Bac M2 2014, sesiunea iunie-iulie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2014 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră numărul complex $z=2+i$. Calculați $z^2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$ știind că punctul $M(m,1)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3(x-3)=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați numărul submulțimilor cu număr impar de elemente ale mulțimii $A=\{1,2,3,4\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În dreptunghiul $ABCD$ se notează cu $M$ mijlocul laturii $AD$. Arătați că $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{AB}$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$. Arătați că $\sin B\cdot \cos C+\sin C\cdot \cos B=1$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}0& 2014\\ 1& -1\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Calculați $\det A$.

b) (5 puncte) Arătați că $A+A\cdot A=2014I_2$.

c) (5 puncte) Rezolvați în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ ecuația matriceală $A\cdot X=2014I_2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-6X^2+mX-6$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Calculați $f(0)$.

b) (5 puncte) Arătați că $\frac{1}{x_1{x}_2}+\frac{1}{x_1{x}_3}+\frac{1}{x_2{x}_3}=1$ știind că $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ știind că rădăcinile polinomului $f$ sunt trei numere întregi consecutive.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(1-x)(1+x)}{{\left(x^2+1\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați punctele de extrem ale funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\right)dx=\ln 2$.

b) (5 puncte) Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este concavă pe intervalul $(-1,+\infty )$.

c) (5 puncte) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=n$, are aria mai mare sau egală cu $\ln 4$, pentru orice număr natural nenul $n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă din sesiunea iunie-iulie 2014; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul are, la problema 9, subpunctul c), și la problema 10, subpunctul c), câte trei rânduri punctate; le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Se ridică la pătrat binomul: $$z^2=(2+i{)}^2=4+4i+i^2=\text{(3 p)}$$ $$=3+4i\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $i^2=-1$, deci $4+i^2=3$. Control: $|z{|}^2=5$ și $|z^2|=\sqrt{9+16}=5$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(2+i{)}^2=4+i^2=3$, uitând termenul dublu $4i$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Punctul $M(m,1)$ este pe grafic exact când ordonata lui este valoarea funcției în abscisa lui: $$f(m)=1\text{(2 p)}.$$ $$m-3=1⟺\mathbf{m}=4\text{(3 p)}.$$

(Control: $f(4)=4-3=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(1)=m$, inversând rolurile coordonatelor — atunci iese $m=-2$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Din definiția logaritmului, ${\log }_3(x-3)=2$ înseamnă $x-3=3^2$: $$x-3=9\text{(3 p)}.$$ $\mathbf{x}=12$, care verifică ecuația (2 p).

(Verificarea: $x-3=9>0$ și ${\log }_{3}9=2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x-3=3\cdot 2=6$ sau $x-3=2^3=8$, încurcând baza cu exponentul.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică.

Submulțimile cu număr impar de elemente ale unei mulțimi cu $4$ elemente sunt cele cu un element și cele cu trei elemente, deci numărul lor este $$C_4^1+C_4^3=\text{(3 p)}$$ $$=4+4=8\text{(2 p)}.$$

(Lista completă: $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{4\}$ și $\{1,2,3\}$, $\{1,2,4\}$, $\{1,3,4\}$, $\{2,3,4\}$. Control: mulțimea are în total $2^4=16$ submulțimi, jumătate cu număr impar de elemente. Unde se greșește de obicei: se adună și $C_4^0$ — mulțimea vidă are $0$ elemente, iar $0$ este un număr par.)

Exercițiul 5. (5 p) — vectori.

Cu regula triunghiului, prin $A$ și prin $D$: $$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\text{(2 p)}.$$ $$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}⟹\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{AB}\text{(3 p)}.$$

(De ce: $M$ este mijlocul lui $AD$, deci $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}=\vec{0}$; iar în dreptunghiul $ABCD$ laturile $AB$ și $DC$ sunt paralele, egale și la fel orientate, deci $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$. Adunând cele două egalități rămâne $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{AB}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}$ — vectorul de sens opus.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Triunghiul este dreptunghic în $A$, deci $B+C=\frac{\pi }{2}$, iar unghiurile $B$ și $C$ sunt complementare: $$\cos C=\sin B,\sin C=\cos B\text{(2 p)}.$$ $$\sin B\cdot \cos C+\sin C\cdot \cos B={\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1\text{(3 p)}.$$

(Alt drum, la fel de corect: membrul stâng este $\sin (B+C)=\sin \frac{\pi }{2}=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\cos C=\cos B$, ca și cum unghiurile ar fi egale.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea.

a) (5 p) Produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}0& 2014\\ 1& -1\end{array}\right|=0\cdot (-1)-1\cdot 2014=\text{(3 p)}$$ $$=-2014\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $0\cdot (-1)+1\cdot 2014=2014$, cu semnul greșit.)

b) (5 p) Pătratul matricei: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& 2014\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 2014\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2014& -2014\\ -1& 2015\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ $$A+A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& 2014\\ 1& -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2014& -2014\\ -1& 2015\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2014& 0\\ 0& 2014\end{array}\right)=2014I_2\text{(2 p)}.$$

(Detaliul produsului: linia $(0,2014)$ ori coloanele dă $2014\cdot 1=2014$ și $2014\cdot (-1)=-2014$; linia $(1,-1)$ dă $0-1=-1$ și $2014+1=2015$. Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat fiecare element, $\left(\begin{array}{cc}0& 2014^2\\ 1& 1\end{array}\right)$ — înmulțirea matricelor se face „linie pe coloană".)

c) (5 p) $\det A=-2014\ne 0$, deci $A$ este inversabilă și $$A^{-1}=\frac{1}{2014}\left(\begin{array}{cc}1& 2014\\ 1& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ $$X=2014A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 2014\\ 1& 0\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

(De unde inversa: $A^{-1}=\frac{1}{-2014}\left(\begin{array}{cc}-1& -2014\\ -1& 0\end{array}\right)$, iar cele două minusuri se simplifică. Din $A\cdot X=2014I_2$, înmulțind la stânga cu $A^{-1}$, rezultă $X=2014A^{-1}$. Alt drum, la fel de corect: din b), $A\left(I_2+A\right)=2014I_2$, deci $X=I_2+A$ — aceeași matrice. Control: $A\cdot X=\left(\begin{array}{cc}2014& 0\\ 0& 2014\end{array}\right)$. Unde se greșește de obicei: se pierde semnul determinantului și iese $X=-\left(\begin{array}{cc}1& 2014\\ 1& 0\end{array}\right)$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinoame.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $0$: $$f(0)=0^3-6\cdot 0^2+m\cdot 0-6=\text{(2 p)}$$ $$=-6\text{(3 p)}.$$

(Valoarea nu depinde de $m$: este termenul liber. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(0)=m-6$.)

b) (5 p) Relațiile lui Viète pentru $X^3-6X^2+mX-6$: $$x_1+x_2+x_3=6,x_1{x}_2{x}_3=6\text{(2 p)}.$$ Aducând la numitorul comun $x_1{x}_2{x}_3$: $$\frac{1}{x_1{x}_2}+\frac{1}{x_1{x}_3}+\frac{1}{x_2{x}_3}=\frac{x_1+x_2+x_3}{x_1{x}_2{x}_3}=\frac{6}{6}=1\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{1}{x_1{x}_2}=\frac{x_3}{x_1{x}_2{x}_3}$ și la fel pentru ceilalți termeni. Produsul rădăcinilor este $-(-6)=6$, cu semnul schimbat al termenului liber. Rezultatul nu depinde de $m$ — de aceea enunțul nu dă valoarea lui. Control: pentru $m=11$, rădăcinile sunt $1,2,3$ și $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x_1{x}_2{x}_3=-6$.)

c) (5 p) Rădăcinile sunt $x_1=k-1$, $x_2=k$ și $x_3=k+1$, unde $k\in \mathbb{Z}$; atunci $$x_1+x_2+x_3=3k=6⟹k=2\text{(2 p)}.$$ Rădăcinile sunt $1$, $2$, $3$ și $$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=1\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 3=m⟹\mathbf{m}=11\text{(3 p)}.$$

(Baremul nu mai verifică produsul, dar el se potrivește: $1\cdot 2\cdot 3=6$, cum cer relațiile lui Viète. Control: $(X-1)(X-2)(X-3)=X^3-6X^2+11X-6$. Alt drum, la fel de corect: din produs, $(k-1)k(k+1)=6$, singura soluție întreagă este tot $k=2$. Unde se greșește de obicei: se ia $m$ egal cu suma rădăcinilor, $6$, în loc de suma produselor două câte două.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivate și aplicații.

a) (5 p) Derivata unui cât: $$f^{\prime }(x)=\frac{x^{\prime }\left(x^2+1\right)-x{\left(x^2+1\right)}^{\prime }}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\text{(2 p)}$$ $$=\frac{1-x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{(1-x)(1+x)}{{\left(x^2+1\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: numărătorul este $x^2+1-x\cdot 2x=1-x^2$, o diferență de pătrate. Unde se greșește de obicei: se inversează ordinea din numărătorul formulei, $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$, și iese $x^2-1$.)

b) (5 p) Ecuația tangentei în punctul de abscisă $1$: $$y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)\text{(2 p)}.$$ $f(1)=\frac{1}{2}$, $f^{\prime }(1)=0$, deci ecuația tangentei este $\mathbf{y}=\frac{1}{2}$ (3 p).

(Detaliul: $f^{\prime }(1)=\frac{0\cdot 2}{4}=0$, deci tangenta este orizontală. Unde se greșește de obicei: se scrie tangenta $y=f^{\prime }(1)(x-1)$, uitând termenul $f(1)$ — atunci iese dreapta $y=0$.)

c) (5 p) Zerourile derivatei: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=1\text{ sau }x=-1\text{(2 p)}.$$ Semnul derivatei: $f^{\prime }(x)<0$ pentru $x\in (-\infty ,-1)$, $f^{\prime }(x)>0$ pentru $x\in (-1,1)$, $f^{\prime }(x)<0$ pentru $x\in (1,+\infty )$ (2 p).

Punctele de extrem sunt $\mathbf{x}=-1$ și $\mathbf{x}=1$ (1 p).

(Numitorul ${\left(x^2+1\right)}^2$ este pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $1-x^2$. $x=-1$ este punct de minim, cu $f(-1)=-\frac{1}{2}$, iar $x=1$ este punct de maxim, cu $f(1)=\frac{1}{2}$. Unde se greșește de obicei: din $1-x^2=0$ se reține doar $x=1$ și se pierde punctul de minim $x=-1$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Doi termeni ai lui $f$ se reduc: $${\int }_0^1\left(f(x)-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\right)dx={\int }_0^1\frac{1}{x+1}dx=\text{(2 p)}$$ $$=\ln (x+1){|}_0^1=\ln 2\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $\ln 2-\ln 1=\ln 2$. Control numeric: $\ln 2\approx 0,6931472$. Unde se greșește de obicei: se integrează toată funcția $f$, fără să se observe că doi dintre termeni dispar.)

b) (5 p) Dacă $F$ este o primitivă a lui $f$, atunci $F^{\prime }=f$, deci $$F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=-\frac{1}{(x+1{)}^2}-\frac{1}{(x+2{)}^2}-\frac{1}{(x+3{)}^2}\text{(2 p)}.$$ $F^{\prime \prime }(x)<0$ pentru orice $x\in (-1,+\infty )$, deci $F$ este concavă pe $(-1,+\infty )$ (3 p).

(Fiecare termen $-\frac{1}{(x+a{)}^2}$ este negativ, deci suma lor este negativă. Rezultatul privește orice primitivă, pentru că două primitive diferă printr-o constantă și au aceeași derivată a doua. Unde se greșește de obicei: se studiază semnul lui $f$ (care este pozitivă) — acela dă monotonia primitivei, nu concavitatea ei.)

c) (5 p) Pe $[0,n]$ funcția $f$ este pozitivă, deci aria este $$\mathcal{S}={\int }_0^n|f(x)|dx={\int }_0^n\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}\right)dx=\ln ((x+1)(x+2)(x+3)){|}_0^n=\text{(2 p)}$$ $$=\ln \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}\text{(1 p)}.$$ $$n\ge 1⟹(n+1)(n+2)(n+3)\ge 24⟹\mathcal{S}\ge \ln 4,\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: suma a trei logaritmi este logaritmul produsului, iar în $0$ produsul este $1\cdot 2\cdot 3=6$. Pentru $n\ge 1$, fiecare factor este cel puțin cât în $n=1$: $(n+1)(n+2)(n+3)\ge 2\cdot 3\cdot 4=24$, deci $\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}\ge 4$, iar logaritmul natural este crescător. Egalitatea are loc pentru $n=1$. Control numeric: $\ln 4\approx 1,3862944$. Unde se greșește de obicei: suma logaritmilor se scrie ca logaritmul sumei, $\ln ((x+1)+(x+2)+(x+3))$, și aria iese $\ln \frac{3n+6}{6}=\ln \frac{n+2}{2}$ — pentru $n=1$, $\ln \frac{3}{2}<\ln 4$, deci inegalitatea nu mai rezultă.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial al probei E. c), Matematică M_șt-nat, din varianta de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2014 a examenului de bacalaureat național — Varianta 5, cea publicată de autoritatea examenului. Documentul poartă aceeași dată ca subiectul extras în ziua examenului, 2 iulie 2014. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în varianta de rezervă din 2014:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: pătratul unui număr complex, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: un punct care aparține graficului — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: definiția logaritmului și condiția de existență — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: submulțimile cu număr impar de elemente, prin combinări — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: regula triunghiului într-un dreptunghi, cu mijlocul unei laturi — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: unghiuri complementare în triunghiul dreptunghic — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinantul, un produs de matrice, o ecuație matriceală rezolvată cu inversa — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea în $0$, relațiile lui Viète, rădăcini întregi consecutive — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, ecuația tangentei, punctele de extrem din semnul derivatei — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: o simplificare înainte de integrare, concavitatea unei primitive, aria unei suprafețe plane cu parametru — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2014. Subiectul I are șase cerințe directe: pătratul lui $2+i$, un punct pe graficul unei funcții de gradul întâi, o ecuație ${\log }_3(x-3)=2$, numărarea submulțimilor cu $1$ sau $3$ elemente ale unei mulțimi cu $4$ elemente, o relație vectorială în dreptunghi (în care $\overrightarrow{MA}$ și $\overrightarrow{MD}$ se anulează reciproc) și formula ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1$ ascunsă în complementaritatea unghiurilor $B$ și $C$. La Subiectul al II-lea, matricea $A$ verifică $A+A\cdot A=2014I_2$, iar ecuația $A\cdot X=2014I_2$ se rezolvă cu inversa (sau, direct, cu $X=I_2+A$, din subpunctul b)); polinomul $X^3-6X^2+mX-6$ are suma și produsul rădăcinilor egale cu $6$ pentru orice $m$, iar rădăcinile întregi consecutive sunt $1$, $2$, $3$. La Subiectul al III-lea, funcția $\frac{x}{x^2+1}$ are tangenta orizontală $y=\frac{1}{2}$ în $x=1$ și două puncte de extrem, $-1$ și $1$; la integrale, funcția este o sumă de trei fracții simple, orice primitivă are derivata a doua $f^{\prime }<0$, iar aria de la $0$ la $n$ este $\ln \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}$, cel puțin $\ln 4$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre un polinom (relațiile lui Viète și rădăcinile lui), capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $3+4i$, $4$, $12$, $8$, $-2014$, $\left(\begin{array}{cc}1& 2014\\ 1& 0\end{array}\right)$, $-6$, $m=11$, $y=\frac{1}{2}$, $x=\pm 1$ și $\ln 2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluția scrisă fără verificarea condiției $x-3>0$; la cerința 7, subpunctul c), inversa scrisă fără factorul $\frac{1}{\det A}$ sau cu semnul determinantului pierdut; la cerința 9, subpunctul c), punctele de extrem afirmate doar din $f^{\prime }(x)=0$, fără semnul derivatei de o parte și de alta; la cerința 10, subpunctul c), aria scrisă fără să se spună că $f>0$ pe $[0,n]$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $(a+bi{)}^2=a^2-b^2+2abi$. Logaritmi: ${\log }_{a}u=c⟺u=a^c$, cu $u>0$. Combinări: o mulțime cu $n$ elemente are $C_n^k$ submulțimi cu $k$ elemente. Vectori: $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}$; într-un dreptunghi $ABCD$, $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$. Triunghi dreptunghic în $A$: $B+C=\frac{\pi }{2}$, deci $\cos C=\sin B$ și $\sin C=\cos B$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$. Viète, gradul al treilea: pentru $X^3+b{X}^2+cX+d$, $x_1+x_2+x_3=-b$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=c$, $x_1{x}_2{x}_3=-d$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; tangenta în $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; un punct de extrem este un zero al derivatei în care ea își schimbă semnul.
• Integrale: $\int \frac{1}{x+a}dx=\ln (x+a)+\mathcal{C}$ pe $x>-a$; o funcție cu derivata a doua negativă este concavă; aria suprafeței dintre graficul lui $f$, axa $Ox$ și dreptele $x=0$, $x=n$ este $\mathcal{S}={\int }_0^n|f(x)|dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $m$ este un număr real la cerința $2$ (unde iese $m=4$) și parametrul polinomului la cerința $8$ (unde iese $m=11$); litera $M$ este punctul $M(m,1)$ de la cerința $2$ și mijlocul laturii $AD$ de la cerința $5$. Litera $A$ denumește mulțimea $\{1,2,3,4\}$ de la cerința $4$, vârfurile dreptunghiului și ale triunghiului de la cerințele $5$ și $6$ și matricea de la cerința $7$; tot așa, $B$ și $C$ sunt vârfuri ale dreptunghiului la cerința $5$ și ale triunghiului la cerința $6$, iar $X$ este matricea necunoscută la cerința $7$, subpunctul c), și nedeterminata polinomului la cerința $8$.
• Litera $f$ denumește patru obiecte diferite: funcția de gradul întâi de la cerința $2$, polinomul de la cerința $8$ și câte o funcție la cerințele $9$ și $10$. La cerința $10$, $F$ este o primitivă oarecare a lui $f$, iar $F^{\prime \prime }$ este derivata ei a doua. Baremul oficial notează aria cu $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.
• La cerința $5$, $\overrightarrow{MB}$, $\overrightarrow{MC}$, $\overrightarrow{AB}$ sunt vectori, nu lungimi de segmente: egalitatea $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{AB}$ este o egalitate de vectori.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".