Bac M2 2015, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2015 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați al doilea termen al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $a_1=1$ și rația $r=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$, știind că punctul $A(m,0)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2\left(x^2+4\right)={\log }_{2}8$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, acesta să fie divizibil cu $3$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$, știind că vectorii $\vec{u}=(a+1)\vec{i}+4\vec{j}$ și $\vec{v}=\vec{i}+2\vec{j}$ sunt coliniari.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, știind că $\sin x=\frac{1}{2}$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 3\\ a-1& 2\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $A(2014)+A(2016)=2A(2015)$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $\det (A(a))=0$.

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\det (A(2)+xA(3))=0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=-xy-x-y-2$.

a) (5 puncte) Arătați că $(-1)\ast 1=-1$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=-(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $(x+2)\ast (2x-3)=5$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-8x^2+16$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=4x(x-2)(x+2)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)-x^4}{x^2+1}$.

c) (5 puncte) Determinați coordonatele punctelor situate pe graficul funcției $f$, în care tangenta la graficul funcției $f$ este paralelă cu axa $Ox$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+2}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^{2}xf(x)dx=\frac{7}{2}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că funcția $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=x+2\ln x+2015$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=(f(x)-1)\ln x$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=e$ are aria egală cu $1$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2015; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. La cerința 4 baremul are trei rânduri punctate ($1+2+2$); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — progresii.

Fiecare termen se obține din precedentul adunând rația: $$a_2=a_1+r=1+2=\text{(3 p)}$$ $$=3\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu rația, ca la progresia geometrică, și iese $a_2=2$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Punctul $A(m,0)$ este pe grafic exact când ordonata lui este valoarea funcției în abscisa lui: $$f(m)=0⟺m+1=0\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{m}=-1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se inversează coordonatele și se scrie $f(0)=m$, de unde $m=1$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Funcția ${\log }_2$ este injectivă, deci argumentele sunt egale: $$x^2+4=8⟺x^2=4\text{(2 p)}.$$ $${\mathbf{x}}_1=-2\text{ și }{\mathbf{x}}_2=2,\text{ care verifica˘ ecuația}\text{(3 p)}.$$

(Condiția de existență, $x^2+4>0$, este îndeplinită pentru orice $x$ real. Unde se greșește de obicei: se egalează argumentul cu ${\log }_{2}8=3$ și iese $x^2=-1$, fără soluții reale.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea $M$ are $8$ elemente, deci sunt $8$ cazuri posibile (1 p).

În mulțimea $M$ sunt $2$ numere divizibile cu $3$, adică $3$ și $6$, deci sunt $2$ cazuri favorabile (2 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se numără și $9$, care nu este în mulțime, și iese $\frac{3}{8}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — vectori.

Doi vectori sunt coliniari când coordonatele lor sunt proporționale: $$\frac{a+1}{1}=\frac{4}{2}\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{a}=1\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $a=1$, $\vec{u}=2\vec{i}+4\vec{j}=2\vec{v}$. Unde se greșește de obicei: se inversează un raport, $\frac{a+1}{1}=\frac{2}{4}$, și iese $a=-\frac{1}{2}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Din ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ rezultă ${\cos }^{2}x=\frac{3}{4}$, iar pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ cosinusul este pozitiv: $$\text{Cum }x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right),\text{ obținem }\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(2 p)}.$$ $$\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(3 p)}.$$

(Control: $x=\frac{\pi }{6}$, iar $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sin 2x=2\sin x=1$, fără factorul $\cos x$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Se scriu cele trei matrice: $$A(2014)=\left(\begin{array}{cc}2014& 3\\ 2013& 2\end{array}\right),A(2016)=\left(\begin{array}{cc}2016& 3\\ 2015& 2\end{array}\right),A(2015)=\left(\begin{array}{cc}2015& 3\\ 2014& 2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ $$A(2014)+A(2016)=\left(\begin{array}{cc}4030& 6\\ 4028& 4\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}2015& 3\\ 2014& 2\end{array}\right)=2A(2015)\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: elementele constante, $3$ și $2$, nu se mai adună, și suma iese cu $3$ și $2$ în loc de $6$ și $4$.)

b) (5 p) Se calculează determinantul: $$\det (A(a))=\left|\begin{array}{cc}a& 3\\ a-1& 2\end{array}\right|=3-a\text{(3 p)}.$$ $$3-a=0⟺\mathbf{a}=3\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $2a-3(a-1)=2a-3a+3=3-a$. Unde se greșește de obicei: se scrie $3(a-1)=3a-1$ și iese $1-a$, deci $a=1$.)

c) (5 p) Se calculează matricea $A(2)+xA(3)$: $$A(2)+xA(3)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right)+x\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2+3x& 3+3x\\ 1+2x& 2+2x\end{array}\right)⟹\det (A(2)+xA(3))=x+1\text{(3 p)}.$$ $$x+1=0⟺\mathbf{x}=-1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $(2+3x)(2+2x)-(3+3x)(1+2x)=\left(6x^2+10x+4\right)-\left(6x^2+9x+3\right)=x+1$. Control: $A(2)-A(3)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ -1& 0\end{array}\right)$, cu determinantul $0$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\det (A(2)+xA(3))=\det A(2)+x\det A(3)=1+0=1$ — dar determinantul nu se desface pe sume.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=-1$ și $y=1$: $$(-1)\ast 1=-(-1)\cdot 1-(-1)-1-2=\text{(3 p)}$$ $$=1+1-1-2=-1\text{(2 p)}.$$

(Control cu forma de la subpunctul b): $-(-1+1)(1+1)-1=0-1=-1$.)

b) (5 p) Se scrie $-2=-1-1$: $$x\ast y=-xy-x-y-1-1=\text{(2 p)}$$ $$=-x(y+1)-(y+1)-1=-(x+1)(y+1)-1,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $-xy-x=-x(y+1)$, iar $-y-1=-(y+1)$; factorul comun $(y+1)$ dă $-(x+1)(y+1)$. Control: $-(x+1)(y+1)-1=-xy-x-y-1-1$.)

c) (5 p) Cu forma de la subpunctul b), $x+2+1=x+3$ și $2x-3+1=2x-2$: $$(x+2)\ast (2x-3)=-(x+3)(2x-2)-1\text{(2 p)}.$$ Ecuația devine $-(x+3)(2x-2)-1=5$, adică $(x+3)(2x-2)=-6$: $$x^2+2x=0⟺{\mathbf{x}}_1=-2\text{ și }{\mathbf{x}}_2=0\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $(x+3)(2x-2)=2x^2+4x-6$, iar $2x^2+4x-6=-6$ dă $2x^2+4x=0$, adică $x^2+2x=0$. Control: pentru $x=0$, $2\ast (-3)=6-2+3-2=5$, iar pentru $x=-2$, $0\ast (-7)=0-0+7-2=5$. Unde se greșește de obicei: se uită termenul $-1$ din forma de la subpunctul b) și iese $(x+3)(2x-2)=-5$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, tangente orizontale.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: $$f^{\prime }(x)=4x^3-16x=\text{(3 p)}$$ $$=4x\left(x^2-4\right)=4x(x-2)(x+2),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se derivează și constanta $16$ ca $16x$.)

b) (5 p) Termenii în $x^4$ se reduc: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)-x^4}{x^2+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-8x^2+16}{x^2+1}=\text{(2 p)}$$ $$=-8\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: numărătorul și numitorul au gradul $2$, deci limita este raportul coeficienților dominanți, $\frac{-8}{1}$. Unde se greșește de obicei: se păstrează $x^4$ în numărător și se conchide că limita este $+\infty$.)

c) (5 p) Tangenta este paralelă cu $Ox$ exact când panta ei, $f^{\prime }(x)$, este $0$: $$f^{\prime }(x)=0⟺x(x-2)(x+2)=0\text{(2 p)}.$$ $$\text{Coordonatele punctelor sunt }{x}_1=-2,y_1=0;x_2=0,y_2=16\text{ și }{x}_3=2,y_3=0\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $f(x)={\left(x^2-4\right)}^2$, deci $f(\pm 2)=0$ și $f(0)=16$. Punctele sunt $(-2,0)$, $(0,16)$ și $(2,0)$. Unde se greșește de obicei: se dau doar abscisele, fără ordonate, sau se pierde soluția $x=0$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale, primitive, arie.

a) (5 p) Produsul $xf(x)$ este $x+2$: $${\int }_1^{2}xf(x)dx={\int }_1^2(x+2)dx=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right){|}_1^2=\text{(3 p)}$$ $$=6-\frac{5}{2}=\frac{7}{2}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: la $x=2$, $2+4=6$; la $x=1$, $\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$. Unde se greșește de obicei: se integrează $f$ în loc de $xf(x)$.)

b) (5 p) Se derivează $F$: $$F^{\prime }(x)=(x+2\ln x+2015{)}^{\prime }=1+\frac{2}{x}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{x+2}{x}=f(x),\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty ),\text{ deci }F\text{ este o primitiva˘ a funcției }f\text{(2 p)}.$$

(Constanta $2015$ are derivata $0$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(2\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{2x}$, și iese $1+\frac{1}{2x}$, care nu este $f(x)$.)

c) (5 p) Cum $f(x)-1=\frac{2}{x}$, $g(x)=\frac{2}{x}\ln x$, iar pe $[1,e]$, $\ln x\ge 0$, deci $|g(x)|=g(x)$: $$\mathcal{S}={\int }_1^e|g(x)|dx={\int }_1^e\frac{2}{x}\ln xdx={\ln }^{2}x{|}_1^e=\text{(3 p)}$$ $$={\ln }^{2}e-{\ln }^{2}1=1\text{(2 p)}.$$

(Baremul oficial notează aria cu $\mathcal{A}$; la noi, $\mathcal{S}$. Detaliul: ${\left({\ln }^{2}x\right)}^{\prime }=2\ln x\cdot \frac{1}{x}$, deci ${\ln }^{2}x$ este o primitivă a lui $\frac{2}{x}\ln x$. Baremul trece peste semnul lui $g$; îl scriem noi, fără punctaj. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(x)-1=\frac{x+1}{x}$, uitând să se scadă $1$ din tot numărătorul.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea august-septembrie 2015 a examenului de bacalaureat național — Varianta 1, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul sesiunii august-septembrie din 2015:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii: al doilea termen al unei progresii aritmetice — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: un punct de pe grafic, cu ordonata $0$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: egalitatea argumentelor, apoi o ecuație de gradul al doilea — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numerele divizibile cu $3$ dintr-o mulțime cu opt elemente — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: condiția de coliniaritate a doi vectori scriși cu $\vec{i}$ și $\vec{j}$ — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formula lui $\sin 2x$, cu $\cos x$ aflat din $\sin x$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: suma a două matrice, determinantul cu parametru, determinantul unei combinații de matrice — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul cu legea, scrierea ei ca produs de paranteze, o ecuație — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, o limită la $+\infty$, punctele în care tangenta este paralelă cu $Ox$ — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite și primitive: o integrală după simplificare, verificarea unei primitive, aria unei suprafețe plane — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie din 2015. Subiectul I este format din șase cerințe directe: un termen de progresie, un punct de pe grafic, o ecuație logaritmică cu aceeași bază, o probabilitate pe o mulțime mică, doi vectori coliniari (coordonatele proporționale) și $\sin 2x$ pentru un unghi cu $\sin x=\frac{1}{2}$. La Subiectul al II-lea, matricele $A(a)$ au pe prima coloană $a$ și $a-1$, așa că $A(2014)+A(2016)$ este de două ori „matricea din mijloc", iar la subpunctul c) determinantul lui $A(2)+xA(3)$ iese de gradul întâi, $x+1$. Legea $x\ast y=-xy-x-y-2$ se scrie $-(x+1)(y+1)-1$, iar cu această formă ecuația de la subpunctul c) devine $x^2+2x=0$. La Subiectul al III-lea, funcția $x^4-8x^2+16={\left(x^2-4\right)}^2$ are tangenta orizontală în trei puncte, iar la integrale funcția $\frac{x+2}{x}$ se simplifică la subpunctul a); subpunctul c) cere o integrală de tipul $u\cdot u^{\prime }$ cu $u=\ln x$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $3$, $m=-1$, $\{-2,2\}$, $\frac{1}{4}$, $a=1$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $a=3$, $x=-1$, $-1$, $\{-2,0\}$, $-8$, trei puncte, $\frac{7}{2}$ și aria $1$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la $10$ punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 6, $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ scris fără să se folosească faptul că $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ (altfel semnul lui $\cos x$ nu e sigur); la cerința 9, subpunctul c), doar abscisele scrise, fără ordonatele punctelor; la cerința 10, subpunctul c), aria calculată fără să se justifice că $g\ge 0$ pe $[1,e]$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresie aritmetică: $a_n=a_1+(n-1)r$. Ecuații logaritmice: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, cu $u,v>0$. Vectori coliniari: $\vec{u}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}$ și $\vec{v}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}$ sunt coliniari când $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$ (dacă $x_2,y_2\ne 0$). Trigonometrie: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; matricele se adună și se înmulțesc cu un număr element cu element. Legi de compoziție: o lege de forma $x\ast y=-(x+1)(y+1)-1$ se calculează ușor pe „paranteze deplasate".
• Derivate: tangenta este paralelă cu $Ox$ exact în punctele în care $f^{\prime }(x)=0$; la $\pm \infty$, raportul a două polinoame de același grad tinde la raportul coeficienților dominanți.
• Integrale: $F$ este o primitivă a lui $f$ când $F^{\prime }(x)=f(x)$; $\int \frac{2}{x}\ln xdx={\ln }^{2}x+\mathcal{C}$; aria suprafeței dintre graficul lui $g$, axa $Ox$ și dreptele $x=1$, $x=e$ este $\mathcal{S}={\int }_1^e|g(x)|dx$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $A$ este, la cerința $2$, punctul $A(m,0)$, iar la cerința $7$, matricea $A(a)$. Litera $M$ este, la cerința $4$, mulțimea $\{1,2,\dots ,8\}$. Litera $a$ este necunoscuta de la cerința $5$ și parametrul matricei de la cerința $7$ — alt număr de fiecare dată.
• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=x+1$ la cerința $2$, $f(x)=x^4-8x^2+16$ la cerința $9$ și $f(x)=\frac{x+2}{x}$ la cerința $10$.
• La cerința $8$, semnul $\ast$ este legea de compoziție definită în enunț, nu înmulțirea numerelor; la cerința $7$, subpunctul c), $xA(3)$ este produsul dintre numărul $x$ și matricea $A(3)$.
• La cerința $10$, subpunctul c), ${\ln }^{2}x$ înseamnă $(\ln x{)}^2$. Baremul oficial notează aria cu $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".