Bac M2 2015, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2015 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați rația progresiei aritmetice ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$, știind că $a_3=6$ și $a_4=8$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați valoarea minimă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-9$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+3}=x+1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii $\{1,2,3,4,5,6,7\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,1)$ și $B(0,3)$. Determinați ecuația dreptei $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului $ABC$ în care $AB=8$ și $C=\frac{\pi }{6}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 2\\ 3& 6\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=-2$.

b) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\det (B(x)+I_2)=8$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A\cdot B(x)=B(x)\cdot A$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=xy-7x-7y+56$.

a) (5 puncte) Arătați că $(-7)\ast 7=7$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=(x-7)(y-7)+7$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Calculați $1\ast 2\ast 3\ast \cdots \ast 2015$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x-\ln x+x$.

a) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=e$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este convexă pe intervalul $(0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\frac{1}{f(x)}dx=\frac{3}{2}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1{x}^{2}f(x)dx=-\frac{1}{2}+\ln 2$.

c) (5 puncte) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[0,1]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2015; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Într-o progresie aritmetică diferența dintre doi termeni consecutivi este rația: $$r=a_4-a_3=8-6\text{(3 p)}.$$ $$r=2\text{(2 p)}.$$

(Control: cu $r=2$, $a_1=a_3-2r=2$, iar $a_1,a_2,a_3,a_4=2,4,6,8$ — se regăsesc datele. Unde se greșește de obicei: se împarte în loc să se scadă, $\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$, ca la o progresie geometrică; sau se scrie $r=a_3-a_4=-2$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, valoarea minimă.

Coeficientul lui $x^2$ este $a=1>0$, deci funcția are un minim, egal cu ordonata vârfului parabolei: $$\text{valoarea minima˘ a funcției este }-\frac{\Delta }{4a}\text{(2 p)}.$$ Cu $a=1$, $b=0$, $c=-9$ avem $\Delta =0^2-4\cdot 1\cdot (-9)=36$, deci $$-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{36}{4}=-9\text{(3 p)}.$$

(Control: $x^2\ge 0$, deci $x^2-9\ge -9$, cu egalitate în $x=0$. În baremul oficial, litera $\Delta$ din acest rând este scrisă cu fontul Symbol, care nu este încorporat în fișierul PDF, așa că unele programe de citire nu o afișează; ea se află însă în text, iar calculul care urmează, $-\frac{36}{4}$, arată că este vorba chiar de $\Delta =36$. Unde se greșește de obicei: se răspunde cu abscisa vârfului, $0$, în loc de valoarea minimă; sau se scrie $\Delta =-36$ și iese $9$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Ridicăm la pătrat ambii membri și reducem $x^2$: $$x^2+3=(x+1{)}^2\iff 3=2x+1\text{(3 p)}.$$ De aici $x=1$; verificare: $\sqrt{1+3}=2=1+1$, deci $\mathbf{x}=1$, care verifică ecuația (2 p).

(Ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă: ea poate adăuga soluții. De aceea valoarea găsită se verifică în ecuația inițială — aici membrul drept, $x+1=2$, este pozitiv, deci soluția rămâne. Unde se greșește de obicei: se scrie $(x+1{)}^2=x^2+1$, uitând termenul $2x$, și ecuația devine $3=1$, fără soluții.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică.

O submulțime cu două elemente a unei mulțimi cu $7$ elemente este o combinare de $7$ luate câte $2$: $$C_7^2=\frac{7!}{2!\cdot 5!}\text{(3 p)}.$$ $$C_7^2=\frac{7\cdot 6}{2}=21\text{(2 p)}.$$

(Control prin enumerare: elementul $1$ intră în $6$ perechi, $2$ în încă $5$ noi, și tot așa: $6+5+4+3+2+1=21$. Unde se greșește de obicei: se numără perechile ordonate, $A_7^2=42$ — dar $\{1,2\}$ și $\{2,1\}$ sunt aceeași submulțime.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, dreapta prin două puncte.

Ecuația dreptei care trece prin $A(2,1)$ și $B(0,3)$: $$\frac{y-1}{3-1}=\frac{x-2}{0-2}\text{(3 p)}.$$ Aducând la aceeași formă, $-2(y-1)=2(x-2)$, adică $\mathbf{y}=-\mathbf{x}+3$ (2 p).

(Control: $A$: $-2+3=1$; $B$: $0+3=3$ — ambele puncte verifică ecuația. Aceeași dreaptă se poate scrie și $x+y-3=0$. Unde se greșește de obicei: se scrie numitorul din dreapta $2-0$ în loc de $0-2$, adică $\frac{y-1}{2}=\frac{x-2}{2}$, și iese $y=x-1$ — dreaptă care trece prin $A$, dar nu și prin $B$; de aceea se verifică întotdeauna ambele puncte.)

Exercițiul 6. (5 p) — teorema sinusurilor.

Latura $AB$ este opusă unghiului $C$, deci din teorema sinusurilor: $$\frac{AB}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\frac{8}{2\cdot \frac{1}{2}}\text{(3 p)}.$$ $$R=8\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită factorul $2$ din $2R$ și iese $R=16$; sau se ia $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, confundând cu cosinusul, și iese $R=\frac{8}{\sqrt{3}}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea.

a) (5 p) Determinantul de ordinul al doilea este produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|=1\cdot 4-2\cdot 3\text{(3 p)}.$$ $$\det A=4-6=-2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele pe coloane, $1\cdot 3-2\cdot 4=-5$.)

b) (5 p) Adunăm $I_2$ pe diagonala principală: $$B(x)+I_2=\left(\begin{array}{cc}x+1& 2\\ 3& 7\end{array}\right)\Rightarrow \det (B(x)+I_2)=7(x+1)-6=7x+1\text{(3 p)}.$$ $$7x+1=8\iff \mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$

(Control: $B(1)+I_2=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 3& 7\end{array}\right)$, cu determinantul $14-6=8$. Unde se greșește de obicei: se adună $1$ la toate elementele matricei, nu doar pe diagonală.)

c) (5 p) Calculăm cele două produse: $$A\cdot B(x)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x& 2\\ 3& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x+6& 14\\ 3x+12& 30\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ $$B(x)\cdot A=\left(\begin{array}{cc}x& 2\\ 3& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x+6& 2x+8\\ 21& 30\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Egalând elementele corespunzătoare: $14=2x+8$ și $3x+12=21$, amândouă cu soluția $\mathbf{x}=3$ (1 p).

(Control: pentru $x=3$ ambele produse sunt $\left(\begin{array}{cc}9& 14\\ 21& 30\end{array}\right)$. Ambele egalități trebuie să aibă aceeași soluție — dacă ar fi ieșit valori diferite, nu ar fi existat niciun $x$. Unde se greșește de obicei: se consideră că $A\cdot B(x)=B(x)\cdot A$ pentru orice $x$, ca la numere; înmulțirea matricelor nu este comutativă.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Înlocuim $x=-7$ și $y=7$ în definiția legii: $$(-7)\ast 7=(-7)\cdot 7-7\cdot (-7)-7\cdot 7+56\text{(3 p)}.$$ $$(-7)\ast 7=-49+49-49+56=7\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: semnul lui $-7\cdot (-7)=+49$; dacă se pierde, iese $-91$.)

b) (5 p) Scriem $56=49+7$ și grupăm: $$x\ast y=xy-7x-7y+49+7\text{(2 p)}.$$ $$x\ast y=x(y-7)-7(y-7)+7=(x-7)(y-7)+7,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

(Control: pentru $x=-7$, $y=7$, forma nouă dă $(-14)\cdot 0+7=7$ — rezultatul de la a). Unde se greșește de obicei: se scrie $(x-7)(y-7)=xy-7x-7y-49$, cu semnul greșit la ultimul termen.)

c) (5 p) Din forma de la b), orice produs cu $7$ are factorul $0$: $$x\ast 7=7\text{ și }7\ast y=7,\text{ pentru }x\text{ și }y\text{ numere reale}\text{(2 p)}.$$ Legea fiind asociativă, putem grupa termenii din jurul lui $7$: $$1\ast 2\ast 3\ast \cdots \ast 2015=(1\ast 2\ast \cdots \ast 6)\ast 7\ast (8\ast 9\ast \cdots \ast 2015)=7\ast (8\ast 9\ast \cdots \ast 2015)=7\text{(3 p)}.$$

(Elementul $7$ se numește absorbant: compus cu orice element, dă tot $7$. Control: calculul direct, pas cu pas, al lui $1\ast 2\ast \cdots \ast 2015$, făcut de noi cu programul, dă $7$. Unde se greșește de obicei: se confundă $7$ cu elementul neutru — neutrul acestei legi este $8$, pentru că $x\ast 8=(x-7)\cdot 1+7=x$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivata ca limită, tangentă, convexitate.

a) (5 p) Limita din enunț este, prin definiție, derivata funcției în punctul $1$: $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f^{\prime }(1)\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=e^x-\frac{1}{x}+1\text{ și }{f}^{\prime }(1)=e\Rightarrow \underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=e\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $f^{\prime }(1)=e^1-1+1=e$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(-\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, pierzând semnul, și atunci $f^{\prime }(1)=e+2$; sau se derivează $e^x$ ca pe o putere, ${\left(e^x\right)}^{\prime }=x{e}^{x-1}$, și iese $f^{\prime }(1)=1-1+1=1$.)

b) (5 p) Avem nevoie de punctul de tangență și de pantă: $$f(1)=e-0+1=e+1,f^{\prime }(1)=e\text{(2 p)}.$$ $$\text{Ecuația tangentei este }y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)\Rightarrow y-e-1=e(x-1)\Rightarrow \mathbf{y}=\mathbf{ex}+1\text{(3 p)}.$$

(Control: în $x=1$ tangenta dă $e+1=f(1)$. Unde se greșește de obicei: se ia $f(1)=e$, uitând termenul $x=1$, și tangenta iese $y=ex$.)

c) (5 p) Derivăm încă o dată: $$f^{\prime \prime }(x)=e^x+\frac{1}{x^2},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Ambii termeni sunt strict pozitivi, deci $f^{\prime \prime }(x)>0$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$, deci $f$ este convexă pe intervalul $(0,+\infty )$ (3 p).

(Unde se greșește de obicei: ${\left(-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{x^2}$, cu plus — dacă se scrie cu minus, semnul lui $f^{\prime \prime }$ nu se mai poate stabili ușor. Convexitatea se citește din semnul derivatei a doua, nu al derivatei întâi.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și volumul unui corp de rotație.

a) (5 p) Cum $\frac{1}{f(x)}=x+1$, $${\int }_0^1\frac{1}{f(x)}dx={\int }_0^1(x+1)dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $${\int }_0^1\frac{1}{f(x)}dx=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se integrează $\frac{1}{f(x)}$ ca $\ln f(x)$ — dar $\frac{1}{f(x)}$ este aici un polinom, nu o fracție de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$.)

b) (5 p) Împărțim $x^2$ la $x+1$: $x^2=(x-1)(x+1)+1$, deci $${\int }_0^1{x}^{2}f(x)dx={\int }_0^1\frac{x^2}{x+1}dx={\int }_0^1\left(x-1+\frac{1}{x+1}\right)dx=\left(\frac{x^2}{2}-x+\ln (x+1)\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $${\int }_0^1{x}^{2}f(x)dx=\frac{1}{2}-1+\ln 2=-\frac{1}{2}+\ln 2\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,1]$ dă $0,193147$, iar $-\frac{1}{2}+\ln 2\approx 0,193147$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{x^2}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}$, uitând $-1$ din cât, și iese $\frac{1}{2}+\ln 2$.)

c) (5 p) Volumul corpului de rotație este $\pi$ înmulțit cu integrala pătratului funcției: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^1{g}^2(x)dx=\pi {\int }_0^1\frac{1}{(x+1{)}^2}dx=\pi \cdot \frac{-1}{x+1}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$\mathcal{V}=\pi \left(-\frac{1}{2}+1\right)=\frac{\pi }{2}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{\pi }{2}\approx 1,570796$. În baremul oficial volumul este notat $V$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{V}$. Unde se greșește de obicei: se integrează $g$ în loc de $g^2$ și iese $\pi \ln 2$; sau se scrie primitiva lui $\frac{1}{(x+1{)}^2}$ ca $\frac{1}{x+1}$, fără minus, și iese $-\frac{\pi }{2}$ — un volum negativ, semn sigur de greșeală.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea specială 2015 a examenului de bacalaureat național — Varianta 9. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2015:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: rația din doi termeni consecutivi — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: valoarea minimă, $-\frac{\Delta }{4a}$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: ridicarea la pătrat și verificarea soluției — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărul submulțimilor cu două elemente, $C_7^2$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: ecuația dreptei prin două puncte — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema sinusurilor și raza cercului circumscris — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, sumă și produs de matrice, matrice care comută — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Lege de compoziție: calcul direct, forma „descompusă" $(x-7)(y-7)+7$ și elementul absorbant — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata ca limită, ecuația tangentei, derivata a doua și convexitatea — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrala definită și volumul: formula Leibniz–Newton, împărțirea numărătorului la numitor, volumul unui corp de rotație — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială din 2015. Subiectul I este format din șase cerințe directe, fiecare cu o singură formulă de aplicat: rația, $-\frac{\Delta }{4a}$, ridicarea la pătrat, $C_7^2$, dreapta prin două puncte și teorema sinusurilor. Subiectul al II-lea pune în primul slot o matrice cu un singur element variabil — produsele $A\cdot B(x)$ și $B(x)\cdot A$ se compară element cu element — iar în al doilea o lege de compoziție la care totul se sprijină pe forma $x\ast y=(x-7)(y-7)+7$: din ea se vede imediat că $7$ „înghite" orice element, iar produsul lung de la subpunctul c) se reduce la $7$, fără niciun calcul lung. Subiectul al III-lea cere la problema 1 lanțul derivată → tangentă → derivata a doua, iar la problema 2 trei integrale scurte, dintre care una cere împărțirea lui $x^2$ la $x+1$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri". Tot așa, împărțirea numărătorului la numitor de la problema a doua a Subiectului al III-lea, subpunctul b), $\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$, stă în unitatea „Supliment Bac M2 2027–2029: integrale de funcții raționale".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, o fracție simplă, $\ln 2$ și $\frac{\pi }{2}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la 10 punctajul total.
• Greșeli de redactare de evitat: soluția ecuației iraționale dată fără verificare; ecuația dreptei scrisă fără să se arate că trece prin ambele puncte; produsul lung de la problema 8 „calculat" fără să se spună de ce apare $7$; convexitatea afirmată fără semnul derivatei a doua.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii: într-o progresie aritmetică $r=a_{n+1}-a_n$. Funcția de gradul al doilea: pentru $a>0$, valoarea minimă a lui $a{x}^2+bx+c$ este $-\frac{\Delta }{4a}$. Ecuații iraționale: din $\sqrt{E}=F$ rezultă $E=F^2$ — soluțiile se verifică în ecuația inițială. Combinări: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Dreapta prin $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$: $\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}$. Teorema sinusurilor: $\frac{AB}{\sin C}=2R$.
• Matrice: $\left|\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right|=ps-qr$; două matrice sunt egale exact când au elementele corespunzătoare egale; în general $A\cdot B\ne B\cdot A$.
• Legi de compoziție: dacă $x\ast y=(x-k)(y-k)+k$, atunci $x\ast k=k\ast y=k$ — elementul $k$ este absorbant.
• Derivate: $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)$; tangenta în punctul de abscisă $a$: $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$; dacă $f^{\prime \prime }>0$ pe un interval, $f$ este convexă pe el.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{1}{x+1}dx=\ln (x+1)+\mathcal{C}$ pe $(-1,+\infty )$; volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ în jurul axei $Ox$ este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=x^2-9$ de la cerința $2$, funcția $f(x)=e^x-\ln x+x$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=\frac{1}{x+1}$ de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $x$ este, la cerința $7$, parametrul real al matricei $B(x)$, iar la cerința $8$ un element oarecare al legii de compoziție. Tot așa, $A$ și $B$ sunt puncte la cerința $5$, vârfuri ale triunghiului la cerința $6$ și matrice la cerința $7$, iar $C$ notează combinările la cerința $4$ ($C_7^2$) și un vârf al triunghiului la cerința $6$. Acolo, $C=\frac{\pi }{6}$ este scris așa în documentul oficial, fără semnul unghiului, și înseamnă că unghiul $C$ are măsura $\frac{\pi }{6}$.
• La cerința $10$, subpunctul c), funcția $g$ are aceeași lege ca $f$, $g(x)=f(x)$, dar este considerată doar pe intervalul $[0,1]$; notația $g^2(x)$ din formula volumului înseamnă $(g(x){)}^2$, nu $g(g(x))$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".