Bac M2 2014, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2014 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați partea reală a numărului complex $z=3+2(1-i)$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Arătați că $x_1+x_2+2x_1{x}_2=23$ știind că $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $x^2-3x+10=0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+x+1}=1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale impare de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii $\{1,2,3\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care dreptele de ecuații $y=(a-1)x+1$ și $y=2x-3$ sunt paralele.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Determinați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ în care $AB=3$, $AC=4$ și $BC=5$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 1\\ 1& x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Calculați $\det (A(2))$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A(x)\cdot A(-x)=I_2$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1)+A(2)+\cdots +A(n))=\frac{n^2(n-1)(n+3)}{4}$ pentru orice număr natural nenul $n$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=4(x+y-3)-xy$.

a) (5 puncte) Calculați $2\ast 4$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=4-(x-4)(y-4)$ pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x\ast x\ast x=x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\ln x-x+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to e}{\lim }f(x)=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\ln x$, $x\in (0,+\infty )$.

c) (5 puncte) Arătați că $f(x)\ge 0$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2+8x+15}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{2014}(x+3)(x+5)f(x)dx=2014$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^{1}f(x)\cdot f^{\prime }(x)dx=-\frac{1}{144}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, $a>0$ știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=a$, are aria egală cu $\frac{1}{2}\ln \frac{10}{9}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2014; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. La cerința 4 baremul are trei rânduri punctate ($2+2+1$); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Se desface paranteza: $$z=3+2-2i=\text{(3 p)}$$ $$=5-2i,\text{ deci partea reala˘ a numa˘rului }z\text{ este egala˘ cu }5\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia partea reală doar din primul termen, $3$, uitând că $2(1-i)$ are și el partea reală $2$; sau se răspunde cu coeficientul lui $i$, $-2$, care este partea imaginară.)

Exercițiul 2. (5 p) — relațiile lui Viète.

Pentru $x^2-3x+10=0$: $$x_1+x_2=3,x_1{x}_2=10\text{(3 p)}.$$ $$x_1+x_2+2x_1{x}_2=3+2\cdot 10=23\text{(2 p)}.$$

(Discriminantul este $9-40=-31<0$, deci soluțiile sunt numere complexe conjugate; relațiile lui Viète sunt valabile și pentru ele, iar cerința nu le cere explicit. Unde se greșește de obicei: se ia $x_1+x_2=-3$, cu semnul coeficientului, și iese $17$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Se ridică la pătrat ambii membri: $$x^2+x+1=1⟹x^2+x=0\text{(3 p)}.$$ $${\mathbf{x}}_1=-1\text{ și }{\mathbf{x}}_2=0,\text{ care verifica˘ ecuația}\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $\sqrt{1-1+1}=1$ și $\sqrt{0+0+1}=1$. Aici membrul drept, $1$, este pozitiv și nu depinde de $x$, deci ridicarea la pătrat nu adaugă soluții străine. Unde se greșește de obicei: din $x^2+x=0$ se împarte la $x$ și se pierde soluția $x=0$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică.

Numărul este impar, deci cifra unităților este $1$ sau $3$: ea poate fi aleasă în $2$ moduri (2 p).

Cum cifrele sunt distincte, cifra zecilor poate fi aleasă în $2$ moduri, iar cifra sutelor poate fi aleasă într-un singur mod (2 p).

Se pot forma $2\cdot 2\cdot 1=4$ numere (1 p).

(Acestea sunt $123$, $213$, $231$, $321$. Unde se greșește de obicei: se numără toate permutările, $3!=6$, fără condiția de paritate; sau se lasă $2$ ca ultimă cifră.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică.

Două drepte de forma $y=mx+n$ sunt paralele când au aceeași pantă (și ordonate la origine diferite): $$a-1=2\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{a}=3\text{(2 p)}.$$

(Pentru $a=3$, dreptele sunt $y=2x+1$ și $y=2x-3$: aceeași pantă, ordonate la origine diferite, deci paralele, nu confundate. Unde se greșește de obicei: se pune condiția de perpendicularitate, $2(a-1)=-1$, și iese $a=\frac{1}{2}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — geometrie plană.

Cum $A{B}^2+A{C}^2=9+16=25=B{C}^2$, după reciproca teoremei lui Pitagora triunghiul este dreptunghic în $A$: $$A=\frac{\pi }{2}\text{(2 p)}.$$ Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci $$R=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}\text{(3 p)}.$$

(Baremul scrie $A=\frac{\pi }{2}$ pentru măsura unghiului din $A$. Control cu formula generală: $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}=\frac{3\cdot 4\cdot 5}{4\cdot 6}=\frac{5}{2}$. Unde se greșește de obicei: se ia raza egală cu ipotenuza, $5$, sau cu o catetă.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=2$: $$\det (A(2))=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=2\cdot 2-1\cdot 1=\text{(3 p)}$$ $$=3\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se adună produsele, $4+1=5$.)

b) (5 p) Se înmulțesc matricele: $$A(x)\cdot A(-x)=\left(\begin{array}{cc}x& 1\\ 1& x\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-x& 1\\ 1& -x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-x^2+1& 0\\ 0& -x^2+1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ $$\left(\begin{array}{cc}-x^2+1& 0\\ 0& -x^2+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)⟺\mathbf{x}=0\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: elementul de pe linia $1$, coloana $2$ este $x\cdot 1+1\cdot (-x)=0$. Condiția devine $-x^2+1=1$, adică $x^2=0$. Unde se greșește de obicei: se scrie $A(-x)$ schimbând semnul tuturor elementelor, $\left(\begin{array}{cc}-x& -1\\ -1& -x\end{array}\right)$ — dar doar $x$ își schimbă semnul, nu și $1$.)

c) (5 p) Se adună matricele element cu element: $$A(1)+A(2)+\cdots +A(n)=\left(\begin{array}{cc}1+2+\dots +n& n\\ n& 1+2+\dots +n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{n(n+1)}{2}& n\\ n& \frac{n(n+1)}{2}\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ $$\left|\begin{array}{cc}\frac{n(n+1)}{2}& n\\ n& \frac{n(n+1)}{2}\end{array}\right|=\frac{n(n+1)}{2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}-n\cdot n=\frac{n^2(n-1)(n+3)}{4}\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}-n^2=\frac{n^2\left((n+1{)}^2-4\right)}{4}=\frac{n^2(n+1-2)(n+1+2)}{4}$. Control: pentru $n=2$, suma este $\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$, cu determinantul $5$, iar formula dă $\frac{4\cdot 1\cdot 5}{4}=5$. Unde se greșește de obicei: elementele din afara diagonalei se adună ca $1+2+\dots +n$, deși toate sunt egale cu $1$ și dau $n$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=2$ și $y=4$: $$2\ast 4=4(2+4-3)-2\cdot 4=\text{(3 p)}$$ $$=12-8=4\text{(2 p)}.$$

(Control cu forma de la subpunctul b): $4-(2-4)(4-4)=4-0=4$.)

b) (5 p) Se desface paranteza și se scrie $-12=4-16$: $$x\ast y=4x+4y-12-xy=4-xy+4x+4y-16=\text{(2 p)}$$ $$=4-x(y-4)+4(y-4)=4-(x-4)(y-4)\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $-xy+4x=-x(y-4)$, iar $4y-16=4(y-4)$; factorul comun $(y-4)$ dă $-(x-4)(y-4)$. Control: $4-(x-4)(y-4)=4-xy+4x+4y-16$.)

c) (5 p) Cu forma de la subpunctul b): $$x\ast x=4-(x-4{)}^2⟹x\ast x\ast x=4+(x-4{)}^3\text{(2 p)}.$$ Ecuația devine $4+(x-4{)}^3=x$, adică: $$(x-4{)}^3=x-4⟹\mathbf{x}=3\text{ sau }\mathbf{x}=4\text{ sau }\mathbf{x}=5\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $(x\ast x)\ast x=4-(4-(x-4{)}^2-4)(x-4)=4+(x-4{)}^3$. Cu $t=x-4$, $t^3=t$ înseamnă $t(t-1)(t+1)=0$, deci $t\in \{-1,0,1\}$. Unde se greșește de obicei: se împarte $t^3=t$ la $t$ și se pierde soluția $x=4$.)

Exercițiul 9. (15 p) — limită, derivată, inegalitate.

a) (5 p) Funcția este continuă în $e$, deci limita se calculează prin înlocuire: $$\underset{x\to e}{\lim }f(x)=\underset{x\to e}{\lim }(x\ln x-x+1)=\text{(2 p)}$$ $$=e\ln e-e+1=1\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $\ln e=0$ — de fapt $\ln e=1$, iar $\ln 1=0$.)

b) (5 p) Se derivează termen cu termen, cu regula produsului pentru $x\ln x$: $$f^{\prime }(x)=(x\ln x-x+1{)}^{\prime }=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}-1=\text{(3 p)}$$ $$=\ln x+1-1=\ln x,x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: $(x\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, fără regula produsului.)

c) (5 p) Semnul derivatei este semnul lui $\ln x$: $$f^{\prime }(1)=0,f^{\prime }(x)<0\text{ pentru }x\in (0,1)\text{ și }{f}^{\prime }(x)>0\text{ pentru }x\in (1,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Funcția scade pe $(0,1]$ și crește pe $[1,+\infty )$, deci $f(1)$ este valoarea ei minimă: $$f(x)\ge f(1)⟹f(x)\ge 0\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $f(1)=1\cdot \ln 1-1+1=0$. Unde se greșește de obicei: se deduce din $f^{\prime }(1)=0$ că $f(1)$ este minim fără tabelul de semn al lui $f^{\prime }$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Cum $x^2+8x+15=(x+3)(x+5)$, produsul $(x+3)(x+5)f(x)$ este egal cu $1$: $${\int }_0^{2014}(x+3)(x+5)f(x)dx={\int }_0^{2014}1dx=\text{(2 p)}$$ $$=x{|}_0^{2014}=2014\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: nu se observă descompunerea $x^2+8x+15=(x+3)(x+5)$ și se încearcă integrarea directă a produsului.)

b) (5 p) O primitivă a lui $f\cdot f^{\prime }$ este $\frac{1}{2}{f}^2$: $${\int }_{-1}^{1}f(x)\cdot f^{\prime }(x)dx=\frac{1}{2}{f}^2(x){|}_{-1}^1=\frac{1}{2}\left(f^2(1)-f^2(-1)\right)=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{576}-\frac{1}{64}\right)=-\frac{1}{144}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $f(1)=\frac{1}{24}$ și $f(-1)=\frac{1}{1-8+15}=\frac{1}{8}$, deci $f^2(1)=\frac{1}{576}$ și $f^2(-1)=\frac{1}{64}$; $\frac{1}{576}-\frac{9}{576}=-\frac{8}{576}$, iar jumătate din el este $-\frac{4}{576}=-\frac{1}{144}$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{2}$ și iese $-\frac{1}{72}$; sau se calculează $f(-1)$ cu $+8$.)

c) (5 p) Pe $[0,a]$, $f(x)>0$, deci $|f(x)|=f(x)$; cu $x^2+8x+15=(x+4{)}^2-1$: $$\mathcal{S}={\int }_0^a|f(x)|dx={\int }_0^a\frac{1}{(x+4{)}^2-1}dx=\frac{1}{2}\ln \frac{x+3}{x+5}{|}_0^a=\frac{1}{2}\ln \frac{5(a+3)}{3(a+5)}\text{(3 p)}.$$ $$\frac{5(a+3)}{3(a+5)}=\frac{10}{9}⟹\mathbf{a}=1\text{(2 p)}.$$

(Baremul oficial notează aria cu $\mathcal{A}$; la noi, $\mathcal{S}$. Baremul folosește direct formula de primitivă pentru $\frac{1}{u^2-k^2}$, cu $u=x+4$ și $k=1$; pe programa nouă aceeași primitivă se obține din fracții simple, $\frac{1}{(x+3)(x+5)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+5}\right)$, cu primitiva $\frac{1}{2}\left(\ln (x+3)-\ln (x+5)\right)$. Detaliul: $\frac{1}{2}\ln \frac{a+3}{a+5}-\frac{1}{2}\ln \frac{3}{5}=\frac{1}{2}\ln \frac{5(a+3)}{3(a+5)}$; din egalitatea logaritmilor, $45(a+3)=30(a+5)$, adică $15a=15$. Funcția $\ln$ este injectivă, deci $a=1$ este singura valoare. Control numeric: $\frac{1}{2}\ln \frac{10}{9}\approx 0,05268026$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva $\frac{1}{2}\ln \frac{x+5}{x+3}$, cu fracția întoarsă, și rezultatul iese negativ.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea iunie-iulie 2014 a examenului de bacalaureat național — proba din 2 iulie 2014, Varianta 1, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul sesiunii iunie-iulie din 2014:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: forma algebrică și partea reală — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: relațiile lui Viète pentru o ecuație de gradul al doilea — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: ridicarea la pătrat și verificarea soluțiilor — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numere impare cu cifre distincte, prin regula produsului — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: condiția de paralelism a două drepte, prin pante — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinantul unei matrice de ordinul al doilea, un produs de matrice, determinantul unei sume de matrice — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul cu legea, scrierea ei ca produs de paranteze, o ecuație $x\ast x\ast x=x$ — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: o limită într-un punct, derivata unui produs, inegalitatea din tabelul de variație — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: o simplificare înainte de integrare, o integrală de tipul $f\cdot f^{\prime }$, aria unei suprafețe plane cu parametru — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea iunie-iulie din 2014. Subiectul I este format din șase cerințe directe: desfacerea unei paranteze cu $i$, relațiile lui Viète (pentru o ecuație ale cărei soluții nu sunt reale — dar relațiile rămân valabile), o ecuație cu radical care se reduce la $x^2+x=0$, numărarea numerelor impare cu cifre distincte din $\{1,2,3\}$, pantele egale ale unor drepte paralele și un triunghi cu laturile $3$, $4$, $5$, deci dreptunghic, în care raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză. La Subiectul al II-lea, matricea $A(x)$ are pe diagonală $x$ și în rest $1$; suma $A(1)+A(2)+\cdots +A(n)$ are pe diagonală suma lui Gauss, iar determinantul ei se factorizează. Legea $x\ast y=4(x+y-3)-xy$ se scrie ca $4-(x-4)(y-4)$, iar cu această formă $x\ast x\ast x=4+(x-4{)}^3$. La Subiectul al III-lea, funcția $x\ln x-x+1$ are derivata $\ln x$ și minimul $0$ în $x=1$. La integrale, numitorul $x^2+8x+15$ se descompune ca $(x+3)(x+5)$ și se scrie ca $(x+4{)}^2-1$; aria de la subpunctul c) se calculează cu formula de primitivă pentru $\frac{1}{u^2-k^2}$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri". Tot așa, primitiva lui $\frac{1}{(x+4{)}^2-1}$ de la problema a doua a Subiectului al III-lea, subpunctul c): baremul o ia direct din tabelul de primitive (formula pentru $\frac{1}{u^2-k^2}$); formula nu mai apare în tabelul programei de clasa a XII-a intrate în vigoare, dar se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029, iar pe programa nouă ea se obține prin descompunerea $\frac{1}{(x+3)(x+5)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+5}\right)$; materia stă în unitatea „Supliment Bac M2 2027–2029: integrale de funcții raționale".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $5$, $23$, $\{-1,0\}$, $4$, $3$, $\frac{5}{2}$, $x=0$, $\{3,4,5\}$, $1$, $2014$, $-\frac{1}{144}$ și $a=1$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la $10$ punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluțiile păstrate fără verificare în ecuația cu radical; la cerința 6, raza calculată fără să se justifice că triunghiul este dreptunghic; la cerința 9, subpunctul c), inegalitatea afirmată fără semnul lui $f^{\prime }$ de o parte și de alta a lui $1$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Viète, gradul al doilea: pentru $x^2+px+q=0$, $x_1+x_2=-p$, $x_1{x}_2=q$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u}=1⟹u=1$, cu verificarea soluțiilor. Regula produsului: se alege întâi cifra cu restricția cea mai tare. Drepte paralele: $y=m_{1}x+n_1$ și $y=m_{2}x+n_2$ sunt paralele când $m_1=m_2$ și $n_1\ne n_2$. Triunghi dreptunghic: raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză, $R=\frac{BC}{2}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$. Legi de compoziție: o lege de forma $x\ast y=k-(x-k)(y-k)$ are $x\ast x\ast x=k+(x-k{)}^3$.
• Derivate: $(x\ln x{)}^{\prime }=\ln x+1$; dacă $f^{\prime }<0$ la stânga lui $c$ și $f^{\prime }>0$ la dreapta, $f(c)$ este valoarea minimă.
• Integrale: $\int f(x)f^{\prime }(x)dx=\frac{1}{2}{f}^2(x)+\mathcal{C}$; $\int \frac{1}{u^2-k^2}du=\frac{1}{2k}\ln \left|\frac{u-k}{u+k}\right|+\mathcal{C}$, pentru $k>0$ (pe programa nouă: prin descompunerea $\frac{1}{u^2-k^2}=\frac{1}{2k}\left(\frac{1}{u-k}-\frac{1}{u+k}\right)$); aria suprafeței dintre graficul lui $f$, axa $Ox$ și dreptele $x=0$, $x=a$ este $\mathcal{S}={\int }_0^a|f(x)|dx$.

Cinci dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $A$ este, la cerința $6$, un vârf al triunghiului $ABC$ — baremul scrie $A=\frac{\pi }{2}$ pentru măsura unghiului din $A$ —, iar la cerința $7$, matricea $A(x)$, cu $x$ parametru real. Baremul oficial notează aria de la cerința $10$ cu $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.
• Litera $f$ denumește două funcții diferite: $f(x)=x\ln x-x+1$ la cerința $9$ și $f(x)=\frac{1}{x^2+8x+15}$ la cerința $10$. La cerința $10$, subpunctul b), $f^2(x)$ înseamnă $(f(x){)}^2$, nu compunerea $f(f(x))$.
• La cerința $8$, semnul $\ast$ este legea de compoziție definită în enunț, nu înmulțirea numerelor; pentru că legea este asociativă, $x\ast x\ast x$ are un singur sens: $(x\ast x)\ast x=x\ast (x\ast x)$.
• Litera $a$ este parametrul dreptei $y=(a-1)x+1$ la cerința $5$ și capătul de integrare, $a>0$, la cerința $10$, subpunctul c); în formula de primitivă pentru $\frac{1}{u^2-k^2}$ am notat constanta cu $k$, ca să nu se confunde cu acest $a$.
• La cerința $2$, $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile complexe ale ecuației $x^2-3x+10=0$ (discriminantul este $-31$); relațiile lui Viète sunt valabile și pentru ele.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".