Bac M2 2016, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2016 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră numărul complex $z=1-i$. Arătați că $z^2=-2i$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați $(g\circ f)(0)$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2016$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x-2016$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{x^2-3x}=3^{x-4}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $M=\{1,2,3,\dots ,100\}$, acesta să fie pătrat perfect.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(0,1)$. Determinați ecuația dreptei $d$, care trece prin punctul $A$ și este paralelă cu dreapta de ecuație $y=3x-2016$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Determinați aria triunghiului $ABC$, știind că $AB=6$, $AC=4$ și $A=\frac{\pi }{6}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(m)=\left(\begin{array}{cc}m-1& -1\\ 2& m-2\end{array}\right),$$ unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=4$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(1+m)+A(1-m)=2A(1)$, pentru orice număr real $m$.

c) (5 puncte) Demonstrați că matricea $A(m)$ este inversabilă, pentru orice număr real $m$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=-3xy+9x+9y-24$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=-3(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Demonstrați că legea de compoziție „$\ast$" este asociativă.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$, pentru care $(x\ast x)\ast x=12$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{3\left(x^3-1\right)}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)\ge 1$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x+3}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\left(x^2+3x+3\right)f(x)dx=6$.

b) (5 puncte) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=3$ are aria egală cu $\ln 7$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ${\int }_{-1}^0{f}^{\prime }(x)f(x)dx=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2016; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Se ridică binomul la pătrat: $$z^2=(1-i{)}^2=1-2i+i^2\text{(2 p)}.$$ Cum $i^2=-1$, $$z^2=1-2i-1=-2i\text{(3 p)}.$$

(Control: $(1-i)(1-i)=1-i-i+i^2=-2i$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(1-i{)}^2=1-i^2=2$, uitând termenul din mijloc; sau se ia $i^2=1$ și iese $2-2i$.)

Exercițiul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Întâi se aplică $f$: $$f(0)=0+2016=2016\text{(2 p)}.$$ Apoi $g$, pe rezultat: $$(g\circ f)(0)=g(f(0))=g(2016)=2016-2016=0\text{(3 p)}.$$

(De fapt, $(g\circ f)(x)=(x+2016)-2016=x$ pentru orice $x$ real, deci $g\circ f$ este funcția identică. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc valorile, $f(0)\cdot g(0)=2016\cdot (-2016)$, în loc să se compună.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Puterile au aceeași bază, $3$, iar funcția exponențială de bază $3$ este injectivă, deci exponenții sunt egali: $$x^2-3x=x-4⟺x^2-4x+4=0\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este pătratul $(x-2{)}^2$, deci ecuația are soluția dublă $\mathbf{x}=2$ (2 p).

(Verificare: pentru $x=2$ ambii exponenți valorează $-2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x^2-3x=x-4$ ca $x^2-2x+4=0$, pierzând semnul lui $x$ la trecerea în membrul stâng — ecuația aceea n-are soluții reale.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea $M$ are $100$ de elemente, deci sunt $100$ de cazuri posibile (1 p).

În mulțimea $M$ sunt $10$ pătrate perfecte, $1^2,2^2,\dots ,10^2$, deci sunt $10$ cazuri favorabile (2 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se numără și $0=0^2$, care nu este în $M$; sau se oprește numărătoarea la $9^2=81$ și iese $\frac{9}{100}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, drepte paralele.

Dreapta dată, $y=3x-2016$, are panta $3$; dreptele paralele cu ea au aceeași pantă, deci panta dreptei $d$ este egală cu $3$ (2 p).

Dreapta de pantă $3$ care trece prin $A(0,1)$ este $y-1=3(x-0)$, adică $$d:\mathbf{y}=3x+1\text{(3 p)}.$$

(Control: $A(0,1)$ verifică $1=3\cdot 0+1$. În baremul oficial, ambele rânduri folosesc litera $d$ pentru dreapta dată („panta unei drepte paralele cu dreapta $d$", „ecuația dreptei care trece prin punctul $A$ și este paralelă cu dreapta $d$"); în enunț, $d$ este dreapta căutată — o scăpare de literă a documentului, care nu schimbă rezolvarea. Unde se greșește de obicei: se ia panta perpendicularei, $-\frac{1}{3}$; sau se păstrează ordonata la origine a dreptei date și iese $y=3x-2016$, care nu trece prin $A$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, aria triunghiului.

Aria unui triunghi este semiprodusul a două laturi înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele; $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$: $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{6\cdot 4\cdot \sin \frac{\pi }{6}}{2}=\frac{6\cdot 4\cdot \frac{1}{2}}{2}\text{(3 p)}.$$ $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{12}{2}=6\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ în loc de sinus și iese $6\sqrt{3}$; sau se uită împărțirea la $2$ și iese $12$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $m=0$: $$A(0)=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 2& -2\end{array}\right)⟹\det (A(0))=\left|\begin{array}{cc}-1& -1\\ 2& -2\end{array}\right|=(-1)(-2)-(-1)\cdot 2\text{(2 p)}.$$ $$\det (A(0))=2-(-2)=4\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scade $2$ în loc de $-2$ și iese $0$.)

b) (5 p) Se adună element cu element: $$A(1+m)+A(1-m)=\left(\begin{array}{cc}1+m-1& -1\\ 2& 1+m-2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1-m-1& -1\\ 2& 1-m-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 4& -2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ $$\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 4& -2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& -1\end{array}\right)=2A(1),\text{ pentru orice numa˘r real }m\text{(2 p)}.$$

(Termenii cu $m$ se reduc: $m+(-m)=0$ pe ambele poziții de pe diagonală. Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu $2$ doar diagonala, și se scrie $2A(1)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& -2\end{array}\right)$.)

c) (5 p) Determinantul matricei, ca funcție de $m$: $$\det (A(m))=\left|\begin{array}{cc}m-1& -1\\ 2& m-2\end{array}\right|=(m-1)(m-2)+2=m^2-3m+4\text{(2 p)}.$$ Pentru orice număr real $m$, $m^2-3m+4\ne 0$, deci matricea $A(m)$ este inversabilă (3 p).

(Justificarea pe care baremul o lasă nescrisă: trinomul $m^2-3m+4$ are discriminantul $\Delta =9-16=-7<0$ și coeficientul lui $m^2$ pozitiv, deci ia numai valori strict pozitive; altfel spus, $m^2-3m+4={\left(m-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}\ge \frac{7}{4}$. Unde se greșește de obicei: se scrie determinantul $(m-1)(m-2)-2=m^2-3m$, cu semnul greșit la produsul de pe diagonala secundară — atunci ar ieși, fals, că $A(0)$ și $A(3)$ nu sunt inversabile, în contradicție chiar cu subpunctul a).)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se scrie $-24=-27+3$: $$x\ast y=-3xy+9x+9y-27+3\text{(2 p)}.$$ Se grupează termenii: $$x\ast y=-3x(y-3)+9(y-3)+3=-3(x-3)(y-3)+3,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

(Control, desfăcând: $-3(xy-3x-3y+9)+3=-3xy+9x+9y-27+3$. Unde se greșește de obicei: se scrie $-3(x-3)(y-3)=-3xy+9x+9y+27$, cu semnul greșit la produsul $-3\cdot 9$.)

b) (5 p) Cu forma de la a), pentru orice numere reale $x$, $y$, $z$: $$(x\ast y)\ast z=(-3(x-3)(y-3)+3)\ast z=9(x-3)(y-3)(z-3)+3\text{(2 p)}.$$ $$x\ast (y\ast z)=x\ast (-3(y-3)(z-3)+3)=9(x-3)(y-3)(z-3)+3=(x\ast y)\ast z,$$ pentru orice numere reale $x$, $y$ și $z$, deci legea de compoziție „$\ast$" este asociativă (3 p).

(Detaliul calculului: dacă $u=x\ast y$, atunci $u-3=-3(x-3)(y-3)$, iar $u\ast z=-3(u-3)(z-3)+3=9(x-3)(y-3)(z-3)+3$. Unde se greșește de obicei: se „verifică" asociativitatea pe câteva numere; exemplele nu demonstrează o proprietate valabilă pentru orice $x$, $y$, $z$.)

c) (5 p) Cu formula de la b), pentru $y=z=x$: $$(x\ast x)\ast x=9(x-3{)}^3+3\text{(2 p)}.$$ $$9(x-3{)}^3+3=12⟺(x-3{)}^3=1⟺\mathbf{x}=4\text{(3 p)}.$$

(Echivalența $(x-3{)}^3=1⟺x-3=1$ vine din faptul că funcția $t\mapsto t^3$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci singurul număr real al cărui cub este $1$ este $1$. Control: $4\ast 4=-3+3=0$, iar $0\ast 4=-3\cdot (-3)\cdot 1+3=12$. Unde se greșește de obicei: se ia $(x\ast x)\ast x=-3(x-3{)}^3+3$, uitând că la a doua compunere factorul $-3$ se înmulțește încă o dată cu $-3$; ar ieși $(x-3{)}^3=-3$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, asimptotă, inegalitate din monotonie.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: $$f^{\prime }(x)=3x^2-\frac{3}{x}\text{(3 p)}.$$ Aducând la același numitor, $$f^{\prime }(x)=\frac{3x^3-3}{x}=\frac{3\left(x^3-1\right)}{x},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $(3\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{3x}$ sau $3\ln x$ derivat ca $\frac{3}{x^2}$.)

b) (5 p) Singurul capăt finit al domeniului este $0$, și acolo se calculează limita la dreapta: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\left(x^3-3\ln x\right)=+\infty \text{(2 p)}.$$ Dreapta de ecuație $\mathbf{x}=0$ este asimptotă verticală la graficul funcției $f$ (3 p).

(Limita: $x^3\to 0$, iar $\ln x\to -\infty$, deci $-3\ln x\to +\infty$. Unde se greșește de obicei: se scrie ecuația asimptotei $y=0$ — aceea ar fi o dreaptă orizontală; sau se caută asimptotă verticală în $x=1$, unde $f$ este continuă și limita este finită, $f(1)=1$.)

c) (5 p) Se studiază semnul derivatei: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=1\text{(1 p)}.$$ Pentru $x\in (0,1]$, $x^3-1\le 0$, deci $f^{\prime }(x)\le 0$ și $f$ este descrescătoare pe $(0,1]$ (1 p).

Pentru $x\in [1,+\infty )$, $x^3-1\ge 0$, deci $f^{\prime }(x)\ge 0$ și $f$ este crescătoare pe $[1,+\infty )$ (1 p).

Cum $f(1)=1-3\ln 1=1$, iar $1$ este punctul de minim al funcției, obținem $\mathbf{f}(\mathbf{x})\ge 1$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$ (2 p).

(Pe $(0,+\infty )$ numitorul $x$ este pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x^3-1$. Control numeric: $f(0,5)=0,125+3\ln 2\approx 2,204442$ și $f(2)=8-3\ln 2\approx 5,920558$, amândouă peste $1$. Unde se greșește de obicei: se arată doar că $f(1)=1$, fără monotonie — o singură valoare nu spune nimic despre celelalte; sau se inversează sensul monotoniei pe cele două intervale, și atunci $1$ ar fi maxim.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și aria unei suprafețe plane.

a) (5 p) Produsul se simplifică: $\left(x^2+3x+3\right)f(x)=2x+3$, deci $${\int }_1^2\left(x^2+3x+3\right)f(x)dx={\int }_1^2(2x+3)dx=\left(x^2+3x\right){|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $$\left(x^2+3x\right){|}_1^2=10-4=6\text{(2 p)}.$$

(Numitorul $x^2+3x+3$ nu se anulează niciodată: discriminantul lui este $9-12=-3<0$. Unde se greșește de obicei: primitiva lui $2x+3$ se scrie $x^2+3$, uitând că primitiva constantei $3$ este $3x$; ar ieși $7-4=3$.)

b) (5 p) Pe $[0,3]$ numărătorul $2x+3$ și numitorul sunt pozitive, deci $f(x)>0$ și $|f(x)|=f(x)$. Numărătorul este derivata numitorului: $$\mathcal{S}={\int }_0^3|f(x)|dx={\int }_0^3\frac{2x+3}{x^2+3x+3}dx=\ln \left(x^2+3x+3\right){|}_0^3\text{(3 p)}.$$ $$\mathcal{S}=\ln 21-\ln 3=\ln 7\text{(2 p)}.$$

(Integrala este de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$, cu $u=x^2+3x+3$ și $u^{\prime }=2x+3$. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,3]$ dă $1,945910$, iar $\ln 7\approx 1,945910$. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi, $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\ln 21-\ln 3=\ln 18$, scăzând argumentele în loc să le împartă.)

c) (5 p) Integrandul $f^{\prime }\cdot f$ este derivata lui $\frac{f^2}{2}$: $${\int }_{-1}^0{f}^{\prime }(x)f(x)dx=\frac{1}{2}{f}^2(x){|}_{-1}^0\text{(3 p)}.$$ Cum $f(0)=\frac{3}{3}=1$ și $f(-1)=\frac{1}{1-3+3}=1$, $$\frac{1}{2}\left(f^2(0)-f^2(-1)\right)=\frac{1}{2}(1-1)=0\text{(2 p)}.$$

(Control: ${\left(\frac{f^2}{2}\right)}^{\prime }=\frac{2f\cdot f^{\prime }}{2}=f^{\prime }\cdot f$. Rezultatul $0$ nu înseamnă că integrandul este nul: pe $[-1,0]$ el își schimbă semnul, iar ariile de deasupra și de dedesubtul axei se compensează. Unde se greșește de obicei: la $f(-1)$ se pierde semnul lui $3\cdot (-1)$ din numitor, se ia $f(-1)=\frac{1}{1+3+3}=\frac{1}{7}$ și iese $\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{49}\right)=\frac{24}{49}$, nu $0$. O primitivă greșită, $f^2(x)$ fără $\frac{1}{2}$ sau $f(x)$, ar da aici tot $0$, pentru că $f(0)=f(-1)$ — rezultatul bun nu salvează însă primitiva greșită.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea iunie-iulie 2016 a examenului de bacalaureat național — Varianta 8, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2016:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: pătratul unui binom cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: valoarea lui $g\circ f$ într-un punct — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aceeași bază în ambii membri, egalarea exponenților, apoi o ecuație de gradul al doilea — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: pătratele perfecte dintre $1$ și $100$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: dreapta paralelă cu o dreaptă dată, prin panta ei — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: aria triunghiului cu formula cu sinusul unghiului — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinant, suma a două matrice cu parametru, inversabilitate — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: forma „descompusă" a legii, asociativitatea, o ecuație cu $x\ast x\ast x$ — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, asimptota verticală, minimul unei funcții din tabelul de variație — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrala definită și aria: o integrală polinomială, o integrală de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$ și una de tipul $f^{\prime }\cdot f$ — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2016. Subiectul I este o suită de calcule directe, fără nicio cerință de raționament lung; capcanele sunt mici: $i^2=-1$ la cerința 1, ordinea compunerii la cerința 2 (întâi $f$, apoi $g$) și numărarea pătratelor perfecte la cerința 4 ($1^2,2^2,\dots ,10^2$ — zece). La Subiectul al II-lea, matricea are un determinant care este un trinom fără rădăcini reale, deci matricea e inversabilă pentru orice $m$; legea de compoziție se scrie „descompus", $-3(x-3)(y-3)+3$, și această formă face toată problema: asociativitatea și ecuația $(x\ast x)\ast x=12$ devin calcule de o linie. La Subiectul al III-lea, inegalitatea $f(x)\ge 1$ vine din faptul că $1$ este minimul funcției, atins în $x=1$; la problema 2, toate cele trei integrale se rezolvă „din formă": numărătorul $2x+3$ este derivata numitorului, iar $f^{\prime }\cdot f$ are primitiva $\frac{f^2}{2}$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $-2i$, $0$, $x=2$, $\frac{1}{10}$, $y=3x+1$, $6$, $4$, $x=4$, $x=0$, $1$, $6$, $\ln 7$ și $0$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total obținut pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 7, subpunctul c), inversabilitatea afirmată fără să se arate că $m^2-3m+4$ nu se anulează; la cerința 8, subpunctul b), asociativitatea „verificată" pe câteva numere, în loc de calculul general; la cerința 9, subpunctul c), minimul $f(1)=1$ scris fără monotonia pe $(0,1]$ și pe $[1,+\infty )$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ și $i^2=-1$. Compunere: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$. Exponențiale: $3^u=3^v⟺u=v$. Drepte paralele: au aceeași pantă; dreapta de pantă $m$ prin $A(x_A,y_A)$ este $y-y_A=m(x-x_A)$. Aria triunghiului: $\mathcal{S}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul.
• Legi de compoziție: legea este asociativă când $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ pentru orice $x$, $y$, $z$.
• Derivate: ${\left(x^3\right)}^{\prime }=3x^2$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; dreapta $x=a$ este asimptotă verticală când o limită laterală în $a$ este infinită.
• Integrale: $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; $\int f^{\prime }(x)f(x)dx=\frac{f^2(x)}{2}+\mathcal{C}$; aria dintre graficul unei funcții continue și pozitive, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$ este ${\int }_a^{b}f(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=x+2016$ la cerința $2$, $f(x)=x^3-3\ln x$ la cerința $9$ și $f(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x+3}$ la cerința $10$. La cerința $10$, subpunctul c), $f^2(x)$ înseamnă $(f(x){)}^2$, nu $f(f(x))$.
• Litera $A$ este punctul $A(0,1)$ la cerința $5$, vârful triunghiului $ABC$ la cerința $6$ — unde „$A=\frac{\pi }{6}$" înseamnă măsura unghiului din vârful $A$ — și matricea $A(m)$ la cerința $7$. Litera $d$ este, în enunțul cerinței $5$, dreapta căutată.
• La cerința $2$, semnul $\circ$ este compunerea funcțiilor; la cerința $8$, legea de compoziție se notează cu $\ast$. Baremul oficial notează aria cu $\mathcal{A}$ (la cerințele $6$ și $10$); la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".