Bac M2 2014, modelul oficial — rezolvat

Toate probele M2 din 2014 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați rația progresiei geometrice $(b_n{)}_{n\ge 1}$ cu termeni reali, știind că $b_2=1$ și $b_5=8$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați $(f\circ f)(0)$ pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2x+7$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2{\log }_5(x-3)={\log }_5(x-1)$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,50\}$, acesta să fie număr divizibil cu $11$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care vectorii $\vec{v}=2\vec{i}+(a+1)\vec{j}$ și $\vec{u}=\vec{i}+2\vec{j}$ sunt coliniari.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ ecuația $2\sin x-1=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 5\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $A\cdot B=B\cdot A$.

b) (5 puncte) Verificați dacă $\det (A+B)>\det A+\det B$.

c) (5 puncte) Determinați numărul matricelor $X=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$ pentru care $X^2=A$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră $x_1$, $x_2$, $x_3$ rădăcinile complexe ale polinomului $f=X^3+X+a$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $a=-2$, arătați că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că $(2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)=2$.

c) (5 puncte) Pentru $a\ne 0$, determinați un polinom de grad trei, având coeficienții reali, care are rădăcinile $\frac{1}{x_1}$, $\frac{1}{x_2}$ și $\frac{1}{x_3}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln (x+1)-\ln x$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este descrescătoare.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }xf(x)$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x+2}$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1(x+2)f(x)dx$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{2013}^{2014}(f(x)+(x+2)f^{\prime }(x))dx=1$.

c) (5 puncte) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[1,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{x}{f(x)}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului pentru 2014; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie geometrică.

Într-o progresie geometrică de rație $q$, $b_5=b_2\cdot q^3$; cum $b_2=1$ și $b_5=8$, $$b_5=b_2{q}^3⟹q^3=8\text{(3 p)}.$$ Singurul număr real al cărui cub este $8$ este $2$, deci $\mathbf{q}=2$ (2 p).

(Control: $b_2=1$, $b_3=2$, $b_4=4$, $b_5=8$. Unde se greșește de obicei: se scrie $b_5=b_2{q}^4$, numărând termenii, nu pașii dintre ei, și iese $q^4=8$; sau se scrie $b_5=b_2+3q$, ca la progresiile aritmetice, și iese $q=\frac{7}{3}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Întâi valoarea interioară: $$f(0)=0^2+2\cdot 0+7=7\text{(2 p)}.$$ Apoi $f$ aplicată rezultatului: $$(f\circ f)(0)=f(f(0))=f(7)=49+14+7=70\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează $(f(0){)}^2=49$, confundând compunerea cu pătratul; sau se oprește calculul la $f(0)=7$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Condițiile de existență: $x-3>0$ și $x-1>0$, adică $x>3$. Cum $2{\log }_5(x-3)={\log }_5(x-3{)}^2$, ecuația devine ${\log }_5(x-3{)}^2={\log }_5(x-1)$, deci $$(x-3{)}^2=x-1⟹x^2-7x+10=0\text{(2 p)}.$$ Rădăcinile sunt $x_1=2$ și $x_2=5$. Pentru $x_1=2$, $x-3=-1<0$, deci $x_1=2$ nu verifică ecuația, iar ${\mathbf{x}}_2=5$ verifică ecuația: $2{\log }_{5}2={\log }_{5}4$ (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se păstrează și $x=2$, pentru că verifică ecuația de gradul al doilea — dar ${\log }_5(-1)$ nu există. Altă greșeală: $(x-3{)}^2$ se dezvoltă ca $x^2-9$; ecuația devine $x^2-x-8=0$, iar rădăcina ei $\frac{1+\sqrt{33}}{2}\approx 3,3723$ trece chiar de condiția $x>3$ — o „soluție" falsă, care nu verifică ecuația dată.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Numerele divizibile cu $11$ din mulțimea $A$ sunt $11$, $22$, $33$ și $44$ (următorul, $55$, depășește $50$), deci sunt $4$ cazuri favorabile (2 p).

Numărul elementelor mulțimii $A$ este $50$, deci sunt $50$ de cazuri posibile (1 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{4}{50}=\frac{2}{25}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se numără și $55$, care nu este în $A$, și iese $\frac{5}{50}=\frac{1}{10}$; sau se împarte invers, $\frac{50}{4}$, un număr mai mare decât $1$, care nu poate fi o probabilitate.)

Exercițiul 5. (5 p) — vectori coliniari.

Vectorii sunt coliniari exact când coordonatele lor sunt proporționale: $$\frac{2}{1}=\frac{a+1}{2}\text{(3 p)}.$$ De aici $a+1=4$, deci $\mathbf{a}=3$ (2 p).

(Control: pentru $a=3$, $\vec{v}=2\vec{i}+4\vec{j}=2\vec{u}$. Unde se greșește de obicei: se inversează rapoartele, $\frac{2}{2}=\frac{a+1}{1}$, și iese $a=0$; sau se pune condiția de perpendicularitate, $2\cdot 1+2(a+1)=0$, și iese $a=-2$.)

Exercițiul 6. (5 p) — ecuație trigonometrică.

Ecuația se scrie $$\sin x=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ Pe intervalul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ funcția sinus este strict crescătoare, deci ecuația are cel mult o soluție, iar $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$; soluția este $\mathbf{x}=\frac{\pi }{6}$ (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se scrie și $x=\frac{5\pi }{6}$, care verifică $\sin x=\frac{1}{2}$, dar nu este în $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$; sau se confundă valorile și se scrie $x=\frac{\pi }{3}$, pentru care $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice diagonale de ordinul al doilea.

a) (5 p) Matricele fiind diagonale, produsul se face element cu element pe diagonală: $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 20\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ $$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 20\end{array}\right)⟹A\cdot B=B\cdot A\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se adună elementele în loc să se înmulțească, și iese $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 9\end{array}\right)$ — aceea este $A+B$. Înmulțirea matricelor nu este comutativă în general; aici egalitatea are loc pentru că ambele matrice sunt diagonale.)

b) (5 p) Suma și determinantul ei: $$A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 9\end{array}\right)⟹\det (A+B)=18\text{(2 p)}.$$ $$\det A+\det B=4+5=9⟹\det (A+B)>\det A+\det B\text{(3 p)}.$$

(Răspunsul la întrebarea „verificați dacă" este deci „da": $18>9$. Unde se greșește de obicei: se presupune că determinantul este aditiv, $\det (A+B)=\det A+\det B$ — fals în general, cum arată chiar acest exemplu.)

c) (5 p) Ridicând la pătrat matricea diagonală, $$X^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2& 0\\ 0& b^2\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Egalitatea $X^2=A$ înseamnă $$\left(\begin{array}{cc}{a}^2& 0\\ 0& b^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 4\end{array}\right)⟹\{\begin{array}{l}{a}^2=1\\ b^2=4\end{array}⟹a=\pm 1,b=\pm 2,$$ deci sunt $4$ matrice $X$ care verifică cerințele (3 p).

(Cele patru matrice corespund perechilor $(a,b)\in \{(1,2),(1,-2),(-1,2),(-1,-2)\}$ — fiecare alegere a semnului lui $a$ se combină cu fiecare alegere a semnului lui $b$. Unde se greșește de obicei: se păstrează doar $a=1$, $b=2$ și iese o singură matrice; sau se numără doar $a=\pm 1$ și $b=\pm 2$ ca „două perechi".)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=-2$ polinomul este $f=X^3+X-2$, deci $$f=X^3+X-2⟹f(1)=1^3+1-2\text{(3 p)}.$$ $$f(1)=2-2=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se pierde minusul din $a=-2$ și se calculează $f(1)=1+1+2=4$.)

b) (5 p) Polinomul are coeficientul dominant $1$, deci $f=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$; înlocuind $X$ cu $2$, $$(2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)=f(2)\text{(3 p)}.$$ Cum $f(2)=8+2+a=10+a$, condiția devine $10+a=2$, deci $\mathbf{a}=-8$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se scrie $(2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)=-f(2)$, încurcând ordinea factorilor — dar $(2-x_k)$ este exact $X-x_k$ pentru $X=2$, fără schimbare de semn; sau se desface produsul și se greșește semnul lui $x_1{x}_2{x}_3$.)

c) (5 p) Polinomul nu are termen în $X^2$, deci relațiile lui Viète dau $$x_1+x_2+x_3=0,x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=1,x_1{x}_2{x}_3=-a\text{(1 p)}.$$ Pentru $a\ne 0$, produsul rădăcinilor este nenul, deci nicio rădăcină nu este $0$ și inversele există. Aducând la același numitor, $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=-\frac{1}{a},\frac{1}{x_1}\cdot \frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_2}\cdot \frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_3}\cdot \frac{1}{x_1}=0,\frac{1}{x_1}\cdot \frac{1}{x_2}\cdot \frac{1}{x_3}=-\frac{1}{a}\text{(3 p)}.$$ Polinomul monic cu aceste rădăcini este $X^3+\frac{1}{a}{X}^2+\frac{1}{a}$; înmulțindu-l cu $a$, un polinom este $\mathbf{g}=\mathbf{a}{\mathbf{X}}^3+{\mathbf{X}}^2+1$ (1 p).

(Detaliul calculului: $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_2{x}_3+x_1{x}_3+x_1{x}_2}{x_1{x}_2{x}_3}=\frac{1}{-a}$, iar suma produselor două câte două este $\frac{x_1+x_2+x_3}{x_1{x}_2{x}_3}=0$. Enunțul cere „un polinom": orice multiplu nenul al lui $g$, de exemplu $-a{X}^3-X^2-1$, are aceleași rădăcini și este și el corect. Control: pentru $a=-2$, rădăcinile lui $f$ sunt $1$ și $\frac{-1\pm i\sqrt{7}}{2}$, iar $g=-2X^3+X^2+1$ se anulează în $1$, adică în $\frac{1}{1}$. Unde se greșește de obicei: se ia $x_1{x}_2{x}_3=a$, cu semnul greșit, și iese $-a{X}^3+X^2+1$ — un polinom cu alte rădăcini.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, monotonie și limită.

a) (5 p) Derivata diferenței este diferența derivatelor: $$f^{\prime }(x)=(\ln (x+1){)}^{\prime }-(\ln x{)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x},\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se derivează $\ln (x+1)$ ca $\frac{1}{x}$, uitând că derivata argumentului este $1$, dar argumentul rămâne $x+1$; sau se schimbă semnul și iese $\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$.)

b) (5 p) Aducând la același numitor, $$f^{\prime }(x)=\frac{x-(x+1)}{x(x+1)}=-\frac{1}{x(x+1)},\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Cum $x>0$ și $x+1>0$, rezultă $f^{\prime }(x)<0$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$, deci $f$ este descrescătoare (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se afirmă monotonia fără semnul derivatei, sau se greșește semnul fracției și se trage concluzia „crescătoare". Control numeric: $f(1)=\ln 2\approx 0,6931$, $f(2)=\ln \frac{3}{2}\approx 0,4055$ — valorile scad.)

c) (5 p) Produsul este de tip $\infty \cdot 0$; se scrie ca raport de tip $\frac{0}{0}$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }xf(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x+1)-\ln x}{\frac{1}{x}}\text{(2 p)}.$$ Cu regula lui l'Hôpital, $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{x+1}=1\text{(3 p)}.$$

(Numărătorul tinde la $0$, pentru că $\ln (x+1)-\ln x=\ln \frac{x+1}{x}\to \ln 1=0$, iar numitorul $\frac{1}{x}\to 0$: nedeterminarea este $\frac{0}{0}$. Un drum fără l'Hôpital: $xf(x)=\ln {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\to \ln e=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie „$\infty \cdot 0=0$"; sau se uită minusul din ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$ și iese $-1$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și volumul unui corp de rotație.

a) (5 p) Factorul $x+2$ se simplifică, pentru că $x+2\ne 0$ pe $[0,1]$: $${\int }_0^1(x+2)f(x)dx={\int }_0^{1}xdx\text{(2 p)}.$$ $${\int }_0^{1}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_0^1=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se simplifică greșit $(x+2)\cdot \frac{x}{x+2}$ la $x+2$ și iese ${\int }_0^1(x+2)dx=\frac{5}{2}$; sau primitiva lui $x$ se scrie $x^2$ și iese $1$.)

b) (5 p) Derivata funcției $f$ și expresia de sub integrală: $$f^{\prime }(x)=\frac{(x+2)-x}{(x+2{)}^2}=\frac{2}{(x+2{)}^2}⟹f(x)+(x+2)f^{\prime }(x)=\frac{x}{x+2}+\frac{2}{x+2}=1,\text{ pentru orice }x\in (-2,+\infty )\text{(3 p)}.$$ $${\int }_{2013}^{2014}1dx=x{|}_{2013}^{2014}=2014-2013=1\text{(2 p)}.$$

(Altă privire: $f(x)+(x+2)f^{\prime }(x)=((x+2)f(x){)}^{\prime }=(x{)}^{\prime }=1$. Unde se greșește de obicei: se derivează $\frac{x}{x+2}$ ca $\frac{1}{1}$, adică numărătorul supra numitorul derivate separat; sau se scrie $f^{\prime }(x)=\frac{1}{(x+2{)}^2}$, uitând că numărătorul derivatei este $(x+2)-x=2$; integrandul devine $\frac{x+1}{x+2}$, iar integrala iese $1-\ln \frac{2016}{2015}\ne 1$.)

c) (5 p) Pe $[1,2]$, $g(x)=\frac{x}{f(x)}=\frac{x}{\frac{x}{x+2}}=x+2$, deci $$\mathcal{V}=\pi {\int }_1^2{g}^2(x)dx=\pi {\int }_1^2(x+2{)}^{2}dx\text{(3 p)}.$$ $$\mathcal{V}=\pi \cdot \frac{(x+2{)}^3}{3}{|}_1^2=\pi \cdot \frac{64-27}{3}=\frac{37\pi }{3}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $\pi {\int }_1^2(x+2{)}^{2}dx\approx 38,7463$, iar $\frac{37\pi }{3}\approx 38,7463$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\pi$ sau pătratul lui $g$ și iese $\pi {\int }_1^2(x+2)dx=\frac{7\pi }{2}$; sau se calculează $(x+2{)}^3$ în capete ca $3^3-4^3$, cu semnul inversat. În baremul oficial volumul este notat $V$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{V}$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_șt-nat, publicat înaintea sesiunilor din 2014 ca reper al structurii și al nivelului de dificultate. Un model nu se dă în ziua examenului: el este documentul prin care ministerul arată cum va arăta proba — de aceea nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum o anunță modelul din 2014:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii geometrice: rația din doi termeni dați, prin $b_5=b_2{q}^3$ — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: valoarea lui $f\circ f$ într-un punct — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: coeficientul trecut la exponent, egalarea argumentelor și condițiile de existență — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: multiplii lui $11$ dintr-o mulțime de $50$ de numere — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: coliniaritatea a doi vectori scriși în funcție de $\vec{i}$ și $\vec{j}$ — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: o ecuație trigonometrică elementară pe un interval — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: produsul a două matrice, determinantul unei sume și ecuația $X^2=A$ în mulțimea matricelor diagonale — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom, produsul $(2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)$ ca valoare a polinomului și relațiile lui Viète — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unei diferențe de logaritmi, monotonia din semnul derivatei, o limită de tip $\infty \cdot 0$ — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale: formula Leibniz–Newton, o integrală în care integrandul este constant și volumul unui corp de rotație — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2014. Subiectul I este format din cerințe de un singur pas de raționament, cu un singur loc în care se greșește des: la ecuația logaritmică de la cerința 3, rădăcina $x=2$ a ecuației de gradul al doilea nu convine, pentru că ${\log }_5(x-3)$ nu există pentru ea. La Subiectul al II-lea, matricele sunt diagonale, deci toate calculele se fac „pe diagonală", iar la polinom ideea-cheie este aceeași de două ori: produsul $(2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)$ este chiar $f(2)$, iar polinomul cu rădăcinile $\frac{1}{x_1}$, $\frac{1}{x_2}$, $\frac{1}{x_3}$ se scrie din relațiile lui Viète. Subiectul al III-lea este „în oglindă": la problema 1 derivata unei diferențe de logaritmi dă monotonia și, cu regula lui l'Hôpital, limita; la problema 2 toate cele trei integrale devin simple după o simplificare — $(x+2)f(x)=x$, $f(x)+(x+2)f^{\prime }(x)=1$ și $g(x)=x+2$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, $\frac{\pi }{6}$, un polinom scris cu parametrul $a$ și $\frac{37\pi }{3}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluția $x=2$ păstrată, deși $x-3<0$; la cerința 6, soluția $\frac{5\pi }{6}$ păstrată, deși nu este în intervalul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$; la cerința 7, subpunctul c), doar $a=1$, $b=2$, uitând semnele; la cerința 9, subpunctul b), monotonia afirmată fără semnul derivatei.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii geometrice: $b_n=b_1{q}^{n-1}$, deci $b_5=b_2{q}^3$. Logaritmi: $2{\log }_{a}u={\log }_a{u}^2$ pentru $u>0$; ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, cu $u,v>0$. Probabilități: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$. Vectori: $\vec{v}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}$ și $\vec{u}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}$ sunt coliniari exact când $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$ (dacă numitorii sunt nenuli).
• Matrice diagonale: $\left(\begin{array}{cc}p& 0\\ 0& q\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}r& 0\\ 0& s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}pr& 0\\ 0& qs\end{array}\right)$, iar determinantul este produsul elementelor de pe diagonală.
• Polinoame: dacă $f=X^3+b{X}^2+cX+d$ are rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3$, atunci $f=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$, deci $f(t)=(t-x_1)(t-x_2)(t-x_3)$; relațiile lui Viète: $x_1+x_2+x_3=-b$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=c$, $x_1{x}_2{x}_3=-d$.
• Derivate și limite: $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, $(\ln (x+1){)}^{\prime }=\frac{1}{x+1}$; regula lui l'Hôpital pentru $\frac{0}{0}$.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ în jurul axei $Ox$ este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=x^2+2x+7$ de la cerința $2$, polinomul $f=X^3+X+a$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=\ln (x+1)-\ln x$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=\frac{x}{x+2}$ de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $a$ este necunoscută la cerința $5$, un element al matricei $X$ la cerința $7$ și parametru real la cerința $8$; tot așa, $b$ este al doilea element diagonal al lui $X$ la cerința $7$, iar $b_n$ de la cerința $1$ este termenul progresiei.
• Prin $g^2(x)$ se înțelege $(g(x){)}^2$, pătratul valorii funcției, nu compunerea $g\circ g$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".