Bac M2 2015, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2015 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați numărul real care are partea întreagă $-2$ și partea fracționară $0,75$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-\frac{4}{3}x+4$ cu axa $Ox$ și, respectiv, cu axa $Oy$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x+10}=81$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați numărul natural $n$ pentru care $C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots +C_n^n=64$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(-1,1)$, $N(3,1)$ și $P(3,5)$. Arătați că triunghiul $MNP$ este isoscel.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați raza cercului înscris în triunghiul $ABC$, știind că $AB=6$, $AC=8$ și $BC=10$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x,a)=\left(\begin{array}{ccc}x& a& a\\ -a& x& a\\ -a& -a& x\end{array}\right)$, unde $x$ și $a$ sunt numere reale.

a) (5 puncte) Calculați $\det (A(2,0))$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(x,a)+A(x,-a)=2xA(1,0)$, pentru orice numere reale $x$ și $a$.

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\det (A(x,-3))=0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=3xy+3x+3y+2$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\circ y=3(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Determinați numerele întregi $a$ și $b$, știind că $a\circ b=2$.

c) (5 puncte) Calculați $(-1)\circ 0\circ 1\circ \dots \circ 2015$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x-e^x+1$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $-\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^3+3x^2+2x+1$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^{1}f(x)dx$.

b) (5 puncte) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(-1)=1$.

c) (5 puncte) Arătați că pentru orice număr real nenul $a$ are loc relația ${\int }_0^{a}f(x)dx+\frac{1}{a}{\int }_a^{0}f(x)dx=a^4-1$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării din 2015; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul numeric, partea întreagă și partea fracționară.

Orice număr real se scrie ca sumă între partea lui întreagă și partea lui fracționară, $x=[x]+\{x\}$, deci numărul căutat este $$-2+0,75\text{(3 p)}.$$ Calculând, $-2+0,75=-1,25$ (2 p).

(Control: $-2\le -1,25<-1$, deci $[-1,25]=-2$, iar $-1,25-(-2)=0,75$. Unde se greșește de obicei: se „lipesc" cifrele și se scrie $-2,75$; dar $[-2,75]=-3$ și $\{-2,75\}=0,25$ — partea fracționară este mereu în $[0,1)$ și se ADUNĂ la partea întreagă.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi, intersecțiile cu axele.

Graficul intersectează axa $Ox$ unde $f(x)=0$: $-\frac{4}{3}x+4=0$, deci $x=3$; axa $Oy$ o intersectează în $(0,f(0))=(0,4)$. Punctele de intersecție cu axele de coordonate sunt $\mathbf{A}(3,0)$ și, respectiv, $\mathbf{B}(0,4)$ (2 p).

Distanța dintre ele este $$AB=\sqrt{(0-3{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{9+16}=5\text{(3 p)}.$$

(Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, cu catetele $3$ și $4$ — ipotenuza $5$. Unde se greșește de obicei: din $-\frac{4}{3}x+4=0$ se scrie $x=\frac{4}{3}$, iar distanța dintre $\left(\frac{4}{3},0\right)$ și $(0,4)$ iese $\sqrt{\frac{16}{9}+16}=\frac{4\sqrt{10}}{3}$, nu $5$. Alte două greșeli dau, pe aceste date, tot distanța $5$, dar punctele sunt greșite: $x=-3$, sau punctele inversate, $(0,3)$ și $(4,0)$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se scriu ambii membri ca puteri ale lui $3$: $\frac{1}{3}=3^{-1}$ și $81=3^4$, deci $${\left(3^{-1}\right)}^{2x+10}=3^4⟺-2x-10=4\text{(3 p)}.$$ De aici, $-2x=14$, adică $\mathbf{x}=-7$ (2 p).

(Verificare: $2\cdot (-7)+10=-4$, iar ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-4}=3^4=81$. Unde se greșește de obicei: se uită minusul din $3^{-1}$ și iese $2x+10=4$, adică $x=-3$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică, suma coeficienților binomiali.

Suma tuturor combinărilor de $n$ elemente este numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente: $$C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots +C_n^n=2^n\text{(3 p)}.$$ Atunci $2^n=64=2^6⟺\mathbf{n}=6$ (2 p).

(Formula vine din binomul lui Newton, $(1+1{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k$. Unde se greșește de obicei: se scrie suma egală cu $n^2$ și iese $n=8$; cu $n!$ în loc de $2^n$, ecuația $n!=64$ nu mai are nicio soluție naturală.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, triunghi isoscel.

Punctele $M$ și $N$ au aceeași ordonată, deci $$MN=\sqrt{(3+1{)}^2+(1-1{)}^2}=4\text{(2 p)}.$$ Punctele $N$ și $P$ au aceeași abscisă, deci $NP=\sqrt{(3-3{)}^2+(5-1{)}^2}=4$; cum $MN=NP$, triunghiul $△MNP$ este isoscel (3 p).

(Control: a treia latură este $MP=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$; triunghiul este chiar dreptunghic isoscel, cu unghiul drept în $N$. Unde se greșește de obicei: se calculează $MN=3-1=2$, scăzând abscisele fără semnul lui $-1$.)

Exercițiul 6. (5 p) — geometrie plană, raza cercului înscris.

Cum $6^2+8^2=36+64=100=10^2$, triunghiul este dreptunghic în $A$ (reciproca teoremei lui Pitagora), deci aria este semiprodusul catetelor: $${\mathcal{S}}_{△ABC}=\frac{6\cdot 8}{2}=24\text{(2 p)}.$$ Semiperimetrul este $p=\frac{6+8+10}{2}=12$, deci $r=\frac{\mathcal{S}}{p}=\frac{24}{12}=2$ (3 p).

(Control: în triunghiul dreptunghic, $r=\frac{b+c-a}{2}=\frac{6+8-10}{2}=2$. Unde se greșește de obicei: se folosește perimetrul în loc de semiperimetru, $r=\frac{24}{24}=1$; sau se confundă cu raza cercului circumscris, $R=\frac{BC}{2}=5$. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu doi parametri.

a) (5 p) Pentru $x=2$ și $a=0$, toate elementele din afara diagonalei sunt $0$: $$\det (A(2,0))=\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right|\text{(3 p)}.$$ Determinantul unei matrice diagonale este produsul elementelor de pe diagonală: $2\cdot 2\cdot 2=8$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se adună elementele diagonalei, $2+2+2=6$ — aceasta este urma matricei, nu determinantul.)

b) (5 p) Înlocuind $a$ cu $-a$, se schimbă semnul fiecărui element din afara diagonalei: $$\begin{array}{rl}& A(x,a)+A(x,-a)=\\ & =\left(\begin{array}{ccc}x& a& a\\ -a& x& a\\ -a& -a& x\end{array}\right)\\ & +\left(\begin{array}{ccc}x& -a& -a\\ a& x& -a\\ a& a& x\end{array}\right)=\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2x& 0& 0\\ 0& 2x& 0\\ 0& 0& 2x\end{array}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{ccc}2x& 0& 0\\ 0& 2x& 0\\ 0& 0& 2x\end{array}\right)=\\ & =2x\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=2xA(1,0),\end{array}$$ pentru orice numere reale $x$ și $a$ (3 p).

(Observație: $A(1,0)=I_3$, matricea unitate. Unde se greșește de obicei: se schimbă semnul și pe diagonală, scriind $A(x,-a)$ cu $-x$, și suma iese matricea nulă.)

c) (5 p) Pentru $a=-3$: $$\det (A(x,-3))=\left|\begin{array}{ccc}x& -3& -3\\ 3& x& -3\\ 3& 3& x\end{array}\right|=x^3+27x\text{(3 p)}.$$ Ecuația $x^3+27x=0$ se scrie $x\left(x^2+27\right)=0$; cum $x^2+27>0$ pentru orice număr real $x$, singura soluție reală este $\mathbf{x}=0$ (2 p).

(Detaliul determinantului, cu regula lui Sarrus: termenii pozitivi sunt $x^3+27-27=x^3$, iar cei scăzuți sunt $-9x-9x-9x=-27x$, deci $x^3-(-27x)=x^3+27x$. În general, $\det (A(x,a))=x^3+3a^{2}x$. Unde se greșește de obicei: elementele $-a$ de sub diagonală se scriu tot $-3$ (în loc de $-(-3)=3$), determinantul iese $(x+3{)}^2(x-6)$ și apar „soluțiile” $-3$ și $6$; sau se trec printre soluții rădăcinile lui $x^2=-27$, care nu sunt numere reale. Atenție: $a=3$ în loc de $a=-3$ nu schimbă nimic aici, pentru că determinantul depinde doar de $a^2$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție asociativă pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Se adaugă și se scade $1$, ca să apară termenul liber $3$: $$x\circ y=3xy+3x+3y+3-1\text{(2 p)}.$$ Dând factor comun, $3xy+3x+3y+3=3x(y+1)+3(y+1)=3(x+1)(y+1)$, deci $$x\circ y=3x(y+1)+3(y+1)-1=3(x+1)(y+1)-1,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

(Control: pentru $x=y=0$, $0\circ 0=2$ și $3\cdot 1\cdot 1-1=2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $3(x+1)(y+1)+2$, păstrând termenul liber inițial — desfăcând parantezele, iese $3xy+3x+3y+5$.)

b) (5 p) Cu forma de la subpunctul a), $$a\circ b=2⟺3(a+1)(b+1)-1=2⟺(a+1)(b+1)=1\text{(2 p)}.$$ Cum $a$ și $b$ sunt numere întregi, $a+1$ și $b+1$ sunt întregi cu produsul $1$, deci sunt amândoi $1$ sau amândoi $-1$: obținem $\mathbf{a}=-2,\mathbf{b}=-2$ sau $\mathbf{a}=0,\mathbf{b}=0$ (3 p).

(Control: $(-2)\circ (-2)=12-6-6+2=2$ și $0\circ 0=2$. Unde se greșește de obicei: se păstrează doar perechea $(0,0)$, uitând că $1=(-1)\cdot (-1)$.)

c) (5 p) Pentru $x=-1$, factorul $x+1$ se anulează: $$(-1)\circ x=3\cdot 0\cdot (x+1)-1=-1,\text{ unde }x\text{ este numa˘r real}\text{(2 p)}.$$ Legea fiind asociativă, grupăm toți termenii de după $-1$: $$(-1)\circ 0\circ 1\circ \dots \circ 2015=(-1)\circ (0\circ 1\circ \dots \circ 2015)=-1\text{(3 p)}.$$

(Nu trebuie calculat compusul $0\circ 1\circ \dots \circ 2015$: oricare ar fi el, compunerea lui $-1$ cu el dă $-1$. Unde se greșește de obicei: se încearcă o formulă pentru tot compusul, sau se crede că $-1$ este element neutru — elementul neutru al acestei legi este $-\frac{2}{3}$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, asimptotă orizontală, monotonie.

a) (5 p) Derivata lui $x{e}^x$ este $e^x+x{e}^x$ (produs), iar a lui $-e^x$ este $-e^x$: $$f^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x-e^x\text{(3 p)}.$$ Termenii $e^x$ și $-e^x$ se reduc: $$f^{\prime }(x)=\mathbf{x}{\mathbf{e}}^{\mathbf{x}},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $(x{e}^x{)}^{\prime }=e^x$, uitând derivata primului factor, și iese $f^{\prime }(x)=0$. Control numeric: raportul incremental în $x=1$ dă aproximativ $e\approx 2,718$, adică $1\cdot e^1$.)

b) (5 p) Se scrie $x{e}^x=\frac{x}{e^{-x}}$, iar raportul tinde la $0$ când $x\to -\infty$ (exponențiala crește mai repede decât orice polinom), iar $e^x\to 0$: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{x}{e^{-x}}-e^x+1\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x}{e^{-x}}+1=1\text{(3 p)}.$$ Limita este un număr real, deci dreapta $\mathbf{y}=1$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p).

(Pentru limita $\frac{x}{e^{-x}}$, de tip $\frac{-\infty }{+\infty }$, regula lui l'Hôpital dă $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{-e^{-x}}=0$. Unde se greșește de obicei: se crede că $x{e}^x\to -\infty$, pentru că $x\to -\infty$ — dar $e^x\to 0$ „câștigă".)

c) (5 p) Cum $e^x>0$, semnul derivatei este semnul lui $x$: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=0\text{(1 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)\le 0,\text{ pentru orice }x\in (-\infty ,0],\text{ deci }f\text{ este descresca˘toare pe }(-\infty ,0]\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)\ge 0,\text{ pentru orice }x\in [0,+\infty ),\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare pe }[0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Control: $f(0)=0-1+1=0$ este valoarea minimă a lui $f$, deci $f(x)\ge 0$ pe $\mathbb{R}$ — coerent cu asimptota $y=1$ spre $-\infty$. Unde se greșește de obicei: se inversează intervalele, sau se scrie $f^{\prime }(x)=0⟺x=1$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și primitive ale unei funcții polinomiale.

a) (5 p) O primitivă a lui $f$ se obține termen cu termen: $${\int }_0^1\left(4x^3+3x^2+2x+1\right)dx=\left(x^4+x^3+x^2+x\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $1+1+1+1-0=4$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $4x^3$ se scrie $12x^2$ — aceea este derivata; sau se uită termenul $x$, primitiva lui $1$.)

b) (5 p) Primitivele lui $f$ pe $\mathbb{R}$ diferă printr-o constantă: $$F:\mathbb{R}\to \mathbb{R},F(x)=x^4+x^3+x^2+x+c,\text{ unde }c\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Cum $F(-1)=1-1+1-1+c=c$, condiția $F(-1)=1$ dă $c=1$, deci $\mathbf{F}(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^4+{\mathbf{x}}^3+{\mathbf{x}}^2+\mathbf{x}+1$ (3 p).

(Control: $F^{\prime }(x)=4x^3+3x^2+2x+1=f(x)$ și $F(-1)=1$. Unde se greșește de obicei: se calculează greșit semnele puterilor lui $-1$ — $(-1{)}^4=1$, $(-1{)}^3=-1$ — și iese $c=5$ sau $c=-3$.)

c) (5 p) Cu aceeași primitivă, scrisă fără constantă, $${\int }_0^{a}f(x)dx+\frac{1}{a}{\int }_a^{0}f(x)dx={\int }_0^a\left(4x^3+3x^2+2x+1\right)dx+\frac{1}{a}{\int }_a^0\left(4x^3+3x^2+2x+1\right)dx\text{(2 p)}.$$ Prima integrală este $a^4+a^3+a^2+a$, iar a doua, cu capetele inversate, este opusa ei: $$\left(a^4+a^3+a^2+a\right)-\frac{1}{a}\left(a^4+a^3+a^2+a\right)=a^4+a^3+a^2+a-a^3-a^2-a-1=a^4-1,$$ pentru orice număr real nenul $a$ (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se tratează ${\int }_a^0$ ca ${\int }_0^a$ și suma iese $a^4+2a^3+2a^2+2a+1$; sau se uită că împărțirea la $a$ scade gradul fiecărui termen cu unu. Control numeric: pentru $a=2$, $30-\frac{30}{2}=15=2^4-1$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la simularea examenului de bacalaureat din 2015 pentru elevii clasei a XII-a, proba E. c), Matematică M_șt-nat. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în simularea din 2015:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Calcul numeric: un număr real scris din partea întreagă și partea fracționară — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: intersecțiile graficului cu axele și distanța dintre ele — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază, $\frac{1}{3}=3^{-1}$ și $81=3^4$ — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: suma coeficienților binomiali, $C_n^0+C_n^1+\dots +C_n^n=2^n$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: distanța dintre două puncte și triunghiul isoscel — clasele a IX-a – a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: raza cercului înscris, din arie și semiperimetru — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice diagonale, suma a două matrice și un determinant cu parametru — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Lege de compoziție: forma „produs" a legii, o ecuație în numere întregi și un compus lung cu un element „absorbant" — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui produs, o asimptotă orizontală spre $-\infty$ și monotonia din semnul derivatei — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale și primitive: formula Leibniz–Newton, primitiva care verifică o condiție și o relație între două integrale cu capete inversate — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2015. Subiectul I are două cerințe mai puțin obișnuite la M2: cerința 1, unde numărul se reconstruiește adunând partea întreagă cu partea fracționară ($-2+0,75$, nu $-2,75$), și cerința 6, unde raza cercului înscris se obține din $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$. Subiectul al II-lea are o matrice de ordinul al treilea care, pentru $a=0$, devine $x{I}_3$ — de aici subpunctele a) și b) sunt imediate —, iar legea de compoziție se scrie în forma „produs" $3(x+1)(y+1)-1$, din care elementul $-1$ „înghite" orice compus: $(-1)\circ x=-1$. Subiectul al III-lea cere lanțul derivată → asimptotă → monotonie pentru $x{e}^x-e^x+1$, iar la problema 2 totul se face cu aceeași primitivă, $x^4+x^3+x^2+x$; la subpunctul c) contează ordinea capetelor în ${\int }_a^0$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, $-1,25$, un polinom cu coeficienți întregi și $a^4-1$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total obținut pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 1, numărul scris $-2,75$ (partea fracționară este întotdeauna pozitivă și se adună); la cerința 7, subpunctul c), soluțiile complexe ale lui $x^2+27=0$ trecute printre soluțiile reale; la cerința 8, subpunctul b), doar o pereche, uitând perechea $(-2,-2)$; la cerința 9, subpunctul b), asimptota dată fără calculul limitei.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Partea întreagă și partea fracționară: $x=[x]+\{x\}$, cu $[x]\in \mathbb{Z}$ și $\{x\}\in [0,1)$. Funcția de gradul întâi: graficul intersectează $Ox$ unde $f(x)=0$ și $Oy$ în $(0,f(0))$. Puteri: $a^u=a^v⟺u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$. Combinări: $C_n^0+C_n^1+\dots +C_n^n=2^n$. Distanța: $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$. Raza cercului înscris: $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$, unde $p$ este semiperimetrul.
• Matrice: determinantul unei matrice diagonale este produsul elementelor de pe diagonală; determinantul de ordinul al treilea se calculează cu regula lui Sarrus sau a triunghiului.
• Lege de compoziție: dacă $x\circ y=3(x+1)(y+1)-1$, atunci $(-1)\circ y=-1$ pentru orice $y$; asociativitatea permite gruparea termenilor într-un compus lung.
• Derivate și limite: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x}{e^{-x}}=0$; dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ dacă $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\ell \in \mathbb{R}$.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; în particular ${\int }_a^{0}f(x)dx=-{\int }_0^{a}f(x)dx$. Primitivele unei funcții pe un interval diferă printr-o constantă.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=-\frac{4}{3}x+4$ de la cerința $2$, $f(x)=x{e}^x-e^x+1$ de la cerința $9$ și $f(x)=4x^3+3x^2+2x+1$ de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $a$ este al doilea parametru al matricei $A(x,a)$ la cerința $7$, un număr întreg din perechea $(a,b)$ la cerința $8$ și capătul integralei la cerința $10$, subpunctul c). Literele $A$ și $B$ sunt punctele de intersecție cu axele la cerința $2$ și vârfuri ale triunghiului la cerința $6$; $A$ este, în plus, numele matricei de la cerința $7$, iar $b$ (mic) este al doilea număr întreg de la cerința $8$.
• Semnul $\circ$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită prin $x\circ y=3xy+3x+3y+2$, nu compunerea funcțiilor; așa îl tipărește subiectul oficial.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".