Bac M2 2017, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2017 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_1=3+2i$ și $z_2=3-2i$. Arătați că numărul $z_1+z_2$ este real.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$, știind că punctul $M(2,m)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{3x-5}=3^{-2}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,20\}$, acesta să fie multiplu de $5$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,5)$, $B(1,3)$ și $C(m,1)$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$, știind că punctul $C$ aparține dreptei $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră $E(x)=\cos \frac{x}{2}+\sin x$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}x& x+1& 1\\ 2& x& 1\\ 3& 0& 1\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=1$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$, pentru care $A(x)+A(x+2)=2A(2)$.

c) (5 puncte) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(n,n+1)$, $N(2,n)$ și $P(3,0)$. Determinați numărul natural $n$, știind că punctele $M$, $N$ și $P$ sunt coliniare.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+a{X}^2+X-1$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(1)-f(-1)=4$, pentru orice număr real $a$.

b) (5 puncte) Pentru $a=2$, calculați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X^2+X+1$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $x_1+x_2+x_3+x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=x_1{x}_2{x}_3-1$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$, $x\in (1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=2$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{e^x+1}=0$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x+2x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1(f(x)-2x)dx=e-1$.

b) (5 puncte) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[0,1]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)-e^x$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că ${\int }_0^{a}xf(x)dx=1+\frac{2a^3}{3}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale din 2017; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Adunăm părțile reale și părțile imaginare: $$z_1+z_2=(3+2i)+(3-2i)=\text{(2 p)}$$ $$=6,\text{ care este numa˘r real}\text{(3 p)}.$$

(Cele două numere sunt conjugate, iar suma a două numere conjugate este de două ori partea reală. Unde se greșește de obicei: se calculează diferența, $z_1-z_2=4i$, care nu este reală; sau se scrie $2i+(-2i)=4i$, pierzând semnul.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, punct pe grafic.

Punctul $M(2,m)$ aparține graficului exact când valoarea funcției în abscisa lui este egală cu ordonata: $$f(2)=m⟺4-3=m\text{(3 p)}.$$ Deci $\mathbf{m}=1$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se inversează rolurile coordonatelor și se scrie $f(m)=2$, de unde $m^2=5$; sau se calculează $2^2+3=7$, cu semnul greșit.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Bazele sunt egale, iar funcția exponențială de bază $3$ este injectivă, deci exponenții sunt egali: $$3^{3x-5}=3^{-2}⟺3x-5=-2\text{(3 p)}.$$ De aici $3x=3$, adică $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(Verificare: $3^{3-5}=3^{-2}$. Unde se greșește de obicei: se pierde minusul exponentului din dreapta și se rezolvă $3x-5=2$, de unde $x=\frac{7}{3}$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea $A$ are $20$ de elemente, deci sunt $20$ de cazuri posibile (2 p).

În mulțimea $A$, multiplii de $5$ sunt numerele $5$, $10$, $15$ și $20$, deci sunt $4$ cazuri favorabile (2 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită $20$, care este și el multiplu de $5$, și iese $\frac{3}{20}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, punct pe o dreaptă.

Dreapta $AB$ are panta $\frac{5-3}{2-1}=2$ și trece prin $B(1,3)$: $y-3=2(x-1)$, deci ecuația dreptei $AB$ este $y=2x+1$ (3 p).

Punctul $C(m,1)$ aparține dreptei exact când coordonatele lui verifică ecuația: $$C\in AB⟺1=2m+1⟺\mathbf{m}=0\text{(2 p)}.$$

(Control: $A(2,5)$ verifică $5=2\cdot 2+1$, iar $B(1,3)$ verifică $3=2\cdot 1+1$. Unde se greșește de obicei: panta se calculează „invers", $\frac{2-1}{5-3}=\frac{1}{2}$; dreapta prin $B$ iese $y=\frac{x}{2}+\frac{5}{2}$, iar $C$ ar da $m=-3$.)

Exercițiul 6. (5 p) — valori ale funcțiilor trigonometrice.

Pentru $x=\frac{\pi }{3}$, jumătatea lui $x$ este $\frac{\pi }{6}$: $$E\left(\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{3}=\text{(2 p)}$$ $$=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită împărțirea la $2$ și se calculează $\cos \frac{\pi }{3}+\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$; sau se confundă $\cos \frac{\pi }{6}$ cu $\frac{1}{2}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea și puncte coliniare.

a) (5 p) Pentru $x=0$, $$A(0)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 2& 0& 1\\ 3& 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow \det (A(0))=\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 2& 0& 1\\ 3& 0& 1\end{array}\right|=\text{(2 p)}$$ $$=0+0+3-0-0-2=1\text{(3 p)}.$$

(Cu regula lui Sarrus: diagonalele principale dau $0\cdot 0\cdot 1+1\cdot 1\cdot 3+1\cdot 2\cdot 0=3$, cele secundare $1\cdot 0\cdot 3+0\cdot 1\cdot 0+1\cdot 2\cdot 1=2$. Unde se greșește de obicei: produsele secundare se adună, și iese $5$.)

b) (5 p) Adunăm element cu element: $$A(x)+A(x+2)=\left(\begin{array}{ccc}x& x+1& 1\\ 2& x& 1\\ 3& 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}x+2& x+3& 1\\ 2& x+2& 1\\ 3& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2x+2& 2x+4& 2\\ 4& 2x+2& 2\\ 6& 0& 2\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Cum $2A(2)=\left(\begin{array}{ccc}4& 6& 2\\ 4& 4& 2\\ 6& 0& 2\end{array}\right)$, egalitatea cere $2x+2=4$ și $2x+4=6$, deci $\mathbf{x}=1$ (3 p).

(Toate cele trei ecuații, $2x+2=4$, $2x+4=6$ și iar $2x+2=4$, dau același $x=1$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $2$ din $2A(2)$ și se egalează $2x+2=2$, de unde $x=0$ — dar atunci elementul de pe linia a doua, prima coloană, ar cere $4=2$, deci egalitatea nu are loc.)

c) (5 p) Scriem condiția de coliniaritate cu determinant: $$\text{Punctele }M(n,n+1),N(2,n)\text{ și }P(3,0)\text{ sunt coliniare}⟺\left|\begin{array}{ccc}n& n+1& 1\\ 2& n& 1\\ 3& 0& 1\end{array}\right|=0\text{(2 p)}.$$ Cu regula lui Sarrus, determinantul este $n^2+3(n+1)-3n-2(n+1)=n^2-2n+1$, deci $$n^2-2n+1=0,\text{ deci }\mathbf{n}=1\text{(3 p)}.$$

(Observație: determinantul de coliniaritate este chiar $\det (A(n))$, iar $n^2-2n+1=(n-1{)}^2$ — pentru $n=0$ regăsim rezultatul de la a). Control: pentru $n=1$ punctele sunt $M(1,2)$, $N(2,1)$, $P(3,0)$, toate pe dreapta $y=3-x$. Unde se greșește de obicei: se adună produsul secundar $2(n+1)$ în loc să se scadă și iese $n^2+2n+5=0$, o ecuație fără soluții reale — semn că s-a greșit un semn.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea.

a) (5 p) Calculăm cele două valori: $$f(1)=1^3+a\cdot 1^2+1-1=a+1\text{(2 p)}.$$ $$f(-1)=(-1{)}^3+a\cdot (-1{)}^2+(-1)-1=a-3\Rightarrow f(1)-f(-1)=a+1-a+3=4,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $(-1{)}^3=1$, și atunci $f(-1)=a-1$, iar diferența iese $2$ — fals.)

b) (5 p) Pentru $a=2$, $f=X^3+2X^2+X-1$. Împărțind la $X^2+X+1$: primul termen al câtului este $X$, iar $f-X\left(X^2+X+1\right)=X^2-1$; al doilea termen este $1$, iar $X^2-1-\left(X^2+X+1\right)=-X-2$. Deci $$f=X^3+2X^2+X-1,\text{ caˆtul este }\mathbf{X}+1\text{(3 p)}.$$ $$\text{Restul este }-\mathbf{X}-2\text{(2 p)}.$$

(Control: $(X+1)\left(X^2+X+1\right)=X^3+2X^2+2X+1$, iar adunând restul $-X-2$ obținem $X^3+2X^2+X-1=f$; restul are gradul $1$, mai mic decât $2$. Unde se greșește de obicei: se scrie restul cu semnul schimbat, $X+2$.)

c) (5 p) Din relațiile lui Viète, pentru $f=X^3+a{X}^2+X-1$, $$x_1+x_2+x_3=-a,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=1,x_1{x}_2{x}_3=1\text{(3 p)}.$$ $$x_1+x_2+x_3+x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=x_1{x}_2{x}_3-1⟺-a+1=1-1,\text{ deci }\mathbf{a}=1\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: pentru $a=1$ rădăcinile lui $X^3+X^2+X-1$, calculate aproximativ, verifică relația. Unde se greșește de obicei: se ia $x_1{x}_2{x}_3=-1$ (semnul lui $-d$) și iese $a=3$; sau $x_1+x_2+x_3=a$ și iese $a=-1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivata unui cât, tangentă și limită.

a) (5 p) Cu formula derivatei unui cât, $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x-1)(x-1)-\left(x^2-x+1\right)\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2},x\in (1,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Numărătorul: $(2x-1)(x-1)=2x^2-3x+1$, iar $2x^2-3x+1-x^2+x-1=x^2-2x$. Unde se greșește de obicei: se adună termenii din numărător în loc să se scadă și iese $3x^2-4x+2$.)

b) (5 p) Calculăm valoarea funcției și a derivatei în $x=2$: $$f(2)=\frac{4-2+1}{1}=3,f^{\prime }(2)=\frac{2\cdot 0}{1}=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-f(2)=f^{\prime }(2)(x-2)$, adică $\mathbf{y}=3$ (3 p).

(Tangenta este orizontală, pentru că $f^{\prime }(2)=0$; de fapt, $x=2$ este punctul de minim al lui $f$ pe $(1,+\infty )$. Unde se greșește de obicei: se ia panta egală cu $f(2)=3$ și iese $y=3x-3$.)

c) (5 p) Scriem fracția ca produs a doi factori ale căror limite le știm: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{e^x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-x+1}{(x-1)\left(e^x+1\right)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^2-x+1}{x(x-1)}\cdot \frac{x}{e^x+1}\right)=\text{(2 p)}$$ $$=1\cdot 0=0,\text{ deoarece }\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-x+1}{x(x-1)}=1\text{ și }\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{e^x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{e^x}=0\text{(3 p)}.$$

(Primul factor este un raport de polinoame de același grad, cu coeficienții dominanți $1$ și $1$. Al doilea este o nedeterminare $\frac{\infty }{\infty }$, rezolvată cu regula lui l'Hôpital: derivatele sunt $1$ și $e^x$. Unde se greșește de obicei: se observă doar că $f(x)\to +\infty$ și se trage concluzia că limita este $+\infty$ — dar numitorul crește mult mai repede.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite, volum și integrarea prin părți.

a) (5 p) Termenii $2x$ se reduc: $${\int }_0^1(f(x)-2x)dx={\int }_0^1\left(e^x+2x-2x\right)dx={\int }_0^1{e}^{x}dx=e^x{|}_0^1=\text{(3 p)}$$ $$=e^1-e^0=e-1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $e^0=0$ și iese $e$.)

b) (5 p) Exponențiala se reduce: $g(x)=2x$, deci $$g(x)=2x\Rightarrow \mathcal{V}=\pi {\int }_0^1{g}^2(x)dx=\pi {\int }_0^{1}4x^{2}dx=\text{(3 p)}$$ $$=4\pi \cdot \frac{x^3}{3}{|}_0^1=\frac{4\pi }{3}\text{(2 p)}.$$

(Corpul este un con cu raza bazei $g(1)=2$ și înălțimea $1$: $\frac{\pi \cdot 2^2\cdot 1}{3}=\frac{4\pi }{3}$ — același rezultat. În baremul oficial volumul este notat $V$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{V}$. Unde se greșește de obicei: se integrează $g$ în loc de $g^2$ și iese $\pi$.)

c) (5 p) Integrăm prin părți termenul $x{e}^x$, cu $u=x$, $v^{\prime }=e^x$: ${\int }_0^{a}x{e}^{x}dx=x{e}^x{|}_0^a-{\int }_0^a{e}^{x}dx=(x-1)e^x{|}_0^a$. Atunci $${\int }_0^{a}xf(x)dx={\int }_0^{a}x\left(e^x+2x\right)dx=(x-1)e^x{|}_0^a+2\cdot \frac{x^3}{3}{|}_0^a=(a-1)e^a+1+\frac{2a^3}{3}\text{(3 p)}.$$ $$(a-1)e^a+1+\frac{2a^3}{3}=1+\frac{2a^3}{3}⟺(a-1)e^a=0⟺\mathbf{a}=1\text{(2 p)}.$$

(Termenul $+1$ vine din capătul de jos: $(0-1)e^0=-1$, care se scade. Cum $e^a>0$, produsul $(a-1)e^a$ se anulează doar pentru $a=1$. Verificare: ${\int }_0^{1}x\left(e^x+2x\right)dx=1+\frac{2}{3}$. Unde se greșește de obicei: primitiva lui $x{e}^x$ se scrie $(x+1)e^x$, iar derivata ei este $(x+2)e^x$, nu $x{e}^x$; sau se uită valoarea din capătul de jos și ecuația devine $(a-1)e^a=1$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea specială din 2017 a examenului național de bacalaureat — Varianta 4. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în sesiunea specială din 2017:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: suma a două numere complexe conjugate — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: condiția ca un punct să aparțină graficului — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială cu aceeași bază în ambii membri — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: multiplii lui $5$ dintr-o mulțime de numere — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: ecuația dreptei prin două puncte și un punct pe dreaptă — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valorile funcțiilor trigonometrice în unghiuri remarcabile — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinant cu regula lui Sarrus, suma a două matrice, condiția de coliniaritate a trei puncte — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valori ale unui polinom, împărțirea cu rest și relațiile lui Viète — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, tangenta orizontală, o limită la $+\infty$ cu $e^x$ — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale și volume: formula Leibniz–Newton, volumul unui corp de rotație și integrarea prin părți — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială 2017. Subiectul I este format din șase cerințe directe, fără capcane de condiții: la cerința 6 contează doar să se observe că $\frac{x}{2}$ pentru $x=\frac{\pi }{3}$ este $\frac{\pi }{6}$. La Subiectul al II-lea, matricea $A(x)$ are aceeași formă ca determinantul de coliniaritate de la subpunctul c), care iese un pătrat perfect, $(n-1{)}^2$; problema a doua este un polinom de gradul al treilea cu parametru, cu o împărțire la $X^2+X+1$ și o relație între cele trei sume ale lui Viète. Subiectul al III-lea cere la problema 1 derivata unui cât, o tangentă orizontală și o limită în care $e^x$ „câștigă" în fața oricărui polinom, iar la problema 2 două calcule directe — în care $2x$ se reduce, respectiv $e^x$ se reduce — și o integrală prin părți, $\int x{e}^{x}dx$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, $\frac{1}{5}$, $\sqrt{3}$, un cât și un rest de gradul întâi, $e-1$ și $\frac{4\pi }{3}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: coliniaritatea afirmată fără determinantul scris; împărțirea polinoamelor fără verificarea gradului restului; limita de la problema 9, subpunctul c), scrisă fără să se spună de ce $\frac{x}{e^x+1}$ tinde la $0$; volumul scris fără factorul $\pi$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $(a+bi)+(a-bi)=2a$, un număr real. Funcții: punctul $M(x_0,y_0)$ aparține graficului lui $f$ exact când $f(x_0)=y_0$. Exponențiale: $a^u=a^v⟺u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$. Probabilități: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$.
• Geometrie analitică: dreapta prin $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ are panta $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$; trei puncte $M(x_1,y_1)$, $N(x_2,y_2)$, $P(x_3,y_3)$ sunt coliniare exact când $\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|=0$. Trigonometrie: $\cos \frac{\pi }{6}=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Polinoame: teorema împărțirii cu rest, $f=g\cdot q+r$, cu gradul lui $r$ mai mic decât gradul lui $g$; pentru $f=X^3+b{X}^2+cX+d$: $x_1+x_2+x_3=-b$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=c$, $x_1{x}_2{x}_3=-d$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; tangenta în punctul de abscisă $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{e^x}=0$.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g$ în jurul axei $Ox$ este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=x^2-3$ de la cerința $2$, polinomul $f=X^3+a{X}^2+X-1$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=e^x+2x$ de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $A$ este o mulțime la cerința $4$, un punct la cerința $5$ și o matrice, $A(x)$, la cerința $7$. Litera $M$ este un punct la cerința $2$ și un alt punct, $M(n,n+1)$, la cerința $7$; $m$ este necunoscuta de la cerințele $2$ și $5$.
• Litera $a$ este parametrul polinomului la cerința $8$ și capătul de sus al integralei la cerința $10$, subpunctul c). Litera $e$ este baza logaritmului natural. La cerința $10$, $\mathcal{V}$ este volumul, notat în barem cu $V$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".