Bac M2 2017, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2017 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați numărul complex $z$, știind că $2z+\overline{z}=6+i$, unde $\overline{z}$ este conjugatul lui $z$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x-5$. Calculați $f(1)+f(2)+f(3)+\dots +f(10)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2(x+3)=1+{\log }_2(x+1)$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele egale.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$ și $B(5,5)$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $C(-2,6)$ și este perpendiculară pe dreapta $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=3\sqrt{2}$, $m(\sphericalangle ACB)=30^{\circ }$ și $m(\sphericalangle BAC)=45^{\circ }$. Determinați lungimea laturii $BC$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& x\\ 4& 9& x^2\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Calculați $A(1)-A(0)$.

b) (5 puncte) Arătați că $\det (A(x))=(x-2)(x-3)$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $\det (A(a))\le \det (A(x))$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=4xy-4x-4y+5$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\circ y=4(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Arătați că $N=2016\circ 2017$ este pătratul unui număr natural.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale $a$ și $b$ pentru care $a\circ b=13$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=x(2\ln x+1)$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $1+2ef(x)\ge 0$, pentru orice număr real $x$, $x\in (0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-1)e^x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)e^{-x}dx=-\frac{1}{2}$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=(x+a)e^x$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1{x}^{3}f(x)dx\le -\frac{1}{20}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării naționale din 2017; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe, conjugatul.

Scriem $z=a+ib$, cu $a,b\in \mathbb{R}$; atunci $\overline{z}=a-ib$, iar ecuația devine $$2(a+ib)+(a-ib)=6+i⟺3a+ib=6+i\text{(2 p)}.$$ Egalând părțile reale și părțile imaginare, $3a=6$ și $b=1$, deci $a=2$, $b=1$ și $\mathbf{z}=2+\mathbf{i}$ (3 p).

(Verificare: $2(2+i)+(2-i)=4+2i+2-i=6+i$. Unde se greșește de obicei: se pune conjugatul pe termenul greșit, $2\overline{z}+z=6+i$, și iese $z=2-i$; sau se scrie $2ib+ib=3ib$, uitând că $\overline{z}$ are partea imaginară $-b$, și iese $b=\frac{1}{3}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi, suma lui Gauss.

Se scrie fiecare valoare și se grupează termenii cu $4$ și termenii liberi: $$f(1)+f(2)+\dots +f(10)=(4\cdot 1-5)+(4\cdot 2-5)+\dots +(4\cdot 10-5)=4(1+2+\dots +10)-10\cdot 5=\text{(3 p)}$$ $$=220-50=170\text{(2 p)}.$$

(Suma lui Gauss: $1+2+\dots +10=\frac{10\cdot 11}{2}=55$, deci $4\cdot 55=220$. Control: valorile $-1,3,7,\dots ,35$ formează o progresie aritmetică de rație $4$, cu suma $\frac{(-1+35)\cdot 10}{2}=170$. Unde se greșește de obicei: termenul $-5$ se scade o singură dată, nu de zece ori, și iese $220-5=215$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Scriem $1={\log }_{2}2$ și folosim logaritmul unui produs: ${\log }_{2}2+{\log }_2(x+1)={\log }_2(2(x+1))$. Cum funcția logaritmică este injectivă, $${\log }_2(x+3)={\log }_{2}2+{\log }_2(x+1)\Rightarrow x+3=2(x+1)\text{(3 p)}.$$ De aici $x+3=2x+2$, adică $\mathbf{x}=1$, care verifică ecuația (2 p).

(Verificare: pentru $x=1$ membrul stâng este ${\log }_{2}4=2$, iar membrul drept $1+{\log }_{2}2=2$; argumentele $4$ și $2$ sunt pozitive. Unde se greșește de obicei: se „adună" $1$ la argument, $x+3=1+(x+1)$, și se ajunge la $3=2$, adică la concluzia falsă că ecuația nu are soluții; sau se scrie $2(x+1)=2x+1$ și iese $x=2$, care nu verifică ecuația.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$, deci sunt $90$ de numere naturale de două cifre și $90$ de cazuri posibile (2 p).

În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt $9$ numere cu cifrele egale — $11,22,\dots ,99$ —, deci sunt $9$ cazuri favorabile (2 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se numără $99$ de cazuri posibile, ca și cum mulțimea ar începe de la $1$, și iese $\frac{9}{99}=\frac{1}{11}$; sau se numără și „$00$" printre cazurile favorabile, deși $00$ nu este un număr de două cifre.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, dreapta perpendiculară.

Panta dreptei $AB$ este $m_{AB}=\frac{5-1}{5-1}=1$; dreapta $d$, care trece prin $C$ și este perpendiculară pe $AB$, are panta $m_d$ cu $m_{AB}\cdot m_d=-1$: $$m_{AB}=1\Rightarrow m_d=-1\text{(2 p)}.$$ Ecuația dreptei $d$ este $y-6=-1\cdot (x+2)$, adică $\mathbf{y}=-\mathbf{x}+4$ (3 p).

(Verificare: $C(-2,6)$ verifică $6=2+4$. Unde se greșește de obicei: se ia panta paralelei, $m_d=1$, și iese $y=x+8$ — o dreaptă care trece prin $C$, dar e paralelă cu $AB$; sau se scrie $x-2$ în loc de $x-(-2)=x+2$ și iese $y=-x+8$, care nu trece prin $C$ ($2+8=10\ne 6$).)

Exercițiul 6. (5 p) — teorema sinusurilor.

Latura $AB$ se opune unghiului $C$, iar latura $BC$ se opune unghiului $A$; din teorema sinusurilor, $$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}\Rightarrow BC=\frac{3\sqrt{2}\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=\text{(2 p)}$$ $$=\frac{3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=6\text{(3 p)}.$$

(Control: $3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3$, iar $3:\frac{1}{2}=6$. Unde se greșește de obicei: se inversează sinusurile, $BC=\frac{3\sqrt{2}\cdot \sin 30^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=3$ — adică se pune latura $BC$ în dreptul unghiului $C$, care nu i se opune.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea, determinant și minim.

a) (5 p) Înlocuim $x=1$ și $x=0$: $$A(1)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 1\\ 4& 9& 1\end{array}\right),A(0)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 0\\ 4& 9& 0\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Primele două coloane coincid, deci $$A(1)-A(0)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: în $A(0)$ elementul $x^2$ se scrie $1$ în loc de $0$, și ultima linie a diferenței iese $0,0,0$.)

b) (5 p) Cu regula lui Sarrus, $$\det (A(x))=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& x\\ 4& 9& x^2\end{array}\right|=3x^2+18+4x-12-9x-2x^2=\text{(3 p)}$$ $$=x^2-5x+6=(x-2)(x-3),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$

(Termenii, pe rând: diagonalele principale dau $1\cdot 3\cdot x^2+1\cdot x\cdot 4+1\cdot 2\cdot 9=3x^2+4x+18$, iar cele secundare $1\cdot 3\cdot 4+1\cdot x\cdot 9+1\cdot 2\cdot x^2=12+9x+2x^2$. Control: pentru $x=2$ coloanele a doua și a treia ale lui $A(2)$ nu coincid, dar prima și a treia da — $(1,2,4)$ — deci determinantul este $0$, cum spune formula.)

c) (5 p) Scriem trinomul în forma canonică: $$\det (A(x))=x^2-5x+6={\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}\text{(2 p)}.$$ Cum ${\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2\ge 0$, avem $\det (A(x))\ge -\frac{1}{4}$ pentru orice $x$ real, cu egalitate doar în $x=\frac{5}{2}$. Condiția din enunț cere ca $\det (A(a))$ să fie cea mai mică valoare a determinantului, deci valoarea minimă se obține pentru $\mathbf{a}=\frac{5}{2}$ (3 p).

(De ce e singura: dacă $a\ne \frac{5}{2}$, atunci $\det (A(a))>-\frac{1}{4}=\det \left(A\left(\frac{5}{2}\right)\right)$, deci inegalitatea nu mai are loc pentru $x=\frac{5}{2}$. Unde se greșește de obicei: se iau rădăcinile trinomului, $a=2$ sau $a=3$ — acolo determinantul este $0$, dar în $\frac{5}{2}$ este $-\frac{1}{4}<0$; sau se pierde semnul și se răspunde $a=-\frac{5}{2}$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Scriem $5=4+1$ și grupăm termenii: $$x\circ y=4xy-4x-4y+4+1=\text{(2 p)}$$ $$=4x(y-1)-4(y-1)+1=4(x-1)(y-1)+1,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

(Control, pe un exemplu: $2\circ 3=24-8-12+5=9$ și $4\cdot 1\cdot 2+1=9$.)

b) (5 p) Cu forma de la subpunctul a), $$N=4(2016-1)(2017-1)+1=4\cdot 2015\cdot 2016+1=\text{(2 p)}$$ $$=4\cdot 2015\cdot (2015+1)+1=4\cdot 2015^2+4\cdot 2015+1=(2\cdot 2015+1{)}^2=4031^2\text{(3 p)}.$$ Deci $N$ este pătratul numărului natural $4031$.

(Ideea: $4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n+1{)}^2$, cu $n=2015$. Unde se greșește de obicei: se scade $1$ doar dintr-un factor, $4\cdot 2016\cdot 2016+1$, sau se uită termenul $+1$ — iar $4\cdot 2015\cdot 2016$ nu este pătrat perfect.)

c) (5 p) Cu forma de la subpunctul a), $$a\circ b=13⟺4(a-1)(b-1)+1=13⟺(a-1)(b-1)=3\text{(2 p)}.$$ Cum $a$ și $b$ sunt numere naturale, $a-1\ge -1$ și $b-1\ge -1$, iar $3$ se scrie ca produs de doi întregi doar ca $1\cdot 3$, $3\cdot 1$, $(-1)(-3)$ și $(-3)(-1)$; ultimele două cer un factor egal cu $-3$, imposibil. Obținem $\mathbf{a}=2,\mathbf{b}=4$ sau $\mathbf{a}=4,\mathbf{b}=2$ (3 p).

(Baremul oficial trece direct la cele două soluții; motivul pentru care descompunerile cu factori negativi nu dau soluții l-am scris noi. Control: $2\circ 4=32-8-16+5=13$. Unde se greșește de obicei: se păstrează doar una dintre perechi — legea este comutativă, deci dacă $(2,4)$ e soluție, e și $(4,2)$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă și o inegalitate.

a) (5 p) Derivăm produsul, cu $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$: $$f^{\prime }(x)=2x\ln x+x^2\cdot \frac{1}{x}=\text{(3 p)}$$ $$=2x\ln x+x=x(2\ln x+1),x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se derivează doar $\ln x$ și iese $x^2\cdot \frac{1}{x}=x$, adică lipsește termenul $2x\ln x$. Control: în $x=1$ formula dă $f^{\prime }(1)=1$.)

b) (5 p) Calculăm valoarea funcției și a derivatei în $x=1$: $$f(1)=1^2\cdot \ln 1=0,f^{\prime }(1)=1\cdot (2\ln 1+1)=1\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $\mathbf{y}=\mathbf{x}-1$ (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se ia $\ln 1=1$, și iese $f(1)=1$, $f^{\prime }(1)=3$; sau se scrie tangenta $y=f^{\prime }(1)\cdot x$, uitând punctul de tangență.)

c) (5 p) Căutăm minimul funcției $f$. Cum $x>0$, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $2\ln x+1$: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=\frac{1}{\sqrt{e}}\text{(1 p)}.$$ $$x\in \left(0,\frac{1}{\sqrt{e}}\right]\Rightarrow f^{\prime }(x)\le 0,\text{ deci }f\text{ descresca˘toare pe }\left(0,\frac{1}{\sqrt{e}}\right]\text{(1 p)}.$$ $$x\in \left[\frac{1}{\sqrt{e}},+\infty \right)\Rightarrow f^{\prime }(x)\ge 0,\text{ deci }f\text{ cresca˘toare pe }\left[\frac{1}{\sqrt{e}},+\infty \right)\text{(1 p)}.$$ Cum $f\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)=\frac{1}{e}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2e}$, obținem $$f(x)\ge -\frac{1}{2e}⟺1+2ef(x)\ge 0,\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(De unde vine $\frac{1}{\sqrt{e}}$: $2\ln x+1=0⟺\ln x=-\frac{1}{2}⟺x=e^{-\frac{1}{2}}$. Echivalența de la final vine din înmulțirea cu $2e>0$. Unde se greșește de obicei: se ia minimul în $x=1$, unde $f(1)=0$ — dar $f\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)<0$, deci $x=1$ nu este punct de minim; sau se rezolvă $\ln x=-\frac{1}{2}$ ca $x=\frac{1}{e}$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și primitive.

a) (5 p) Exponențialele se reduc, $e^x\cdot e^{-x}=1$: $${\int }_0^{1}f(x)e^{-x}dx={\int }_0^1(x-1)e^x{e}^{-x}dx={\int }_0^1(x-1)dx=\left(\frac{x^2}{2}-x\right){|}_0^1=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se evaluează în ordine inversă, $F(0)-F(1)$, și iese $\frac{1}{2}$. Semnul minus e firesc: pe $[0,1]$ integrandul $x-1$ este negativ.)

b) (5 p) $F$ este o primitivă a lui $f$ exact când $F^{\prime }=f$. Derivăm produsul: $$F^{\prime }(x)=e^x+(x+a)e^x=(x+a+1)e^x,x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ $$F^{\prime }(x)=f(x)\Rightarrow (x+a+1)e^x=(x-1)e^x\text{ pentru orice numa˘r real }x,\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=-2\text{(3 p)}.$$

(Cum $e^x>0$, egalitatea devine $x+a+1=x-1$, adică $a+1=-1$. Control: $((x-2)e^x{)}^{\prime }=e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x$. Unde se greșește de obicei: se compară direct $F$ cu $f$ și iese $a=-1$ — dar atunci $F^{\prime }(x)=x{e}^x\ne f(x)$.)

c) (5 p) Scriem integrandul și îl majorăm pe $[0,1]$: $$x^{3}f(x)=\left(x^4-x^3\right)e^x\text{ și, cum }x\in [0,1]\Rightarrow 1\le e^x\text{ și }{x}^4-x^3\le 0,\text{ obținem }{x}^{3}f(x)\le x^4-x^3\text{(3 p)}.$$ Integrând inegalitatea pe $[0,1]$, $${\int }_0^1{x}^{3}f(x)dx\le {\int }_0^1\left(x^4-x^3\right)dx=\left(\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{4}\right){|}_0^1=-\frac{1}{20}\text{(2 p)}.$$

(De ce merge majorarea: $x^4-x^3=x^3(x-1)\le 0$ pe $[0,1]$, iar un număr negativ înmulțit cu $e^x\ge 1$ devine și mai mic, deci $\left(x^4-x^3\right)e^x\le x^4-x^3$. Control: integrala exactă este $11e-30\approx -0,0989$, într-adevăr mai mică decât $-\frac{1}{20}=-0,05$. Unde se greșește de obicei: se scrie inegalitatea în sens invers, „$e^x\ge 1$, deci $x^{3}f(x)\ge x^4-x^3$", uitând că factorul $x^4-x^3$ este negativ; sau se majorează cu $0$ — adevărat, dar se obține doar ${\int }_0^1{x}^{3}f(x)dx\le 0$, prea puțin.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial al simulării naționale a probei E. c), Matematică M_șt-nat, dată elevilor de clasa a XII-a în 2017, înaintea examenului național de bacalaureat. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în simularea din 2017:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: forma algebrică și conjugatul, egalitatea a două numere complexe — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: suma valorilor $f(1)+f(2)+\dots +f(10)$, cu suma lui Gauss — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: scrierea lui $1$ ca ${\log }_{2}2$, proprietatea logaritmului unui produs și verificarea soluției — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numerele de două cifre cu cifrele egale — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta unei drepte, condiția de perpendicularitate și ecuația dreptei printr-un punct — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema sinusurilor — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: diferența a două matrice, determinantul calculat cu regula lui Sarrus și minimul unei funcții de gradul al doilea — clasele a IX-a și a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: scrierea legii ca produs, un pătrat perfect „ascuns" și o ecuație în numere naturale — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui produs cu $\ln x$, ecuația tangentei, minimul funcției din semnul derivatei — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale: formula Leibniz–Newton, primitiva de forma $(x+a)e^x$ și o inegalitate obținută prin majorarea integrandului — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2017. Subiectul I este format din șase cerințe directe, dintre care două cer atenție: la cerința 3 numărul $1$ trebuie scris ca ${\log }_{2}2$, iar soluția se verifică în ecuație; la cerința 6 teorema sinusurilor leagă latura $BC$ de unghiul opus ei, $A$, iar latura $AB$ de unghiul $C$. Subiectul al II-lea pune o matrice $A(x)$ al cărei determinant este un trinom de gradul al doilea, $(x-2)(x-3)$, iar subpunctul c) cere, de fapt, punctul de minim al acestui trinom; legea de compoziție $x\circ y=4(x-1)(y-1)+1$ „ascunde" la subpunctul b) un pătrat perfect, iar la subpunctul c) duce la o ecuație în numere naturale, $(a-1)(b-1)=3$. Subiectul al III-lea cere la problema 1 lanțul derivată → tangentă → minim, cu inegalitatea de la c) scrisă ca „$f(x)\ge$ minimul lui $f$", iar la problema 2 două calcule directe și o majorare a integrandului: pe $[0,1]$ avem $e^x\ge 1$ și $x^4-x^3\le 0$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre legi de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt întregi, fracții simple, un număr complex, o matrice cu elemente $0$ și $1$ și ecuația unei drepte.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: soluția ecuației logaritmice dată fără verificare; teorema sinusurilor scrisă cu laturi și unghiuri care nu sunt opuse; minimul de la problema 7, subpunctul c), afirmat fără forma canonică a trinomului; inegalitatea de la problema 9, subpunctul c), „demonstrată" fără semnul derivatei pe intervale.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: dacă $z=a+ib$, cu $a,b$ reale, atunci $\overline{z}=a-ib$; două numere complexe sunt egale exact când au părțile reale egale și părțile imaginare egale. Suma lui Gauss: $1+2+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$. Logaritmi: ${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a(uv)$ și $1={\log }_{a}a$. Probabilități: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$.
• Geometrie analitică: panta dreptei $AB$ este $m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$; două drepte de pante $m_1$, $m_2$ sunt perpendiculare exact când $m_1{m}_2=-1$; dreapta de pantă $m$ prin $C(x_C,y_C)$ are ecuația $y-y_C=m(x-x_C)$. Teorema sinusurilor: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=2R$.
• Matrice și funcția de gradul al doilea: determinantul de ordinul al treilea cu regula lui Sarrus; $x^2+bx+c={\left(x+\frac{b}{2}\right)}^2+c-\frac{b^2}{4}$, deci minimul se atinge în $x=-\frac{b}{2}$.
• Legi de compoziție: o lege de forma $x\circ y=k(x-a)(y-a)+a$ se lucrează în forma factorizată; $4n(n+1)+1=(2n+1{)}^2$.
• Derivate: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; tangenta în punctul de abscisă $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; dacă $f$ este descrescătoare până în $x_0$ și crescătoare după, atunci $f(x)\ge f(x_0)$ pentru orice $x$.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $F$ este primitivă a lui $f$ exact când $F^{\prime }=f$; dacă $g(x)\le h(x)$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}g(x)dx\le {\int }_a^{b}h(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Semnul $\circ$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită în enunț, nu compunerea funcțiilor; subiectul oficial îl tipărește așa și l-am păstrat.
• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=4x-5$ la cerința $2$, $f(x)=x^2\ln x$ la cerința $9$ și $f(x)=(x-1)e^x$ la cerința $10$. Litera $A$ este un punct la cerințele $5$ și $6$ și o matrice, $A(x)$, la cerința $7$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $a$ este partea reală a lui $z$ în rezolvarea cerinței $1$, numărul real căutat la cerința $7$, subpunctul c), un număr natural la cerința $8$, subpunctul c), și parametrul primitivei la cerința $10$, subpunctul b). Litera $e$ este baza logaritmului natural.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".