Bac M2 2015, modelul oficial — rezolvat

Toate probele M2 din 2015 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $a_1=3$ și rația $r=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2x-2$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2-4x+5}=1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii $\{1,2,3,4,5\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,3)$, $B(-2,1)$ și $C(-2,5)$. Determinați lungimea vectorului $\overrightarrow{AM}$, știind că $M$ este mijlocul segmentului $BC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați $\mathrm{ctg}a$, știind că $\sin a=\frac{1}{3}$ și $a\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}2& x\\ 1& 3\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Calculați $\det (A(3))$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(-2015)+A(2015)=2A(0)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det (A(x))=x^2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

În ${\mathbb{Z}}_5[X]$ se consideră polinomul $f=X^3+aX$, unde ${\mathbb{Z}}_5=\left\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}\right\}$ și $a\in {\mathbb{Z}}_5$.

a) (5 puncte) Calculați $f\left(\hat{0}\right)$.

b) (5 puncte) Determinați $a\in {\mathbb{Z}}_5$, știind că $f\left(\hat{3}\right)=\hat{3}$.

c) (5 puncte) Arătați că, dacă $f\left(\hat{1}\right)=f\left(\hat{2}\right)$, atunci $f\left(\hat{3}\right)=f\left(\hat{4}\right)$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+\ln x}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{1}{x+1}$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1\left(f(x)-\frac{1}{x+1}\right)dx$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}xf(x)dx=\frac{4}{3}-\ln 2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural nenul $n$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$, $x=1$, are aria egală cu $\frac{1}{2}+\ln \left(n^2+n\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului pentru 2015; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Termenii se obțin adunând de fiecare dată rația: $a_2=a_1+r$, $a_3=a_1+2r$, deci $$a_1+a_2+a_3=3+(3+2)+(3+2\cdot 2)\text{(3 p)}.$$ Adunând, $3+5+7=15$ (2 p).

(Control: în progresia aritmetică, termenul din mijloc este media celorlalți doi, deci suma este $3\cdot a_2=3\cdot 5=15$. Unde se greșește de obicei: se ia $a_3=a_1+3r=9$, numărând un pas în plus, și suma iese $17$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, vârful parabolei.

Pentru $f(x)=x^2+2x-2$ avem $a=1$, $b=2$, $c=-2$. Abscisa vârfului este $$-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=-1\text{(2 p)}.$$ Discriminantul este $\Delta =b^2-4ac=4+8=12$, deci ordonata vârfului este $$-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{12}{4}=-3,\text{ adica˘ vaˆrful este }\mathbf{V}(-1,-3)\text{(3 p)}.$$

(Control: $f(-1)=1-2-2=-3$ — ordonata vârfului este chiar valoarea funcției în abscisa lui. Unde se greșește de obicei: se calculează $\Delta =4-8=-4$, uitând că $c=-2$ este negativ, și ordonata iese $1$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Ridicând la pătrat ambii membri, $x^2-4x+5=1$, de unde obținem $$x^2-4x+4=0\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este $(x-2{)}^2$, deci $\mathbf{x}=2$, care verifică ecuația: $\sqrt{4-8+5}=\sqrt{1}=1$ (2 p).

(Aici expresia de sub radical, $(x-2{)}^2+1$, este pozitivă pentru orice $x$, deci domeniul nu pune probleme. Unde se greșește de obicei: se pierde membrul drept și se scrie $x^2-4x+5=0$, care nu are soluții reale; sau se scrie $x^2-4x+4=(x+2{)}^2$ și iese $x=-2$, pentru care $\sqrt{4+8+5}=\sqrt{17}\ne 1$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică.

Numărul submulțimilor cu $3$ elemente ale unei mulțimi cu $5$ elemente este egal cu $$C_5^3=\frac{5!}{3!\cdot 2!}\text{(3 p)}.$$ Calculând, $C_5^3=\frac{5\cdot 4}{2}=10$ (2 p).

(Control prin enumerare: $\{1,2,3\}$, $\{1,2,4\}$, $\{1,2,5\}$, $\{1,3,4\}$, $\{1,3,5\}$, $\{1,4,5\}$, $\{2,3,4\}$, $\{2,3,5\}$, $\{2,4,5\}$, $\{3,4,5\}$ — zece. Unde se greșește de obicei: se folosesc aranjamentele, $A_5^3=60$, deși într-o submulțime ordinea elementelor nu contează.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, mijlocul unui segment și lungimea unui vector.

Mijlocul segmentului $BC$ are coordonatele $\left(\frac{-2+(-2)}{2},\frac{1+5}{2}\right)$, deci $\mathbf{M}(-2,3)$ (2 p).

Lungimea vectorului $\overrightarrow{AM}$ este distanța dintre $A$ și $M$: $$AM=\sqrt{(-2-2{)}^2+(3-3{)}^2}=\sqrt{16}=4\text{(3 p)}.$$

(Control: $A$ și $M$ au aceeași ordonată, $3$, deci segmentul $AM$ este paralel cu axa $Ox$, iar lungimea lui este diferența absciselor, $2-(-2)=4$. Unde se greșește de obicei: se scad coordonatele la calculul mijlocului și iese $M(0,2)$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Din ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$ rezultă ${\cos }^{2}a=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$; cum $a\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, cosinusul este pozitiv, deci $$\cos a=\frac{2\sqrt{2}}{3}\text{(3 p)}.$$ Atunci $$\mathrm{ctg}a=\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}:\frac{1}{3}=2\sqrt{2}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se inversează raportul și se scrie $\mathrm{ctg}a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\sqrt{2}}{4}$, care este tangenta; sau se ia $\cos a=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$, deși unghiul este ascuțit. Control: $2\sqrt{2}\approx 2,828$, iar $\mathrm{ctg}a$ mare corespunde unui unghi mic — $\sin a=\frac{1}{3}$ înseamnă un unghi de aproximativ $19,5^{\circ }$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=3$, $$\det (A(3))=\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 3\end{array}\right|=2\cdot 3-1\cdot 3\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(3))=6-3=3\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: produsul diagonalei secundare se adună în loc să se scadă, $2\cdot 3+1\cdot 3=9$; sau se înmulțesc elementele de pe coloane, $2\cdot 1-3\cdot 3=-7$.)

b) (5 p) Se înlocuiește parametrul: $$A(-2015)=\left(\begin{array}{cc}2& -2015\\ 1& 3\end{array}\right),A(2015)=\left(\begin{array}{cc}2& 2015\\ 1& 3\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Adunând element cu element, $$A(-2015)+A(2015)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 2& 6\end{array}\right)=2\cdot \left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right)=2A(0)\text{(3 p)}.$$

(Observație: la fel, $A(-t)+A(t)=2A(0)$ pentru orice număr real $t$, pentru că parametrul apare într-o singură poziție și se reduce. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele în loc să se adune.)

c) (5 p) Determinantul matricei, pentru $x$ oarecare: $$\det (A(x))=\left|\begin{array}{cc}2& x\\ 1& 3\end{array}\right|=6-x\text{(2 p)}.$$ Egalitatea $6-x=x^2$ se scrie $$x^2+x-6=0⟺{\mathbf{x}}_1=-3\text{ și }{\mathbf{x}}_2=2\text{(3 p)}.$$

(Control: $\det (A(-3))=6+3=9=(-3{)}^2$ și $\det (A(2))=6-2=4=2^2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\det (A(x))=6+x$, și ecuația $x^2-x-6=0$ dă $3$ și $-2$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom cu coeficienți în ${\mathbb{Z}}_5$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $\hat{0}$: $$f\left(\hat{0}\right)={\hat{0}}^3+a\cdot \hat{0}\text{(2 p)}.$$ Orice produs cu $\hat{0}$ este $\hat{0}$, deci $f\left(\hat{0}\right)=\hat{0}$, pentru orice $a\in {\mathbb{Z}}_5$ (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se ia $a$ drept termen liber și se scrie $f\left(\hat{0}\right)=a$; polinomul nu are termen liber, deci valoarea în $\hat{0}$ este mereu $\hat{0}$, oricare ar fi $a$.)

b) (5 p) Cum $3^3=27=5\cdot 5+2$, avem ${\hat{3}}^3=\hat{2}$, deci $$f\left(\hat{3}\right)=\hat{2}+a\cdot \hat{3}\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț este $\hat{2}+a\cdot \hat{3}=\hat{3}$, adică $a\cdot \hat{3}=\hat{1}$; cum $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}=\hat{1}$, obținem $\mathbf{a}=\hat{2}$ (3 p).

(Control: pentru $a=\hat{2}$, $f\left(\hat{3}\right)=\hat{2}+\hat{6}=\hat{8}=\hat{3}$. Soluția este unică: încercând toate cele cinci valori, $a\cdot \hat{3}$ ia valorile $\hat{0}$, $\hat{3}$, $\hat{1}$, $\hat{4}$, $\hat{2}$, iar $\hat{1}$ apare o singură dată. Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat în loc de cub, ${\hat{3}}^2=\hat{9}=\hat{4}$, și ecuația devine $\hat{4}+a\cdot \hat{3}=\hat{3}$, adică $a\cdot \hat{3}=\hat{4}$, cu $a=\hat{3}$; sau se „împarte" la $\hat{3}$ ca la numere reale și se scrie $a=\frac{1}{3}$, care nu este un element scris al lui ${\mathbb{Z}}_5$ — în ${\mathbb{Z}}_5$, „împărțirea" la $\hat{3}$ înseamnă înmulțirea cu inversul lui, $\hat{2}$.)

c) (5 p) Cum ${\hat{2}}^3=\hat{8}=\hat{3}$, avem $f\left(\hat{1}\right)=\hat{1}+a$ și $f\left(\hat{2}\right)=\hat{3}+a\cdot \hat{2}$. Egalitatea $f\left(\hat{1}\right)=f\left(\hat{2}\right)$ devine $$\hat{1}+a=\hat{3}+a\cdot \hat{2}\Rightarrow a=\hat{3}\text{(2 p)}.$$ Pentru $a=\hat{3}$: $f\left(\hat{3}\right)=\hat{2}+\hat{9}=\widehat{11}=\hat{1}$ și $f\left(\hat{4}\right)=\widehat{64}+\widehat{12}=\hat{4}+\hat{2}=\hat{1}$, deci $$f\left(\hat{3}\right)=\hat{1}\text{ și }f\left(\hat{4}\right)=\hat{1}\Rightarrow f\left(\hat{3}\right)=f\left(\hat{4}\right)\text{(3 p)}.$$

(Detaliul primului pas: $\hat{1}+a=\hat{3}+\hat{2}a$ dă $-a=\hat{2}$, adică $a=-\hat{2}=\hat{3}$. Detaliul celui de-al doilea: $4^3=64=12\cdot 5+4$ și $4\cdot 3=12=2\cdot 5+2$. Atenție: egalitatea $f\left(\hat{3}\right)=f\left(\hat{4}\right)$ NU are loc pentru orice $a$ — pentru $a=\hat{0}$, de exemplu, $f\left(\hat{3}\right)=\hat{2}$ și $f\left(\hat{4}\right)=\hat{4}$; de aceea ipoteza trebuie folosită. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\hat{2}}^3=\hat{6}$, înmulțind cu $3$ în loc de ridicare la putere.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă și monotonie.

a) (5 p) Se derivează câtul, cu ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(x+\ln x{)}^{\prime }\cdot x-(x+\ln x)\cdot x^{\prime }}{x^2}\text{(2 p)}.$$ Cum $(x+\ln x{)}^{\prime }=1+\frac{1}{x}$ și $x^{\prime }=1$, $$f^{\prime }(x)=\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)\cdot x-x-\ln x}{x^2}=\frac{x+1-x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2},x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Un drum mai scurt: $f(x)=1+\frac{\ln x}{x}$, iar derivata lui $\frac{\ln x}{x}$ este $\frac{1-\ln x}{x^2}$. Unde se greșește de obicei: se inversează ordinea din numărător, $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$, și iese semnul opus.)

b) (5 p) Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0=1$ este $$y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)\text{(2 p)}.$$ Cum $\ln 1=0$, avem $f(1)=\frac{1+0}{1}=1$ și $f^{\prime }(1)=\frac{1-0}{1}=1$, deci $y-1=x-1$, adică ecuația tangentei este $\mathbf{y}=\mathbf{x}$ (3 p).

(Control: tangenta trece prin $(1,1)$ și are panta $1$. Atenție: formula $y=f^{\prime }(1)x$, fără punctul de tangență, ar da aici tot $y=x$, dar numai din întâmplare, pentru că tangenta trece prin origine; metoda este greșită. Unde se greșește de obicei: se ia $\ln 1=1$ și iese $f(1)=2$, $f^{\prime }(1)=0$, adică „tangenta" $y=2$; sau se scrie $y+f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$ și iese $y=x-2$.)

c) (5 p) Numitorul $x^2$ este pozitiv, deci semnul derivatei este semnul lui $1-\ln x$: $$f^{\prime }(x)=0⟺\ln x=1⟺x=e\text{(1 p)}.$$ Pentru $x\in (0,e]$ avem $\ln x\le 1$, deci $$f^{\prime }(x)\ge 0\text{ pentru orice }x\in (0,e]\Rightarrow f\text{ este cresca˘toare pe }(0,\mathbf{e}]\text{(2 p)}.$$ Pentru $x\in [e,+\infty )$ avem $\ln x\ge 1$, deci $$f^{\prime }(x)\le 0\text{ pentru orice }x\in [e,+\infty )\Rightarrow f\text{ este descresca˘toare pe }[\mathbf{e},+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $f^{\prime }(1)=1>0$ și $f^{\prime }\left(e^2\right)=-\frac{1}{e^4}<0$. Unde se greșește de obicei: se rezolvă $\ln x=1$ ca $x=1$ sau $x=0$; sau se scrie monotonia fără tabelul de semne al derivatei.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și aria unei suprafețe plane.

a) (5 p) Termenul $\frac{1}{x+1}$ se reduce: $${\int }_0^1\left(f(x)-\frac{1}{x+1}\right)dx={\int }_0^1\left(x+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+1}\right)dx={\int }_0^{1}xdx\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^{1}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_0^1=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $x$ se scrie $x^2$, fără împărțirea la $2$, și rezultatul iese $1$.)

b) (5 p) Se înmulțește cu $x$ și se scoate partea întreagă din fracție, $\frac{x}{x+1}=\frac{(x+1)-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$: $${\int }_0^{1}xf(x)dx={\int }_0^1\left(x^2+\frac{x}{x+1}\right)dx={\int }_0^1\left(x^2+1-\frac{1}{x+1}\right)dx\text{(2 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^{1}xf(x)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x-\ln (x+1)\right){|}_0^1=\frac{1}{3}+1-\ln 2=\frac{4}{3}-\ln 2\text{(3 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{4}{3}-\ln 2\approx 0,6401862$, iar integrala calculată numeric pe $[0,1]$ dă aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se integrează $\frac{x}{x+1}$ ca $\ln (x+1)$, ca și cum numărătorul ar fi derivata numitorului; sau se uită termenul $x$ din primitiva lui $1$.)

c) (5 p) Pe $[0,1]$ avem $x\ge 0$ și $\frac{1}{x+1}>0$, deci $f(x)>0$ și modulul dispare: $$\mathcal{S}={\int }_0^1|f(x)|dx={\int }_0^1\left(x+\frac{1}{x+1}\right)dx=\left(\frac{x^2}{2}+\ln (x+1)\right){|}_0^1=\frac{1}{2}+\ln 2\text{(3 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $\frac{1}{2}+\ln 2=\frac{1}{2}+\ln \left(n^2+n\right)$, deci $n^2+n=2$, adică $n^2+n-2=0$, cu soluțiile $n=-2$, care nu este număr natural, și $\mathbf{n}=1$ (2 p).

(Pentru $n$ natural nenul, $n^2+n>0$, deci logaritmul din enunț există; egalitatea logaritmilor dă egalitatea argumentelor, pentru că funcția logaritmică este injectivă. Control: $1^2+1=2$. Unde se greșește de obicei: se păstrează și $n=-2$, deși enunțul cere un număr natural nenul. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_șt-nat, publicat înaintea sesiunilor din 2015 ca reper al structurii și al nivelului de dificultate. Un model nu se dă în ziua examenului: el este documentul prin care ministerul arată cum va arăta proba — de aceea nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum o anunță modelul din 2015:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: suma primilor trei termeni, din primul termen și rație — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: coordonatele vârfului parabolei — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: un radical egal cu $1$, ridicarea la pătrat și verificarea — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărul submulțimilor cu trei elemente, prin combinări — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și lungimea unui vector — clasele a IX-a – a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: cosinusul și cotangenta unui unghi ascuțit, din sinus — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, suma a două matrice și o ecuație de gradul al doilea în parametru — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame cu coeficienți în ${\mathbb{Z}}_5$: valori ale unui polinom, o ecuație în ${\mathbb{Z}}_5$ și o implicație — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, ecuația tangentei și intervalele de monotonie — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrala definită și aria: formula Leibniz–Newton, o simplificare a integrandului și aria unei suprafețe plane — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2015. Subiectul I este format din șase cerințe „de o formulă": suma unei progresii, vârful parabolei, o ecuație irațională care devine un pătrat perfect, $C_5^3$, un mijloc de segment și cotangenta dintr-un sinus. Singurul loc cu capcană este cerința 6, unde semnul cosinusului se alege după intervalul dat. La Subiectul al II-lea, matricea $A(x)$ are parametrul într-o singură poziție, deci totul se reduce la calcule directe; polinomul din ${\mathbb{Z}}_5$ cere doar evaluări, dar toate calculele se fac modulo $5$ (${\hat{3}}^3=\widehat{27}=\hat{2}$). Subiectul al III-lea are lanțul clasic derivată → tangentă → monotonie, iar la problema 2 toate cele trei integrale devin simple după ce se scrie $\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, $2\sqrt{2}$, clase de resturi din ${\mathbb{Z}}_5$, $y=x$ și expresii scurte cu $\ln 2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluția scrisă fără verificare; la cerința 6, cosinusul luat cu minus, deși unghiul este ascuțit; la cerința 8, calculele din ${\mathbb{Z}}_5$ lăsate nereduse modulo $5$; la cerința 9, subpunctul c), monotonia afirmată fără semnul derivatei; la cerința 10, subpunctul c), soluția $n=-2$ păstrată, deși se cere un număr natural nenul.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: $a_n=a_1+(n-1)r$. Parabola $y=a{x}^2+bx+c$ are vârful $V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta }{4a}\right)$. Combinări: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ este numărul submulțimilor cu $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente. Geometrie analitică: mijlocul segmentului $[BC]$ are coordonatele $\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)$, iar lungimea vectorului $\overrightarrow{AM}$ este distanța $AM$. Trigonometrie: ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$, $\mathrm{ctg}a=\frac{\cos a}{\sin a}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; matricele se adună element cu element.
• ${\mathbb{Z}}_5$: $\hat{a}+\hat{b}=\widehat{a+b}$ și $\hat{a}\cdot \hat{b}=\widehat{ab}$, cu rezultatul redus modulo $5$ ($\hat{5}=\hat{0}$, $\hat{6}=\hat{1}$ și așa mai departe).
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; tangenta în punctul de abscisă $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; $\int \frac{1}{x+1}dx=\ln (x+1)+\mathcal{C}$ pe $(-1,+\infty )$; aria suprafeței plane delimitate de graficul unei funcții continue $f$, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$ este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=x^2+2x-2$ de la cerința $2$, polinomul $f=X^3+aX$ din ${\mathbb{Z}}_5[X]$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=\frac{x+\ln x}{x}$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=x+\frac{1}{x+1}$ de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $A$ este punctul $A(2,3)$ la cerința $5$ și matricea $A(x)$ la cerința $7$. Litera $a$ este unghiul de la cerința $6$ și coeficientul din ${\mathbb{Z}}_5$ al polinomului de la cerința $8$; în formula vârfului parabolei, $a$ și $b$ sunt coeficienții funcției de gradul al doilea, iar $a_1$, $a_2$, $a_3$ de la cerința $1$ sunt termenii progresiei.
• La cerința $8$, $\hat{0}$, $\hat{1}$, $\hat{2}$, $\hat{3}$, $\hat{4}$ sunt clase de resturi modulo $5$, nu numere întregi: $\hat{3}=\hat{8}$, iar $\hat{2}+\hat{3}=\hat{0}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".