Bac M2 2017, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2017 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați primul termen al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $a_3=10$ și rația $r=3$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$, știind că punctul $A(1,3)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-mx+2m$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, au cifrele elemente ale mulțimii $\{1,2,3,4\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,2)$ și $B(2,4)$. Determinați ecuația mediatoarei segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului dreptunghic $ABC$ care are catetele $AB=8$ și $AC=6$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& 2x+5\\ 5& 1\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(-2))=-4$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(x)+A(-x)=A(2017)+A(-2017)$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $p$ și $q$, pentru care $A(0)\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=xy+6x+6y+30$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\circ y=(x+6)(y+6)-6$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=-5$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$".

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\circ (-2017)=2017\circ (-6)$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2}{x}+\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x-2}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\frac{2}{x}+\ln x\ge 1+\ln 2$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+2}{2x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^{2}2xf(x)dx=\frac{13}{3}$.

b) (5 puncte) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$, pentru care $F(1)=1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $2{\int }_1^n(f(x)+x{f}^{\prime }(x))dx=n^2-1$, pentru orice număr natural $n$, $n\ge 2$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2017; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Din $a_3=a_1+2r$ rezultă $$a_1=a_3-2r=10-6\text{(3 p)}.$$ $$a_1=4\text{(2 p)}.$$

(Control: termenii $4$, $7$, $10$ cresc tot cu câte $3$. Unde se greșește de obicei: se scade rația o singură dată, $a_1=10-3=7$ — acesta este $a_2$; sau se adună, $10+6=16$, care ar fi $a_5$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, punct pe grafic.

Punctul $A(1,3)$ aparține graficului exact când $f(1)=3$: $$f(1)=3\iff 1-m+2m=3\text{(3 p)}.$$ De aici $1+m=3$, deci $\mathbf{m}=2$ (2 p).

(Control: pentru $m=2$, $f(x)=x^2-2x+4$ și $f(1)=1-2+4=3$. Unde se greșește de obicei: se inversează coordonatele și se scrie $f(3)=1$, adică $9-3m+2m=1$, de unde $m=8$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Izolăm puterea: $4^x=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$, iar $\frac{1}{4}=4^{-1}$: $$4^x=\frac{1}{4}\iff 4^x=4^{-1}\text{(3 p)}.$$ Funcția exponențială este injectivă, deci $\mathbf{x}=-1$ (2 p).

(Control: $4^{-1}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$. Unde se greșește de obicei: se adună fracțiile în loc să se scadă, $4^x=\frac{3}{4}$, care nu dă un exponent întreg; sau se scrie $\frac{1}{4}=4^1$ și iese $x=1$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică, regula produsului.

Numărul trebuie să fie par, deci cifra unităților este $2$ sau $4$: cifra unităților se poate alege în $2$ moduri (2 p).

Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte $3$ moduri (orice altă cifră din mulțime, pentru că cifrele sunt distincte), deci se pot forma $3\cdot 2=6$ numere (3 p).

(Numerele sunt $12$, $32$, $42$, $14$, $24$ și $34$. Unde se greșește de obicei: se uită condiția „cifre distincte" și se numără $4\cdot 2=8$ numere, cu $22$ și $44$; sau se uită condiția de paritate și se numără toate cele $4\cdot 3=12$ numere cu cifre distincte.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, mediatoarea unui segment.

Mediatoarea trece prin mijlocul $M$ al segmentului $AB$: $$x_M=\frac{4+2}{2}=3\text{ și }{y}_M=\frac{2+4}{2}=3,\text{ unde }M\text{ este mijlocul segmentului }AB\text{(2 p)}.$$ Panta lui $AB$ este $m_{AB}=\frac{4-2}{2-4}=-1$, iar mediatoarea este perpendiculară pe $AB$, deci $m_{\text{mediatoare}}=1$; dreapta prin $M(3,3)$ cu panta $1$ are ecuația $y-3=x-3$, deci ecuația mediatoarei segmentului $AB$ este $\mathbf{y}=\mathbf{x}$ (3 p).

(Control: punctele de pe dreapta $y=x$ sunt egal depărtate de $A$ și $B$ — de exemplu $O(0,0)$: $OA=OB=\sqrt{20}$. Unde se greșește de obicei: se ia pentru mediatoare chiar panta lui $AB$, $-1$, și iese $y=-x+6$ — aceasta este dreapta $AB$ însăși.)

Exercițiul 6. (5 p) — geometrie plană, cercul circumscris triunghiului dreptunghic.

Triunghiul are catetele $AB$ și $AC$, deci ipotenuza este $BC$; din teorema lui Pitagora, $$BC=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\text{(2 p)}.$$ Într-un triunghi dreptunghic ipotenuza este diametru al cercului circumscris, deci $R=\frac{BC}{2}=5$ (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se ia raza egală cu ipotenuza, $10$; sau se adună catetele, $BC=8+6=14$, și iese $R=7$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=-2$, elementul din dreapta sus este $2\cdot (-2)+5=1$: $$A(-2)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 5& 1\end{array}\right)\Rightarrow \det (A(-2))=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 5& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ $$\det (A(-2))=1\cdot 1-1\cdot 5=1-5=-4\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $2\cdot (-2)+5=9$, pierzând minusul, și determinantul iese $1-45=-44$.)

b) (5 p) Adunăm element cu element: $$A(x)+A(-x)=\left(\begin{array}{cc}1& 2x+5\\ 5& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& -2x+5\\ 5& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 10\\ 10& 2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Suma nu depinde de $x$; pentru $x=2017$ ea este tot aceeași: $$A(2017)+A(-2017)=\left(\begin{array}{cc}2& 10\\ 10& 2\end{array}\right)=A(x)+A(-x),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$

(Termenii cu $x$ se reduc: $(2x+5)+(-2x+5)=10$. Unde se greșește de obicei: se pierde minusul din $-2x$ și se adună $(2x+5)+(2x+5)=4x+10$; suma pare să depindă de $x$, iar egalitatea din enunț nu mai iese — pentru $x=0$ ar da $10\ne 4\cdot 2017+10$.)

c) (5 p) Pentru $x=0$, $A(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 5& 1\end{array}\right)$, iar produsul cu coloana este o coloană: $$A(0)\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 5& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}p+5q\\ 5p+q\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ $$\left(\begin{array}{c}p+5q\\ 5p+q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\iff \mathbf{p}=\mathbf{q}=1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul sistemului: $p+5q=6$ și $5p+q=6$; scăzându-le, $4q-4p=0$, deci $p=q$, iar atunci $6p=6$. Sistemul are soluție unică, pentru că $\det (A(0))=1-25=-24\ne 0$. Unde se greșește de obicei: se calculează $A(0)$ uitând termenul $5$ din $2x+5$, adică $A(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 5& 1\end{array}\right)$; atunci sistemul devine $p=6$ și $5p+q=6$, de unde $q=-24$ — o pereche care nu verifică ecuația din enunț.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Scriem termenul liber ca $36-6$: $$x\circ y=xy+6x+6y+36-6\text{(2 p)}.$$ Grupăm termenii: $$x\circ y=x(y+6)+6(y+6)-6=(x+6)(y+6)-6,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

(Control: pentru $x=y=0$, $30=36-6$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(x+6)(y+6)=xy+6x+6y+12$, adunând în loc să înmulțim $6\cdot 6$.)

b) (5 p) Cu forma de la a): $$x\circ (-5)=(x+6)\cdot (-5+6)-6=x\text{(2 p)}.$$ $$(-5)\circ x=(-5+6)\cdot (x+6)-6=x=x\circ (-5),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ Deci $e=-5$ este elementul neutru al legii „$\circ$".

(Legea este comutativă — expresia $xy+6x+6y+30$ nu se schimbă dacă $x$ și $y$ își schimbă locurile —, deci a doua egalitate rezultă și din prima. Unde se greșește de obicei: se verifică $(-5)\circ (-5)=-5$ și se crede că ajunge — o singură valoare nu dovedește o proprietate valabilă „pentru orice $x$".)

c) (5 p) Cu forma de la a), egalitatea din enunț devine $$(x+6)(-2017+6)-6=(2017+6)(-6+6)-6\text{(2 p)}.$$ Membrul drept este $2023\cdot 0-6=-6$, deci $-2011(x+6)=0$, adică $x+6=0\iff \mathbf{x}=-6$ (3 p).

(Numărul $-6$ este element absorbant al legii: $a\circ (-6)=(a+6)\cdot 0-6=-6$ pentru orice $a$. Control: $(-6)\circ (-2017)=0\cdot (-2011)-6=-6$. Unde se greșește de obicei: se calculează $2017\circ (-6)$ ca $2017\cdot (-6)$, înmulțirea obișnuită, și iese o ecuație cu soluție „urâtă".)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă și o inegalitate.

a) (5 p) Derivăm termen cu termen: $$f^{\prime }(x)={\left(\frac{2}{x}\right)}^{\prime }+(\ln x{)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-2}{x^2},x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(\frac{2}{x}\right)}^{\prime }=\frac{2}{x^2}$, fără minus, și iese $\frac{x+2}{x^2}$; sau ${\left(\frac{2}{x}\right)}^{\prime }=2\ln x$, confundând derivata cu primitiva.)

b) (5 p) Valoarea funcției și a derivatei în $x=1$: $$f(1)=2,f^{\prime }(1)=-1\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $\mathbf{y}=-\mathbf{x}+3$ (3 p).

(Detaliul: $f(1)=\frac{2}{1}+\ln 1=2$ și $f^{\prime }(1)=\frac{1-2}{1}=-1$; $y-2=-(x-1)$ dă $y=-x+3$. Unde se greșește de obicei: se scrie $y=-x+2$, luând $f(1)$ drept ordonată la origine — tangenta trece prin $(1,2)$, nu prin $(0,2)$.)

c) (5 p) Studiem semnul derivatei; numitorul $x^2$ este pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x-2$: $$f^{\prime }(x)=0\iff x=2\text{(1 p)}.$$ $$x\in (0,2]\Rightarrow f^{\prime }(x)\le 0,\text{ deci }f\text{ este descresca˘toare pe }(0,2]\text{(1 p)}.$$ $$x\in [2,+\infty )\Rightarrow f^{\prime }(x)\ge 0,\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare pe }[2,+\infty )\text{(1 p)}.$$ $f(x)\ge f(2)$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$ și, cum $f(2)=1+\ln 2$, obținem $\frac{2}{x}+\ln x\ge 1+\ln 2$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$ (2 p).

(Funcția coboară până în $x=2$ și urcă după, deci $f(2)=\frac{2}{2}+\ln 2=1+\ln 2$ este minimul ei. Unde se greșește de obicei: se verifică inegalitatea în câteva puncte și se crede că e demonstrată; sau se ia minimul în $x=1$, unde $f(1)=2>1+\ln 2$ — acolo funcția încă scade.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și primitive.

a) (5 p) Factorul $2x$ se simplifică: $${\int }_1^{2}2xf(x)dx={\int }_1^{2}2x\cdot \frac{x^2+2}{2x}dx={\int }_1^2\left(x^2+2\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+2x\right){|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $${\int }_1^{2}2xf(x)dx=\left(\frac{8}{3}+4\right)-\left(\frac{1}{3}+2\right)=\frac{13}{3}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită termenul $2x$ din primitivă și iese $\frac{7}{3}$; sau se evaluează doar în capătul de sus, $\frac{8}{3}+4=\frac{20}{3}$.)

b) (5 p) Despărțim fracția: $f(x)=\frac{x^2}{2x}+\frac{2}{2x}=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$, deci primitivele sunt $$F:(0,+\infty )\to \mathbb{R},F(x)=\frac{x^2}{4}+\ln x+c,\text{ unde }c\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț fixează constanta: $F(1)=\frac{1}{4}+0+c=1\Rightarrow c=\frac{3}{4}$, deci $\mathbf{F}(\mathbf{x})=\frac{{\mathbf{x}}^2}{4}+\ln \mathbf{x}+\frac{3}{4}$ (2 p).

(Control: $F^{\prime }(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}=f(x)$ și $F(1)=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva lui $\frac{x}{2}$ ca $\frac{x^2}{2}$, uitând împărțirea la exponent, și constanta iese $\frac{1}{2}$; sau se ia $\ln 1=1$.)

c) (5 p) Integrandul este derivata unui produs: $f(x)+x{f}^{\prime }(x)=x^{\prime }f(x)+x{f}^{\prime }(x)=(xf(x){)}^{\prime }$, iar $2xf(x)=x^2+2$: $$2{\int }_1^n(f(x)+x{f}^{\prime }(x))dx=2{\int }_1^n(xf(x){)}^{\prime }dx=2(xf(x)){|}_1^n=\left(x^2+2\right){|}_1^n\text{(3 p)}.$$ $$\left(n^2+2\right)-(1+2)={\mathbf{n}}^2-1,\text{ pentru orice numa˘r natural }n,n\ge 2\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $n=2$ rezultatul este $3$; cum $(xf(x){)}^{\prime }=x$, integrala este $2{\int }_1^{2}xdx=4-1=3$. Alt drum: integrarea prin părți, ${\int }_1^{n}x{f}^{\prime }(x)dx=xf(x){|}_1^n-{\int }_1^{n}f(x)dx$, reduce totul tot la $xf(x){|}_1^n$ — e corectă, doar mai lungă. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $2$ din fața integralei și iese $\frac{n^2-1}{2}$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea august-septembrie 2017 a examenului de bacalaureat național — Varianta 10, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din august 2017:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: primul termen din al treilea termen și rație — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: condiția ca un punct să aparțină graficului — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: izolarea puterii și scrierea lui $\frac{1}{4}$ ca putere a lui $4$ — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numere pare cu cifre distincte, prin regula produsului — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment, panta și ecuația mediatoarei — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: teorema lui Pitagora și raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic — clasele a VII-a și a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice: determinant, suma a două matrice cu parametru, produsul unei matrice cu o coloană — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: scrierea legii ca produs de paranteze, elementul neutru, o ecuație — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, ecuația tangentei, monotonia și o inegalitate — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite și primitive: formula Leibniz–Newton, primitive cu condiție și recunoașterea derivatei unui produs — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie 2017. Subiectul I este format din șase cerințe directe: o progresie aritmetică „mersă înapoi", un punct pe graficul unei funcții de gradul al doilea, o ecuație exponențială în care $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}=4^{-1}$, o numărare cu regula produsului, mediatoarea unui segment și raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic — jumătate din ipotenuză. La Subiectul al II-lea, suma $A(x)+A(-x)$ nu mai depinde de $x$, iar legea $x\circ y=xy+6x+6y+30$ se scrie $(x+6)(y+6)-6$ — din forma aceasta vin elementul neutru $-5$ și ecuația de la subpunctul c), în care $2017\circ (-6)=-6$. La Subiectul al III-lea, funcția $\frac{2}{x}+\ln x$ are minimul în $x=2$, iar inegalitatea cerută este chiar $f(x)\ge f(2)$; la integrale, subpunctul c) se rezolvă observând că $f(x)+x{f}^{\prime }(x)$ este derivata produsului $xf(x)=\frac{x^2+2}{2}$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $a_1=4$, $m=2$, $x=-1$, $6$ numere, $y=x$, $R=5$, $-4$, $p=q=1$, $x=-6$, $y=-x+3$, $\frac{13}{3}$ și $F(x)=\frac{x^2}{4}+\ln x+\frac{3}{4}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la $10$ punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 4, numărul scris fără regula produsului (sau prin enumerare incompletă); la cerința 8, subpunctul b), elementul neutru verificat pe câteva numere, în loc de un $x$ real oarecare; la cerința 9, subpunctul c), inegalitatea afirmată fără monotonia pe $(0,2]$ și pe $[2,+\infty )$; la cerința 10, subpunctul b), primitiva scrisă fără constanta $c$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: $a_n=a_1+(n-1)r$, deci $a_1=a_3-2r$. Funcții: $A(x_0,y_0)$ aparține graficului lui $f$ exact când $f(x_0)=y_0$. Ecuații exponențiale: $a^u=a^v⟺u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$. Regula produsului: dacă o alegere se face în $p$ moduri și, pentru fiecare, a doua în $q$ moduri, perechile de alegeri sunt $p\cdot q$. Mediatoarea segmentului $AB$ trece prin mijlocul lui $AB$ și este perpendiculară pe $AB$: $m_{AB}\cdot m_{\text{mediatoare}}=-1$. Triunghiul dreptunghic: ipotenuza este diametru al cercului circumscris, deci $R=\frac{\text{ipotenuza}}{2}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; o matrice $2\times 2$ înmulțită cu o coloană dă o coloană: $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ap+bq\\ cp+dq\end{array}\right)$.
• Legi de compoziție: $e$ este element neutru al legii „$\circ$" dacă $x\circ e=e\circ x=x$, pentru orice $x$ real; o lege de forma $x\circ y=(x+a)(y+a)-a$ are elementul neutru $1-a$.
• Derivate: ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; tangenta în punctul de abscisă $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; o funcție descrescătoare până în $x_0$ și crescătoare după are minimul în $x_0$.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{1}{x}dx=\ln x+\mathcal{C}$ pe $(0,+\infty )$; $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, deci $f(x)+x{f}^{\prime }(x)=(xf(x){)}^{\prime }$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=x^2-mx+2m$ de la cerința $2$, funcția $f(x)=\frac{2}{x}+\ln x$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=\frac{x^2+2}{2x}$ de la cerința $10$. Tot așa, $A$ este un punct la cerințele $2$ și $5$, vârful triunghiului la cerința $6$ și o matrice, $A(x)$, la cerința $7$, iar $B$ este un punct la cerința $5$ și un vârf al triunghiului la cerința $6$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Semnul $\circ$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită în enunț, nu compunerea funcțiilor; litera $e$ de la cerința $8$, subpunctul b), denumește elementul neutru al legii, $e=-5$, nu baza logaritmului natural.
• Litera $m$ este numărul real necunoscut de la cerința $2$; la cerința $5$, $m_{AB}$ și $m_{\text{mediatoare}}$ notează pante, ca în baremul oficial.
• La cerința $7$, litera $x$ este parametrul matricei $A(x)$, iar $p$ și $q$ sunt necunoscutele de la subpunctul c); la cerința $10$, subpunctul c), $n$ este un număr natural oarecare, $n\ge 2$, care apare doar ca limită de integrare.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".