Bac M2 2018, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2018 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)-\sqrt{12}=0$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$, pentru care graficele funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2x+3$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x+a$ se intersectează într-un punct de abscisă $x=1$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x+1}=1-\sqrt{x}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte au cifrele elemente ale mulțimii $\{0,1,2,3,4\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreptele $d_1$, de ecuație $y=ax+2$ și $d_2$, de ecuație $y=\frac{x}{4}+1$. Determinați numărul real $a$, știind că dreptele $d_1$ și $d_2$ sunt paralele.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin (\pi -x)\cos (2\pi +x)-\sin (2\pi +x)\cos (\pi -x)=\sin 2x$, pentru orice număr real $x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A=\left(\begin{array}{cc}-3& -2\\ 3& 2\end{array}\right)$ și $M(x)=I_2+xA$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (M(1))=0$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $M(x)-M(2018)=M(-2018)-M(-x)$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați perechea de numere naturale nenule $(m,n)$ pentru care $M(m)M(n)=M(mn)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=8xy+x+y$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\circ y=8\left(x+\frac{1}{8}\right)\left(y+\frac{1}{8}\right)-\frac{1}{8}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$, pentru care $x\circ x=1$.

c) (5 puncte) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=8x+1$. Demonstrați că $f(x\circ y\circ z)=f(x)\cdot f(y)\cdot f(z)$, pentru orice numere reale $x$, $y$ și $z$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+1}{x^2+3}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(1-x)(x+3)}{{\left(x^2+3\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f\left(\sqrt{2}\right)>f\left(\sqrt[3]{3}\right)$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^3\frac{xf(x)}{e^x}dx=9$.

b) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ are un singur punct de inflexiune.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural nenul $n$, pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=n$ are aria egală cu $1$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2018; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. La cerința 4, baremul are trei rânduri punctate ($1+1+3$); l-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — radicali.

Produsul $\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)$ este o diferență de pătrate, iar $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$: $$\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)-\sqrt{12}=\sqrt{3}(3-1)-2\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$ Prin urmare $$\sqrt{3}(3-1)-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)=3+1$ sau $\sqrt{3}-1$; sau $\sqrt{12}=3\sqrt{2}$. Control numeric: $\sqrt{3}\cdot 2\approx 3,4641$ și $\sqrt{12}\approx 3,4641$.)

Exercițiul 2. (5 p) — punctul comun al două grafice.

Graficele se intersectează în punctul de abscisă $1$ exact când funcțiile au aceeași valoare în $1$: $$f(1)=g(1)⟺1^2+2\cdot 1+3=1+a⟺6=1+a\text{(3 p)},$$ deci $$\mathbf{a}=5\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $a=5$, $g(1)=6=f(1)$, deci punctul comun este $(1,6)$. Unde se greșește de obicei: se egalează $f(1)$ cu $a$, uitând termenul $x=1$ din $g$, și iese $a=6$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională cu doi radicali.

Condițiile de existență sunt $x\ge 0$ (atunci și $x+1\ge 0$). Ridicând la pătrat și desfăcând ${\left(1-\sqrt{x}\right)}^2$: $$x+1=1-2\sqrt{x}+x⟹2\sqrt{x}=0\text{(3 p)},$$ deci $$\mathbf{x}=0,\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $\sqrt{0+1}=1=1-\sqrt{0}$. Altă observație: membrul stâng este cel puțin $1$, iar membrul drept cel mult $1$, deci egalitatea cere ca ambii să fie $1$. Unde se greșește de obicei: se desface ${\left(1-\sqrt{x}\right)}^2$ ca $1+x$, uitând termenul $-2\sqrt{x}$; ecuația devine identitatea $x+1=1+x$ și se conchide greșit că orice $x\ge 0$ este soluție — dar pentru $x=1$, $\sqrt{2}\ne 0$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică, regula produsului.

Cifra sutelor nu poate fi $0$, deci se alege dintre $1,2,3,4$: $$\text{cifra sutelor se poate alege ıˆn }4\text{ moduri}\text{(1 p)}.$$ Cifra zecilor trebuie să fie diferită de cifra sutelor, dar poate fi $0$: $$\text{pentru fiecare alegere a cifrei sutelor, cifra zecilor se poate alege ıˆn }4\text{ moduri}\text{(1 p)}.$$ Cifra unităților trebuie să difere de primele două: $$\text{cifra unita˘ților se poate alege ıˆn }3\text{ moduri, deci se pot forma }4\cdot 4\cdot 3=48\text{ de numere}\text{(3 p)}.$$

(Control: toate aranjamentele de $5$ cifre luate câte $3$ sunt $A_5^3=60$; dintre ele, $A_4^2=12$ încep cu $0$, iar $60-12=48$. Unde se greșește de obicei: se răspunde $A_5^3=60$, numărând și „numerele" care încep cu $0$.)

Exercițiul 5. (5 p) — drepte paralele.

Panta dreptei $y=mx+n$ este $m$: $$m_{d_1}=a,m_{d_2}=\frac{1}{4}\text{(2 p)}.$$ Dreptele sunt paralele exact când au aceeași pantă (ordonatele la origine, $2$ și $1$, fiind diferite, ele nu coincid): $$d_1\parallel d_2⟺m_{d_1}=m_{d_2}⟺\mathbf{a}=\frac{1}{4}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se citește panta lui $d_2$ ca $4$, din numitor, sau se folosește condiția de perpendicularitate, $m_{d_1}\cdot m_{d_2}=-1$, care dă $a=-4$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, formule de reducere.

Cu $\sin (\pi -x)=\sin x$, $\cos (2\pi +x)=\cos x$, $\sin (2\pi +x)=\sin x$ și $\cos (\pi -x)=-\cos x$: $$\sin (\pi -x)\cos (2\pi +x)-\sin (2\pi +x)\cos (\pi -x)=\sin x\cos x-\sin x(-\cos x)\text{(3 p)},$$ iar $$\sin x\cos x+\sin x\cos x=2\sin x\cos x=\sin 2x,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $\cos (\pi -x)=\cos x$ și totul dă $0$; semnul minus al cosinusului unghiului suplementar este esențial. Control pentru $x=\frac{\pi }{4}$: membrul stâng este $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1=\sin \frac{\pi }{2}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matricele $M(x)=I_2+xA$.

a) (5 p) Pentru $x=1$, $M(1)=I_2+A$: $$M(1)=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ 3& 3\end{array}\right)⟹\det (M(1))=\left|\begin{array}{cc}-2& -2\\ 3& 3\end{array}\right|=(-2)\cdot 3-3\cdot (-2)\text{(3 p)},$$ $$\det (M(1))=-6+6=0\text{(2 p)}.$$

(Liniile lui $M(1)$ sunt proporționale, deci determinantul trebuia să iasă zero. Unde se greșește de obicei: se adună $I_2$ doar pe primul element al diagonalei, sau se calculează determinantul ca $ad+bc$.)

b) (5 p) Se înlocuiește definiția lui $M$ în membrul stâng: $$M(x)-M(2018)=\left(I_2+xA\right)-\left(I_2+2018A\right)=I_2+xA-I_2-2018A\text{(2 p)},$$ iar aceeași expresie se regrupează ca diferența din membrul drept: $$I_2+xA-I_2-2018A=(I_2+(-2018)A)-(I_2+(-x)A)=M(-2018)-M(-x),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$

(Ambii membri sunt egali cu $(x-2018)A$. Unde se greșește de obicei: se scrie $M(x)-M(2018)=M(x-2018)$ — fals, pentru că diferența a două matrice $M$ nu mai conține $I_2$.)

c) (5 p) Se dezvoltă produsul și se folosește $A\cdot A=-A$ (se verifică direct: $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -3& -2\end{array}\right)$): $$\left(I_2+mA\right)\left(I_2+nA\right)=I_2+mnA⟺I_2+mA+nA+mnA\cdot A=I_2+mnA\text{ și, cum }A\cdot A=-A,\text{ obținem }m+n-mn=mn\text{(3 p)}.$$ Cum $m$ și $n$ sunt numere naturale nenule, $$m+n=2mn⟹(\mathbf{m},\mathbf{n})=(1,1)\text{(2 p)}.$$

(Egalitatea coeficienților lui $A$ se poate scrie pentru că $A$ nu este matricea nulă. Justificarea unicității, pe care baremul o lasă implicită: $m+n=2mn$ se rescrie $(2m-1)(2n-1)=1$, iar pentru $m,n\ge 1$ ambii factori sunt naturali, deci ambii sunt $1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $A\cdot A=A$ și iese $m+n=0$, fără soluții naturale nenule.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Se adună și se scade $\frac{1}{8}$: $$x\circ y=8xy+x+y+\frac{1}{8}-\frac{1}{8}\text{(3 p)},$$ apoi se grupează: $$8x\left(y+\frac{1}{8}\right)+\left(y+\frac{1}{8}\right)-\frac{1}{8}=8\left(x+\frac{1}{8}\right)\left(y+\frac{1}{8}\right)-\frac{1}{8},\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.$$

(Control prin desfacere: $8\left(xy+\frac{x}{8}+\frac{y}{8}+\frac{1}{64}\right)-\frac{1}{8}=8xy+x+y$. Unde se greșește de obicei: se uită termenul $-\frac{1}{8}$ de la final.)

b) (5 p) Cu forma de la a), ecuația $x\circ x=1$ devine $$8{\left(x+\frac{1}{8}\right)}^2-\frac{1}{8}=1⟺{\left(x+\frac{1}{8}\right)}^2=\frac{9}{64}\text{(3 p)},$$ deci $x+\frac{1}{8}=\pm \frac{3}{8}$, adică $$\mathbf{x}=-\frac{1}{2}\text{ sau }\mathbf{x}=\frac{1}{4}\text{(2 p)}.$$

(Control direct: $x\circ x=8x^2+2x$, iar $8x^2+2x-1=0$ are rădăcinile $\frac{1}{4}$ și $-\frac{1}{2}$. Unde se greșește de obicei: se păstrează doar rădăcina pozitivă a pătratului, $x+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$, și se pierde $x=-\frac{1}{2}$.)

c) (5 p) Întâi pentru două numere: $$f(x\circ y)=8(8xy+x+y)+1=64xy+8x+8y+1=(8x+1)(8y+1)=f(x)\cdot f(y),\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$ Aplicând de două ori (legea este asociativă, deci $x\circ y\circ z=(x\circ y)\circ z$): $$f(x\circ y\circ z)=f(x\circ y)\cdot f(z)=f(x)\cdot f(y)\cdot f(z),\text{ pentru orice numere reale }x,y\text{ și }z\text{(2 p)}.$$

(Legătura cu a): $f(x)=8\left(x+\frac{1}{8}\right)$, deci $f$ „citește" exact factorii din forma descompusă. Alt drum: se desface direct $x\circ y\circ z$ și se compară cu produsul $f(x)\cdot f(y)\cdot f(z)$ — merge, dar e lung și plin de termeni. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(x\circ y)=8(8xy+x+y)$, fără $+1$, adică $64xy+8x+8y$, care nu mai este $(8x+1)(8y+1)$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă și monotonie.

a) (5 p) Cu regula de derivare a câtului: $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot \left(x^2+3\right)-(x+1)\cdot 2x}{{\left(x^2+3\right)}^2}\text{(3 p)},$$ iar numărătorul se descompune: $$f^{\prime }(x)=\frac{-x^2-2x+3}{{\left(x^2+3\right)}^2}=\frac{(1-x)(x+3)}{{\left(x^2+3\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Control: $(1-x)(x+3)=x+3-x^2-3x=-x^2-2x+3$. Unde se greșește de obicei: se inversează ordinea din numărătorul regulii câtului, $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$, și toate semnele ies schimbate.)

b) (5 p) Valorile în $0$: $$f(0)=\frac{1}{3},f^{\prime }(0)=\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei: $$y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0),\text{ adica˘ }\mathbf{y}=\frac{1}{3}\mathbf{x}+\frac{1}{3}\text{(3 p)}.$$

(Control: $f^{\prime }(0)=\frac{1\cdot 3}{9}=\frac{1}{3}$. Unde se greșește de obicei: se ia $f^{\prime }(0)=\frac{3}{3}$, uitând pătratul numitorului.)

c) (5 p) Pentru $x>1$, $1-x<0$ și $x+3>0$, deci: $$f^{\prime }(x)<0,\text{ pentru orice }x\in (1,+\infty )⟹f\text{ este strict descresca˘toare pe }(1,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Se compară argumentele: ${\left(\sqrt{2}\right)}^6=8<9={\left(\sqrt[3]{3}\right)}^6$, deci $$1<\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}⟹f\left(\sqrt{2}\right)>f\left(\sqrt[3]{3}\right)\text{(2 p)}.$$

(Ideea este să nu calculăm valorile, ci să folosim monotonia: pe un interval unde $f$ scade, argumentul mai mic dă valoarea mai mare. Compararea $\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$ se face ridicând la puterea a șasea, pentru că $6$ este multiplu comun al lui $2$ și $3$. Control numeric: $f\left(\sqrt{2}\right)\approx 0,4828$ și $f\left(\sqrt[3]{3}\right)\approx 0,4807$ — valorile sunt foarte apropiate, deci o comparație „din ochi" nu ajunge.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrală, inflexiune, arie.

a) (5 p) Se înlocuiește $f(x)=x{e}^x$, iar $e^x$ se simplifică: $${\int }_0^3\frac{xf(x)}{e^x}dx={\int }_0^3\frac{x^2{e}^x}{e^x}dx={\int }_0^3{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_0^3\text{(3 p)},$$ $$\frac{27}{3}-0=9\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $xf(x)=x^2$, uitând factorul $e^x$ — rezultatul ar fi ${\int }_0^3{x}^2{e}^{-x}dx$, altă integrală.)

b) (5 p) Fie $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ o primitivă a lui $f$. Atunci $$F^{\prime }(x)=f(x)=x{e}^x,F^{\prime \prime }(x)=(x+1)e^x,x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Cum $e^x>0$, semnul lui $F^{\prime \prime }$ este semnul lui $x+1$: $$F^{\prime \prime }(x)<0\text{ pe }(-\infty ,-1),F^{\prime \prime }(-1)=0\text{ și }{F}^{\prime \prime }(x)>0\text{ pe }(-1,+\infty ),\text{ deci }F\text{ are un singur punct de inflexiune}\text{(3 p)}.$$

(Punctul de inflexiune este în $x=-1$, pentru orice primitivă — primitivele diferă doar printr-o constantă, care nu schimbă derivata a doua. Unde se greșește de obicei: se studiază semnul lui $f$, nu al lui $f^{\prime }$, și iese $x=0$ — dar acolo primitiva are un punct de minim, nu de inflexiune; semnul lui $f$ dă monotonia primitivei, nu convexitatea.)

c) (5 p) Pe $[0,n]$, $f(x)=x{e}^x\ge 0$, deci modulul dispare. Cu primitiva $(x-1)e^x$: $$\mathcal{S}={\int }_0^n|f(x)|dx={\int }_0^{n}x{e}^{x}dx=(x-1)e^x{|}_0^n=(n-1)e^n+1\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț: $$(n-1)e^n+1=1⟺\mathbf{n}=1\text{(2 p)}.$$

(Din $(n-1)e^n=0$ și $e^n>0$ rezultă $n=1$. Primitiva se verifică prin derivare: $((x-1)e^x{)}^{\prime }=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: la capătul $0$ se uită că $(0-1)e^0=-1$, iar scăderea lui $-1$ dă $+1$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea august-septembrie 2018 a examenului de bacalaureat național — Varianta 9, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2018:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Radicali: diferența de pătrate $\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)$ și scoaterea factorilor de sub radical — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcții: punctul comun al graficelor a două funcții, dat prin abscisă — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională cu doi radicali: ridicarea la pătrat și verificarea soluției — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: regula produsului, cu cifra sutelor diferită de zero — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: drepte paralele, egalitatea pantelor — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formulele de reducere și $\sin 2x=2\sin x\cos x$ — clasa a IX-a și a X-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, calcul cu matrice de forma $I_2+xA$, relația $A\cdot A=-A$ — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: forma „descompusă" a legii, o ecuație cu legea, o funcție care transformă legea în înmulțire — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, tangenta, monotonia folosită la compararea a două valori — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: integrală definită, punctul de inflexiune al unei primitive, aria unei suprafețe plane — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie 2018. Subiectul I are șase cerințe de calcul direct, dintre care una — ecuația $\sqrt{x+1}=1-\sqrt{x}$ — are o singură soluție, iar ridicarea la pătrat o găsește imediat. Subiectul al II-lea pune o familie de matrice $M(x)=I_2+xA$, în care totul se sprijină pe relația $A\cdot A=-A$, iar subpunctul c) se termină cu o ecuație în numere naturale, $m+n=2mn$. Problema a doua este o lege de compoziție $x\circ y=8xy+x+y$ și funcția $f(x)=8x+1$, care o „traduce" în înmulțire. Subiectul al III-lea cere derivata unei funcții raționale, tangenta în $x=0$ și o comparare $f\left(\sqrt{2}\right)>f\left(\sqrt[3]{3}\right)$ făcută prin monotonie, apoi o integrală care se simplifică la ${\int }_0^3{x}^{2}dx$, inflexiunea primitivelor și o arie care dă o ecuație în $n$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple și o pereche de numere naturale.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: soluția ecuației iraționale lăsată fără verificare; numărarea de la cerința 4 făcută fără să se spună de ce cifra sutelor are doar patru posibilități; perechea $(1,1)$ scrisă fără justificarea că este singura; compararea de la cerința 9 făcută prin aproximări zecimale, fără monotonie; punctul de inflexiune afirmat fără schimbarea de semn a derivatei a doua.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Radicali: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$; $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. Ecuații iraționale: după ridicarea la pătrat, soluțiile se verifică în ecuația inițială. Regula produsului: dacă o alegere se face în $p$ moduri și, pentru fiecare, a doua în $q$ moduri, perechea se face în $p\cdot q$ moduri. Drepte paralele: $y=m_{1}x+n_1$ și $y=m_{2}x+n_2$ sunt paralele dacă $m_1=m_2$ și $n_1\ne n_2$. Reducere: $\sin (\pi -x)=\sin x$, $\cos (\pi -x)=-\cos x$, $\sin (2\pi +x)=\sin x$, $\cos (2\pi +x)=\cos x$; $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
• Matrice: $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$; $(I_2+mA)(I_2+nA)=I_2+(m+n)A+mn{A}^2$.
• Legi de compoziție: o funcție $f$ cu $f(x\circ y)=f(x)\cdot f(y)$ transformă calculul cu legea în calcul cu înmulțirea.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; tangenta în $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; o funcție cu derivata strict negativă pe un interval este strict descrescătoare pe acel interval.
• Integrale: $\int x{e}^{x}dx=(x-1)e^x+\mathcal{C}$; aria suprafeței dintre graficul lui $f$, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$ este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$; un punct de inflexiune este un punct în care derivata a doua își schimbă semnul.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția de gradul al doilea de la cerința $2$, funcția $f(x)=8x+1$ de la cerința $8$, subpunctul c), funcția $f(x)=\frac{x+1}{x^2+3}$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=x{e}^x$ de la cerința $10$. Litera $a$ este necunoscuta de la cerințele $2$ și $5$ (două probleme diferite). Litera $n$ este, la cerința $7$, al doilea număr din perechea $(m,n)$, iar la cerința $10$ capătul de integrare; $m$ din $m_{d_1}$, $m_{d_2}$ (cerința $5$) înseamnă pantă. Litera $A$ este matricea de la cerința $7$; în barem, $\mathcal{A}$ notează și aria de la cerința $10$ (la noi, $\mathcal{S}$). Fiecare problemă se citește separat.
• Semnul $\circ$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită în enunț, nu compunerea funcțiilor; așa îl tipărește subiectul oficial. Expresia $x\circ y\circ z$ are sens fără paranteze pentru că legea este asociativă: $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$.
• La cerința $7$, $M(m)M(n)$ este produsul a două matrice, iar $m$, $n$ sunt numere naturale nenule; $mn$ din $M(mn)$ este produsul lor.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".