Bac M2 2016, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2016 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați rația progresiei aritmetice ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$, știind că $2a_{10}=a_5+a_6+36$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+3x-1$ cu dreapta de ecuație $y=x-1$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2\frac{x-1}{x+1}+{\log }_2\left(x^2-1\right)=4$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor divizibil cu $10$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$, $B(1,4)$ și $C(5,1)$. Determinați coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\frac{1+\cos 2x}{1-\cos 2x}={\mathrm{ctg}}^{2}x$, pentru orice $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $M(x)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 1\\ x& 2x-1& 1\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Calculați $\det (M(0))$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $2M(x)-M(-x)=M(3x)$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $O(0,0)$, $A(n,2n-1)$ și $B\left(n^2,2n^2-1\right)$, unde $n$ este număr natural, $n\ge 2$. Demonstrați că aria triunghiului $OAB$ este număr natural.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=6xy-2x-2y+1$.

a) (5 puncte) Calculați $1\circ \frac{1}{3}$.

b) (5 puncte) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$".

c) (5 puncte) Calculați $\frac{1}{1008}\circ \frac{2}{1008}\circ \frac{3}{1008}\circ \dots \circ \frac{2016}{1008}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^4+3}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=-\frac{3(x-1)(x+1)\left(x^2+1\right)}{{\left(x^4+3\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $-\frac{1}{4}\le f(x)\le \frac{1}{4}$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x-2$.

a) (5 puncte) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$, pentru care $F(1)=0$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^{1}xf(x)dx$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$, știind că ${\int }_1^{x}f(t)dt=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării din 2016; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresii aritmetice.

Se scriu termenii cu $a_1$ și $r$: $$2\left(a_1+9r\right)=a_1+4r+a_1+5r+36⟺9r=36\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{r}=4\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $a_{10}=a_1+9r$, $a_5=a_1+4r$, $a_6=a_1+5r$; termenii $2a_1$ se reduc. Unde se greșește de obicei: se scrie $a_{10}=a_1+10r$, și iese $11r=36$, adică $r=\frac{36}{11}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea.

Abscisele punctelor comune sunt soluțiile ecuației $f(x)=x-1$: $$x^2+3x-1=x-1⟺x^2+2x=0\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{x}=-2\text{ sau }\mathbf{x}=0\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $x^2+2x=x(x+2)$. Control: punctele de intersecție sunt $(-2,-3)$ și $(0,-1)$. Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația $x^2+2x=0$ la $x$ și se pierde soluția $x=0$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Suma logaritmilor în aceeași bază este logaritmul produsului: $${\log }_2\frac{(x-1)\left(x^2-1\right)}{x+1}=4\Rightarrow (x-1{)}^2=16\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{x}=-3\text{ sau }\mathbf{x}=5,\text{ care verifica˘ ecuația}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{(x-1)(x-1)(x+1)}{x+1}=(x-1{)}^2$, iar $(x-1{)}^2=2^4$ dă $x-1=\pm 4$. De ce verifică: pentru $x=-3$, $\frac{x-1}{x+1}=\frac{-4}{-2}=2>0$ și $x^2-1=8>0$, iar ${\log }_{2}2+{\log }_{2}8=1+3=4$; pentru $x=5$, $\frac{4}{6}>0$ și $24>0$. Verificarea nu este o formalitate: ecuația $(x-1{)}^2=16$ are sens și acolo unde logaritmii inițiali nu există (de exemplu, pentru $x=0$, $x^2-1=-1<0$). Unde se greșește de obicei: se respinge $x=-3$ „pentru că $x-1<0$" — dar condiția de existență este $\frac{x-1}{x+1}>0$, nu $x-1>0$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

$$\text{Sunt }90\text{ de numere naturale de doua˘ cifre, deci sunt }90\text{ de cazuri posibile}\text{(1 p)}.$$ Produsul cifrelor este divizibil cu $10$ când o cifră este $0$ sau când o cifră este $5$ și cealaltă pară: $$\text{ıˆn mulțimea numerelor naturale de doua˘ cifre sunt }9\text{ numere cu cifra unita˘ților zero, }4\text{ numere cu cifra zecilor cinci și cifra unita˘ților numa˘r par nenul și }4\text{ numere cu cifra unita˘ților cinci și cifra zecilor numa˘r par, deci sunt }17\text{ cazuri favorabile}\text{(2 p)}.$$ $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{17}{90}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul celor trei grupe: $10,20,\dots ,90$; $52,54,56,58$; $25,45,65,85$ — grupele nu au elemente comune, iar $55$ nu intră, pentru că $5\cdot 5=25$. Numerele de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$. Unde se greșește de obicei: se numără doar multiplii lui $10$ și iese $\frac{9}{90}=\frac{1}{10}$; sau se numără $50$ de două ori, o dată la „cifra unităților zero" și o dată la „cifra zecilor cinci".)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică.

$$A(1,1),B(1,4)\Rightarrow AB\parallel Oy\text{ și }A(1,1),C(5,1)\Rightarrow AC\parallel Ox,\text{ deci triunghiul }ABC\text{ este dreptunghic ıˆn }A\text{(2 p)}.$$ $$\text{Centrul cercului circumscris triunghiului }ABC\text{ este mijlocul laturii }BC\text{ și are coordonatele }\left(3,\frac{5}{2}\right)\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $x=\frac{1+5}{2}=3$, $y=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2}$. Control: distanța de la $\left(3,\frac{5}{2}\right)$ la fiecare vârf este $\frac{5}{2}$. Unde se greșește de obicei: se ia centrul de greutate, $\left(\frac{7}{3},2\right)$, care nu este egal depărtat de vârfuri.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

$$1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x\text{(2 p)}.$$ $$1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x\Rightarrow \frac{1+\cos 2x}{1-\cos 2x}=\frac{2{\cos }^{2}x}{2{\sin }^{2}x}={\mathrm{ctg}}^{2}x,\text{ pentru orice }x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)\text{(3 p)}.$$

(Pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\sin x\ne 0$, deci împărțirea este permisă. Unde se greșește de obicei: se scrie $1+\cos 2x=2{\sin }^{2}x$, inversând formulele, și iese ${\mathrm{tg}}^{2}x$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea, determinanți, arie.

a) (5 p) Pentru $x=0$: $$M(0)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)\Rightarrow \det (M(0))=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\right|=3+(-2)+0-0-(-1)-2=\text{(3 p)}$$ $$=0\text{(2 p)}.$$

(Detaliul, cu regula lui Sarrus: termenii cu plus sunt $1\cdot 3\cdot 1=3$, $2\cdot (-1)\cdot 1=-2$ și $0\cdot 1\cdot 1=0$; termenii cu minus sunt $1\cdot 3\cdot 0=0$, $1\cdot 1\cdot (-1)=-1$ și $1\cdot 2\cdot 1=2$. Unde se greșește de obicei: pentru $x=0$ se scrie $2x-1=1$, pierzând semnul.)

b) (5 p) Se calculează cele două matrice: $$2M(x)-M(-x)=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 2\\ 4& 6& 2\\ 2x& 4x-2& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 1\\ -x& -2x-1& 1\end{array}\right)=\text{(3 p)}$$ $$=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 1\\ 3x& 6x-1& 1\end{array}\right)=M(3x),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$

(Detaliul liniei a treia: $2x-(-x)=3x$ și $(4x-2)-(-2x-1)=6x-1=2\cdot 3x-1$. Unde se greșește de obicei: în $M(-x)$ se scrie $2(-x)-1=-2x+1$, cu semnul lui $1$ schimbat.)

c) (5 p) Aria se calculează cu determinantul format din coordonatele vârfurilor: $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ n& 2n-1& 1\\ n^2& 2n^2-1& 1\end{array}\right|=n(n-1),\text{ deci }{\mathcal{S}}_{OAB}=\frac{1}{2}|\Delta |=\frac{n(n-1)}{2}\text{(3 p)}.$$ $$\text{Cum pentru orice numa˘r natural }n,n\ge 2,\text{ numerele }n-1\text{ și }n\text{ sunt consecutive, produsul lor este numa˘r par, deci }{\mathcal{S}}_{OAB}\text{ este numa˘r natural}\text{(2 p)}.$$

(Ca în baremul oficial, determinantul se notează $\Delta$. Baremul notează aria cu ${\mathcal{A}}_{\Delta OAB}$; la noi, $\mathcal{S}$. Detaliul: dezvoltând după prima linie, $\Delta =n\left(2n^2-1\right)-n^2(2n-1)=n^2-n$. Pentru $n\ge 2$, $n(n-1)>0$, deci modulul nu schimbă nimic. Control: pentru $n=2$, aria este $1$; pentru $n=5$, aria este $10$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{2}$ și se „demonstrează" că $n(n-1)$ este natural — adevărat, dar nu este aria.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=1$ și $y=\frac{1}{3}$: $$1\circ \frac{1}{3}=6\cdot 1\cdot \frac{1}{3}-2\cdot 1-2\cdot \frac{1}{3}+1=\text{(2 p)}$$ $$=\frac{1}{3}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $2-2-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{3}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $-2\cdot \frac{1}{3}$ ca $-\frac{1}{6}$.)

b) (5 p) Se scrie condiția de element neutru: $$x\circ e=6xe-2x-2e+1=6ex-2e-2x+1=e\circ x,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ $$x\circ e=x⟺(3x-1)(2e-1)=0,\text{ pentru orice numa˘r real }x,\text{ deci }\mathbf{e}=\frac{1}{2}\text{ este elementul neutru al legii de compoziție }\circ \text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $6xe-3x-2e+1=3x(2e-1)-(2e-1)=(3x-1)(2e-1)$. Produsul trebuie să fie $0$ pentru orice $x$, deci factorul care nu depinde de $x$ trebuie să fie $0$: $2e-1=0$. Primul rând arată că legea este comutativă, așa că e de ajuns condiția $x\circ e=x$. Control: $x\circ \frac{1}{2}=3x-2x-1+1=x$. Unde se greșește de obicei: se alege factorul $3x-1=0$ și se scrie $e=\frac{1}{3}$ — dar $x\circ \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$, nu $x$.)

c) (5 p) Numărul $\frac{1}{3}$ „înghite" orice compunere: $$x\circ \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\circ y=\frac{1}{3},\text{ pentru }x\text{ și }y\text{ numere reale}\text{(2 p)}.$$ $$\frac{1}{1008}\circ \frac{2}{1008}\circ \frac{3}{1008}\circ \dots \circ \frac{2016}{1008}=\left(\frac{1}{1008}\circ \frac{2}{1008}\circ \dots \circ \frac{335}{1008}\right)\circ \frac{1}{3}\circ \left(\frac{337}{1008}\circ \frac{338}{1008}\circ \dots \circ \frac{2016}{1008}\right)=\frac{1}{3}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $x\circ \frac{1}{3}=2x-2x-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{3}$, iar $\frac{336}{1008}=\frac{1}{3}$ este unul dintre termeni. Gruparea este permisă pentru că legea este asociativă — enunțul o spune. Control: compunând efectiv, termen cu termen, cei $2016$ termeni, rezultatul este $\frac{1}{3}$. Unde se greșește de obicei: se observă că $\frac{504}{1008}=\frac{1}{2}$ este elementul neutru și se crede că rezultatul este $\frac{1}{2}$ — elementul neutru doar dispare din compunere, nu o decide.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, inegalitate.

a) (5 p) Se derivează câtul: $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot \left(x^4+3\right)-x\cdot 4x^3}{{\left(x^4+3\right)}^2}=\frac{3\left(1-x^4\right)}{{\left(x^4+3\right)}^2}=\text{(3 p)}$$ $$=-\frac{3\left(x^4-1\right)}{{\left(x^4+3\right)}^2}=-\frac{3(x-1)(x+1)\left(x^2+1\right)}{{\left(x^4+3\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $x^4-1=\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=(x-1)(x+1)\left(x^2+1\right)$. Unde se greșește de obicei: la numărător se scrie $x\cdot 4x^3-1\cdot \left(x^4+3\right)$, în ordine inversă, și semnul iese schimbat.)

b) (5 p) Se calculează valoarea și derivata în $0$: $$f(0)=0,f^{\prime }(0)=\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$ $$\text{Ecuația tangentei este }y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0),\text{ adica˘ }\mathbf{y}=\frac{1}{3}\mathbf{x}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $f^{\prime }(0)=-\frac{3\cdot (-1)\cdot 1\cdot 1}{9}=\frac{1}{3}$. Unde se greșește de obicei: se ia panta $f(0)=0$ și iese $y=0$.)

c) (5 p) Semnul derivatei dă monotonia: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=-1\text{ sau }x=1\text{(1 p)}.$$ $$x\in (-\infty ,-1]\Rightarrow f^{\prime }(x)\le 0,\text{ deci }f\text{ descresca˘toare pe }(-\infty ,-1];x\in [-1,1]\Rightarrow f^{\prime }(x)\ge 0,\text{ deci }f\text{ cresca˘toare pe }[-1,1]\text{ și }x\in [1,+\infty )\Rightarrow f^{\prime }(x)\le 0,\text{ deci }f\text{ descresca˘toare pe }[1,+\infty )\text{(1 p)}.$$ $$\text{Cum }\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0,f(-1)=-\frac{1}{4},f(1)=\frac{1}{4}\text{ și }\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0,\text{ obținem }-\frac{1}{4}\le f(x)\le \frac{1}{4},\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $-(x-1)(x+1)$, pentru că $x^2+1>0$ și ${\left(x^4+3\right)}^2>0$. Pe $(-\infty ,-1]$, $f$ coboară de la valori apropiate de $0$ până la $-\frac{1}{4}$; pe $[-1,1]$ urcă de la $-\frac{1}{4}$ la $\frac{1}{4}$; pe $[1,+\infty )$ coboară de la $\frac{1}{4}$ spre $0$ — deci toate valorile stau între $-\frac{1}{4}$ și $\frac{1}{4}$. Control algebric, pe altă cale: $\frac{1}{4}-f(x)=\frac{(x-1{)}^2\left(x^2+2x+3\right)}{4\left(x^4+3\right)}\ge 0$. Unde se greșește de obicei: se ia $f(0)=0$ drept valoare minimă, fără să se compare cu $f(-1)=-\frac{1}{4}$.)

Exercițiul 10. (15 p) — primitive și integrale.

a) (5 p) O primitivă a lui $x{e}^x$ este $(x-1)e^x$: $$F:\mathbb{R}\to \mathbb{R},F(x)=(x-1)e^x-2x+c,\text{ unde }c\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ $$F(1)=0\Rightarrow c=2,\text{ deci }\mathbf{F}(\mathbf{x})=(\mathbf{x}-1){\mathbf{e}}^{\mathbf{x}}-2x+2\text{(2 p)}.$$

(Control prin derivare: $((x-1)e^x{)}^{\prime }=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$. Detaliul: $F(1)=0\cdot e-2+c=c-2$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva lui $x{e}^x$ ca $\frac{x^2}{2}{e}^x$, integrând fiecare factor separat.)

b) (5 p) Integrala se desparte, iar pentru $x^2{e}^x$ se integrează prin părți: $${\int }_0^1\left(x^2{e}^x-2x\right)dx=x^2{e}^x{|}_0^1-{\int }_0^{1}2x{e}^{x}dx-x^2{|}_0^1=\text{(3 p)}$$ $$=e-3\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $xf(x)=x^2{e}^x-2x$; $x^2{e}^x{|}_0^1=e$; ${\int }_0^{1}2x{e}^{x}dx=2(x-1)e^x{|}_0^1=2$; $x^2{|}_0^1=1$. Deci $e-2-1=e-3$. Control numeric: $e-3\approx -0,2817$ — integrala este negativă, și nu e nimic greșit în asta. Unde se greșește de obicei: se integrează $f(x)$ în loc de $xf(x)$.)

c) (5 p) Integrala cu capăt variabil se calculează cu primitiva de la subpunctul a): $${\int }_1^{x}f(t)dt=F(x)-F(1)=(x-1)\left(e^x-2\right)\text{(3 p)}.$$ $$(x-1)\left(e^x-2\right)=0⟺\mathbf{x}=1\text{ sau }\mathbf{x}=\ln 2\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $F(1)=0$, iar $(x-1)e^x-2x+2=(x-1)e^x-2(x-1)=(x-1)\left(e^x-2\right)$. $x=1$ este soluție bună: o integrală cu capetele egale este $0$. Control numeric: $\ln 2\approx 0,6931$. Unde se greșește de obicei: din $e^x=2$ se scrie $x=e^2$; sau se exclude $x=1$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la simularea examenului de bacalaureat din 2016 pentru elevii clasei a XII-a, proba E. c), Matematică M_șt-nat. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în simularea din 2016:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: termenul general $a_n=a_1+(n-1)r$ — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: intersecția unei parabole cu o dreaptă — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: suma a doi logaritmi în aceeași bază, apoi verificarea soluțiilor — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărarea cazurilor favorabile pe grupe disjuncte — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: triunghi dreptunghic cu catetele paralele cu axele, centrul cercului circumscris — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formulele pentru $1+\cos 2x$ și $1-\cos 2x$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: un determinant de ordinul al treilea, o egalitate de matrice, aria unui triunghi cu ajutorul determinantului — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calcul cu legea, elementul neutru, un compus lung cu un element „absorbant" — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, ecuația tangentei, marginile funcției din tabelul de variație — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: primitiva cu o condiție, integrarea prin părți, o ecuație cu integrală cu capăt variabil — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2016. Subiectul I are o singură cerință care cere atenție la numărare: la cerința 4, numerele cu produsul cifrelor divizibil cu $10$ se împart în trei grupe fără elemente comune — cele terminate în $0$, cele de forma $\overline{5b}$ cu $b$ par nenul și cele de forma $\overline{a5}$ cu $a$ par. La cerința 3, ambele soluții convin, chiar dacă $x-1<0$ pentru $x=-3$: logaritmul cere doar ca raportul $\frac{x-1}{x+1}$ să fie pozitiv. Subiectul al II-lea folosește determinantul de ordinul al treilea și ca formulă de arie: la subpunctul c), aria triunghiului $OAB$ este $\frac{n(n-1)}{2}$, un număr natural pentru că $n-1$ și $n$ sunt consecutive. Legea de compoziție se scrie în forma $x\circ y=6\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}$, iar numărul $\frac{1}{3}=\frac{336}{1008}$ „înghite" orice compus; elementul neutru este $\frac{1}{2}$. La Subiectul al III-lea, dubla inegalitate de la subpunctul c) spune că $-\frac{1}{4}$ și $\frac{1}{4}$ sunt valoarea minimă și valoarea maximă ale funcției, atinse în $-1$ și în $1$; la problema 2, subpunctul c) se reduce la $(x-1)\left(e^x-2\right)=0$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $r=4$, $\{-2,0\}$, $\{-3,5\}$, $\frac{17}{90}$, $\left(3,\frac{5}{2}\right)$, $0$, $\frac{n(n-1)}{2}$, $\frac{1}{3}$, $e=\frac{1}{2}$, $y=\frac{1}{3}x$, $e-3$ și $\{1,\ln 2\}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluțiile păstrate fără verificarea condițiilor de existență a logaritmilor, $\frac{x-1}{x+1}>0$ și $x^2-1>0$; la cerința 7, subpunctul c), aria scrisă fără modul sau fără factorul $\frac{1}{2}$; la cerința 8, subpunctul b), elementul neutru găsit dintr-o singură valoare a lui $x$, nu „pentru orice număr real $x$"; la cerința 9, subpunctul c), marginile scrise fără limitele la $-\infty$ și la $+\infty$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresia aritmetică: $a_n=a_1+(n-1)r$. Logaritmi: ${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a(uv)$, pentru $u,v>0$; ${\log }_{a}u=b⟺u=a^b$. Probabilitate: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$. Cercul circumscris unui triunghi dreptunghic are centrul în mijlocul ipotenuzei. Trigonometrie: $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$, $1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$, $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$.
• Aria unui triunghi în reper: $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |$, unde $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}{x}_O& y_O& 1\\ x_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\end{array}\right|$.
• Lege de compoziție: $e$ este element neutru dacă $x\circ e=e\circ x=x$ pentru orice $x$; asociativitatea permite gruparea termenilor într-un compus lung.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; tangenta în punctul de abscisă $a$: $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$.
• Integrale: integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; ${\int }_1^{x}f(t)dt=F(x)-F(1)$, pentru orice primitivă $F$ a lui $f$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=x^2+3x-1$ la cerința $2$, $f(x)=\frac{x}{x^4+3}$ la cerința $9$ și $f(x)=x{e}^x-2$ la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $A$ este un vârf al triunghiului $ABC$ la cerința $5$ și punctul $A(n,2n-1)$ la cerința $7$; litera $e$ este elementul neutru al legii la cerința $8$ și numărul lui Euler (baza lui $e^x$) la cerințele $9$–$10$.
• Semnul $\circ$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită prin $x\circ y=6xy-2x-2y+1$, nu compunerea funcțiilor; așa îl tipărește subiectul oficial. Baremul oficial notează aria de la cerința $7$ cu $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".