Bac M2 2017, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2017 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați al treilea termen al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $a_1=4$ și $a_2=7$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră $x_1$ și $x_2$ soluțiile ecuației $x^2-4x+1=0$. Arătați că $4x_1{x}_2-(x_1+x_2)=0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{2x+1}=\frac{1}{8}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de $15$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,1)$, $B(1,1)$ și $C(3,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=4\sqrt{3}$, $AC=4$ și $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Calculați $\sin B$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}0& x\\ x& 0\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=-1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(x)A(y)=xy{I}_2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că $A\left(3^a\right)A\left(3^{a+1}\right)A\left(3^{a+2}\right)=A(27)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+m{X}^2+2X-4$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $m=1$, arătați că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Arătați că, dacă polinomul $f$ se divide cu $X+2$, atunci restul împărțirii lui $f$ la $X+3$ este egal cu $-1$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$, știind că $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+x_1+x_2+x_3=\frac{1}{2}$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+2017}{e^x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{-(x+2016)}{e^x}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $[-2015,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\frac{1}{f(x)}dx=\frac{4}{3}$.

b) (5 puncte) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$, știind că $F(1)=\frac{\pi }{4}+1$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$, știind că ${\int }_0^{n}xf(x)dx=\frac{1}{2}\ln 5$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2017; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Rația este diferența a doi termeni consecutivi: $$r=a_2-a_1=7-4=3\text{(3 p)}.$$ Al treilea termen se obține adunând rația la al doilea: $$a_3=a_2+r=7+3=10\text{(2 p)}.$$

(Control: termenii $4$, $7$, $10$ cresc tot cu câte $3$; și $a_3=a_1+2r=4+6=10$. Unde se greșește de obicei: se ia rația $a_1-a_2=-3$ și iese $a_3=4$; sau se adună rația la $a_1$ și se obține tot $a_2=7$, nu $a_3$.)

Exercițiul 2. (5 p) — ecuația de gradul al doilea, relațiile lui Viète.

Ecuația are forma $x^2+bx+c=0$, cu $b=-4$ și $c=1$, deci relațiile lui Viète dau $$x_1+x_2=4,x_1{x}_2=1\text{(2 p)}.$$ Înlocuind în expresie: $$4x_1{x}_2-(x_1+x_2)=4\cdot 1-4=0\text{(3 p)}.$$

(Ecuația are soluții reale, pentru că $\Delta =16-4=12>0$: ele sunt $2-\sqrt{3}$ și $2+\sqrt{3}$, cu suma $4$ și produsul $4-3=1$. Unde se greșește de obicei: se ia suma egală cu $-4$, copiind coeficientul cu semnul lui, și iese $4\cdot 1-(-4)=8$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Scriem $\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3}$; bazele sunt egale, iar funcția exponențială este injectivă, deci exponenții sunt egali: $$2^{2x+1}=2^{-3}\iff 2x+1=-3\text{(3 p)}.$$ De aici $2x=-4$, deci $\mathbf{x}=-2$ (2 p).

(Control: $2^{2\cdot (-2)+1}=2^{-3}=\frac{1}{8}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{1}{8}=2^3$, fără minus, și iese $x=1$; sau se trece $+1$ în partea dreaptă fără să i se schimbe semnul, $2x=-2$, și iese $x=-1$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre, $\{10,11,\dots ,99\}$, are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

În mulțimea numerelor naturale de două cifre, multiplii de $15$ sunt numerele $15$, $30$, $45$, $60$, $75$ și $90$, deci sunt $6$ cazuri favorabile (2 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}\text{(1 p)}.$$

(Următorul multiplu, $105=15\cdot 7$, are trei cifre. Unde se greșește de obicei: se numără $99$ de cazuri posibile, ca și cum ar începe de la $1$; sau se uită $90$, care este tot de două cifre, și iese $\frac{5}{90}=\frac{1}{18}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, puncte coliniare.

Pantele dreptelor $AB$ și $AC$: $$m_{AB}=\frac{1-1}{1-0}=0,m_{AC}=\frac{a-1}{3-0}=\frac{a-1}{3}\text{(2 p)}.$$ Punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare exact când dreptele $AB$ și $AC$ au aceeași pantă: $$m_{AB}=m_{AC}\iff \frac{a-1}{3}=0\iff \mathbf{a}=1\text{(3 p)}.$$

(Control: $A$ și $B$ au aceeași ordonată, $1$, deci dreapta $AB$ este orizontală, $y=1$; punctul $C(3,a)$ este pe ea exact când $a=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie panta invers, $\frac{x_C-x_A}{y_C-y_A}$, care pentru $AB$ nici nu există.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, teorema sinusurilor.

Teorema sinusurilor leagă latura $AB$, opusă unghiului $C$, de latura $AC$, opusă unghiului $B$: $$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}\Rightarrow \sin B=\frac{AC\cdot \sin C}{AB}=\frac{4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{3}}\text{(3 p)}.$$ Simplificând, $\sin B=\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$ (2 p).

(Control: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8$ și $\frac{AC}{\sin B}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8$. Unde se greșește de obicei: se pune latura greșită în dreptul unghiului, $\frac{AC}{\sin C}=\frac{AB}{\sin B}$, și iese $\sin B=\frac{3}{2}$ — imposibil, pentru că sinusul nu depășește $1$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matricea $A(x)$ și produsul ei.

a) (5 p) Pentru $x=1$: $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\Rightarrow \det (A(1))=\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ $$\det (A(1))=0\cdot 0-1\cdot 1=0-1=-1\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se adună produsele diagonalelor, $0+1=1$, în loc să se scadă produsul diagonalei secundare.)

b) (5 p) Înmulțim „linie cu coloană": $$A(x)A(y)=\left(\begin{array}{cc}0& x\\ x& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& y\\ y& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}xy& 0\\ 0& xy\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ $$A(x)A(y)=xy\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=xy{I}_2,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.$$

(Detaliul primului element: $0\cdot 0+x\cdot y=xy$; al celui din dreapta sus: $0\cdot y+x\cdot 0=0$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele element cu element și iese $\left(\begin{array}{cc}0& xy\\ xy& 0\end{array}\right)=A(xy)$ — acesta nu este produsul matricelor.)

c) (5 p) Din b), $A\left(3^a\right)A\left(3^{a+1}\right)=3^a\cdot 3^{a+1}{I}_2=3^{2a+1}{I}_2$, iar înmulțind cu $A\left(3^{a+2}\right)$ fiecare element al lui $A\left(3^{a+2}\right)$ se înmulțește cu $3^{2a+1}$: $$A\left(3^a\right)A\left(3^{a+1}\right)A\left(3^{a+2}\right)=A\left(3^{3a+3}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $$A\left(3^{3a+3}\right)=A(27)\Rightarrow 3^{3a+3}=3^3,\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=0\text{(2 p)}.$$

(Justificările pe care baremul le lasă nescrise: $k{I}_2\cdot A(t)=kA(t)=A(kt)$, pentru că $A(t)$ are pe poziția din dreapta sus chiar $t$; două matrice $A(s)$ și $A(t)$ sunt egale exact când $s=t$ — se compară elementele din dreapta sus; iar $3^{3a+3}=3^3$ dă $3a+3=3$. Control: pentru $a=0$, $A(1)A(3)A(9)=3I_2\cdot A(9)=A(27)$. Unde se greșește de obicei: se adună exponenții greșit, $a+(a+1)+(a+2)=3a+2$, și iese $a=\frac{1}{3}$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $m=1$ polinomul este $f=X^3+X^2+2X-4$, deci $$f(1)=1^3+1^2+2\cdot 1-4\text{(3 p)}.$$ $$f(1)=1+1+2-4=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înlocuiește $m$ cu $1$, dar se uită termenul $m{X}^2$, și iese $1+2-4=-1$.)

b) (5 p) După teorema lui Bézout, $f$ se divide cu $X+2=X-(-2)$ exact când $f(-2)=0$: $$f(-2)=-8+4m-4-4=4m-16=0\Rightarrow m=4,\text{ deci }f=X^3+4X^2+2X-4\text{(3 p)}.$$ După teorema restului, restul împărțirii lui $f$ la $X+3$ este $f(-3)$: $$f(-3)=-27+36-6-4=-1\text{(2 p)}.$$

(Control: $X^3+4X^2+2X-4=(X+2)\left(X^2+2X-2\right)$, iar împărțirea la $X+3$ dă câtul $X^2+X-1$ și restul $-1$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(2)$ și $f(3)$ în loc de $f(-2)$ și $f(-3)$ — rădăcina lui $X+2$ este $-2$.)

c) (5 p) Relațiile lui Viète pentru $f=X^3+m{X}^2+2X-4$: $$x_1+x_2+x_3=-m,x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=2,x_1{x}_2{x}_3=4\text{(3 p)}.$$ Aducem la același numitor suma inverselor: $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+x_1+x_2+x_3=\frac{x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1}{x_1{x}_2{x}_3}+(x_1+x_2+x_3)=\frac{1}{2}-m,$$ deci $\frac{1}{2}-m=\frac{1}{2}$, de unde obținem $\mathbf{m}=0$ (2 p).

(Rădăcinile sunt nenule, pentru că produsul lor este $4\ne 0$, deci inversele există. Control numeric: pentru $m=0$, rădăcinile lui $X^3+2X-4$ au suma $0$ și suma inverselor $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Unde se greșește de obicei: se ia produsul rădăcinilor $-4$, copiind termenul liber cu semnul lui, și iese $-\frac{1}{2}-m=\frac{1}{2}$, adică $m=-1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă și convexitate.

a) (5 p) Se derivează câtul, cu ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(x+2017{)}^{\prime }{e}^x-(x+2017){\left(e^x\right)}^{\prime }}{{\left(e^x\right)}^2}\text{(3 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x(1-x-2017)}{{\left(e^x\right)}^2}=\frac{-(x+2016)}{e^x},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Simplificarea cu $e^x$ este permisă pentru că $e^x>0$. Control numeric: în $x=0$ formula dă $f^{\prime }(0)=-2016$, iar raportul incremental $\frac{f(0,001)-f(-0,001)}{0,002}$ dă tot aproximativ $-2016$. Unde se greșește de obicei: se scrie numărătorul în ordine inversă, $(x+2017)e^x-e^x$, și iese $\frac{x+2016}{e^x}$, cu semnul schimbat.)

b) (5 p) Valoarea funcției și a derivatei în $x=0$: $$f(0)=\frac{2017}{e^0}=2017,f^{\prime }(0)=-2016\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$, adică $\mathbf{y}=-2016x+2017$ (3 p).

(Control: dreapta trece prin punctul $(0,2017)$ al graficului și are panta $-2016$. Unde se greșește de obicei: se inversează rolurile, $y=2017x-2016$, luând valoarea funcției drept pantă.)

c) (5 p) Derivata a doua se obține derivând $f^{\prime }(x)=-(x+2016)e^{-x}$: $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{x+2015}{e^x},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Pentru $x\ge -2015$ avem $x+2015\ge 0$ și $e^x>0$, deci $$f^{\prime \prime }(x)\ge 0\text{ pentru orice }x\in [-2015,+\infty ),\text{ deci }f\text{ este convexa˘ pe }[-2015,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Detaliul derivatei a doua: $f^{\prime \prime }(x)=\frac{-e^x-(-(x+2016))e^x}{{\left(e^x\right)}^2}=\frac{-1+x+2016}{e^x}$. Derivata a doua se anulează doar în $x=-2015$, capătul intervalului. Unde se greșește de obicei: la derivarea lui $-(x+2016)e^{-x}$ se pierde un semn și iese $f^{\prime \prime }(x)=\frac{-(x+2015)}{e^x}$, care ar face $f$ concavă pe interval — contrar enunțului; sau se confundă convexitatea cu monotonia și se studiază semnul lui $f^{\prime }$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și primitive.

a) (5 p) Cum $\frac{1}{f(x)}=x^2+1$, $${\int }_0^1\frac{1}{f(x)}dx={\int }_0^1\left(x^2+1\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $${\int }_0^1\frac{1}{f(x)}dx=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se integrează $f(x)$ în loc de $\frac{1}{f(x)}$; sau se scrie primitiva lui $x^2+1$ ca $\frac{x^3}{3}$, uitând termenul $x$, și iese $\frac{1}{3}$.)

b) (5 p) Primitivele funcției $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ sunt $$F:\mathbb{R}\to \mathbb{R},F(x)=\mathrm{arctg}x+c,\text{ unde }c\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț fixează constanta: $F(1)=\frac{\pi }{4}+c=\frac{\pi }{4}+1\Rightarrow c=1$, deci $\mathbf{F}(\mathbf{x})=\mathrm{arctg}\mathbf{x}+1$ (3 p).

(Control: $F^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2+1}=f(x)$ și $F(1)=\mathrm{arctg}1+1=\frac{\pi }{4}+1$. Unde se greșește de obicei: se ia $\mathrm{arctg}1=1$ sau $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{2}$, și constanta iese greșită; sau se scrie primitiva $\ln \left(x^2+1\right)$, ca și cum numărătorul ar fi derivata numitorului.)

c) (5 p) Integrandul este $xf(x)=\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{{\left(x^2+1\right)}^{\prime }}{x^2+1}$, o funcție de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$: $${\int }_0^{n}xf(x)dx={\int }_0^n\frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+1\right){|}_0^n=\frac{1}{2}\ln \left(n^2+1\right)\text{(3 p)}.$$ $$\frac{1}{2}\ln \left(n^2+1\right)=\frac{1}{2}\ln 5,\text{ deci }{n}^2+1=5,\text{ de unde obținem }\mathbf{n}=2\text{(2 p)}.$$

(Funcția logaritmică este injectivă, iar din $n^2=4$ rămâne doar $n=2$, pentru că $-2$ nu este număr natural. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{2}$ și se scrie primitiva $\ln \left(x^2+1\right)$ — atunci ecuația devine $\ln \left(n^2+1\right)=\frac{1}{2}\ln 5$ și nu mai are soluție naturală; sau se păstrează și $n=-2$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea iunie-iulie 2017 a examenului de bacalaureat național — Varianta 2, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2017:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: rația din doi termeni consecutivi și al treilea termen — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Ecuația de gradul al doilea: relațiile lui Viète pentru suma și produsul soluțiilor — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: scrierea lui $\frac{1}{8}$ ca putere a lui $2$ și egalarea exponenților — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: multiplii lui $15$ dintre numerele de două cifre — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: condiția de coliniaritate a trei puncte, prin pante — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema sinusurilor — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice: determinant, produsul a două matrice cu parametru, o ecuație cu puteri — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom, teorema lui Bézout, teorema restului și relațiile lui Viète — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, ecuația tangentei, derivata a doua și convexitatea — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite și primitive: formula Leibniz–Newton, primitiva $\mathrm{arctg}x$ și o primitivă de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$ — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea iunie-iulie 2017. Subiectul I este format din șase cerințe directe: o progresie aritmetică, relațiile lui Viète, o ecuație exponențială cu $\frac{1}{8}=2^{-3}$, o probabilitate cu cei șase multipli de două cifre ai lui $15$, trei puncte coliniare găsite prin pante și teorema sinusurilor. La Subiectul al II-lea, toată problema matricelor se sprijină pe egalitatea de la subpunctul b): produsul a două matrice $A(x)$ este un multiplu al matricei unitate, deci un produs de trei matrice se reduce la o singură matrice, $A\left(3^{3a+3}\right)$; polinomul se lucrează cu teorema lui Bézout, teorema restului și relațiile lui Viète. La Subiectul al III-lea, funcția $\frac{x+2017}{e^x}$ cere derivata unui cât și semnul derivatei a doua, iar problema de integrale se reduce de fiecare dată la o primitivă din tabel: un polinom, $\mathrm{arctg}x$ și $\frac{1}{2}\ln \left(x^2+1\right)$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $10$, $0$, $x=-2$, $\frac{1}{15}$, $a=1$, $\frac{1}{2}$, $-1$, $a=0$, $0$, $-1$, $m=0$, $y=-2016x+2017$, $\frac{4}{3}$, $\mathrm{arctg}x+1$ și $n=2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la $10$ punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 4, probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile și favorabile; la cerința 7, subpunctul c), trecerea de la $A\left(3^{3a+3}\right)=A(27)$ la $3^{3a+3}=27$ fără comparația elementelor; la cerința 9, subpunctul c), convexitatea afirmată fără semnul derivatei a doua pe tot intervalul; la cerința 10, subpunctul b), primitiva scrisă fără constanta $c$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: $r=a_2-a_1$, $a_n=a_1+(n-1)r$. Viète, gradul al doilea: pentru $x^2+bx+c=0$, $x_1+x_2=-b$ și $x_1{x}_2=c$. Ecuații exponențiale: $a^u=a^v⟺u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$. Probabilități: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$. Coliniaritate: $A$, $B$, $C$ sunt coliniare exact când $m_{AB}=m_{AC}$ (dacă pantele există), cu $m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$. Teorema sinusurilor: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}=2R$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; produsul se face „linie înmulțită cu coloană"; $k\cdot I_2\cdot M=kM$.
• Polinoame: teorema lui Bézout — $f$ se divide cu $X-x_0$ exact când $f(x_0)=0$; teorema restului — restul împărțirii lui $f$ la $X-x_0$ este $f(x_0)$; pentru $f=X^3+b{X}^2+cX+d$, relațiile lui Viète dau $x_1+x_2+x_3=-b$, $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=c$, $x_1{x}_2{x}_3=-d$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$; tangenta în punctul de abscisă $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; dacă $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pe un interval, $f$ este convexă pe acel interval.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{1}{x^2+1}dx=\mathrm{arctg}x+\mathcal{C}$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: polinomul $f=X^3+m{X}^2+2X-4$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=\frac{x+2017}{e^x}$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ de la cerința $10$. Tot așa, $A$ este un punct la cerințele $5$ și $6$ (vârful triunghiului) și o matrice, $A(x)$, la cerința $7$, iar $B$ și $C$ sunt puncte la cerința $5$ și vârfuri de triunghi la cerința $6$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $a$ este ordonata punctului $C$ la cerința $5$ și exponentul necunoscut la cerința $7$, subpunctul c). Litera $x$ este variabila funcțiilor, dar la cerința $7$ este parametrul matricei $A(x)$; $x_1$, $x_2$ sunt soluțiile ecuației de la cerința $2$, iar $x_1$, $x_2$, $x_3$ rădăcinile polinomului de la cerința $8$.
• La cerința $10$, subpunctul b), $F$ este primitiva căutată, iar $c$ este constanta de integrare, nu un număr din enunț.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".