Bac M2 2014, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2014 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați conjugatul numărului complex $z=1+i+i^2+i^3+i^4+i^5+i^6$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați valoarea maximă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^2+4x-5$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3-\sqrt{x^2+3}=x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele distincte.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,3)$, $B(4,0)$ și $C(2,0)$. Determinați aria triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $(\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x-\cos x{)}^2=2$ pentru orice număr real $x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră determinantul $D(a,b)=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& a& b\\ 1& a^2& b^2\end{array}\right|$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

a) (5 puncte) Calculați $D(1,0)$.

b) (5 puncte) Arătați că $D(a,b)=(a-1)(b-1)(b-a)$ pentru orice numere reale $a$ și $b$.

c) (5 puncte) Demonstrați că numărul $D(m,n)$ este par pentru orice numere întregi $m$ și $n$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră inelul $\left({\mathbb{Z}}_6,+,\cdot \right)$, unde ${\mathbb{Z}}_6=\left\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5}\right\}$.

a) (5 puncte) Rezolvați în ${\mathbb{Z}}_6$ ecuația $\hat{3}x+\hat{2}=\hat{5}$.

b) (5 puncte) Determinați mulțimea valorilor funcției $f:{\mathbb{Z}}_6\to {\mathbb{Z}}_6$, $f(x)=x^3-x$.

c) (5 puncte) Determinați numărul elementelor mulțimii $H=\left\{x^{10}\mid x\in {\mathbb{Z}}_6\right\}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}+\ln x$.

a) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)\ge 1$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{x+1}$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1(x+1)f(x)dx$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^e(x+1)f(x)\ln xdx$.

c) (5 puncte) Arătați că $F(e-1)=\frac{e^2-4e+7}{2}$, unde $F:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$ este primitiva funcției $f$ pentru care $F(0)=1$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării din 2014; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Cu $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$, $i^5=i$, $i^6=-1$: $$z=1+i-1-i+1+i-1\text{(3 p)}.$$ Termenii se reduc și rămâne $z=i$, deci $\bar{\mathbf{z}}=-\mathbf{i}$ (2 p).

(Altă privire: primii patru termeni au suma $0$, iar $i^4+i^5+i^6=1+i-1=i$. Unde se greșește de obicei: se ia $i^3=i$ sau $i^6=1$ — puterile lui $i$ se repetă din patru în patru; sau se dă răspunsul $z=i$, uitând că se cere conjugatul.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, valoarea maximă.

Discriminantul este $$\Delta =4^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)=16-20=-4\text{(2 p)}.$$ Coeficientul lui $x^2$ este negativ, deci funcția are un maxim, egal cu ordonata vârfului: $$\text{Valoarea maxima˘ a funcției }f\text{ este }-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{-4}{4\cdot (-1)}=-1\text{(3 p)}.$$

(Control: vârful are abscisa $-\frac{b}{2a}=2$, iar $f(2)=-4+8-5=-1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\Delta =16+20=36$, pierzând semnele; sau se răspunde cu abscisa vârfului, $2$, în loc de valoarea maximă.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Se izolează radicalul și se ridică la pătrat (membrul drept trebuie să fie nenegativ, $3-x\ge 0$): $$3-x=\sqrt{x^2+3}\Rightarrow 9-6x+x^2=x^2+3\text{(3 p)}.$$ De aici $6x=6$, deci $\mathbf{x}=1$, care verifică ecuația: $3-\sqrt{4}=1$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat fără izolarea radicalului, $9-(x^2+3)=x^2$, ceea ce nu este o consecință a ecuației; sau se scrie $(3-x{)}^2=9-x^2$, uitând termenul $-6x$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Sunt $81$ de numere naturale de două cifre care au cifrele distincte, deci sunt $81$ de cazuri favorabile (2 p).

Sunt $90$ de numere naturale de două cifre, deci sunt $90$ de cazuri posibile (1 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{81}{90}=\frac{9}{10}\text{(2 p)}.$$

(Numărarea: prima cifră se alege în $9$ moduri (de la $1$ la $9$), a doua în $9$ moduri (orice cifră diferită de prima, inclusiv $0$), deci $9\cdot 9=81$; altfel, din cele $90$ de numere se scot cele $9$ cu cifrele egale, $11,22,\dots ,99$. Unde se greșește de obicei: se scot și numerele care conțin cifra $0$, sau se socotesc $10\cdot 9=90$ de alegeri, permițând prima cifră $0$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, aria unui triunghi.

Punctele $A$ și $C$ au aceeași abscisă, iar $B$ și $C$ aceeași ordonată, deci $AC$ este verticală, $BC$ orizontală și $$AC=3,BC=2\text{ și }m(\sphericalangle C)=90^{\circ }\text{(3 p)}.$$ $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{3\cdot 2}{2}=3\text{(2 p)}.$$

(Control cu formula determinantului: $\frac{1}{2}\left|\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 4& 0& 1\\ 2& 0& 1\end{array}\right|\right|=\frac{1}{2}\cdot 6=3$. Unde se greșește de obicei: se uită împărțirea la $2$ și iese $6$; sau se ia ipotenuza $AB=\sqrt{13}$ drept catetă. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{S}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, o identitate.

Dezvoltând primul pătrat și folosind ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$: $$(\sin x+\cos x{)}^2=1+2\sin x\cos x\text{(2 p)}.$$ La fel, $(\sin x-\cos x{)}^2=1-2\sin x\cos x$, iar adunând, termenii $\pm 2\sin x\cos x$ se reduc: $$(\sin x-\cos x{)}^2=1-2\sin x\cos x\Rightarrow (\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x-\cos x{)}^2=2\text{(3 p)}.$$

(Control numeric: pentru $x=0$, $1+1=2$; pentru $x=\frac{\pi }{4}$, ${\left(\sqrt{2}\right)}^2+0=2$. Unde se greșește de obicei: la al doilea pătrat se scrie tot $+2\sin x\cos x$, ca la primul, și suma iese $2+4\sin x\cos x$, care nu este constantă (pentru $x=\frac{\pi }{4}$ dă $4$, nu $2$). Iar dacă se uită termenul dublu la ambele pătrate, $(\sin x\pm \cos x{)}^2=1$, suma iese tot $2$, dar demonstrația este greșită.)

Exercițiul 7. (15 p) — un determinant de ordinul al treilea.

a) (5 p) Pentru $a=1$ și $b=0$: $$D(1,0)=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ Liniile a doua și a treia sunt egale, deci $D(1,0)=0$ (3 p).

(Același rezultat din regula lui Sarrus: $0+0+1-1-0-0=0$; sau pentru că primele două coloane sunt egale. Unde se greșește de obicei: la regula lui Sarrus se adună toate cele șase produse, fără minus la ultimele trei, și iese $1+1=2$ în loc de $0$.)

b) (5 p) Scăzând prima coloană din a doua și din a treia: $$D(a,b)=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& a-1& b-1\\ 1& a^2-1& b^2-1\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ Scoțând factor comun $a-1$ de pe coloana a doua și $b-1$ de pe a treia ($a^2-1=(a-1)(a+1)$, $b^2-1=(b-1)(b+1)$): $$D(a,b)=(a-1)(b-1)\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 1\\ 1& a+1& b+1\end{array}\right|=(a-1)(b-1)(b-a),\text{ pentru orice numere reale }a\text{ și }b\text{(3 p)}.$$

(Ultimul determinant, dezvoltat după prima linie, este $(b+1)-(a+1)=b-a$. Control: $D(1,0)=0\cdot (-1)\cdot (-1)=0$, ca la a); $D(2,3)=1\cdot 2\cdot 1=2$, iar direct $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right|=2$. Unde se greșește de obicei: ultimul determinant se dezvoltă cu produsele în ordine inversă, $(a+1)-(b+1)=a-b$, și iese $(a-1)(b-1)(a-b)$, adică exact opusul lui $D(a,b)$ (de exemplu $-2$ în loc de $2$ pentru $a=2$, $b=3$).)

c) (5 p) Din b), pentru $m$ și $n$ întregi: $$D(m,n)=(m-1)(n-1)(n-m)\text{(1 p)}.$$ Dacă $m$ și $n$ au aceeași paritate, atunci $n-m$ este număr par, deci $D(m,n)$ este par (2 p).

Dacă $m$ și $n$ au parități diferite, atunci $m-1$ și $n-1$ au parități diferite, deci unul dintre ele este par și $(m-1)(n-1)$ este număr par, deci $D(m,n)$ este par (2 p).

(În ultimul rând, baremul oficial scrie „deci $D(a,b)$ este par" — este vorba, evident, de $D(m,n)$; am scris notația corectă. Control: pentru $m,n\in \{-30,\dots ,30\}$, toate cele $3721$ de valori $D(m,n)$ sunt pare. Unde se greșește de obicei: se verifică paritatea pe câteva exemple și se trage concluzia „pentru orice"; sau se tratează doar cazul „aceeași paritate".)

Exercițiul 8. (15 p) — calcul în inelul ${\mathbb{Z}}_6$.

a) (5 p) Scăzând $\hat{2}$ din ambii membri: $$\hat{3}x=\hat{3}\text{(2 p)}.$$ Se încearcă toate elementele: $\hat{3}\cdot \hat{0}=\hat{0}$, $\hat{3}\cdot \hat{1}=\hat{3}$, $\hat{3}\cdot \hat{2}=\hat{0}$, $\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{3}$, $\hat{3}\cdot \hat{4}=\hat{0}$, $\hat{3}\cdot \hat{5}=\hat{3}$, deci $${\mathbf{x}}_1=\hat{1},{\mathbf{x}}_2=\hat{3},{\mathbf{x}}_3=\hat{5}\text{(3 p)}.$$

(De ce trei soluții: $\hat{3}$ nu este inversabil în ${\mathbb{Z}}_6$ (pentru că $3$ și $6$ nu sunt prime între ele), deci nu se poate „împărți" la $\hat{3}$; $\hat{3}x=\hat{3}$ exact când $x$ este clasa unui număr impar. Unde se greșește de obicei: se scrie doar $x=\hat{1}$, ca în numere reale; sau $\hat{2}$ se trece în membrul drept cu semnul plus, $\hat{3}x=\hat{5}+\hat{2}=\hat{1}$, ecuație fără nicio soluție în ${\mathbb{Z}}_6$, pentru că $\hat{3}x$ ia doar valorile $\hat{0}$ și $\hat{3}$.)

b) (5 p) Se calculează cuburile tuturor elementelor: $${\hat{0}}^3=\hat{0},{\hat{1}}^3=\hat{1},{\hat{2}}^3=\hat{2},{\hat{3}}^3=\hat{3},{\hat{4}}^3=\hat{4},{\hat{5}}^3=\hat{5}\text{(3 p)}.$$ Deci $x^3=x$ pentru orice $x\in {\mathbb{Z}}_6$, adică $f(x)=\hat{0}$ pentru orice $x$, și $\mathrm{Im}\mathbf{f}=\left\{\hat{0}\right\}$ (2 p).

(Detaliul: $2^3=8=6+2$, $3^3=27=24+3$, $4^3=64=60+4$, $5^3=125=120+5$. Altă privire: $x^3-x=(x-1)x(x+1)$ este produsul a trei numere întregi consecutive, deci divizibil cu $6$. Unde se greșește de obicei: se confundă puterea cu produsul, $x^3$ cu $\hat{3}x$; atunci $f(x)=\hat{3}x-x=\hat{2}x$ și mulțimea valorilor iese $\left\{\hat{0},\hat{2},\hat{4}\right\}$; sau se dă mulțimea valorilor lui $x^3$, adică tot ${\mathbb{Z}}_6$, în loc de a lui $x^3-x$.)

c) (5 p) Din b), $x^3=x$, deci $x^9={\left(x^3\right)}^3=x^3=x$ și $$x^3=x\Rightarrow x^{10}=x^2,\text{ pentru orice }x\in {\mathbb{Z}}_6\text{(2 p)}.$$ Pătratele elementelor sunt $\hat{0}$, $\hat{1}$, $\hat{4}$, $\hat{3}$, $\hat{4}$, $\hat{1}$, deci $$H=\left\{x^2\mid x\in {\mathbb{Z}}_6\right\}=\left\{\hat{0},\hat{1},\hat{3},\hat{4}\right\},\text{ deci mulțimea }H\text{ are }4\text{ elemente}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: ${\hat{2}}^2=\hat{4}$, ${\hat{3}}^2=\hat{9}=\hat{3}$, ${\hat{4}}^2=\widehat{16}=\hat{4}$, ${\hat{5}}^2=\widehat{25}=\hat{1}$. Unde se greșește de obicei: se numără elementele cu repetiție — șase „valori" — deși într-o mulțime fiecare element apare o singură dată; sau se crede că $x^{10}=x$, ca $x^3=x$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă și minim.

a) (5 p) Derivata funcției: $$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Limita cerută este chiar derivata în $2$: $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f^{\prime }(2)=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înlocuiește direct $x=2$ și se obține $\frac{0}{0}$, apoi se renunță; sau se derivează $\frac{1}{x}$ ca $\frac{1}{x^2}$, fără minus, și iese $f^{\prime }(2)=\frac{3}{4}$.)

b) (5 p) Valoarea și derivata în $1$: $$f(1)=1,f^{\prime }(1)=0\text{(2 p)}.$$ $$\text{Ecuația tangentei este }y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)\Rightarrow \mathbf{y}=1\text{(3 p)}.$$

(Tangenta este orizontală, pentru că $f^{\prime }(1)=0$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(1)=0$, confundând $\ln 1=0$ cu valoarea funcției, care este $\frac{1}{1}+\ln 1=1$; sau se scrie tangenta $y=x$.)

c) (5 p) Din $f^{\prime }(x)=\frac{x-1}{x^2}$: $$x\in (0,1]\Rightarrow f^{\prime }(x)\le 0,\text{ deci }f\text{ este descresca˘toare pe }(0,1]\text{(2 p)}.$$ $$x\in [1,+\infty )\Rightarrow f^{\prime }(x)\ge 0,\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare pe }[1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ $$f(x)\ge f(1)\Rightarrow f(x)\ge 1\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(1 p)}.$$

(Deci $x=1$ este punct de minim global, iar $f(1)=1$ este valoarea minimă. Control numeric: $f(2)\approx 1,19315$, $f\left(\frac{1}{2}\right)=2-\ln 2\approx 1,30685$. Unde se greșește de obicei: se arată doar că $f^{\prime }(1)=0$ și se trage concluzia, fără semnul derivatei — un punct critic nu este neapărat punct de minim.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale, prin părți și primitivă.

a) (5 p) Factorul $x+1$ se simplifică pe $[0,1]$: $${\int }_0^1(x+1)f(x)dx={\int }_0^1{x}^{2}dx\text{(2 p)}.$$ $${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_0^1=\frac{1}{3}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva $x^3$, fără împărțirea la $3$.)

b) (5 p) După simplificare: $${\int }_1^e(x+1)f(x)\ln xdx={\int }_1^e{x}^2\ln xdx\text{(2 p)}.$$ Prin părți, cu $u=\ln x$ și $v^{\prime }=x^2$ ($v=\frac{x^3}{3}$): $${\int }_1^e{x}^2\ln xdx=\left(\frac{x^3}{3}\cdot \ln x\right){|}_1^e-{\int }_1^e\frac{x^2}{3}dx=\frac{e^3}{3}-\frac{e^3-1}{9}=\frac{2{\mathbf{e}}^3+1}{9}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{x^3}{3}\cdot \frac{1}{x}=\frac{x^2}{3}$, iar ${\int }_1^e\frac{x^2}{3}dx=\frac{e^3-1}{9}$. Control numeric: integrala calculată numeric dă $4,574564$, iar $\frac{2e^3+1}{9}\approx 4,574564$. Alt drum: cu $u=x^2$ și $v^{\prime }=\ln x$ ($v=x\ln x-x$), integrala cerută reapare în membrul drept și se obține $3{\int }_1^e{x}^2\ln xdx=\frac{2e^3+1}{3}$ — corect, dar mai lung. Unde se greșește de obicei: se uită semnul minus din formula integrării prin părți și iese $\frac{e^3}{3}+\frac{e^3-1}{9}=\frac{4e^3-1}{9}$.)

c) (5 p) Se scrie fracția ca sumă, prin împărțirea lui $x^2$ la $x+1$: $x^2=(x-1)(x+1)+1$, deci $$\int \frac{x^2}{x+1}dx=\int \left(x-1+\frac{1}{x+1}\right)dx=\frac{x^2}{2}-x+\ln (x+1)+\mathcal{C}\Rightarrow F(x)=\frac{x^2}{2}-x+\ln (x+1)+c\text{(3 p)}.$$ $$F(0)=1\Rightarrow c=1\text{(1 p)}.$$ $$F(e-1)=\frac{(e-1{)}^2}{2}-(e-1)+\ln e+1=\frac{{\mathbf{e}}^2-4e+7}{2}\text{(1 p)}.$$

(Detaliul ultimului calcul: $\frac{e^2-2e+1}{2}-e+1+1+1=\frac{e^2-2e+1-2e+6}{2}=\frac{e^2-4e+7}{2}$. Pe intervalul $(-1,+\infty )$, $x+1>0$, deci $\ln (x+1)$ nu cere modul. Control numeric: $F(e-1)\approx 1,757964$. Unde se greșește de obicei: se uită constanta și se ia $F(0)=0$; sau se scrie $\ln (e-1+1)=\ln (e-1)$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la simularea examenului de bacalaureat din 2014 pentru elevii clasei a XII-a, proba E. c), Matematică M_șt-nat. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în simularea din 2014:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: puterile lui $i$ și conjugatul — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: valoarea maximă, $-\frac{\Delta }{4a}$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: izolarea radicalului, ridicarea la pătrat și verificarea — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numerele de două cifre cu cifrele distincte — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: lungimi de segmente și aria unui triunghi dreptunghic — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: pătratul unei sume și formula fundamentală ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Determinanți: un determinant de ordinul al treilea, calculat direct și prin factorizare, apoi o problemă de paritate — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Inelul claselor de resturi modulo 6: o ecuație de gradul întâi, identitatea $x^3=x$ și pătratele din ${\mathbb{Z}}_6$ — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata ca limită a raportului incremental, tangenta, monotonia și minimul — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale: formula Leibniz–Newton, integrarea prin părți și o primitivă determinată printr-o condiție — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2014. Subiectul I este format din șase cerințe directe, cu o capcană clasică la cerința 3: ecuația irațională se rezolvă prin ridicare la pătrat, iar soluția se verifică. Subiectul al II-lea are un determinant de tip Vandermonde: factorizarea $(a-1)(b-1)(b-a)$ de la subpunctul b) face subpunctul c) aproape imediat, printr-o discuție după paritatea lui $m$ și $n$. A doua problemă cere calcul în ${\mathbb{Z}}_6$, un inel în care nu orice element nenul se poate „împărți": ecuația $\hat{3}x=\hat{3}$ are trei soluții, nu una. Subiectul al III-lea leagă derivata de limita raportului incremental, apoi arată că minimul funcției este $1$; la integrale, ultimul subpunct cere o primitivă concretă, fixată prin condiția $F(0)=1$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre inelul $\left({\mathbb{Z}}_6,+,\cdot \right)$, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: inele și corpuri". Tot așa, împărțirea numărătorului la numitor de la problema a doua a Subiectului al III-lea, subpunctul c), $\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$, stă în unitatea „Supliment Bac M2 2027–2029: integrale de funcții raționale".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, $-i$, fracții simple, mulțimi de clase de resturi și expresii cu $e$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluția dată fără verificare; la cerința 7, subpunctul c), paritatea demonstrată doar pe exemple; la cerința 8, subpunctul a), o singură soluție, obținută „împărțind" la $\hat{3}$ — în ${\mathbb{Z}}_6$, $\hat{3}$ nu este inversabil; la cerința 9, subpunctul c), inegalitatea afirmată fără monotonia pe cele două intervale.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$; conjugatul lui $a+bi$ este $a-bi$. Funcția de gradul al doilea: pentru $a<0$, valoarea maximă a lui $a{x}^2+bx+c$ este $-\frac{\Delta }{4a}$. Ecuații iraționale: din $\sqrt{E}=F$ rezultă $E=F^2$, cu $F\ge 0$ — soluțiile se verifică. Probabilități: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$. Triunghi dreptunghic: aria este semiprodusul catetelor. Trigonometrie: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.
• Determinanți: scăzând o coloană din celelalte, valoarea determinantului nu se schimbă; un factor comun al unei coloane iese în fața determinantului.
• ${\mathbb{Z}}_6$: $\hat{a}\cdot \hat{b}=\widehat{ab}$ (restul împărțirii lui $ab$ la $6$); un element $\hat{a}$ este inversabil exact când $a$ și $6$ sunt prime între ele — $\hat{3}$ nu este inversabil.
• Derivate: $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)$; ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$.
• Integrale: Leibniz–Newton; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; toate primitivele unei funcții pe un interval diferă printr-o constantă.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția de gradul al doilea de la cerința $2$, funcția $f:{\mathbb{Z}}_6\to {\mathbb{Z}}_6$, $f(x)=x^3-x$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=\frac{1}{x}+\ln x$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=\frac{x^2}{x+1}$ de la cerința $10$. Litera $D$ este determinantul de la cerința $7$; la cerința $5$, punctele se numesc $A$, $B$, $C$.
• La cerința $8$, $x$ este un element al lui ${\mathbb{Z}}_6$, iar puterile $x^3$ și $x^{10}$ se calculează cu înmulțirea din ${\mathbb{Z}}_6$; căciula ($\hat{3}$) arată clasa de resturi, nu un număr întreg. Mulțimea $H$ se scrie cu bara verticală „$\mid$" citită „unde".
• La cerința $10$, $e$ este baza logaritmului natural; la cerința $1$, $i$ este unitatea imaginară.
• Litera $a$ din $-\frac{\Delta }{4a}$ (cerința $2$) este coeficientul lui $x^2$, adică $-1$; la cerința $7$, $a$ și $b$ sunt argumentele determinantului $D(a,b)$. La cerința $10$, $\mathcal{C}$ și $c$ sunt constante de integrare, fără legătură cu punctul $C$ de la cerința $5$, iar $F$ este primitiva lui $f$ fixată prin condiția $F(0)=1$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".