Bac M2 2016, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2016 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați al doilea termen al progresiei geometrice $(b_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $b_1=4$ și rația $q=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3(2x+1)={\log }_{3}5$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii $\{0,1,2,3,4\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$, știind că punctul $M(1,0)$ aparține dreptei de ecuație $y=mx-2$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului $ABC$, în care $AB=\sqrt{2}$ și $C=\frac{\pi }{4}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{cc}2-a& 1\\ 1& 2-a\end{array}\right),$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(2))=-1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(a)+A(-a)=2A(0)$, pentru orice număr real $a$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$, știind că $A(x)A(x)=2A(1)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-4X^2+mX+4$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(-1)+f(1)=0$, pentru orice număr real $m$.

b) (5 puncte) Pentru $m=-1$, arătați că polinomul $f$ se divide cu polinomul $X^2-1$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$, știind că $x_1^2+x_2^2+x_3^2-4\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)=0$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$, $x\in (1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=2$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(e)<\frac{7}{2}$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x}{x^2}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2{x}^{2}f(x)dx=e(e-1)$.

b) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este convexă pe intervalul $[2,+\infty )$.

c) (5 puncte) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=2$ are aria mai mică sau egală cu $e(e-1)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2016; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresii geometrice.

Fiecare termen se obține din precedentul prin înmulțire cu rația: $$b_2=b_1\cdot q=4\cdot 2\text{(3 p)}.$$ $$b_2=8\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se adună rația, ca la progresia aritmetică, și iese $b_2=6$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, vârful parabolei.

Pentru $f(x)=x^2-2x$ avem $a=1$, $b=-2$, $c=0$, deci abscisa vârfului este $$x_V=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1\text{(2 p)}.$$ Ordonata vârfului este $y_V=f(1)=1-2=-1$, deci vârful este $\mathbf{V}(1,-1)$ (3 p).

(Control cu formula: $\Delta =4$, $y_V=-\frac{\Delta }{4a}=-1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x_V=\frac{b}{2a}=-1$, fără semnul minus, și iese $V(-1,3)$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmii au aceeași bază, iar funcția logaritmică este injectivă, deci argumentele sunt egale: $$2x+1=5\Rightarrow 2x=4\text{(3 p)}.$$ Rezultă $\mathbf{x}=2$, care verifică ecuația (2 p).

(Verificarea: pentru $x=2$, $2x+1=5>0$, deci logaritmul este definit. Unde se greșește de obicei: se tratează membrul drept ca pe un număr, ${\log }_3(2x+1)=5$, și se scrie $2x+1=3^5$, adică $x=121$ — dar ${\log }_{3}5$ nu este $5$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică.

Mulțimea are $5$ elemente, iar o submulțime cu două elemente înseamnă o alegere neordonată a două dintre ele, adică o combinare: $$C_5^2=\frac{5!}{2!\cdot 3!}\text{(3 p)}.$$ $$C_5^2=\frac{120}{2\cdot 6}=10\text{(2 p)}.$$

(Control, prin enumerare: $\{0,1\},\{0,2\},\{0,3\},\{0,4\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}$ — zece. Unde se greșește de obicei: se folosesc aranjamentele, $A_5^2=20$, numărând fiecare submulțime de două ori; sau se uită elementul $0$ și se lucrează cu $4$ elemente.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, punct pe dreaptă.

Punctul $M(1,0)$ aparține dreptei exact când coordonatele lui verifică ecuația dreptei: $$0=m\cdot 1-2\text{(3 p)}.$$ Rezultă $\mathbf{m}=2$ (2 p).

(Control: dreapta $y=2x-2$ trece prin $(1,0)$. Unde se greșește de obicei: se inversează coordonatele și se scrie $1=m\cdot 0-2$, o egalitate imposibilă.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, teorema sinusurilor.

Latura $AB$ se opune unghiului $C$, deci, cu teorema sinusurilor și $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$: $$\frac{AB}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\frac{\sqrt{2}}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}\text{(3 p)}.$$ $$R=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită factorul $2$ din $2R$ și iese $R=2$; sau se ia $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}$ și iese $R=\sqrt{2}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=2$: $$A(2)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)⟹\det (A(2))=\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ $$\det (A(2))=0\cdot 0-1\cdot 1=-1\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se adună produsele diagonalelor și iese $1$.)

b) (5 p) Se adună element cu element: $$A(a)+A(-a)=\left(\begin{array}{cc}2-a& 1\\ 1& 2-a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2+a& 1\\ 1& 2+a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 4\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ $$\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 4\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=2A(0),\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: în $A(-a)$ se scrie $2-(-a)=2-a$, pierzând semnul, și suma iese $\left(\begin{array}{cc}4-2a& 2\\ 2& 4-2a\end{array}\right)$.)

c) (5 p) Se calculează pătratul matricei și membrul drept: $$A(x)A(x)=\left(\begin{array}{cc}{x}^2-4x+5& 4-2x\\ 4-2x& x^2-4x+5\end{array}\right),2A(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalând elementele corespunzătoare, se obține sistemul $$\{\begin{array}{l}{x}^2-4x+5=2\\ 4-2x=2\end{array},\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul produsului: pe diagonală, $(2-x{)}^2+1=x^2-4x+5$; în afara ei, $2(2-x)=4-2x$. A doua ecuație dă $x=1$, iar prima, $x^2-4x+3=0$, are rădăcinile $1$ și $3$; soluția comună este $x=1$. Unde se greșește de obicei: se rezolvă doar prima ecuație și se păstrează și $x=3$, pentru care $4-2x=-2\ne 2$; sau se ridică la pătrat fiecare element, $\left(\begin{array}{cc}(2-x{)}^2& 1\\ 1& (2-x{)}^2\end{array}\right)$, care nu este produsul matriceal.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Se calculează valoarea în $-1$: $$f(-1)=(-1{)}^3-4\cdot (-1{)}^2+m\cdot (-1)+4=-m-1\text{(2 p)}.$$ Valoarea în $1$ este $f(1)=1^3-4\cdot 1^2+m\cdot 1+4=m+1$, deci $$f(-1)+f(1)=-m-1+m+1=0,\text{ pentru orice numa˘r real }m\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $(-1{)}^3=1$, și atunci $f(-1)=1-m$ și suma iese $2$; sau $-4\cdot (-1{)}^2=4$, și atunci $f(-1)=7-m$ și suma iese $8$ — în loc de $0$.)

b) (5 p) Pentru $m=-1$, din a): $$f(-1)=-(-1)-1=0\text{și}f(1)=-1+1=0\text{(3 p)}.$$ După teorema lui Bézout, $X-1$ divide $f$ și $X+1$ divide $f$, deci polinomul $f$ se divide cu polinomul $X^2-1$ (2 p).

(Justificarea pe care baremul o lasă nescrisă: $X-1$ și $X+1$ sunt prime între ele (au rădăcini diferite), iar produsul lor este $X^2-1$. Control prin împărțire: pentru $m=-1$, $f=X^3-4X^2-X+4=(X^2-1)(X-4)$. Unde se greșește de obicei: se arată doar $f(1)=0$, adică doar divizibilitatea cu $X-1$.)

c) (5 p) Relațiile lui Viète dau $$x_1+x_2+x_3=4,x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=m\Rightarrow x_1^2+x_2^2+x_3^2=16-2m\text{(3 p)}.$$ Cum $x_1{x}_2{x}_3=-4$ și $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1}{x_1{x}_2{x}_3}$, $$x_1^2+x_2^2+x_3^2-\frac{4\left(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1\right)}{x_1{x}_2{x}_3}=16-2m-\frac{4m}{-4}=16-m,$$ iar condiția $16-m=0$ dă $\mathbf{m}=16$ (2 p).

(Rădăcinile sunt nenule, pentru că $f(0)=4\ne 0$, deci inversele lor au sens. Suma pătratelor: $16-2m=4^2-2m$. Control numeric: pentru $m=16$, cu rădăcinile lui $X^3-4X^2+16X+4$ calculate numeric, expresia din enunț iese $0$ (cu o eroare sub $10^{-12}$). Unde se greșește de obicei: se ia $x_1{x}_2{x}_3=4$, cu semnul greșit, și iese $16-3m=0$, adică $m=\frac{16}{3}$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, inegalitate din monotonie.

a) (5 p) Se derivează câtul: $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x-1)(x-1)-\left(x^2-x+1\right)}{(x-1{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Desfăcând numărătorul, $(2x-1)(x-1)=2x^2-3x+1$, iar $2x^2-3x+1-x^2+x-1=x^2-2x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2},x\in (1,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: derivata numitorului $x-1$ se ia $x$ în loc de $1$; sau se schimbă ordinea din numărător.)

b) (5 p) Valorile în punctul de tangență: $$f(2)=\frac{4-2+1}{1}=3,f^{\prime }(2)=\frac{2\cdot 0}{1}=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-f(2)=f^{\prime }(2)(x-2)$, adică $\mathbf{y}=3$ (3 p).

(Tangenta este orizontală, pentru că panta $f^{\prime }(2)$ este $0$: punctul de abscisă $2$ este punct de minim al funcției. Unde se greșește de obicei: se scrie tangenta $y=3x$, confundând valoarea funcției cu panta.)

c) (5 p) Pentru $x\in (2,+\infty )$, factorii $x$ și $x-2$ sunt pozitivi, deci $$f^{\prime }(x)>0,\text{ pentru orice }x\in (2,+\infty )\Rightarrow f\text{ este strict cresca˘toare pe }(2,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Cum $2<e<3$ și $f(3)=\frac{9-3+1}{2}=\frac{7}{2}$, obținem $f(e)<f(3)$, adică $\mathbf{f}(\mathbf{e})<\frac{7}{2}$ (3 p).

(Ambele numere, $e$ și $3$, sunt în intervalul $(2,+\infty )$, unde funcția este strict crescătoare; de aceea $e<3$ implică $f(e)<f(3)$. Control numeric: $f(e)=\frac{e^2-e+1}{e-1}\approx 3,300259<3,5$. Unde se greșește de obicei: se citește greșit semnul derivatei, ca și cum $f$ ar descrește pe $(2,+\infty )$, și din $e<3$ se trage $f(e)>f(3)=\frac{7}{2}$ — exact contrariul. Greșeală de justificare: se invocă monotonia pe tot domeniul $(1,+\infty )$, unde $f$ NU este monotonă — ea descrește pe $(1,2]$; concluzia iese, dar argumentul e fals.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite, convexitate și aria unei suprafețe plane.

a) (5 p) Produsul se simplifică: $x^{2}f(x)=e^x$, deci $${\int }_1^2{x}^{2}f(x)dx={\int }_1^2{e}^{x}dx=e^x{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $$e^x{|}_1^2=e^2-e=\mathbf{e}(\mathbf{e}-1)\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $e^x{|}_1^2=e^{2-1}=e$, scăzând exponenții în loc să se scadă valorile.)

b) (5 p) Dacă $F$ este o primitivă a funcției $f$, atunci $$F^{\prime }(x)=f(x),\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Derivata a doua este derivata lui $f$: $$F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=\frac{e^x(x-2)}{x^3}\ge 0,\text{ pentru orice }x\in [2,+\infty ),$$ deci funcția $F$ este convexă pe $[2,+\infty )$ (3 p).

(Detaliul derivatei: $f^{\prime }(x)=\frac{e^x{x}^2-e^x\cdot 2x}{x^4}=\frac{e^x(x-2)}{x^3}$. Pe $[2,+\infty )$, $e^x>0$, $x-2\ge 0$ și $x^3>0$. Nu e nevoie de o formulă pentru $F$ — de altfel, primitiva lui $\frac{e^x}{x^2}$ nu se exprimă prin funcții elementare. Unde se greșește de obicei: se studiază semnul lui $f$ în loc de semnul lui $f^{\prime }$; $f>0$ arată că $F$ este crescătoare, nu convexă.)

c) (5 p) Pe $[1,2]$ funcția $f$ este pozitivă, deci aria este $$\mathcal{S}={\int }_1^2|f(x)|dx={\int }_1^2\frac{e^x}{x^2}dx\text{(2 p)}.$$ Cum $x\ge 1\Rightarrow x^2\ge 1\Rightarrow \frac{1}{x^2}\le 1$, obținem $\frac{e^x}{x^2}\le e^x$, deci $$\mathcal{S}\le {\int }_1^2{e}^{x}dx,\text{ adica˘ }\mathcal{S}\le e(e-1)\text{(3 p)}.$$

(Integrala lui $e^x$ pe $[1,2]$ a fost calculată la a): $e(e-1)$. Majorarea integralei vine din monotonia integralei: dacă $g\le h$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}g\le {\int }_a^{b}h$. Control numeric: $\mathcal{S}\approx 2,082870$, iar $e(e-1)\approx 4,670774$. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi, $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: se scrie majorarea invers, $\frac{e^x}{x^2}\ge e^x$, care pe $[1,2]$ este falsă (de exemplu, în $x=2$: $\frac{e^2}{4}<e^2$).)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea august-septembrie 2016 a examenului de bacalaureat național — Varianta 2, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2016:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii geometrice: al doilea termen din primul termen și rație — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: coordonatele vârfului parabolei — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică cu aceeași bază în ambii membri — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărul submulțimilor cu două elemente, prin combinări — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: condiția ca un punct să aparțină unei drepte — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema sinusurilor și raza cercului circumscris — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinant, suma a două matrice cu parametru, pătratul unei matrice și o egalitate de matrice — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valori ale unui polinom, divizibilitatea cu $X^2-1$, relațiile lui Viète — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, ecuația tangentei, o inegalitate din monotonie — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrala definită și aria: o integrală cu exponențiala, convexitatea unei primitive, majorarea unei arii — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august 2016. Subiectul I este format din șase aplicații directe de formulă: progresia geometrică, vârful parabolei, egalarea argumentelor logaritmilor, combinările $C_5^2$, un punct pe o dreaptă și teorema sinusurilor. La Subiectul al II-lea, matricea $A(a)$ este simetrică, iar pătratul ei se calculează o singură dată, ca funcție de $x$; polinomul are suma valorilor $f(-1)+f(1)$ independentă de $m$, iar pentru $m=-1$ se anulează în $\pm 1$, deci se divide cu $X^2-1$. Subpunctul c) cere relațiile lui Viète pentru suma pătratelor și suma inverselor rădăcinilor. La Subiectul al III-lea, inegalitatea $f(e)<\frac{7}{2}$ nu cere nicio aproximare a lui $e$: ajung monotonia pe $(2,+\infty )$ și faptul că $2<e<3$. La problema 2, primitiva nu trebuie găsită (nici nu are o formulă elementară): convexitatea ei se citește din $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$, iar aria se majorează comparând $\frac{e^x}{x^2}$ cu $e^x$ pe $[1,2]$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $8$, $V(1,-1)$, $x=2$, $10$, $m=2$, $R=1$, $-1$, $x=1$, $m=16$, $y=3$ și $e(e-1)$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total obținut pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluția scrisă fără verificarea condiției de existență; la cerința 7, subpunctul c), doar una dintre cele două ecuații ale sistemului rezolvată (ambele trebuie să aibă aceeași soluție); la cerința 9, subpunctul c), inegalitatea $f(e)<f(3)$ scrisă fără monotonia funcției; la cerința 10, subpunctul c), majorarea integrandului scrisă fără inegalitatea $\frac{1}{x^2}\le 1$ pe $[1,2]$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresia geometrică: $b_{n+1}=b_n\cdot q$. Vârful parabolei $y=a{x}^2+bx+c$: $x_V=-\frac{b}{2a}$, $y_V=-\frac{\Delta }{4a}$. Logaritmi: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, cu $u,v>0$. Combinări: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Teorema sinusurilor: $\frac{AB}{\sin C}=2R$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; două matrice sunt egale când au elementele corespunzătoare egale.
• Polinoame: $f$ se divide cu $X-a$ exact când $f(a)=0$; pentru $f=X^3+b{X}^2+cX+d$, Viète: $x_1+x_2+x_3=-b$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=c$, $x_1{x}_2{x}_3=-d$; $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; tangenta în punctul de abscisă $a$: $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$; o funcție cu derivata a doua pozitivă pe un interval este convexă pe acel interval.
• Integrale: $\int e^{x}dx=e^x+\mathcal{C}$; dacă $0\le g(x)\le h(x)$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}g(x)dx\le {\int }_a^{b}h(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește patru obiecte diferite: funcția $f(x)=x^2-2x$ la cerința $2$, polinomul $f=X^3-4X^2+mX+4$ la cerința $8$, funcția $f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}$ la cerința $9$ și funcția $f(x)=\frac{e^x}{x^2}$ la cerința $10$. La cerința $10$, $F$ este o primitivă oarecare a lui $f$.
• Litera $A$ este vârful triunghiului de la cerința $6$ și matricea $A(a)$ de la cerința $7$; litera $C$ apare în combinările $C_5^2$ de la cerința $4$ și ca vârf al triunghiului de la cerința $6$. Litera $m$ este necunoscuta de la cerința $5$ și parametrul real al polinomului de la cerința $8$; litera $a$ este parametrul real al matricei de la cerința $7$, iar la cerința $7$, subpunctul c), necunoscuta este numărul real $x$.
• La cerința $6$, „$C=\frac{\pi }{4}$" înseamnă măsura unghiului din vârful $C$; la cerința $9$, $e$ este numărul lui Euler, $e\approx 2,718$. Baremul oficial notează aria de la cerința $10$ cu $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".