Bac M2 2017, modelul oficial — rezolvat

Toate probele M2 din 2017 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră numărul complex $z=1-i$. Arătați că $z^2+2i=0$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați $(g\circ f)(0)$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2017$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x-2017$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{x^2-3x}=3^{x-4}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $M=\{1,2,3,\dots ,100\}$, acesta să fie pătrat perfect.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(0,1)$. Determinați ecuația dreptei $d$, care trece prin punctul $A$ și este perpendiculară pe dreapta de ecuație $y=x-10$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Determinați aria triunghiului $ABC$, știind că $AB=6$, $AC=4$ și $A=\frac{\pi }{6}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{cc}m-1& -1\\ 2& m-2\end{array}\right)$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Calculați $\det (A(0))$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(1+m)+A(1-m)=2A(1)$, pentru orice număr real $m$.

c) (5 puncte) Demonstrați că matricea $A(m)$ este inversabilă, pentru orice număr real $m$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=-3xy+9x+9y-24$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=-3(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Demonstrați că legea de compoziție „$\ast$" este asociativă.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$, pentru care $(x\ast x)\ast x=12$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{3(x-1)\left(x^2+x+1\right)}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)\ge 1$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x+3}$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^2\left(x^2+3x+3\right)f(x)dx$.

b) (5 puncte) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=3$ are aria egală cu $\ln 7$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ${\int }_{-1}^0{f}^{\prime }(x)f(x)dx=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului pentru 2017; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Se dezvoltă pătratul, cu $i^2=-1$: $$z^2+2i=(1-i{)}^2+2i=1-2i+i^2+2i\text{(2 p)}.$$ Termenii $-2i$ și $+2i$ se reduc, iar $i^2=-1$: $$z^2+2i=1-1=0\text{(3 p)}.$$

(Control: $z^2=(1-i{)}^2=-2i$, deci $z^2+2i=0$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(1-i{)}^2=1-i^2=2$, uitând termenul dublu, și rezultatul iese $2+2i$; sau se ia $i^2=1$ și iese $2$.)

Exercițiul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Întâi se calculează funcția din interior: $$f(0)=2017\text{(2 p)}.$$ $$(g\circ f)(0)=g(f(0))=g(2017)=0\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează doar funcția din interior și se dă ca răspuns $f(0)=2017$, fără să se mai aplice $g$; sau se înmulțesc valorile, $f(0)\cdot g(0)=2017\cdot (-2017)$, ceea ce nu este compunere. Ordinea contează în general, „întâi $f$, apoi $g$", chiar dacă aici $f(g(0))$ ar da, întâmplător, tot $0$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Bazele sunt egale, $3$, iar funcția exponențială este injectivă, deci exponenții sunt egali: $$x^2-3x=x-4\iff x^2-4x+4=0\text{(3 p)}.$$ Trinomul este un pătrat perfect, $(x-2{)}^2=0$, deci $\mathbf{x}=2$ (2 p).

(Control: pentru $x=2$ ambii exponenți sunt $-2$: $4-6=-2$ și $2-4=-2$. Unde se greșește de obicei: la trecerea termenilor se scrie $x^2-2x+4=0$, care nu are soluții reale; sau se crede că o ecuație de gradul al doilea are mereu două soluții distincte — aici $\Delta =0$ și soluția este una singură.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea $M$ are $100$ de elemente, deci sunt $100$ de cazuri posibile (1 p).

În mulțimea $M$ sunt $10$ pătrate perfecte, $1^2,2^2,\dots ,10^2$, deci sunt $10$ cazuri favorabile (2 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}\text{(2 p)}.$$

(Pătratele perfecte din $M$ sunt $1,4,9,16,25,36,49,64,81,100$. Unde se greșește de obicei: se uită $100=10^2$, care aparține mulțimii, și iese $\frac{9}{100}$; sau se inversează raportul, $\frac{100}{10}$, deși o probabilitate nu poate depăși $1$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, dreapta perpendiculară.

Dreapta de ecuație $y=x-10$ are panta $1$, iar două drepte sunt perpendiculare când produsul pantelor este $-1$: $$\text{panta unei perpendiculare pe dreapta de ecuație }y=x-10\text{ este egala˘ cu }-1\text{(2 p)}.$$ Dreapta $d$ trece prin $A(0,1)$ și are panta $-1$: $y-1=-1\cdot (x-0)$, deci ecuația dreptei $d$ este $\mathbf{y}=-\mathbf{x}+1$ (3 p).

(Baremul oficial numește aici „$d$" dreapta $y=x-10$; în enunț, $d$ este dreapta căutată — o scăpare de literă care nu schimbă rezolvarea. Control: $A(0,1)$ verifică, $-0+1=1$, iar pantele $1$ și $-1$ au produsul $-1$. Unde se greșește de obicei: se ia panta perpendicularei egală cu $1$, a aceleiași drepte — atunci dreptele ar fi paralele; sau panta $-10$, confundând-o cu termenul liber.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, aria triunghiului.

Aria triunghiului, din două laturi și unghiul dintre ele: $${\mathcal{S}}_{△ABC}=\frac{6\cdot 4\cdot \sin \frac{\pi }{6}}{2}=\frac{6\cdot 4\cdot \frac{1}{2}}{2}\text{(3 p)}.$$ $${\mathcal{S}}_{△ABC}=6\text{(2 p)}.$$

(Unghiul $A$ este chiar unghiul dintre laturile $AB$ și $AC$, deci formula se aplică direct. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi se notează $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: se folosește $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ în loc de sinus și iese $6\sqrt{3}$; sau se uită împărțirea la $2$ și iese $12$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $m=0$: $$A(0)=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 2& -2\end{array}\right)\Rightarrow \det (A(0))=\left|\begin{array}{cc}-1& -1\\ 2& -2\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ $$\det (A(0))=2-(-2)=4\text{(3 p)}.$$

(Produsul diagonalei principale este $(-1)\cdot (-2)=2$, iar al diagonalei secundare $(-1)\cdot 2=-2$, care se scade. Unde se greșește de obicei: se scrie $2-2=0$, pierzând minusul lui $-2$.)

b) (5 p) Se înlocuiește parametrul și se adună element cu element: $$A(1+m)+A(1-m)=\left(\begin{array}{cc}1+m-1& -1\\ 2& 1+m-2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1-m-1& -1\\ 2& 1-m-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 4& -2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ $$A(1+m)+A(1-m)=2\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& -1\end{array}\right)=2A(1),\text{ pentru orice numa˘r real }m\text{(2 p)}.$$

(Termenii cu $m$ se reduc: $m+(-m)=0$ pe diagonala principală. Unde se greșește de obicei: se adună doar elementele care conțin $m$ și se copiază $-1$ și $2$ o singură dată — atunci suma ar avea $-1$ și $2$ în loc de $-2$ și $4$.)

c) (5 p) Calculăm determinantul pentru un $m$ oarecare: $$\det (A(m))=\left|\begin{array}{cc}m-1& -1\\ 2& m-2\end{array}\right|=m^2-3m+4\text{(2 p)}.$$ Pentru orice număr real $m$, $m^2-3m+4\ne 0$, deci matricea $A(m)$ este inversabilă (3 p).

(Justificarea pe care baremul o lasă nescrisă: trinomul $m^2-3m+4$ are $\Delta =9-16=-7<0$, deci nu are rădăcini reale; altfel scris, $m^2-3m+4={\left(m-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}\ge \frac{7}{4}>0$. Detaliul determinantului: $(m-1)(m-2)-(-1)\cdot 2=m^2-3m+2+2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(m-1)(m-2)-2=m^2-3m$, care se anulează pentru $m=0$ și $m=3$ — contrazicând chiar subpunctul a).)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție asociativă pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Scriem termenul liber ca $-27+3$: $$x\ast y=-3xy+9x+9y-27+3\text{(2 p)}.$$ Grupăm termenii: $$x\ast y=-3x(y-3)+9(y-3)+3=-3(x-3)(y-3)+3,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

(Control: pentru $x=y=0$, $-24=-3\cdot 9+3$. Unde se greșește de obicei: se scoate factor comun cu semnul greșit, $-3x(y-3)-9(y-3)$, și iese $-3(x+3)(y-3)$.)

b) (5 p) Calculăm ambele grupări cu forma de la a): $$(x\ast y)\ast z=(-3(x-3)(y-3)+3)\ast z=9(x-3)(y-3)(z-3)+3\text{(2 p)}.$$ $$x\ast (y\ast z)=x\ast (-3(y-3)(z-3)+3)=9(x-3)(y-3)(z-3)+3=(x\ast y)\ast z,$$ pentru orice numere reale $x$, $y$ și $z$, deci legea de compoziție „$\ast$" este asociativă (3 p).

(Detaliul primei egalități: $x\ast y-3=-3(x-3)(y-3)$, iar $(x\ast y)\ast z=-3((x\ast y)-3)(z-3)+3=9(x-3)(y-3)(z-3)+3$. Unde se greșește de obicei: se verifică asociativitatea pe câteva numere anume — câteva exemple nu dovedesc o proprietate valabilă „pentru orice".)

c) (5 p) Cu forma de la b), pentru $x=y=z$: $$(x\ast x)\ast x=9(x-3{)}^3+3\text{(2 p)}.$$ $$9(x-3{)}^3+3=12\iff (x-3{)}^3=1\iff \mathbf{x}=4\text{(3 p)}.$$

(Funcția $t\mapsto t^3$ este injectivă pe $\mathbb{R}$, deci $(x-3{)}^3=1$ are o singură soluție reală, $x-3=1$. Control: $4\ast 4=-3+3=0$, iar $0\ast 4=-3\cdot (-3)\cdot 1+3=12$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(x\ast x)\ast x=-27(x-3{)}^3+3$, ridicând la cub și coeficientul $-3$; sau se ia $(x-3{)}^3=1\Rightarrow x-3=\pm 1$, ca la un pătrat.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, asimptotă verticală și o inegalitate.

a) (5 p) Derivăm termen cu termen și aducem la același numitor: $$f^{\prime }(x)=3x^2-\frac{3}{x}=\frac{3x^3-3}{x}\text{(3 p)}.$$ Scoatem factor comun $3$ și descompunem diferența de cuburi, $x^3-1=(x-1)\left(x^2+x+1\right)$: $$f^{\prime }(x)=\frac{3\left(x^3-1\right)}{x}=\frac{3(x-1)\left(x^2+x+1\right)}{x},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $(3\ln x{)}^{\prime }=3\ln x$ sau $\frac{1}{3x}$; sau se descompune greșit $x^3-1=(x-1)\left(x^2-x+1\right)$ — aceea este descompunerea lui $x^3+1$, cu $x+1$.)

b) (5 p) Singurul capăt finit al domeniului este $0$; acolo $x^3\to 0$ și $-3\ln x\to +\infty$: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\left(x^3-3\ln x\right)=+\infty \text{(2 p)}.$$ Dreapta de ecuație $\mathbf{x}=0$ este asimptotă verticală la graficul funcției $f$ (3 p).

(Funcția este continuă pe $(0,+\infty )$, deci în niciun alt punct nu poate avea asimptotă verticală. Unde se greșește de obicei: se scrie $\underset{x\to 0}{\lim }\ln x=+\infty$ — limita este $-\infty$, iar minusul din fața lui $3\ln x$ o face $+\infty$; sau se scrie asimptota ca $y=0$, care este o dreaptă orizontală.)

c) (5 p) Studiem monotonia lui $f$. Cum $x^2+x+1>0$ și $x>0$, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x-1$: $$f^{\prime }(x)=0\iff x=1\text{(1 p)}.$$ $$x\in (0,1]\Rightarrow f^{\prime }(x)\le 0,\text{ deci }f\text{ este descresca˘toare pe }(0,1]\text{(1 p)}.$$ $$x\in [1,+\infty )\Rightarrow f^{\prime }(x)\ge 0,\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare pe }[1,+\infty )\text{(1 p)}.$$ Cum $f(1)=1-3\ln 1=1$, obținem $f(x)\ge 1$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$ (2 p).

(Trinomul $x^2+x+1$ are $\Delta =1-4<0$, deci este mereu pozitiv. Funcția coboară până în $x=1$ și urcă după, deci $f(1)=1$ este minimul ei. Unde se greșește de obicei: se verifică inegalitatea în câteva puncte și se crede că e demonstrată; sau se scrie $f(1)=1-3=-2$, luând $\ln 1=1$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Factorul $x^2+3x+3$ se simplifică: $${\int }_1^2\left(x^2+3x+3\right)f(x)dx={\int }_1^2(2x+3)dx=\left(x^2+3x\right){|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $${\int }_1^2\left(x^2+3x+3\right)f(x)dx=10-4=6\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $2x+3$ se scrie $x^2+3$, uitând că $3$ devine $3x$; atunci iese $7-4=3$.)

b) (5 p) Pe $[0,3]$ avem $2x+3>0$ și $x^2+3x+3>0$, deci $f(x)>0$ și $|f(x)|=f(x)$; numărătorul este derivata numitorului: $$\mathcal{S}={\int }_0^3|f(x)|dx={\int }_0^3\frac{2x+3}{x^2+3x+3}dx=\ln \left(x^2+3x+3\right){|}_0^3\text{(3 p)}.$$ $$\mathcal{S}=\ln 21-\ln 3=\ln 7\text{(2 p)}.$$

(În $x=3$: $9+9+3=21$; în $x=0$: $3$. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi se notează $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\ln 21-\ln 3=\ln 18$, scăzând argumentele în loc să le împărțim.)

c) (5 p) Integrandul este de forma $u^{\prime }\cdot u$, cu $u=f$, iar o primitivă a lui $u^{\prime }\cdot u$ este $\frac{u^2}{2}$: $${\int }_{-1}^0{f}^{\prime }(x)f(x)dx=\frac{1}{2}{f}^2(x){|}_{-1}^0\text{(3 p)}.$$ Cum $f(0)=\frac{3}{3}=1$ și $f(-1)=\frac{1}{1-3+3}=1$, $${\int }_{-1}^0{f}^{\prime }(x)f(x)dx=\frac{1}{2}\left(f^2(0)-f^2(-1)\right)=\frac{1}{2}(1-1)=0\text{(2 p)}.$$

(Aici $f^2(x)$ înseamnă $(f(x){)}^2$. Nu e nevoie de $f^{\prime }$ explicit: totul depinde doar de valorile lui $f$ în capete. Unde se greșește de obicei: se calculează $f^{\prime }(x)$ și se încearcă integrarea produsului „pe față", cu o fracție lungă; sau, la $f(-1)$, se scrie numitorul $(-1{)}^2+3\cdot (-1)+3$ ca $1+3+3=7$, deci $f(-1)=\frac{1}{7}$, și rezultatul iese $\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{49}\right)=\frac{24}{49}$ în loc de $0$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_șt-nat, publicat înaintea sesiunilor din 2017 ca reper al structurii și al nivelului de dificultate. Un model nu se dă în ziua examenului: el este documentul prin care ministerul arată cum va arăta proba — de aceea nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în modelul pentru 2017:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: pătratul unui număr complex, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: valoarea funcției compuse într-un punct — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială cu aceeași bază în ambii membri: egalarea exponenților — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: pătratele perfecte dintre $1$ și $100$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta unei drepte perpendiculare și ecuația dreptei printr-un punct, de pantă dată — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: aria triunghiului cu formula $\frac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinantul, suma a două matrice cu parametru, condiția de inversabilitate — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: scrierea legii ca produs de paranteze, asociativitatea, o ecuație cu legea aplicată de două ori — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, asimptota verticală, monotonia și o inegalitate — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: formula Leibniz–Newton, o primitivă de tipul $\ln u$ pentru arie și o primitivă de tipul $\frac{u^2}{2}$ — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2017. Modelul este construit din cerințe de dificultate obișnuită, fără capcane de calcul mari. Subiectul I trece prin toată materia claselor a IX-a și a X-a: un număr complex la pătrat, o compunere de funcții în care $2017$ și $-2017$ se anulează, o ecuație exponențială care se reduce la un pătrat perfect, $(x-2{)}^2=0$, o probabilitate cu cele zece pătrate perfecte până la $100$, o dreaptă perpendiculară și o arie cu $\sin \frac{\pi }{6}$. La Subiectul al II-lea, determinantul lui $A(m)$ este trinomul $m^2-3m+4$, care nu se anulează niciodată, iar legea $x\ast y=-3xy+9x+9y-24$ se scrie $-3(x-3)(y-3)+3$ — din forma aceasta vin și asociativitatea, și ecuația $(x\ast x)\ast x=12$. La Subiectul al III-lea, funcția $x^3-3\ln x$ are un singur punct de minim, $x=1$, iar la integrale fracția $\frac{2x+3}{x^2+3x+3}$ are numărătorul egal cu derivata numitorului; subpunctul c) se rezolvă cu observația $f(0)=f(-1)$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $0$, $0$, $x=2$, $\frac{1}{10}$, $y=-x+1$, $6$, $4$, $x=0$, $x=4$, $6$, $\ln 7$ și $0$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la $10$ punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 4, probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile și favorabile; la cerința 7, subpunctul c), afirmația „$m^2-3m+4\ne 0$" fără justificare; la cerința 8, subpunctul b), asociativitatea verificată pe câteva numere, în loc de numere reale oarecare; la cerința 10, subpunctul b), aria scrisă fără să se arate că funcția este pozitivă pe $[0,3]$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$, $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$. Compunere: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$. Ecuații exponențiale: $a^u=a^v⟺u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$. Probabilități: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$. Drepte perpendiculare: $m_1\cdot m_2=-1$; dreapta prin $A(x_A,y_A)$ cu panta $m$ are ecuația $y-y_A=m(x-x_A)$. Aria triunghiului: $\mathcal{S}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul; un trinom $a{m}^2+bm+c$ cu $\Delta <0$ nu se anulează pentru niciun $m$ real.
• Legi de compoziție: o lege de forma $x\ast y=k(x-a)(y-a)+a$ este asociativă: $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)=k^2(x-a)(y-a)(z-a)+a$.
• Derivate: ${\left(x^3\right)}^{\prime }=3x^2$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; dreapta $x=a$ este asimptotă verticală dacă limita funcției în $a$ (la stânga sau la dreapta) este infinită; minimul funcției dă o inegalitate valabilă pe tot domeniul.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; $\int u^{\prime }\cdot udx=\frac{u^2}{2}+\mathcal{C}$; aria suprafeței delimitate de graficul lui $f\ge 0$, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$ este $\mathcal{S}={\int }_a^{b}f(x)dx$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=x+2017$ de la cerința $2$, funcția $f(x)=x^3-3\ln x$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x+3}$ de la cerința $10$. Tot așa, $A$ este un punct la cerința $5$, un unghi al triunghiului la cerința $6$ și o matrice, $A(m)$, la cerința $7$; $M$ este mulțimea $\{1,2,3,\dots ,100\}$ de la cerința $4$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• La cerința $6$, scrierea „$A=\frac{\pi }{6}$" din enunț înseamnă că unghiul $A$ al triunghiului are măsura $\frac{\pi }{6}$ (documentul oficial nu pune semn de unghi; l-am transcris exact).
• La cerința $10$, $f^2(x)$ din barem înseamnă $(f(x){)}^2$, pătratul valorii funcției, nu $f(f(x))$.
• Semnul $\ast$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită în enunț, nu înmulțirea obișnuită; semnul $\circ$ de la cerința $2$ este compunerea funcțiilor.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".