Bac M2 2015, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2015 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră numărul complex $z=1+i$. Arătați că $z^2-2i=0$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați $(g\circ f)(3)$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x+2015$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{x^2-5x}=5^{3-3x}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați numărul submulțimilor cu patru elemente ale mulțimii $\{1,2,3,4,5\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(0,4)$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $A$ și este paralelă cu dreapta de ecuație $y=2x+7$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Determinați aria triunghiului $MNP$, știind că $MN=12$, $MP=3$ și $m(\sphericalangle M)=30^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}1& -a\\ -a& 1\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=1$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$, pentru care $\det (A(a))=0$.

c) (5 puncte) Arătați că $A(a)A(b)=A(a+b)+ab{I}_2$, pentru orice numere reale $a$ și $b$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-mX+2$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(0)=2$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$, știind că restul împărțirii lui $f$ la polinomul $g=X^2+X-2$ este egal cu $0$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $x_1^3+x_2^3+x_3^3=-6$, pentru orice număr real $m$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x-x-1$.

a) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=0$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este descrescătoare pe intervalul $(-\infty ,0]$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $e^x\ge x+1$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x+5$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1(f(x)+2x-5)dx=\frac{1}{3}$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^2\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx$.

c) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{2014}^{2015}\frac{1}{f(x)}dx\le \frac{1}{4}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2015; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Pătratul binomului, cu $i^2=-1$: $$(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i\text{(3 p)}.$$ $$z^2-2i=2i-2i=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $(1+i{)}^2=1+i^2=0$, uitând dublul produs $2i$.)

Exercițiul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Întâi funcția din interior, $f$: $$f(3)=3-3=0\text{(2 p)}.$$ $$(g\circ f)(3)=g(f(3))=g(0)=2015\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se confundă compunerea cu produsul, $g(3)\cdot f(3)=2018\cdot 0=0$; sau se aplică doar $g$, $g(3)=2018$. Ordinea inversă, $f(g(3))=f(2018)=2015$, dă aici aceeași valoare, pentru că $f$ și $g$ sunt translații, iar translațiile comută — dar raționamentul este greșit și la alte funcții nu mai merge: în $g\circ f$ se aplică întâi $f$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Puterile au aceeași bază, $5$, iar funcția exponențială este injectivă, deci exponenții sunt egali: $$x^2-5x=3-3x\iff x^2-2x-3=0\text{(3 p)}.$$ Rădăcinile ecuației de gradul al doilea sunt ${\mathbf{x}}_1=-1$ și ${\mathbf{x}}_2=3$ (2 p).

(Control: pentru $x=-1$ exponenții sunt $1+5=6$ și $3+3=6$; pentru $x=3$ sunt $9-15=-6$ și $3-9=-6$. Unde se greșește de obicei: la trecerea termenilor, $-5x+3x=-2x$, nu $-8x$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică.

O submulțime cu patru elemente a unei mulțimi cu cinci elemente este o combinare de $5$ luate câte $4$: $$C_5^4=\frac{5!}{4!\cdot 1!}\text{(3 p)}.$$ $$C_5^4=5\text{(2 p)}.$$

(Control: a alege patru elemente din cinci înseamnă a-l alege pe cel care rămâne pe dinafară — cinci moduri; de aceea $C_5^4=C_5^1=5$. Unde se greșește de obicei: se numără aranjamentele, $A_5^4=120$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, dreapta paralelă.

Dreptele paralele au aceeași pantă; dreapta $y=2x+7$ are panta $2$, deci panta dreptei $d$ este egală cu $2$ (2 p).

Dreapta de pantă $2$ care trece prin $A(0,4)$: $y-4=2(x-0)$, adică ecuația dreptei $d$ este $\mathbf{y}=2x+4$ (3 p).

(Control: $A$: $2\cdot 0+4=4$. Unde se greșește de obicei: se ia panta dreptei perpendiculare, $-\frac{1}{2}$; sau se păstrează termenul liber $7$ și iese $y=2x+7$, care nu trece prin $A$.)

Exercițiul 6. (5 p) — aria triunghiului, formula cu sinusul.

Aria este semiprodusul a două laturi înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele: $${\mathcal{S}}_{MNP}=\frac{12\cdot 3\cdot \sin 30^{\circ }}{2}=\frac{6\cdot 3}{2}\text{(3 p)}.$$ $${\mathcal{S}}_{MNP}=9\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $12\cdot \sin 30^{\circ }=12\cdot \frac{1}{2}=6$. În baremul oficial aria este notată ${\mathcal{A}}_{MNP}$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: se uită împărțirea la $2$ și iese $18$; sau se folosește $\cos 30^{\circ }$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=0$ matricea este chiar $I_2$: $$A(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow \det (A(0))=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ $$\det (A(0))=1\cdot 1-0\cdot 0=1\text{(3 p)}.$$

b) (5 p) Calculăm determinantul în general: $$\det (A(a))=\left|\begin{array}{cc}1& -a\\ -a& 1\end{array}\right|=1-a^2\text{(3 p)}.$$ $$1-a^2=0\iff {\mathbf{a}}_1=-1\text{ și }{\mathbf{a}}_2=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: $(-a)\cdot (-a)=+a^2$, care se scade; dacă se pierde un minus, iese $1+a^2$, care nu se anulează niciodată.)

c) (5 p) Calculăm cei trei termeni: $$A(a)A(b)=\left(\begin{array}{cc}1+ab& -b-a\\ -a-b& ab+1\end{array}\right),A(a+b)=\left(\begin{array}{cc}1& -a-b\\ -a-b& 1\end{array}\right),ab{I}_2=\left(\begin{array}{cc}ab& 0\\ 0& ab\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Adunând ultimele două, $$A(a+b)+ab{I}_2=\left(\begin{array}{cc}1+ab& -a-b\\ -a-b& 1+ab\end{array}\right)=A(a)A(b),\text{ pentru orice numere reale }a\text{ și }b\text{(2 p)}.$$

(Detaliul produsului: primul element este $1\cdot 1+(-a)(-b)=1+ab$, iar al doilea $1\cdot (-b)+(-a)\cdot 1=-b-a$. Control: pentru $a=1$, $b=-1$, $A(1)A(-1)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $A(0)-I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$. Unde se greșește de obicei: se scrie $A(a+b)=A(a)+A(b)$, care ar avea $2$ pe diagonală.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Înlocuim $X$ cu $0$: $$f(0)=0^3-m\cdot 0+2\text{(3 p)}.$$ $$f(0)=0-0+2=2\text{(2 p)}.$$

b) (5 p) Împărțind $f$ la $g$ se obține restul $$\text{restul este }(3-m)X\text{(3 p)}.$$ $$3-m=0\iff \mathbf{m}=3\text{(2 p)}.$$

(Detaliul împărțirii, pe care baremul îl dă direct: $X^3-mX+2=(X-1)\left(X^2+X-2\right)+(3-m)X$, pentru că $(X-1)\left(X^2+X-2\right)=X^3-3X+2$. Alt drum: $g=(X-1)(X+2)$, deci restul este $0$ exact când $f(1)=0$ și $f(-2)=0$, adică $3-m=0$ și $-6+2m=0$ — tot $m=3$. Control: pentru $m=3$, $f=(X-1{)}^2(X+2)$. Unde se greșește de obicei: la înmulțirea $(X-1)\left(X^2+X-2\right)$ se pierde un termen în $X$ și se scrie $X^3-2X+2$; restul iese atunci $(2-m)X$ și $m=2$, iar pentru $m=2$ avem $f(-2)=-2\ne 0$.)

c) (5 p) Polinomul nu are termen în $X^2$, deci din relațiile lui Viète $$x_1+x_2+x_3=0\text{(2 p)}.$$ Fiecare rădăcină verifică $x_k^3-m{x}_k+2=0$, adică $x_k^3=m{x}_k-2$; adunând cele trei egalități, $$x_1^3+x_2^3+x_3^3=m(x_1+x_2+x_3)-6=m\cdot 0-6=-6\text{(3 p)}.$$

(Același rezultat iese și din identitatea $x_1^3+x_2^3+x_3^3=s_1^3-3s_1{s}_2+3s_3$, cu $s_1=0$ și $s_3=x_1{x}_2{x}_3=-2$: $3\cdot (-2)=-6$. Control numeric: pentru $m=0$, $m=1$ și $m=3$, rădăcinile calculate numeric au suma cuburilor $-6$. Unde se greșește de obicei: se adună egalitățile și se scrie $-2$ în loc de $3\cdot (-2)=-6$ — termenul liber apare de trei ori.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivata ca limită, monotonie, inegalitate.

a) (5 p) Limita din enunț este, prin definiție, derivata în $0$: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=f^{\prime }(0)\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=e^x-1\text{ și }{f}^{\prime }(0)=0\Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=0\text{(3 p)}.$$

(Atenție: valoarea limitei este $0$, dar NU pentru că $f(0)=0$ — numărătorul și numitorul tind amândoi la $0$, iar limita raportului este derivata. Unde se greșește de obicei: se scrie $(x{)}^{\prime }=0$ și iese $f^{\prime }(x)=e^x$, $f^{\prime }(0)=1$.)

b) (5 p) Semnul derivatei este semnul lui $e^x-1$: $$e^x\le 1\iff x\le 0\text{(2 p)}.$$ Deci $f^{\prime }(x)\le 0$, pentru orice $x\in (-\infty ,0]$, deci $f$ este descrescătoare pe intervalul $(-\infty ,0]$ (3 p).

(Echivalența vine din faptul că funcția exponențială de bază $e>1$ este strict crescătoare, iar $e^0=1$. Unde se greșește de obicei: se inversează sensul, $e^x\le 1\iff x\ge 0$.)

c) (5 p) Pe $[0,+\infty )$ avem $e^x\ge 1$, deci: $$f^{\prime }(0)=0\text{ și }{f}^{\prime }(x)\ge 0,\text{ pentru orice }x\in [0,+\infty ),\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare pe }[0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Cum $f$ este descrescătoare pe $(-\infty ,0]$ (subpunctul b) și crescătoare pe $[0,+\infty )$, punctul $0$ este punct de minim, deci $f(x)\ge f(0)=0\Rightarrow e^x-x-1\ge 0$, adică ${\mathbf{e}}^{\mathbf{x}}\ge \mathbf{x}+1$, pentru orice număr real $x$ (3 p).

(Egalitatea are loc doar pentru $x=0$. Interpretare geometrică: dreapta $y=x+1$ este tangenta la graficul lui $e^x$ în punctul $(0,1)$, iar graficul exponențialei stă deasupra ei. Unde se greșește de obicei: se folosește doar monotonia pe unul dintre intervale și inegalitatea se demonstrează numai pentru $x\le 0$ sau numai pentru $x\ge 0$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Termenii $-2x$ și $+2x$, respectiv $5$ și $-5$, se reduc: $${\int }_0^1(f(x)+2x-5)dx={\int }_0^1\left(x^2-2x+5+2x-5\right)dx={\int }_0^1{x}^{2}dx\text{(2 p)}.$$ $${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_0^1=\frac{1}{3}\text{(3 p)}.$$

b) (5 p) Integrandul este de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$, cu $u=f>0$: $${\int }_0^2\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln \left(x^2-2x+5\right){|}_0^2\text{(3 p)}.$$ $${\int }_0^2\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln 5-\ln 5=0\text{(2 p)}.$$

(Funcția $f$ ia aceeași valoare, $5$, la ambele capete, $f(0)=f(2)=5$ — graficul ei este o parabolă simetrică față de dreapta $x=1$. De aceea integrala este $0$: pe $[0,1]$ integrandul este negativ, pe $[1,2]$ pozitiv, și se compensează. Modulul din $\ln |f(x)|$ nu mai e necesar pentru că $f(x)=(x-1{)}^2+4>0$.)

c) (5 p) Scriem $f$ ca pătrat perfect plus o constantă: $$f(x)=(x-1{)}^2+4\ge 4,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ De aici $\frac{1}{f(x)}\le \frac{1}{4}$, pentru orice $x$ real, și integrând pe $[2014,2015]$: $${\int }_{2014}^{2015}\frac{1}{f(x)}dx\le {\int }_{2014}^{2015}\frac{1}{4}dx=\frac{1}{4}x{|}_{2014}^{2015}=\frac{1}{4}\text{(3 p)}.$$

(Majorarea este foarte largă: integrala este de fapt aproximativ $2,47\cdot 10^{-7}$, pentru că pe $[2014,2015]$ funcția $f$ este uriașă — dar enunțul cere doar inegalitatea. Unde se greșește de obicei: din $f(x)\ge 4$ se scrie $\frac{1}{f(x)}\ge \frac{1}{4}$ — la inversare sensul inegalității se schimbă, pentru numere pozitive.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea iunie-iulie 2015 a examenului de bacalaureat național — Varianta 8, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2015:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: pătratul unui binom cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(g\circ f)(3)=g(f(3))$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială cu aceeași bază în ambii membri: egalarea exponenților — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărul submulțimilor cu patru elemente, $C_5^4$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: dreapta paralelă cu o dreaptă dată, prin panta ei — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: aria triunghiului cu formula cu sinusul — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant cu parametru, produs de matrice, o identitate matriceală — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom, restul împărțirii la un polinom de gradul al doilea, relațiile lui Viète — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata ca limită, monotonia din semnul derivatei, o inegalitate din tabelul de variație — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrala definită: formula Leibniz–Newton, primitiva de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$ și majorarea unei integrale — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2015. Subiectul I este în întregime de aplicare directă: un binom la pătrat, o compunere, o ecuație exponențială care se reduce la una de gradul al doilea, $C_5^4$, o dreaptă paralelă și aria cu sinusul. Subiectul al II-lea cere în primul slot o matrice $A(a)$ cu o identitate care se verifică element cu element, iar în al doilea un polinom la care subpunctul c) are o surpriză: suma cuburilor rădăcinilor nu depinde de $m$, pentru că suma rădăcinilor este $0$. Subiectul al III-lea leagă cele trei subpuncte ale problemei 1 într-un singur drum — derivata se anulează în $0$, funcția scade până la $0$ și crește după, deci $0$ este minimul, iar de aici iese inegalitatea clasică $e^x\ge x+1$ —, iar problema 2 se încheie cu o majorare: nu se calculează integrala, ci se compară funcția de sub ea cu o constantă.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, $\frac{1}{3}$ și $0$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la 10 punctajul total.
• Greșeli de redactare de evitat: identitatea de la problema 7 „verificată" pe câteva valori ale lui $a$ și $b$, în loc de calculul general; restul împărțirii scris fără împărțire; inegalitatea $e^x\ge x+1$ afirmată fără să se arate că $0$ este punct de minim; majorarea integralei fără inegalitatea dintre funcții.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$. Compunere: $(g\circ f)(a)=g(f(a))$. Ecuații exponențiale: $5^u=5^v⟺u=v$. Combinări: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, $C_n^k=C_n^{n-k}$. Drepte paralele: au aceeași pantă; dreapta de pantă $m$ prin $(x_0,y_0)$ este $y-y_0=m(x-x_0)$. Aria triunghiului: $\mathcal{S}=\frac{MN\cdot MP\cdot \sin M}{2}$.
• Matrice: $\left|\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right|=ps-qr$; o identitate între matrice se verifică element cu element.
• Polinoame: restul împărțirii la un polinom de gradul al doilea are gradul cel mult $1$; pentru $f=X^3+b{X}^2+cX+d$, $x_1+x_2+x_3=-b$; fiecare rădăcină verifică $f(x_k)=0$.
• Derivate: $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)$; $f^{\prime }\le 0$ pe un interval ⇒ $f$ descrescătoare, $f^{\prime }\ge 0$ ⇒ $f$ crescătoare; un punct în care $f$ trece de la descreștere la creștere este punct de minim.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; dacă $g(x)\le h(x)$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}g(x)dx\le {\int }_a^{b}h(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=x-3$ de la cerința $2$, polinomul $f=X^3-mX+2$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=e^x-x-1$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=x^2-2x+5$ de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat. La fel, litera $g$ este funcția $g(x)=x+2015$ la cerința $2$ și polinomul $g=X^2+X-2$ la cerința $8$, subpunctul b).
• Litera $A$ este un punct la cerința $5$ și o matrice, $A(a)$, la cerința $7$; litera $a$ este parametrul real al matricei $A(a)$, iar la subpunctul c) al problemei $7$ apar doi parametri, $a$ și $b$.
• La cerința $6$, $m(\sphericalangle M)$ este măsura unghiului din vârful $M$ al triunghiului $MNP$ — nu are legătură cu parametrul $m$ al polinomului de la cerința $8$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".