Bac M2 2014, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2014 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră numărul complex $z=2+3i$. Calculați $z^2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele punctului de intersecție cu axa $Ox$ a graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+9$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_9\left(x^2+5\right)=1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu $13$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2,0)$, $B(2,0)$ și $C(0,3)$. Calculați aria triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră $E(x)=\cos x+\sin \frac{x}{2}$, unde $x$ este număr real. Calculați $E\left(\frac{\pi }{2}\right)$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}2a+1& 1\\ 1-a& 2\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Calculați $\det (A(1))$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ știind că $\det (A(a))=1$.

c) (5 puncte) Determinați inversa matricei $A(0)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=2xy-3x-3y+6$.

a) (5 puncte) Calculați $1\circ 2$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\circ y=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}$ pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x\circ x=2$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-\infty ,2)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^{-x}}{x-2}$.

a) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$.

b) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(1-x)e^{-x}}{(x-2{)}^2}$, $x\in (-\infty ,2)$.

c) (5 puncte) Arătați că $f(x)\le -\frac{1}{e}$ pentru orice $x\in (-\infty ,2)$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln x}{x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2(x+1)f(x)dx=2\ln 2-1$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e(f(x)+(x+1)f^{\prime }(x))dx=1$.

c) (5 puncte) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[2,3]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{\ln x}{f(x)}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2014; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. La cerința 4 baremul are trei rânduri punctate ($2+1+2$); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Se ridică binomul la pătrat: $$z^2=2^2+2\cdot 2\cdot 3i+(3i{)}^2=\text{(3 p)}$$ Cum $(3i{)}^2=9i^2=-9$, $$=4+12i-9=-5+12i\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $(3i{)}^2=9$, uitând că $i^2=-1$, și iese $13+12i$; sau se ridică la pătrat fiecare termen, $4+9i^2=-5$, pierzând termenul dublu $12i$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea.

Punctele de pe axa $Ox$ au ordonata $0$, deci se rezolvă $f(x)=0$; trinomul este un pătrat perfect: $$f(x)=0⟹(x-3{)}^2=0\text{(3 p)}.$$ Singura soluție este $x=3$, deci punctul de intersecție are $\mathbf{x}=3$ și $\mathbf{y}=0$, adică este $(3,0)$ (2 p).

(Graficul este tangent axei $Ox$ în vârful parabolei, pentru că $\Delta =36-36=0$. Unde se greșește de obicei: se inversează coordonatele și se scrie $(0,3)$, sau se calculează $f(0)=9$ — acela este punctul de intersecție cu $Oy$, $(0,9)$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Din definiția logaritmului, ${\log }_{9}u=1$ înseamnă $u=9^1$: $$x^2+5=9⟹x^2-4=0\text{(3 p)}.$$ $${\mathbf{x}}_1=-2\text{ și }{\mathbf{x}}_2=2,\text{ care verifica˘ ecuația}\text{(2 p)}.$$

(Condiția de existență, $x^2+5>0$, este îndeplinită pentru orice $x$ real, deci ambele soluții se păstrează: ${\log }_{9}9=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x^2+5=1$ sau $x^2+5=9^0$, confundând logaritmul egal cu $1$ cu argumentul egal cu $1$; sau se păstrează doar soluția pozitivă.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Numerele de două cifre divizibile cu $13$ sunt $13$, $26$, $39$, $52$, $65$, $78$, $91$: sunt $7$ numere, deci $7$ cazuri favorabile (2 p).

Sunt $90$ de numere de două cifre ($10,11,\dots ,99$), deci $90$ de cazuri posibile (1 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{7}{90}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se socotesc $99$ sau $100$ de numere de două cifre — de fapt $99-10+1=90$ —; sau se ia și $104$, care are trei cifre.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică.

Punctele $A$ și $B$ sunt pe axa $Ox$, iar $C$ este pe axa $Oy$, deci $CO\perp AB$: $$AB=4,CO=3\text{ și }CO\text{ este ıˆna˘lțime}\text{(3 p)}.$$ $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{4\cdot 3}{2}=6\text{(2 p)}.$$

(Baremul oficial notează aria cu $\mathcal{A}$; la noi, $\mathcal{S}$. Control cu formula determinantului: $\frac{1}{2}\left|(2-(-2))(3-0)-(0-(-2))(0-0)\right|=\frac{1}{2}\cdot 12=6$. Unde se greșește de obicei: se ia $AB=2$, scăzând abscisele fără semn, sau se uită împărțirea la $2$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Se înlocuiește $x=\frac{\pi }{2}$; atenție, al doilea termen devine $\sin \frac{\pi }{4}$: $$E\left(\frac{\pi }{2}\right)=\cos \frac{\pi }{2}+\sin \frac{\pi }{4}=\text{(3 p)}$$ $$=0+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează $\sin \frac{\pi }{2}=1$ în loc de $\sin \frac{\pi }{4}$, uitând împărțirea la $2$, și iese $1$; sau se ia $\cos \frac{\pi }{2}=1$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=1$, $A(1)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$: $$\det (A(1))=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 2\end{array}\right|=3\cdot 2-1\cdot 0=\text{(3 p)}$$ $$=6\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înlocuiește greșit, $1-a=1$ pentru $a=1$, și iese $3\cdot 2-1=5$.)

b) (5 p) Se calculează determinantul în funcție de $a$: $$\det (A(a))=\left|\begin{array}{cc}2a+1& 1\\ 1-a& 2\end{array}\right|=5a+1\text{(3 p)}.$$ $$5a+1=1⟹\mathbf{a}=0\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $2(2a+1)-1\cdot (1-a)=4a+2-1+a=5a+1$. Control: pentru $a=1$ formula dă $6$, ca la subpunctul a). Unde se greșește de obicei: se adună produsul de pe diagonala secundară în loc să se scadă, $4a+2+1-a=3a+3$, iar ecuația $3a+3=1$ dă $a=-\frac{2}{3}$. Greșeala de semn din $-(1-a)$, scris $-1-a$, dă $3a+1=1$ și, întâmplător, tot $a=0$ — dar determinantul $3a+1$ este greșit: pentru $a=1$ ar da $4$, nu $6$.)

c) (5 p) Pentru $a=0$: $$A(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right);\det (A(0))=1\text{(2 p)}.$$ Determinantul este nenul, deci matricea este inversabilă, iar $$(A(0){)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

(Pentru o matrice $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ cu determinantul $1$, inversa este $\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$. Control: $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2$. Unde se greșește de obicei: se schimbă doar locurile de pe diagonala principală, fără semnele minus de pe cealaltă diagonală.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește în definiție $x=1$, $y=2$: $$1\circ 2=2\cdot 1\cdot 2-3\cdot 1-3\cdot 2+6=\text{(3 p)}$$ $$=1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $4-3-6+6=1$. Control cu forma de la subpunctul b): $2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{1}{2}+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1$.)

b) (5 p) Se dă factor comun $2$ și se completează: $$x\circ y=2\left(xy-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}y+\frac{9}{4}+\frac{3}{4}\right)=\text{(2 p)}$$ $$=2\left(x\left(y-\frac{3}{2}\right)-\frac{3}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)\right)+\frac{3}{2}=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

(De unde vin fracțiile: $\frac{6}{2}=3=\frac{9}{4}+\frac{3}{4}$; primii patru termeni din paranteză se grupează în $\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)$, iar $2\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{2}$ rămâne în afară. Control: pentru $x=y=0$, $0\circ 0=6$, iar $2\cdot \frac{9}{4}+\frac{3}{2}=6$.)

c) (5 p) Cu forma de la subpunctul b), pentru $y=x$: $$2{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}=2⟹{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}\text{(3 p)}.$$ $$x-\frac{3}{2}=\pm \frac{1}{2}⟹{\mathbf{x}}_1=1\text{ și }{\mathbf{x}}_2=2\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $1\circ 1=2-3-3+6=2$ și $2\circ 2=8-6-6+6=2$. Unde se greșește de obicei: din ${\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ se păstrează doar $x-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$, și se pierde soluția $x=1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — limită, derivată, inegalitate.

a) (5 p) Funcția este continuă în $1$ (numitorul, $1-2=-1$, nu se anulează), deci limita se calculează prin înlocuire: $$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{e^{-x}}{x-2}=\frac{e^{-1}}{1-2}=\text{(3 p)}$$ $$=-\frac{1}{\mathbf{e}}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $-\frac{1}{e}\approx -0,3678794$. Unde se greșește de obicei: se scrie $e^{-1}=-e$, sau se pierde semnul numitorului și iese $\frac{1}{e}$.)

b) (5 p) Se derivează câtul: $$f^{\prime }(x)=\frac{{\left(e^{-x}\right)}^{\prime }\cdot (x-2)-e^{-x}\cdot (x-2{)}^{\prime }}{(x-2{)}^2}=\frac{-e^{-x}\cdot (x-2)-e^{-x}}{(x-2{)}^2}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{-e^{-x}\cdot (x-1)}{(x-2{)}^2}=\frac{(1-x)e^{-x}}{(x-2{)}^2},x\in (-\infty ,2)\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: ${\left(e^{-x}\right)}^{\prime }=-e^{-x}$, iar $-e^{-x}(x-2)-e^{-x}=-e^{-x}(x-2+1)=-e^{-x}(x-1)$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(e^{-x}\right)}^{\prime }=e^{-x}$, fără minusul din derivata exponentului.)

c) (5 p) Semnul derivatei este semnul lui $1-x$, pentru că $e^{-x}>0$ și $(x-2{)}^2>0$ pe $(-\infty ,2)$: $$f^{\prime }(1)=0,f^{\prime }(x)>0\text{ pentru orice }x\in (-\infty ,1)\text{ și }{f}^{\prime }(x)<0\text{ pentru orice }x\in (1,2)\text{(3 p)}.$$ Funcția crește pe $(-\infty ,1]$ și scade pe $[1,2)$, deci $f(1)$ este valoarea ei maximă: $$f(x)\le f(1)⟹f(x)\le -\frac{1}{e}\text{ pentru orice }x\in (-\infty ,2)\text{(2 p)}.$$

(Valoarea $f(1)=-\frac{1}{e}$ este chiar limita de la subpunctul a), pentru că $f$ este continuă. Unde se greșește de obicei: se deduce din $f^{\prime }(1)=0$ că $f(1)$ este maxim fără să se studieze semnul lui $f^{\prime }$ de o parte și de alta a lui $1$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și volume.

a) (5 p) Produsul se simplifică, $(x+1)f(x)=\ln x$, iar $\ln x$ se integrează prin părți, cu $x^{\prime }=1$: $${\int }_1^2(x+1)f(x)dx={\int }_1^2\ln xdx=x\ln x{|}_1^2-{\int }_1^{2}1dx=\text{(3 p)}$$ $$=2\ln 2-x{|}_1^2=2\ln 2-1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $x\ln x{|}_1^2=2\ln 2-1\cdot \ln 1=2\ln 2$, iar $x{|}_1^2=1$. Control numeric: $2\ln 2-1\approx 0,3862944$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\int \ln xdx=\frac{1}{x}$ — aceea este derivata lui $\ln x$, nu o primitivă.)

b) (5 p) Integrandul este derivata produsului $(x+1)f(x)$, pentru că $(x+1{)}^{\prime }=1$: $${\int }_1^e(f(x)+(x+1)\cdot f^{\prime }(x))dx={\int }_1^e((x+1)\cdot f(x){)}^{\prime }dx=\text{(3 p)}$$ $$=(x+1)f(x){|}_1^e=\ln e=1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $(x+1)f(x)=\ln x$, deci $\ln x{|}_1^e=\ln e-\ln 1=1$. Alt drum: se calculează separat $f^{\prime }(x)$ și se integrează termen cu termen — drum corect, dar lung. Unde se greșește de obicei: se ia integrandul drept derivata lui $f(x)$ și se scrie $f(x){|}_1^e=\frac{1}{e+1}$, uitând termenul $(x+1)f^{\prime }(x)$.)

c) (5 p) Pe $[2,3]$, $f(x)=\frac{\ln x}{x+1}\ne 0$, iar $g(x)=\frac{\ln x}{f(x)}=x+1$: $$\mathcal{V}=\pi \cdot {\int }_2^3{g}^2(x)dx=\pi \cdot {\int }_2^3(x+1{)}^{2}dx=\text{(2 p)}$$ $$=\pi \cdot \frac{(x+1{)}^3}{3}{|}_2^3=\frac{37\pi }{3}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{4^3-3^3}{3}=\frac{64-27}{3}=\frac{37}{3}$. Control numeric: $\frac{37\pi }{3}\approx 38,74631$. Unde se greșește de obicei: se integrează $g$ în loc de $g^2$, și iese $\frac{7\pi }{2}$; sau se scrie $(x+1{)}^3{|}_2^3=37$ fără împărțirea la $3$. În baremul oficial volumul este notat $V$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{V}$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea specială 2014 a examenului de bacalaureat național — Varianta 9. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul sesiunii speciale din 2014:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: pătratul unui număr complex, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: intersecția graficului cu axa $Ox$, când discriminantul este nul — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: ${\log }_{9}u=1⟺u=9$ — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numerele de două cifre divizibile cu $13$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: aria unui triunghi cu o latură pe axa $Ox$ — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valori ale lui $\cos$ și $\sin$ în unghiuri remarcabile — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinantul unei matrice de ordinul al doilea, o ecuație cu determinant, inversa unei matrice — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul cu legea, scrierea ei ca produs de paranteze, o ecuație $x\circ x=2$ — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: limita într-un punct al domeniului, derivata unui cât, inegalitatea din tabelul de variație — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale și volume: integrarea prin părți a lui $\ln x$, integrala unei derivate, volumul unui corp de rotație — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială din 2014. Subiectul I este format din șase cerințe directe: un pătrat de binom cu $i^2=-1$, un pătrat perfect $(x-3{)}^2$ care dă un singur punct de intersecție cu $Ox$, o ecuație logaritmică cu două soluții, numărarea multiplilor lui $13$ între $10$ și $99$, aria unui triunghi cu baza pe $Ox$ și înălțimea pe $Oy$, și o expresie în care apare $\sin \frac{x}{2}$, deci în $\frac{\pi }{2}$ se ajunge la $\sin \frac{\pi }{4}$. La Subiectul al II-lea, matricea $A(a)$ are determinantul $5a+1$, iar $A(0)$ are determinantul $1$, ceea ce face inversa să aibă elemente întregi. Legea $x\circ y=2xy-3x-3y+6$ se scrie „descompus" ca $2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}$, iar scrierea aceasta transformă ecuația $x\circ x=2$ într-un pătrat egal cu $\frac{1}{4}$. La Subiectul al III-lea, funcția $\frac{e^{-x}}{x-2}$ se studiază pe $(-\infty ,2)$: limita în $1$ se calculează prin înlocuire, derivata e un cât, iar inegalitatea $f(x)\le -\frac{1}{e}$ spune că $f(1)$ este maximul funcției. La integrale, observația-cheie este $(x+1)f(x)=\ln x$: ea simplifică și subpunctul a), și b) (integrandul e o derivată), și c) (funcția rotită este $x+1$).

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $-5+12i$, $(3,0)$, $\pm 2$, $\frac{7}{90}$, $6$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $-\frac{1}{e}$, $2\ln 2-1$ și $\frac{37\pi }{3}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluțiile scrise fără verificarea condiției de existență a logaritmului; la cerința 7, subpunctul c), inversa scrisă fără să se arate că determinantul este nenul; la cerința 9, subpunctul c), inegalitatea afirmată fără tabelul de monotonie din care rezultă că $f(1)$ este valoarea maximă.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $(a+bi{)}^2=a^2-b^2+2abi$. Funcția de gradul al doilea: graficul intersectează $Ox$ în punctele $(x,0)$ cu $f(x)=0$. Logaritmi: ${\log }_{a}u=1⟺u=a$, pentru $u>0$. Probabilitate: $p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$; numerele de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$, adică $90$. Aria triunghiului: $\mathcal{S}=\frac{\text{baza˘}\cdot \text{ıˆna˘lțime}}{2}$. Trigonometrie: $\cos \frac{\pi }{2}=0$, $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; dacă $\det A\ne 0$, $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$. Legi de compoziție: o lege de forma $x\circ y=kxy-kax-kay+k{a}^2+a$ se scrie $k(x-a)(y-a)+a$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, ${\left(e^{-x}\right)}^{\prime }=-e^{-x}$; dacă $f^{\prime }>0$ la stânga lui $c$ și $f^{\prime }<0$ la dreapta, $f(c)$ este valoarea maximă.
• Integrale: ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; ${\int }_a^b{h}^{\prime }(x)dx=h(x){|}_a^b$; volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ în jurul axei $Ox$ este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=x^2-6x+9$ la cerința $2$, $f(x)=\frac{e^{-x}}{x-2}$ la cerința $9$ și $f(x)=\frac{\ln x}{x+1}$ la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $A$ este, la cerința $5$, un punct, $A(-2,0)$, iar la cerința $7$, matricea $A(a)$, cu $a$ parametru real. Baremul oficial notează aria triunghiului cu ${\mathcal{A}}_{ABC}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.
• La cerința $8$, semnul $\circ$ este legea de compoziție definită în enunț, nu compunerea funcțiilor: $1\circ 2$ înseamnă $2\cdot 1\cdot 2-3\cdot 1-3\cdot 2+6$.
• La cerința $10$, subpunctul c), $g^2(x)$ înseamnă $(g(x){)}^2$, pătratul valorii funcției, nu compunerea $g(g(x))$. Baremul oficial notează volumul cu $V$; la noi, $\mathcal{V}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".