Bac M2 2016, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2016 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că ${\left(\sqrt{5}+2\right)}^2-4\sqrt{5}=9$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$, știind că punctul $M(m,4)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_4\left(x^2+9\right)={\log }_{4}25$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, acesta să fie divizibil cu $2$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$, pentru care vectorii $\vec{u}=(a-1)\vec{i}-3\vec{j}$ și $\vec{v}=2\vec{i}-6\vec{j}$ sunt coliniari.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Dacă $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ și $\cos x=\frac{1}{2}$, arătați că $\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1+3x& 2x\\ -6x& 1-4x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(x)A(y)=A(x+y-xy)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$, știind că $A\left(2^x\right)A\left(2^x\right)=A(1)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-X^2+aX+2$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(-1)+f(1)=2$, pentru orice număr real $a$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X^2-2X+2$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $x_1^3+x_2^3+x_3^3+3x_1{x}_2+3x_2{x}_3+3x_1{x}_3=-5$, pentru orice număr real $a$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+2x-11}{x-3}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(x-5)}{(x-3{)}^2}$, $x\in (3,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(\pi )>13$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(3x+1)e^x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\frac{1}{e^x}f(x)dx=\frac{5}{2}$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$, pentru care funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=(3x+m)e^x$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real nenul $a$, știind că ${\int }_0^{a}f(x)dx=3a$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale din 2016; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — radicali.

Se dezvoltă pătratul sumei: $${\left(\sqrt{5}+2\right)}^2=9+4\sqrt{5}\text{(3 p)}.$$ $$9+4\sqrt{5}-4\sqrt{5}=9\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: ${\left(\sqrt{5}\right)}^2+2\cdot \sqrt{5}\cdot 2+2^2=5+4\sqrt{5}+4$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(\sqrt{5}+2\right)}^2=5+4$, fără termenul dublu, și rezultatul iese $9-4\sqrt{5}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Punctul aparține graficului dacă ordonata lui este valoarea funcției în abscisa lui: $$f(m)=4\Rightarrow m+2=4\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{m}=2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se inversează coordonatele și se scrie $f(4)=m$, de unde $m=6$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmii în aceeași bază sunt egali când argumentele sunt egale: $$x^2+9=25\Rightarrow x^2-16=0\text{(2 p)}.$$ $$\mathbf{x}=-4\text{ sau }\mathbf{x}=4,\text{ care verifica˘ ecuația}\text{(3 p)}.$$

(De ce verifică: $x^2+9=25>0$ pentru ambele valori; de altfel, $x^2+9>0$ pentru orice număr real $x$. Unde se greșește de obicei: se păstrează doar $x=4$, respingând soluția negativă — dar condiția privește argumentul $x^2+9$, nu pe $x$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

$$\text{Mulțimea }M\text{ are }9\text{ elemente, deci sunt }9\text{ cazuri posibile}\text{(1 p)}.$$ $$\text{Iˆn mulțimea }M\text{ sunt }4\text{ numere divizibile cu }2,\text{ deci sunt }4\text{ cazuri favorabile}\text{(2 p)}.$$ $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{4}{9}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: numerele pare din $M$ sunt $2,4,6,8$. Unde se greșește de obicei: se numără cele impare, $5$, și iese $\frac{5}{9}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — vectori.

Vectorii sunt coliniari când coeficienții lor sunt proporționali: $$\frac{a-1}{2}=\frac{-3}{-6}\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$, deci $a-1=1$. Control: pentru $a=2$, $\vec{u}=\vec{i}-3\vec{j}$ și $\vec{v}=2\vec{u}$. Unde se greșește de obicei: se scrie raportul invers la unul dintre membri, $\frac{a-1}{2}=\frac{-6}{-3}$, și iese $a=5$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, sinusul este pozitiv: $$\text{Cum }x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right),\text{ obținem }\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(2 p)}.$$ $$\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$, iar pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ se păstrează rădăcina pozitivă. Control: $x=\frac{\pi }{3}$ și $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sin 2x=2\cos x=1$, uitând factorul $\sin x$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea.

a) (5 p) Pentru $x=0$: $$A(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow \det (A(0))=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=\text{(2 p)}$$ $$=1\cdot 1-0\cdot 0=1\text{(3 p)}.$$

(Observație: $A(0)=I_2$. Unde se greșește de obicei: se adună elementele diagonalei în loc să se înmulțească, și iese $2$.)

b) (5 p) Se înmulțesc matricele, linie cu coloană: $$A(x)A(y)=\left(\begin{array}{cc}1+3x& 2x\\ -6x& 1-4x\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1+3y& 2y\\ -6y& 1-4y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+3x+3y-3xy& 2x+2y-2xy\\ -6x-6y+6xy& 1-4x-4y+4xy\end{array}\right)=\text{(3 p)}$$ $$=\left(\begin{array}{cc}1+3(x+y-xy)& 2(x+y-xy)\\ -6(x+y-xy)& 1-4(x+y-xy)\end{array}\right)=A(x+y-xy),\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.$$

(Detaliul primului element: $(1+3x)(1+3y)+2x\cdot (-6y)=1+3x+3y+9xy-12xy$. Observație: $x+y-xy$ nu se schimbă dacă se schimbă $x$ cu $y$, deci și $A(y)A(x)=A(x+y-xy)$. Unde se greșește de obicei: se crede că $A(x)A(y)=A(x+y)$ — termenul $-xy$ vine din produsele $9xy-12xy$.)

c) (5 p) Se folosește regula de la subpunctul b), cu $x=y=2^x$: $$A\left(2^x+2^x-2^x\cdot 2^x\right)=A(1)⟺2^x+2^x-2^x\cdot 2^x=1\text{(3 p)}.$$ $${\left(2^x-1\right)}^2=0⟺\mathbf{x}=0\text{(2 p)}.$$

(De ce este permisă trecerea $A(u)=A(1)⟺u=1$: elementul de pe prima linie și a doua coloană al lui $A(u)$ este $2u$, deci două matrice $A(u)$ și $A(v)$ sunt egale numai dacă $u=v$. Detaliul: cu $t=2^x>0$, $2t-t^2=1⟺t^2-2t+1=0⟺(t-1{)}^2=0$, deci $2^x=1$. Control: $A(1)=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ -6& -3\end{array}\right)$ și $A(1)A(1)=A(1)$. Unde se greșește de obicei: se scrie $2^x\cdot 2^x=4^x$ corect, dar $2^x+2^x=4^x$ greșit.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinoame.

a) (5 p) Se calculează cele două valori: $$f(-1)=(-1{)}^3-(-1{)}^2+a\cdot (-1)+2=-a\text{(2 p)}.$$ $$f(1)=1^3-1^2+a\cdot 1+2=a+2\Rightarrow f(-1)+f(1)=-a+a+2=2,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $-1-1-a+2=-a$. Unde se greșește de obicei: se scrie $-(-1{)}^2=+1$, și iese $f(-1)=2-a$.)

b) (5 p) Se împarte $f$ la $X^2-2X+2$: $$\text{Restul ıˆmpa˘rțirii polinomului }f\text{ la polinomul }{X}^2-2X+2\text{ este }aX\text{(3 p)}.$$ $$\text{Polinomul }f\text{ este divizibil cu polinomul }{X}^2-2X+2⟺\mathbf{a}=0\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: câtul este $X+1$, iar $(X+1)\left(X^2-2X+2\right)=X^3-X^2+2$, deci $f=(X+1)\left(X^2-2X+2\right)+aX$. Restul $aX$ este polinomul nul doar pentru $a=0$. Unde se greșește de obicei: se ia câtul $X-1$, care nu reface polinomul $f$: $(X-1)\left(X^2-2X+2\right)=X^3-3X^2+4X-2$.)

c) (5 p) Relațiile lui Viète: $$x_1+x_2+x_3=1,x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_1{x}_3=a\Rightarrow x_1^2+x_2^2+x_3^2=1-2a\text{(3 p)}.$$ $$x_1^3+x_2^3+x_3^3=\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)-a\left(x_1+x_2+x_3\right)-6=1-2a-a-6=-3a-5\text{(1 p)}.$$ $$x_1^3+x_2^3+x_3^3+3\left(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_1{x}_3\right)=-3a-5+3a=-5,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(1 p)}.$$

(De unde vine al doilea rând: fiecare rădăcină verifică $x_k^3-x_k^2+a{x}_k+2=0$, adică $x_k^3=x_k^2-a{x}_k-2$; adunând cele trei egalități, termenul liber dă $-2\cdot 3=-6$. Detaliul primului rând: $1^2-2a$. Control numeric: pentru $a=0$, $a=1$, $a=-3$, $a=\frac{5}{2}$ și $a=7$, calculând rădăcinile aproximativ, expresia dă $-5$. Unde se greșește de obicei: se scrie $-2\cdot 3=-6$ cu semnul schimbat, $+6$, și iese $-3a+7$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, asimptotă, inegalitate.

a) (5 p) Se derivează câtul: $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x+2)(x-3)-\left(x^2+2x-11\right)}{(x-3{)}^2}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{x^2-6x+5}{(x-3{)}^2}=\frac{(x-1)(x-5)}{(x-3{)}^2},x\in (3,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $(2x+2)(x-3)=2x^2-4x-6$, iar $2x^2-4x-6-x^2-2x+11=x^2-6x+5$. Unde se greșește de obicei: se uită paranteza din fața lui $x^2+2x-11$ și se scade doar $x^2$.)

b) (5 p) Panta și ordonata la origine: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2x-11}{x(x-3)}=1\text{(2 p)}.$$ $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2x-11-x^2+3x}{x-3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x-11}{x-3}=5,\text{ deci dreapta de ecuație }\mathbf{y}=\mathbf{x}+5\text{ este asimptota˘ oblica˘ spre }+\infty \text{ la graficul funcției }f\text{(3 p)}.$$

(Control: împărțind, $x^2+2x-11=(x-3)(x+5)+4$, deci $f(x)=x+5+\frac{4}{x-3}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(x)-x$ cu numărătorul $x^2+2x-11-x^2-3x$, cu semnul lui $3x$ greșit, și iese $y=x-1$.)

c) (5 p) Monotonia pe $(3,5)$: $$f^{\prime }(x)<0,\text{ pentru orice }x\in (3,5)\Rightarrow f\text{ este strict descresca˘toare pe }(3,5)\text{(3 p)}.$$ $$\text{Cum }3<\pi <4\text{ și }f(4)=13,\text{ obținem }f(\pi )>13\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: pe $(3,5)$, $x-1>0$, $x-5<0$ și $(x-3{)}^2>0$, deci $f^{\prime }(x)<0$. Numerele $\pi$ și $4$ sunt amândouă în $(3,5)$, iar $\pi <4$, deci $f(\pi )>f(4)$. $f(4)=\frac{16+8-11}{1}=13$. Control numeric: $f(\pi )\approx 36,39$. Unde se greșește de obicei: se crede că $f$ este crescătoare pe $(3,5)$ și se trage concluzia inversă.)

Exercițiul 10. (15 p) — primitive și integrale.

a) (5 p) Factorul $e^x$ se simplifică: $${\int }_0^1\frac{1}{e^x}f(x)dx={\int }_0^1(3x+1)dx=\text{(2 p)}$$ $$=\left(\frac{3x^2}{2}+x\right){|}_0^1=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $3x$ se scrie $3x^2$, și iese $4$.)

b) (5 p) Se derivează $F$: $$F^{\prime }(x)=(3x+m{)}^{\prime }{e}^x+(3x+m){\left(e^x\right)}^{\prime }=3e^x+(3x+m)e^x=(3x+m+3)e^x\text{(3 p)}.$$ $$F^{\prime }(x)=f(x)⟺(3x+m+3)e^x=(3x+1)e^x,\text{ pentru orice numa˘r real }x,\text{ deci }\mathbf{m}=-2\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $m+3=1$. Unde se greșește de obicei: se ia $F=f$, adică $m=1$ — dar $((3x+1)e^x{)}^{\prime }=(3x+4)e^x$.)

c) (5 p) Cu primitiva de la subpunctul b): $${\int }_0^a(3x+1)e^{x}dx=(3x-2)e^x{|}_0^a=(3a-2)e^a+2\text{(2 p)}.$$ $$(3a-2)e^a+2=3a⟺(3a-2)\left(e^a-1\right)=0\text{ și, cum }a\text{ este numa˘r real nenul, obținem }\mathbf{a}=\frac{2}{3}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: în $0$, $(3\cdot 0-2)e^0=-2$, care se scade; apoi $(3a-2)e^a-(3a-2)=(3a-2)\left(e^a-1\right)$. Factorul $e^a-1$ se anulează doar pentru $a=0$, exclus de enunț. Control: pentru $a=\frac{2}{3}$, integrala este $0+2=2=3\cdot \frac{2}{3}$. Unde se greșește de obicei: se uită valoarea în $0$ și iese $(3a-2)e^a=3a$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea specială 2016 a examenului de bacalaureat național — Varianta 01. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul sesiunii speciale din 2016:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Radicali: pătratul unei sume cu radical — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: un punct care aparține graficului — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: egalitatea logaritmilor în aceeași bază — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numere pare dintr-o mulțime de cifre — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: condiția de coliniaritate, cu versorii $\vec{i}$ și $\vec{j}$ — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: $\sin x$ din $\cos x$ pe un interval, formula lui $\sin 2x$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: un determinant, produsul a două matrice de aceeași formă, o ecuație cu $2^x$ — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valori ale polinomului, restul împărțirii, relațiile lui Viète — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, asimptota oblică, monotonia pe un interval — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: o integrală polinomială, primitiva de forma $(3x+m)e^x$, o ecuație cu integrală cu capăt variabil — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială din 2016. Subiectul I este format din șase cerințe directe; la cerința 3, ambele soluții convin, pentru că $x^2+9>0$ pentru orice $x$, iar la cerința 6 contează intervalul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, care face $\sin x$ pozitiv. La Subiectul al II-lea, matricele $A(x)$ se înmulțesc după regula $A(x)A(y)=A(x+y-xy)$, iar subpunctul c) se reduce la ${\left(2^x-1\right)}^2=0$. Polinomul are restul $aX$ la împărțirea prin $X^2-2X+2$, deci este divizibil doar pentru $a=0$; la subpunctul c), expresia cu cuburi nu depinde de $a$ — termenii $-3a$ și $+3a$ se anulează. La Subiectul al III-lea, subpunctul c) cere o comparație fără calculator: $f$ scade pe $(3,5)$, iar $3<\pi <4$, deci $f(\pi )>f(4)=13$. Problema 2 se încheie cu $(3a-2)\left(e^a-1\right)=0$, unde condiția „$a$ nenul" elimină soluția $a=0$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame (restul împărțirii și relațiile lui Viète), capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $9$, $m=2$, $\{-4,4\}$, $\frac{4}{9}$, $a=2$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $1$, $x=0$, $2$, $a=0$, $-5$, $y=x+5$, $f(4)=13$, $\frac{5}{2}$, $m=-2$ și $a=\frac{2}{3}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total obținut pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluțiile păstrate fără verificare; la cerința 6, $\sin x$ scris fără să se spună de ce este pozitiv; la cerința 7, subpunctul c), trecerea de la $A(u)=A(1)$ la $u=1$ fără justificare; la cerința 9, subpunctul c), comparația $f(\pi )>f(4)$ scrisă fără monotonia strictă pe $(3,5)$; la cerința 10, subpunctul c), păstrarea soluției $a=0$, exclusă de enunț.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Pătratul unei sume: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$. Logaritmi: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, pentru $u,v>0$. Vectori coliniari: $\vec{u}=p\vec{i}+q\vec{j}$ și $\vec{v}=r\vec{i}+s\vec{j}$ sunt coliniari dacă $\frac{p}{r}=\frac{q}{s}$ (cu $r,s\ne 0$). Trigonometrie: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
• Relațiile lui Viète pentru $X^3+b{X}^2+cX+d$: $x_1+x_2+x_3=-b$, $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_1{x}_3=c$, $x_1{x}_2{x}_3=-d$; $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_1{x}_3)$. Teorema împărțirii cu rest: $f=g\cdot q+r$, cu $\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}g$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$. Asimptota oblică spre $+\infty$: $y=mx+n$, cu $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$.
• Integrale: $((ax+b)e^x{)}^{\prime }=(ax+a+b)e^x$; formula Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește patru obiecte diferite: funcția $f(x)=x+2$ la cerința $2$, polinomul $f=X^3-X^2+aX+2$ la cerința $8$, funcția $f(x)=\frac{x^2+2x-11}{x-3}$ la cerința $9$ și funcția $f(x)=(3x+1)e^x$ la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $a$ este parametrul din vectorul $\vec{u}$ la cerința $5$, coeficientul polinomului la cerința $8$ și capătul integralei la cerința $10$; litera $m$ este abscisa punctului $M$ la cerința $2$ și parametrul primitivei $F$ la cerința $10$; $M$ este un punct la cerința $2$ și o mulțime de cifre la cerința $4$.
• Litera $A$ denumește matricea $A(x)$ de la cerința $7$; la subpunctul c), $A\left(2^x\right)$ este matricea $A$ calculată în numărul $2^x$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".