Bac M2 2016, modelul oficial — rezolvat

Toate probele M2 din 2016 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați primul termen al progresiei geometrice ${\left(b_n\right)}_{n\ge 1}$, știind că $b_5=48$ și $b_8=384$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-7x+6$. Determinați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $32^x=16\cdot 2^x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr natural $n$ din mulțimea $\{1,2,3,4,5\}$, acesta să verifice egalitatea $n^2-5n+6=0$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$, știind că vectorii $\vec{u}=(a+1)\vec{i}+(a-1)\vec{j}$ și $\vec{v}=6\vec{i}+2\vec{j}$ sunt coliniari.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $(2\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x+2\cos x{)}^2-4\sin 2x=5$, pentru orice număr real $x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& x\\ y& 0\end{array}\right)$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (2A)=-28$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$, știind că $A+2B=I_2$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Dacă $AB=BA$, arătați că $\det B\le 0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=3xy+3x+3y+2$.

a) (5 puncte) Arătați că $(-1)\circ 1=-1$.

b) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x\circ x=x$.

c) (5 puncte) Determinați perechile $(a,b)$ de numere întregi, știind că $a\circ b=8$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-2)e^x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=(x-1)e^x$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $-\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f^{\prime }(x)\ge -1$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x^2+1}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=3$.

b) (5 puncte) Demonstrați că funcția $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=x^2+\ln x+2016$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[1,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$ este mai mic decât $14\pi$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul pentru 2016; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. La cerința 4 și la cerința 9, subpunctul c), baremul are trei rânduri punctate ($1+2+2$, respectiv $2+1+2$); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie geometrică.

Termenii se scriu cu primul termen și rația, $b_n=b_1{q}^{n-1}$: $$b_1\cdot q^4=48\text{ și }{b}_1\cdot q^7=384⟹q=2\text{(3 p)}.$$ $${\mathbf{b}}_1=3\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: împărțind egalitățile, $q^3=\frac{384}{48}=8$, deci $q=2$, iar $b_1=\frac{48}{2^4}=3$. Control: $3\cdot 2^7=384$. Unde se greșește de obicei: se scrie $b_5=b_1{q}^5$ și iese $b_1=\frac{48}{32}=\frac{3}{2}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, intersecția cu axa $Ox$.

Punctele graficului de pe axa $Ox$ au ordonata $0$: $$f(x)=0⟺x^2-7x+6=0⟺x_1=1\text{ și }{x}_2=6,$$ deci graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctele $(1,0)$ și $(6,0)$ (3 p).

Distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$ este egală cu $6-1=5$ (2 p).

(Control, cu Viète: $x_1+x_2=7$, $x_1{x}_2=6$, iar $|x_2-x_1|=\sqrt{49-24}=5$. Unde se greșește de obicei: se calculează intersecția cu axa $Oy$, punctul $(0,6)$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se scriu toate puterile în baza $2$: $32=2^5$ și $16=2^4$: $${\left(2^5\right)}^x=2^4\cdot 2^x⟺5x=4+x\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $32^1=32=16\cdot 2$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc exponenții în loc să se adune, $2^4\cdot 2^x=2^{4x}$, și iese $x=0$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea $\{1,2,3,4,5\}$ are $5$ elemente, deci sunt $5$ cazuri posibile (1 p).

Ecuația $n^2-5n+6=0$ are soluțiile $2$ și $3$, amândouă în mulțime: în mulțimea $\{1,2,3,4,5\}$ sunt $2$ numere care verifică egalitatea, deci sunt $2$ cazuri favorabile (2 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{2}{5}\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $4-10+6=0$ și $9-15+6=0$. Unde se greșește de obicei: se numără ca favorabil un singur număr, uitând că ecuația de gradul al doilea are două soluții.)

Exercițiul 5. (5 p) — vectori coliniari.

Vectorii sunt coliniari exact când coordonatele lor sunt proporționale: $$\frac{a+1}{6}=\frac{a-1}{2}⟺2a+2=6a-6\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $a=2$, $\vec{u}=3\vec{i}+\vec{j}$, iar $\vec{v}=2\vec{u}$. Unde se greșește de obicei: se încrucișează rapoartele, $\frac{a+1}{2}=\frac{a-1}{6}$, și iese $a=-2$.)

Exercițiul 6. (5 p) — identitate trigonometrică.

Se dezvoltă primul pătrat: $$(2\sin x+\cos x{)}^2=4{\sin }^{2}x+4\sin x\cos x+{\cos }^{2}x\text{(2 p)}.$$ La fel, $(\sin x+2\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+4\sin x\cos x+4{\cos }^{2}x$, iar $4\sin 2x=4\cdot 2\sin x\cos x$, deci $$(2\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x+2\cos x{)}^2-4\sin 2x=5\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)+8\sin x\cos x-4\cdot 2\sin x\cos x=5,$$ pentru orice număr real $x$ (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se scrie $4\sin 2x=4\sin x\cos x$, uitând factorul $2$ din formula unghiului dublu, și rămâne $5+4\sin x\cos x$. Control: pentru $x=0$, $1+4-0=5$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea.

a) (5 p) Se înmulțește fiecare element cu $2$: $$2A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 8& 2\end{array}\right),\det (2A)=\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 8& 2\end{array}\right|=\text{(3 p)}$$ $$=2\cdot 2-4\cdot 8=4-32=-28\text{(2 p)}.$$

(Control: $\det A=1-8=-7$, iar pentru o matrice de ordinul al doilea $\det (2A)=2^2\det A=-28$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\det (2A)=2\det A=-14$.)

b) (5 p) Se calculează suma: $$A+2B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 2x\\ 2y& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2+2x\\ 4+2y& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ $$\left(\begin{array}{cc}1& 2+2x\\ 4+2y& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)⟹\mathbf{x}=-1\text{ și }\mathbf{y}=-2\text{(3 p)}.$$

(Egalitatea element cu element dă $2+2x=0$ și $4+2y=0$. Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu $2$ doar un element al lui $B$, și iese $x=-2$ sau $y=-4$.)

c) (5 p) Se calculează cele două produse: $$AB=\left(\begin{array}{cc}2y& x\\ y& 4x\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}4x& x\\ y& 2y\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ $$AB=BA⟺y=2x,\text{ deci }\det B=\left|\begin{array}{cc}0& x\\ 2x& 0\end{array}\right|=-2x^2\le 0,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: egalitatea pe pozițiile $(1,1)$ și $(2,2)$ dă $2y=4x$ și $4x=2y$ — aceeași condiție, $y=2x$; pozițiile din afara diagonalei sunt deja egale. Unde se greșește de obicei: se scrie $\det B=xy$, uitând minusul, și concluzia pare că ar fi $\det B\ge 0$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=-1$ și $y=1$ în definiția legii: $$(-1)\circ 1=3\cdot (-1)\cdot 1+3\cdot (-1)+3\cdot 1+2=\text{(3 p)}$$ $$=-3-3+3+2=-1\text{(2 p)}.$$

(Control, cu scrierea $x\circ y=3(x+1)(y+1)-1$: $3\cdot 0\cdot 2-1=-1$.)

b) (5 p) Pentru $y=x$: $$3x^2+3x+3x+2=x⟺3x^2+5x+2=0\text{(3 p)}.$$ $${\mathbf{x}}_1=-\frac{2}{3}\text{ și }{\mathbf{x}}_2=-1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\Delta =25-24=1$, deci $x=\frac{-5\pm 1}{6}$. Control: $(-1)\circ (-1)=3\cdot 0\cdot 0-1=-1$. Unde se greșește de obicei: se uită termenul $-x$ din membrul drept și se rezolvă $3x^2+6x+2=0$, cu rădăcini iraționale.)

c) (5 p) Se aduce legea la forma de produs: $$3ab+3a+3b+3-1=8⟺(a+1)(b+1)=3\text{(3 p)}.$$ Cum $a$ și $b$ sunt numere întregi, $a+1$ și $b+1$ sunt divizori întregi ai lui $3$ cu produsul $3$, și obținem $$(-4,-2),(-2,-4),(0,2)\text{ și }(2,0)\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $(a+1,b+1)\in \{(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)\}$. Control: $0\circ 2=0+0+6+2=8$ și $(-4)\circ (-2)=24-12-6+2=8$. Unde se greșește de obicei: se iau doar divizorii pozitivi ai lui $3$ și se pierd perechile negative.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, asimptotă, derivata a doua.

a) (5 p) Se derivează produsul: $$f^{\prime }(x)=(x-2{)}^{\prime }{e}^x+(x-2){\left(e^x\right)}^{\prime }=\text{(2 p)}$$ $$=e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x,x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Control numeric: $f^{\prime }(0)=-1$, iar raportul $\frac{f(0,001)-f(-0,001)}{0,002}$ dă tot aproximativ $-1$. Unde se greșește de obicei: se derivează doar paranteza și iese $e^x$.)

b) (5 p) Se scrie produsul ca un cât: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }(x-2)e^x=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-2}{e^{-x}}=0\text{(3 p)}.$$ $$\text{Dreapta de ecuație }\mathbf{y}=0\text{ este asimptota˘ orizontala˘ spre }-\infty \text{ la graficul funcției }f\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: cazul $\frac{\infty }{\infty }$ se rezolvă cu regula lui l'Hôpital, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{-e^{-x}}=0$; exponențiala „câștigă" în fața polinomului. Unde se greșește de obicei: se scrie „$-\infty \cdot 0=-\infty$" sau „$=0$" fără justificare — este o nedeterminare.)

c) (5 p) Se studiază monotonia lui $f^{\prime }$, cu derivata a doua: $$f^{\prime \prime }(x)=x{e}^x,f^{\prime \prime }(x)=0⟺x=0\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime \prime }(x)\le 0,\text{ pentru orice }x\in (-\infty ,0]⟹f^{\prime }\text{ este descresca˘toare pe }(-\infty ,0]\text{(1 p)}.$$ $$f^{\prime \prime }(x)\ge 0,\text{ pentru orice }x\in [0,+\infty )⟹f^{\prime }\text{ este cresca˘toare pe }[0,+\infty )⟹f^{\prime }(x)\ge f^{\prime }(0)=-1,$$ pentru orice număr real $x$ (2 p).

(Detaliul: $f^{\prime \prime }(x)=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$, iar $e^x>0$, deci semnul lui $f^{\prime \prime }$ este semnul lui $x$. Derivata $f^{\prime }$ descrește până în $0$, apoi crește, deci $f^{\prime }(0)=(0-1)e^0=-1$ este cea mai mică valoare a ei. Unde se greșește de obicei: se studiază semnul lui $f^{\prime }$ — acesta dă monotonia lui $f$, nu a lui $f^{\prime }$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrală definită, primitivă, volum de rotație.

a) (5 p) Se simplifică integrandul: $f(x)=2x+\frac{1}{x}$, deci $f(x)-\frac{1}{x}=2x$ și $${\int }_1^2\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx={\int }_1^{2}2xdx=x^2{|}_1^2=\text{(3 p)}$$ $$=4-1=3\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{2x^2+1}{x}=2x+1$, fără împărțirea la $x$ a lui $1$; atunci integrandul devine $2x+1-\frac{1}{x}$.)

b) (5 p) Se derivează $F$: $$F^{\prime }(x)={\left(x^2+\ln x+2016\right)}^{\prime }=2x+\frac{1}{x}=\text{(2 p)}$$ $$=\frac{2x^2+1}{x}=f(x),\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty ),\text{ deci }F\text{ este o primitiva˘ a funcției }f\text{(3 p)}.$$

(Funcția $F$ este derivabilă pe $(0,+\infty )$, iar derivata constantei $2016$ este $0$. Unde se greșește de obicei: se integrează $f$ și se „obține" $F$ fără constanta $2016$ — o primitivă se verifică prin derivare, nu prin integrare.)

c) (5 p) Volumul corpului de rotație: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_1^2{g}^2(x)dx=\pi {\int }_1^2{\left(\frac{2x^2+1}{x}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_1^2\left(4x^2+4+\frac{1}{x^2}\right)dx=\text{(2 p)}$$ $$=\pi \left(\frac{4x^3}{3}+4x-\frac{1}{x}\right){|}_1^2=\frac{83\pi }{6}<14\pi \text{(3 p)}.$$

(Detaliul: ${\left(2x+\frac{1}{x}\right)}^2=4x^2+2\cdot 2x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=4x^2+4+\frac{1}{x^2}$; primitiva în $2$ valorează $\frac{32}{3}+8-\frac{1}{2}=\frac{109}{6}$, iar în $1$, $\frac{4}{3}+4-1=\frac{26}{6}$; diferența este $\frac{83}{6}\approx 13,83<14$. Unde se greșește de obicei: se uită termenul dublu $4$ din pătrat și iese $\frac{59\pi }{6}$ — tot mai mic decât $14\pi$, dar calculul este greșit; sau se integrează $g$ în loc de $g^2$. În baremul oficial volumul este notat $V$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{V}$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_șt-nat, publicat înaintea sesiunilor din 2016 ca reper al structurii și al nivelului de dificultate. Un model nu se dă în ziua examenului: el este documentul prin care ministerul arată cum va arăta proba — de aceea nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum o anunță modelul din 2016:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii geometrice: rația și primul termen din doi termeni dați — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: intersecția graficului cu axa $Ox$ și distanța dintre cele două puncte — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la baza $2$ și egalarea exponenților — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărarea soluțiilor unei ecuații de gradul al doilea într-o mulțime — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: doi vectori coliniari, prin proporționalitatea coordonatelor — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: o identitate cu ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ și $\sin 2x=2\sin x\cos x$ — clasele a IX-a – a X-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinantul unui multiplu de matrice, egalitatea a două matrice, matrice care comută — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul cu legea, o ecuație de gradul al doilea, perechi de numere întregi dintr-un produs — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui produs, asimptota orizontală spre $-\infty$, minimul derivatei prin derivata a doua — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale și volume: o integrală definită, verificarea unei primitive, volumul unui corp de rotație — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2016. Subiectul I este format din șase cerințe directe: o progresie geometrică la care rația iese din $q^3=8$, distanța dintre rădăcinile unui trinom, o ecuație exponențială adusă la baza $2$, o probabilitate cu soluțiile ecuației $n^2-5n+6=0$, doi vectori coliniari și o identitate trigonometrică în care termenii cu $\sin x\cos x$ se reduc cu $4\sin 2x$. La Subiectul al II-lea, matricele $A$ și $B$ se compară element cu element, iar la subpunctul c) condiția $AB=BA$ leagă cele două necunoscute prin $y=2x$, de unde $\det B=-2x^2\le 0$. Legea $x\circ y=3xy+3x+3y+2$ se scrie $3(x+1)(y+1)-1$; subpunctul c) devine $(a+1)(b+1)=3$, o problemă de divizori întregi. La Subiectul al III-lea, problema 1 cere la subpunctul c) o inegalitate pentru derivată, care se obține studiind derivata a doua: $f^{\prime }$ are minimul $-1$ în $x=0$. Problema 2 se încheie cu un volum de rotație, $\frac{83\pi }{6}$, comparat cu $14\pi$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $b_1=3$, $5$, $x=1$, $\frac{2}{5}$, $a=2$, $-28$, $x=-1$ și $y=-2$, $\left\{-1,-\frac{2}{3}\right\}$, patru perechi de întregi, $y=0$, $3$ și $\frac{83\pi }{6}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la $10$ punctajul total obținut pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 8, subpunctul c), doar perechile cu numere naturale, fără cele negative; la cerința 9, subpunctul c), inegalitatea „citită" din $f^{\prime }(0)=-1$, fără monotonia lui $f^{\prime }$; la cerința 10, subpunctul c), volumul calculat fără pătratul funcției.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresie geometrică: $b_n=b_1{q}^{n-1}$. Ecuații exponențiale: $a^u=a^v⟺u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$. Probabilitate: $p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$. Vectori coliniari: $\vec{u}=p\vec{i}+q\vec{j}$ și $\vec{v}=r\vec{i}+s\vec{j}$ sunt coliniari când $\frac{p}{r}=\frac{q}{s}$ (cu $r,s\ne 0$). Trigonometrie: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
• Matrice: $\det (kA)=k^2\det A$ pentru matrice de ordinul al doilea; două matrice sunt egale când au elementele corespunzătoare egale. Legi de compoziție: $x\circ y=3xy+3x+3y+2=3(x+1)(y+1)-1$.
• Derivate: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$; dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ când $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\ell$; semnul lui $f^{\prime \prime }$ dă monotonia lui $f^{\prime }$.
• Integrale: $F$ este o primitivă a lui $f$ când $F^{\prime }=f$; volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ în jurul axei $Ox$ este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=x^2-7x+6$ la cerința $2$, $f(x)=(x-2)e^x$ la cerința $9$ și $f(x)=\frac{2x^2+1}{x}$ la cerința $10$. Funcția $g$ de la cerința $10$ este restricția lui $f$ la $[1,2]$, iar $F$ este primitiva de la subpunctul b).
• Litera $a$ este un număr real necunoscut la cerința $5$ și, împreună cu $b$, o pereche de numere întregi la cerința $8$, subpunctul c); tot $b$, cu indice ($b_1$, $b_5$, $b_8$), denumește termenii progresiei de la cerința $1$. Literele $x$ și $y$ sunt, la cerința $7$, elementele necunoscute ale matricei $B$, nu variabile.
• La cerința $5$, $\vec{i}$ și $\vec{j}$ sunt versorii axelor de coordonate; în această probă nu apar numere complexe. Litera $e$ este, peste tot, baza logaritmului natural.
• La cerința $8$, semnul $\circ$ este legea de compoziție definită în enunț, nu compunerea funcțiilor. Documentul oficial are la subpunctul c) o greșeală de tipar evidentă, „perechile $(a,b)$ de numerele întregi"; am transcris forma corectă, „de numere întregi". Baremul oficial notează volumul cu $V$; la noi, după convenția casei, volumul se notează $\mathcal{V}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".