ordinea liniilor; matricea $A$ este simetrică față de ambele mijloace, deci $AB=BA=A$. Unde se greșește de obicei: se calculează un singur produs și se trage concluzia; comutarea cere amândouă.)

c) (5 p) Matricea $B+xA$ și determinantul ei: $$\det (B+xA)=\left|\begin{array}{ccc}0& x& 1\\ x& 1& x\\ 1& x& 0\end{array}\right|=2x^2-1\text{(3 p)}.$$ $$2x^2-1=1⟺{\mathbf{x}}_1=-1\text{ și }{\mathbf{x}}_2=1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul, cu Sarrus: termenii cu plus sunt $0$, $x\cdot x\cdot 1=x^2$ și $1\cdot x\cdot x=x^2$; cei cu minus sunt $1\cdot 1\cdot 1=1$, $0$ și $0$; rămâne $2x^2-1$. Control: pentru $x=0$ iese $\det B=-1$. Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu $x$ și matricea $B$, scriind $x(A+B)$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește în definiție: $$4\ast 5=4\cdot 5-4(4+5-5)=\text{(3 p)}$$ $$=4\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $20-16=4$. Unde se greșește de obicei: se desface $-4(4+5-5)$ ca $-16-20-20$, uitând că $-4\cdot (-5)=+20$, și iese $20-56=-36$.)

b) (5 p) Se desface și se grupează: $$x\ast y=xy-4x-4y+16+4=\text{(2 p)}$$ $$=x(y-4)-4(y-4)+4=(x-4)(y-4)+4,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $-4(x+y-5)=-4x-4y+20$, iar $20$ s-a scris $16+4$ ca să apară produsul $(x-4)(y-4)=xy-4x-4y+16$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(x+4)(y+4)+4$, cu semnele schimbate.)

c) (5 p) Numărul $4$ este element absorbant: $$x\ast 4=4\ast x=4,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ $$1\ast 2\ast 3\ast \cdots \ast 2014=(1\ast 2\ast 3)\ast 4\ast (5\ast \cdots \ast 2014)=4\ast (5\ast \cdots \ast 2014)=4\text{(3 p)}.$$

(De ce: din b), $x\ast 4=(x-4)\cdot 0+4=4$ și la fel $4\ast x=4$. Asociativitatea permite gruparea termenilor, iar în grupare numărul $4$ „înghite" tot ce e în jurul lui. Control pe un șir scurt: $1\ast 2=10$, $10\ast 3=-2$, $(-2)\ast 4=4$. Unde se greșește de obicei: se încearcă o formulă pentru $1\ast 2\ast \cdots \ast n$, fără să se observe elementul absorbant.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivate și aplicații.

a) (5 p) Se împarte la $x^2$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-3}{x^2+3}=\text{(2 p)}$$ $$=1\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{x^2-3}{x^2+3}=\frac{1-\frac{3}{x^2}}{1+\frac{3}{x^2}}\to 1$ — numărătorul și numitorul au același grad, iar limita este raportul coeficienților dominanți. Unde se greșește de obicei: se scrie limita $-1$, ca raport al termenilor liberi.)

b) (5 p) Derivata unui cât: $$f^{\prime }(x)=\frac{{\left(x^2-3\right)}^{\prime }\cdot \left(x^2+3\right)-\left(x^2-3\right)\cdot {\left(x^2+3\right)}^{\prime }}{{\left(x^2+3\right)}^2}=\text{(2 p)}$$ $$=\frac{2x\left(x^2+3\right)-2x\left(x^2-3\right)}{{\left(x^2+3\right)}^2}=\frac{12x}{{\left(x^2+3\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $2x(\left(x^2+3\right)-\left(x^2-3\right))=2x\cdot 6=12x$. Unde se greșește de obicei: se desface $-2x\left(x^2-3\right)$ ca $-2x^3-6x$ și iese $0$ în loc de $12x$.)

c) (5 p) Derivata a doua: $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{36\left(1-x^2\right)}{{\left(x^2+3\right)}^3},x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ $f^{\prime \prime }(x)>0$ pentru orice $x\in (-1,1)$ $⟹$ $f$ este convexă pe intervalul $(-1,1)$ (2 p).

(Detaliul: $f^{\prime \prime }(x)=\frac{12{\left(x^2+3\right)}^2-12x\cdot 2\left(x^2+3\right)\cdot 2x}{{\left(x^2+3\right)}^4}=\frac{12\left(x^2+3\right)-48x^2}{{\left(x^2+3\right)}^3}=\frac{36-36x^2}{{\left(x^2+3\right)}^3}$. Pe $(-1,1)$, $x^2<1$, deci $1-x^2>0$, iar numitorul este pozitiv. Unde se greșește de obicei: se uită derivata funcției interioare ${\left(x^2+3\right)}^2$, adică factorul $2x$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) O integrală de tipul $f\cdot f^{\prime }$: $${\int }_1^{e}f(x)\cdot f^{\prime }(x)dx=\frac{1}{2}{f}^2(x){|}_1^e=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{1}{2}\left(f^2(e)-f^2(1)\right)=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $f(e)=\ln e=1$ și $f(1)=\ln 1=0$, deci $\frac{1}{2}(1-0)=\frac{1}{2}$. Integrala este ${\int }_1^e\frac{\ln x}{x}dx$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva $f^2(x)$, fără factorul $\frac{1}{2}$.)

b) (5 p) Integrare prin părți, cu $x^3={\left(\frac{x^4}{4}\right)}^{\prime }$: $${\int }_1^e{x}^{3}f(x)dx={\int }_1^e{\left(\frac{x^4}{4}\right)}^{\prime }\ln xdx=\frac{x^4}{4}\ln x{|}_1^e-{\int }_1^e\frac{x^4}{4}\cdot \frac{1}{x}dx=\text{(2 p)}$$ $$=\frac{e^4}{4}-\frac{x^4}{16}{|}_1^e=\frac{3e^4+1}{16}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{x^4}{4}\ln x{|}_1^e=\frac{e^4}{4}-0$, iar ${\int }_1^e\frac{x^3}{4}dx=\frac{e^4-1}{16}$; $\frac{4e^4-e^4+1}{16}=\frac{3e^4+1}{16}$. Control numeric: $\frac{3e^4+1}{16}\approx 10,29965$. Unde se greșește de obicei: se scade $\frac{e^4}{16}$ și se uită $+\frac{1}{16}$ din capătul $1$.)

c) (5 p) Pe $[1,e]$, $\ln x\ge 0$, deci $$\mathcal{S}={\int }_1^e|f(x)|dx={\int }_1^e\ln xdx=(x\ln x-x){|}_1^e=\text{(3 p)}$$ $$=(e\ln e-e)-(\ln 1-1)=1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $(e-e)-(0-1)=1$. Primitiva $x\ln x-x$ se obține prin părți: $\int \ln xdx=x\ln x-\int x\cdot \frac{1}{x}dx$. Unde se greșește de obicei: se ia primitiva lui $\ln x$ egală cu $\frac{1}{x}$, care este derivata ei.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea august-septembrie 2014 a examenului de bacalaureat național — Varianta 7, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul sesiunii august-septembrie din 2014:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii: termenul din mijloc al unei progresii aritmetice — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: valoarea minimă, $-\frac{\Delta }{4a}$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: definiția logaritmului, o ecuație de gradul al doilea și verificarea soluțiilor — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numerele pare de două cifre — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: vectori opuși, scriși cu $\vec{i}$ și $\vec{j}$ — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema cosinusului — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: un determinant de ordinul al treilea, comutarea a două matrice, un determinant cu parametru — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul cu legea, scrierea ei ca produs de paranteze, un element absorbant într-un șir lung de compuneri — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: o limită la $+\infty$, derivata unui cât, convexitatea din semnul derivatei a doua — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: o integrală de tipul $f\cdot f^{\prime }$, integrarea prin părți, aria unei suprafețe plane — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie din 2014. Subiectul I este format din șase cerințe directe: media aritmetică a termenilor vecini, valoarea minimă a unei funcții de gradul al doilea, o ecuație logaritmică cu două soluții care convin amândouă, o probabilitate de $\frac{1}{2}$, doi vectori opuși și cosinusul unui unghi din lungimile laturilor. La Subiectul al II-lea, matricea $B$ este o matrice de permutare, iar $AB=BA=A$; determinantul lui $B+xA$ este $2x^2-1$. Legea $x\ast y=xy-4(x+y-5)$ se scrie $(x-4)(y-4)+4$, iar $4$ este element absorbant: $x\ast 4=4\ast x=4$, deci compunerea tuturor numerelor de la $1$ la $2014$ — printre care se află și $4$ — dă $4$, fără niciun calcul lung. La Subiectul al III-lea, funcția $\frac{x^2-3}{x^2+3}$ are derivata a doua $\frac{36\left(1-x^2\right)}{{\left(x^2+3\right)}^3}$, pozitivă pe $(-1,1)$. La integrale, funcția este $\ln x$: a) este o integrală de tipul $f\cdot f^{\prime }$, b) cere integrarea prin părți, iar c) este aria de sub graficul lui $\ln x$ de la $1$ la $e$, egală cu $1$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $4$, $-11$, $\{-2,4\}$, $\frac{1}{2}$, $-1$, $\frac{1}{8}$, $-1$, $x=\pm 1$, $4$, $1$ și $\frac{3e^4+1}{16}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluțiile scrise fără verificarea condiției $x^2-2x>0$; la cerința 8, subpunctul c), rezultatul $4$ afirmat fără să se arate că $4$ este element absorbant; la cerința 9, subpunctul c), convexitatea afirmată din semnul lui $f^{\prime }$ în loc de semnul lui $f^{\prime \prime }$; la cerința 10, subpunctul c), aria scrisă fără să se spună că $\ln x\ge 0$ pe $[1,e]$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: $a$, $b$, $c$ sunt termeni consecutivi când $b=\frac{a+c}{2}$. Funcția de gradul al doilea: pentru $a>0$, valoarea minimă este $-\frac{\Delta }{4a}$, cu $\Delta =b^2-4ac$. Logaritmi: ${\log }_{a}u=c⟺u=a^c$, cu $u>0$. Vectori opuși: $\vec{u}=-\vec{v}$ când coordonatele corespunzătoare sunt opuse. Teorema cosinusului: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}$.
• Matrice: regula lui Sarrus pentru determinantul de ordinul al treilea. Legi de compoziție: o lege de forma $x\ast y=(x-k)(y-k)+k$ are elementul absorbant $k$: $x\ast k=k\ast x=k$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; dacă $f^{\prime \prime }>0$ pe un interval, $f$ este convexă pe acel interval.
• Integrale: $\int f(x)f^{\prime }(x)dx=\frac{1}{2}{f}^2(x)+\mathcal{C}$; ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }v$; $\int \ln xdx=x\ln x-x+\mathcal{C}$; aria dintre graficul lui $f$, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$ este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $A$ este, la cerința $6$, un vârf al triunghiului $ABC$ (cu unghiul lui), iar la cerința $7$, o matrice; la fel, $B$ este un vârf al triunghiului la cerința $6$ și o matrice la cerința $7$; litera $a$ este numărul căutat la cerința $5$, iar în formula $-\frac{\Delta }{4a}$ de la cerința $2$ este coeficientul lui $x^2$. Litera $f$ denumește funcția de gradul al doilea de la cerința $2$ și câte o funcție la cerințele $9$ și $10$.
• La cerința $8$, semnul $\ast$ este legea de compoziție definită în enunț, nu înmulțirea numerelor; pentru că legea este asociativă, șirul $1\ast 2\ast 3\ast \cdots \ast 2014$ are un singur sens, oricum s-ar grupa termenii.
• La cerința $10$, $f^2(x)$ înseamnă $(f(x){)}^2={\ln }^{2}x$, nu compunerea $f(f(x))$; litera $e$ este numărul lui Euler, $e\approx 2,718$. Baremul oficial notează aria cu $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".