Bac M2 2015, sesiunea august-septembrie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2015 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_1=3+i$ și $z_2=3-i$. Arătați că numărul $z_1{z}_2$ este real.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A(1,1)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+a$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt[3]{x^3+2x-4}=x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,80\}$, acesta să fie divizibil cu $7$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $O(0,0)$, $A(1,2)$ și $B(2,a)$. Determinați numărul real $a$, știind că punctele $O$, $A$ și $B$ sunt coliniare.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră $E(x)=\cos \frac{x}{2}+\sin x$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}2& x\\ x& 2\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=4$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că $A(1)+A(3)=aA(2)$.

c) (5 puncte) Arătați că $A(x)A(y)=2A(x+y)+xy{I}_2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=3xy+6x+6y+10$.

a) (5 puncte) Arătați că $2\ast (-2)=-2$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=3(x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x\ast x\ast x=x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x+1)e^x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=(x+2)e^x$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este convexă pe intervalul $[-3,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^3+3x}{x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^1\left(x^2+1\right)f(x)dx=0$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{1}{2}+\ln 2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$, $m>0$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)-x$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=m$, are aria egală cu $\ln 2$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă din sesiunea august-septembrie 2015; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. La cerința 4 baremul are trei rânduri punctate ($1+2+2$); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Se înmulțesc parantezele; este produsul dintre o sumă și o diferență: $$z_1{z}_2=(3+i)(3-i)=9-i^2=\text{(3 p)}$$ $$=10,\text{ care este numa˘r real}\text{(2 p)}.$$

(Numerele $3+i$ și $3-i$ sunt conjugate, iar produsul a două numere conjugate este $a^2+b^2$: $9+1=10$. Unde se greșește de obicei: se greșește semnul unuia dintre termenii din mijloc, $9-3i-3i-i^2=10-6i$, și produsul pare să nu fie real; termenii în $i$ se reduc: $-3i+3i=0$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi, punct pe grafic.

Punctul $A(1,1)$ aparține graficului exact când valoarea funcției în abscisa lui este egală cu ordonata lui: $$f(1)=1⟺1+a=1\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{a}=0\text{(2 p)}.$$

(Verificare: pentru $a=0$ funcția este $f(x)=x$, iar $f(1)=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(a)=1$, înlocuind parametrul în locul abscisei.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională cu radical de ordinul al treilea.

Se ridică la cub ambii membri; ridicarea la puterea a treia este o transformare echivalentă pe $\mathbb{R}$, iar $x^3$ se reduce: $$x^3+2x-4=x^3⟺2x-4=0\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $\sqrt[3]{8+4-4}=\sqrt[3]{8}=2$. Radicalul de ordin impar este definit pentru orice număr real, deci nu există condiții de existență și nici soluții străine. Unde se greșește de obicei: la reducere se trece $-4$ în membrul drept fără schimbarea semnului, $2x=-4$, și iese $x=-2$ — verificarea o respinge: $\sqrt[3]{-8-4-4}=\sqrt[3]{-16}\ne -2$. Condiția $x\ge 0$, pusă din obișnuința radicalului de ordinul al doilea, nu are loc aici: radicalul de ordin impar poate fi și negativ.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea $A$ are $80$ de elemente, deci sunt $80$ de cazuri posibile (1 p).

În mulțimea $A$ numerele divizibile cu $7$ sunt $7,14,21,\dots ,77$, adică $7\cdot 1,7\cdot 2,\dots ,7\cdot 11$: sunt $11$ numere, deci $11$ cazuri favorabile (2 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{11}{80}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $7\cdot 11=77\le 80$, iar $7\cdot 12=84>80$, deci ultimul multiplu din $A$ este $77$. Unde se greșește de obicei: se numără și $84$, și iese $\frac{12}{80}=\frac{3}{20}$; sau se numără doar până la $70$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, coliniaritate.

Se calculează pantele dreptelor $OA$ și $OB$: $$m_{OA}=\frac{2-0}{1-0}=2\text{ și }{m}_{OB}=\frac{a-0}{2-0}=\frac{a}{2}\text{(2 p)}.$$ Punctele $O$, $A$, $B$ sunt coliniare exact când dreptele $OA$ și $OB$ au aceeași pantă: $$m_{OA}=m_{OB}⟺\frac{a}{2}=2⟺\mathbf{a}=4\text{(3 p)}.$$

(Control: pentru $a=4$ punctul $B(2,4)$ este pe dreapta $y=2x$, ca și $A(1,2)$ și $O$. Același rezultat se obține cu determinantul coordonatelor egal cu zero. Unde se greșește de obicei: se inversează în pantă diferența absciselor cu a ordonatelor, $m_{OB}=\frac{2}{a}$, și iese $a=1$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, unghiuri remarcabile.

Pentru $x=\frac{\pi }{3}$ avem $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}$: $$E\left(\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{3}=\text{(2 p)}$$ $$=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită împărțirea la $2$ din $\cos \frac{x}{2}$ și se calculează $\cos \frac{\pi }{3}+\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$; sau se confundă $\cos \frac{\pi }{6}$ cu $\frac{1}{2}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=0$: $$A(0)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)⟹\det (A(0))=\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right|=2\cdot 2-0\cdot 0=\text{(3 p)}$$ $$=4-0=4\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se pune parametrul pe diagonală, $A(0)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 2& 0\end{array}\right)$, și iese $0\cdot 0-2\cdot 2=-4$. Pe diagonala lui $A(x)$ stă mereu $2$, iar $x$ stă în afara ei.)

b) (5 p) Se înlocuiește parametrul: $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right),A(3)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 2\end{array}\right),A(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ $$\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 4& 4\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)⟺\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.$$

(Egalitatea se citește element cu element: $4=2a$ pe fiecare poziție. Matricea $A(2)$ are determinantul $0$, deci nu este inversabilă — dar aici nu e nevoie de inversă. Unde se greșește de obicei: se adună doar parametrii, $1+3=4$, și se scrie $A(4)=aA(2)$, ca și cum $A(1)+A(3)=A(4)$; elementele de pe diagonală, $2+2=4$, arată că nu este așa.)

c) (5 p) Se calculează produsul: $$A(x)A(y)=\left(\begin{array}{cc}4+xy& 2x+2y\\ 2x+2y& 4+xy\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ $$2A(x+y)+xy{I}_2=2\left(\begin{array}{cc}2& x+y\\ x+y& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}xy& 0\\ 0& xy\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4+xy& 2(x+y)\\ 2(x+y)& 4+xy\end{array}\right)=A(x)A(y),$$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ (3 p).

(Detaliul produsului: pe poziția $(1,1)$, $2\cdot 2+x\cdot y$; pe poziția $(1,2)$, $2\cdot y+x\cdot 2$. Control: pentru $x=1$, $y=3$, $A(1)A(3)=\left(\begin{array}{cc}7& 8\\ 8& 7\end{array}\right)$, iar $2A(4)+3I_2=\left(\begin{array}{cc}7& 8\\ 8& 7\end{array}\right)$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele element cu element, $\left(\begin{array}{cc}4& xy\\ xy& 4\end{array}\right)$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=2$ și $y=-2$ în definiția legii: $$2\ast (-2)=3\cdot 2\cdot (-2)+6\cdot 2+6\cdot (-2)+10=\text{(3 p)}$$ $$=-12+12-12+10=-2\text{(2 p)}.$$

(Control, cu forma de la subpunctul b): $3\cdot 4\cdot 0-2=-2$. Unde se greșește de obicei: se pierde semnul lui $-2$ în $6\cdot (-2)$ și iese $22$.)

b) (5 p) Se adaugă și se scade $2$, ca să apară termenul liber potrivit: $$x\ast y=3xy+6x+6y+12-2=\text{(2 p)}$$ $$=3x(y+2)+6(y+2)-2=3(x+2)(y+2)-2,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

(Control prin desfacerea parantezelor: $3(xy+2x+2y+4)-2=3xy+6x+6y+10$. Unde se greșește de obicei: se scrie $3(x+2)(y+2)+10$, uitând că desfacerea produce deja termenul $12$.)

c) (5 p) Legea este asociativă, deci $x\ast x\ast x=(x\ast x)\ast x$. Cu forma de la subpunctul b), $x\ast x=3(x+2{)}^2-2$, deci $x\ast x+2=3(x+2{)}^2$ și $$x\ast x\ast x=3\cdot 3(x+2{)}^2\cdot (x+2)-2=9(x+2{)}^3-2\text{(2 p)}.$$ Ecuația devine $9(x+2{)}^3-2=x$, adică $9(x+2{)}^3-(x+2)=0$, sau $(x+2)\left(9(x+2{)}^2-1\right)=0$: $$9(x+2{)}^3-2=x⟺{\mathbf{x}}_1=-\frac{7}{3},{\mathbf{x}}_2=-2,{\mathbf{x}}_3=-\frac{5}{3}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $x+2=0$ sau $(x+2{)}^2=\frac{1}{9}$, adică $x+2\in \left\{-\frac{1}{3},0,\frac{1}{3}\right\}$. Control pentru $x=-\frac{5}{3}$: $9\cdot \frac{1}{27}-2=-\frac{5}{3}$. Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația prin $x+2$ și se pierde soluția $x=-2$; sau se scrie $x\ast x\ast x=3(x+2{)}^3-2$, cu un singur factor $3$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, convexitate.

a) (5 p) Se derivează produsul: $$f^{\prime }(x)=(x+1{)}^{\prime }\cdot e^x+(x+1)\cdot {\left(e^x\right)}^{\prime }=\text{(2 p)}$$ $$=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x,x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Control numeric: $f^{\prime }(0)=2$, iar raportul $\frac{f(0,001)-f(-0,001)}{0,002}$ dă tot aproximativ $2$. Unde se greșește de obicei: se derivează doar paranteza și iese $e^x$, uitând termenul $(x+1)e^x$.)

b) (5 p) Se calculează valoarea și derivata în $0$: $$f(0)=1,f^{\prime }(0)=2\text{(2 p)}.$$ $$\text{Ecuația tangentei este }y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)⟹\mathbf{y}=2x+1\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $f(0)=(0+1)e^0=1$ și $f^{\prime }(0)=(0+2)e^0=2$. Unde se greșește de obicei: se ia $e^0=0$, și iese $f(0)=0$.)

c) (5 p) Se derivează încă o dată: $$f^{\prime \prime }(x)=e^x+(x+2)e^x=(x+3)e^x,x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime \prime }(x)\ge 0,\text{ pentru orice }x\in [-3,+\infty ),\text{ deci }f\text{ este convexa˘ pe intervalul }[-3,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $e^x>0$ pentru orice $x$, iar $x+3\ge 0$ exact când $x\ge -3$; derivata a doua se anulează doar în $x=-3$. Unde se greșește de obicei: se studiază semnul lui $f^{\prime }$ — acesta dă monotonia, nu convexitatea; de altfel $f^{\prime }(x)<0$ pe $(-3,-2)$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și aria unei suprafețe plane.

a) (5 p) Factorul $x^2+1$ se simplifică: $${\int }_{-1}^1\left(x^2+1\right)\cdot \frac{x^3+3x}{x^2+1}dx={\int }_{-1}^1\left(x^3+3x\right)dx=\left(\frac{x^4}{4}+3\cdot \frac{x^2}{2}\right){|}_{-1}^1=\text{(3 p)}$$ $$=\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\right)=0\text{(2 p)}.$$

(Același rezultat se vede fără calcul: $x^3+3x$ este o funcție impară, iar intervalul $[-1,1]$ este simetric față de $0$. Unde se greșește de obicei: la valoarea primitivei în $-1$ se socotește $(-1{)}^4=-1$, deci în $-1$ se obține $-\frac{1}{4}+\frac{3}{2}=\frac{5}{4}$, și iese $\frac{7}{4}-\frac{5}{4}=\frac{1}{2}\ne 0$. Primitiva scrisă $\frac{x^4}{4}+3x^2$, fără împărțirea la $2$, este și ea greșită, deși pe acest interval simetric valoarea tot $0$ ar ieși.)

b) (5 p) Se împarte $x^3+3x$ la $x^2+1$: $x^3+3x=x\left(x^2+1\right)+2x$, deci $${\int }_0^1\frac{x^3+3x}{x^2+1}dx={\int }_0^1\left(x+\frac{2x}{x^2+1}\right)dx=\text{(2 p)}$$ $$=\left(\frac{x^2}{2}+\ln \left(x^2+1\right)\right){|}_0^1=\frac{1}{2}+\ln 2\text{(3 p)}.$$

(Fracția $\frac{2x}{x^2+1}$ are forma $\frac{u^{\prime }}{u}$, cu $u=x^2+1>0$. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,1]$ dă $1,193147$, iar $\frac{1}{2}+\ln 2\approx 1,193147$. Unde se greșește de obicei: se împarte greșit și rămâne $x+\frac{3x}{x^2+1}$, sau se scrie primitiva lui $\frac{2x}{x^2+1}$ ca $2\ln \left(x^2+1\right)$.)

c) (5 p) Din subpunctul b), $g(x)=f(x)-x=\frac{2x}{x^2+1}$, iar pe $[0,m]$, cu $m>0$, avem $g(x)\ge 0$: $$\mathcal{S}={\int }_0^m|g(x)|dx={\int }_0^m\frac{2x}{x^2+1}dx=\ln \left(x^2+1\right){|}_0^m=\ln \left(m^2+1\right)\text{(3 p)}.$$ $$\ln \left(m^2+1\right)=\ln 2⟺m^2+1=2\text{ și, cum }m>0,\text{ obținem }\mathbf{m}=1\text{(2 p)}.$$

(Baremul scrie direct $|g(x)|=g(x)$; justificarea este semnul: pe $[0,m]$ numărătorul $2x$ și numitorul $x^2+1$ sunt nenegativ, respectiv pozitiv. Ecuația $m^2=1$ are și soluția $m=-1$, respinsă de condiția $m>0$. Control numeric: integrala lui $g$ pe $[0,1]$ dă $0,693147\approx \ln 2$. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în varianta de rezervă a sesiunii august-septembrie 2015 a examenului de bacalaureat național — Varianta 3, cea publicată de autoritatea examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în varianta de rezervă din august-septembrie 2015:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: produsul a două numere complexe conjugate — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: condiția ca un punct să aparțină graficului — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională cu radical de ordinul al treilea: ridicarea la cub — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numerele de la $1$ la $80$ divizibile cu $7$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: trei puncte coliniare, prin pante egale — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valori ale lui $\sin$ și $\cos$ în unghiuri remarcabile — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinantul, suma de matrice, produsul a două matrice cu parametru — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul cu legea, scrierea ei ca produs de paranteze, o ecuație cu legea aplicată de două ori — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui produs, ecuația tangentei, convexitatea prin derivata a doua — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: o integrală polinomială, o integrală după împărțirea polinoamelor, aria unei suprafețe plane cu parametru — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă a sesiunii august-septembrie 2015. Subiectul I este format din șase cerințe directe: un produs de numere complexe conjugate, un punct pe graficul unei funcții de gradul întâi, o ecuație cu radical de ordinul al treilea în care, după ridicarea la cub, $x^3$ se reduce și rămâne o ecuație de gradul întâi, o probabilitate pe primele $80$ de numere naturale nenule, coliniaritatea a trei puncte și o expresie trigonometrică în care $\frac{x}{2}$ și $x$ devin, pentru $x=\frac{\pi }{3}$, unghiurile remarcabile $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{\pi }{3}$. La Subiectul al II-lea, matricea $A(x)$ este simetrică și $A(2)$ nu este inversabilă, dar subpunctul b) nu are nevoie de inversă: egalitatea se citește element cu element. Legea $x\ast y=3xy+6x+6y+10$ se scrie $3(x+2)(y+2)-2$, iar de aici $x\ast x\ast x=9(x+2{)}^3-2$ — ecuația de la subpunctul c) are trei soluții, dintre care una, $x=-2$, se pierde dacă se împarte prin $x+2$. La Subiectul al III-lea, funcția $(x+1)e^x$ se derivează ca produs, iar convexitatea vine din semnul lui $f^{\prime \prime }(x)=(x+3)e^x$. La integrale, factorul $x^2+1$ se simplifică la subpunctul a), iar la subpunctul b) se împarte $x^3+3x$ la $x^2+1$ și rămâne o fracție de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$; aceeași fracție dă aria de la subpunctul c).

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri". Tot așa, împărțirea polinoamelor de la problema a doua a Subiectului al III-lea, subpunctul b), $\frac{x^3+3x}{x^2+1}=x+\frac{2x}{x^2+1}$ (câtul $x$, restul $2x$), stă în unitatea „Supliment Bac M2 2027–2029: integrale de funcții raționale".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $10$, $a=0$, $x=2$, $\frac{11}{80}$, $a=4$, $\sqrt{3}$, $a=2$, $\left\{-\frac{7}{3},-2,-\frac{5}{3}\right\}$, $y=2x+1$, $0$, $\frac{1}{2}+\ln 2$ și $m=1$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la $10$ punctajul total obținut pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 4, numărul cazurilor favorabile dat fără să se arate care sunt multiplii lui $7$; la cerința 8, subpunctul c), ecuația împărțită prin $x+2$, cu pierderea soluției $x=-2$; la cerința 10, subpunctul c), soluția $m=-1$ păstrată, deși enunțul cere $m>0$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$. Ecuații cu radical de ordinul al treilea: $\sqrt[3]{u}=v⟺u=v^3$, fără condiții de existență. Probabilitate: $p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$. Coliniaritate: $O$, $A$, $B$ sunt coliniare când $m_{OA}=m_{OB}$, unde $m_{OA}=\frac{y_A-y_O}{x_A-x_O}$. Unghiuri remarcabile: $\cos \frac{\pi }{6}=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; două matrice sunt egale când au elementele corespunzătoare egale. Legi de compoziție: dacă $x\ast y=k(x+c)(y+c)-c$, atunci $x\ast x\ast x=k^2(x+c{)}^3-c$.
• Derivate: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$; tangenta în punctul de abscisă $a$: $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$; dacă $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pe un interval, $f$ este convexă pe el.
• Integrale: $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; aria suprafeței dintre graficul lui $g$, axa $Ox$ și dreptele $x=0$, $x=m$ este $\mathcal{S}={\int }_0^m|g(x)|dx$.

Cinci dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=x+a$ la cerința $2$, $f(x)=(x+1)e^x$ la cerința $9$ și $f(x)=\frac{x^3+3x}{x^2+1}$ la cerința $10$. Funcția $g$ apare doar la cerința $10$, subpunctul c).
• Litera $a$ este, la cerințele $2$ și $5$, câte un număr real necunoscut, de fiecare dată altul, iar la cerința $7$, subpunctul b), numărul real cu care se înmulțește matricea $A(2)$. Litera $A$ este un punct la cerințele $2$ și $5$, o mulțime la cerința $4$ și o matrice la cerința $7$.
• La cerința $7$, $x$ este parametrul matricei $A(x)$; la cerința $8$, semnul $\ast$ este legea de compoziție definită în enunț, nu înmulțirea obișnuită. Pentru că legea este asociativă, $x\ast x\ast x$ are un singur sens, oricum s-ar grupa termenii. Litera $e$ este, peste tot în probă, baza logaritmului natural.
• Litera $m$ apare în $m_{OA}$ și $m_{OB}$ la cerința $5$, unde notează panta unei drepte, iar la cerința $10$, subpunctul c), este numărul real $m>0$ căutat.
• Baremul oficial notează aria de la cerința $10$ cu $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".