Bac M2 2018, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2018 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați produsul primilor trei termeni ai progresiei geometrice $(b_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $b_2=4$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-1{)}^2$ și $g(x)=2018-x$. Calculați $g(f(1))$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $25^x=5^{x^2}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor egală cu $9$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreapta $d$ de ecuație $(a-1)x-a^{2}y-a^2=0$, unde $a$ este număr real nenul. Determinați numărul real nenul $a$, știind că dreapta $d$ este paralelă cu axa $Ox$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x=\frac{5}{2}$, știind că $\sin x=\frac{1}{\sqrt{5}}$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x+2& x\\ 1& -2\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=-7$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $xA(y)-yA(x)=(x-y)A(0)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$, știind că $(aA(-1)+A(a))A(0)=\left(a^2+7\right)I_2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=4X^3-6X+m$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $m=2$, arătați că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Demonstrați că, oricare ar fi numărul real $m$, polinomul $f$ nu se divide cu polinomul $X^2+X+1$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real nenul $m$, știind că ${\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)}^2=\frac{1}{x_1}\cdot \frac{1}{x_2}\cdot \frac{1}{x_3}$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=1-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{\ln x}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}\le 1-\frac{1}{\sqrt{x}}$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+\frac{1}{x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2(x+1)f(x)dx=22$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1\left(f(x)-\frac{1}{x+1}\right)e^{x^3}dx$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural nenul $n$, știind că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[0,1]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)-3x^2$ este egal cu $\frac{\pi }{n}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2018; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie geometrică.

Într-o progresie geometrică, pătratul unui termen este produsul vecinilor lui: $$b_1{b}_3=b_2^2\text{(2 p)}.$$ Atunci produsul primilor trei termeni este $$b_1{b}_2{b}_3=b_2^3=4^3=64\text{(3 p)}.$$

(Control: cu rația $q$, $b_1=\frac{4}{q}$ și $b_3=4q$, iar produsul $\frac{4}{q}\cdot 4\cdot 4q=64$ nu depinde de $q$. Unde se greșește de obicei: se scrie $b_1{b}_3=2b_2$, ca la progresia aritmetică; sau se crede că lipsește o informație, pentru că rația nu este dată.)

Exercițiul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se calculează întâi valoarea funcției din interior: $$f(1)=(1-1{)}^2=0\text{(2 p)},$$ apoi $$g(f(1))=g(0)=2018-0=2018\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează în ordinea inversă, $f(g(1))=f(2017)=2016^2$; în $g(f(1))$ se aplică întâi $f$, apoi $g$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Cum $25=5^2$, ecuația se scrie cu aceeași bază, iar funcția exponențială este injectivă: $$5^{2x}=5^{x^2}⟺x^2-2x=0\text{(3 p)}.$$ Dând factor comun, $x(x-2)=0$, deci $$\mathbf{x}=0\text{ sau }\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $25^0=1=5^0$ și $25^2=625=5^4$. Unde se greșește de obicei: se scrie $25^x=5^{2+x}$, adunând exponenții; sau se împarte ecuația $x^2=2x$ la $x$ și se pierde soluția $x=0$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$: $$\text{mulțimea numerelor naturale de doua˘ cifre are }90\text{ de elemente, deci sunt }90\text{ de cazuri posibile}\text{(1 p)}.$$ Cele cu cifra zecilor $9$ sunt $90,91,\dots ,99$: $$\text{sunt }10\text{ numere cu cifra zecilor egala˘ cu }9\text{, deci }10\text{ cazuri favorabile}\text{(2 p)},$$ $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{10}{90}=\frac{1}{9}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se numără $99$ sau $100$ de cazuri posibile — de la $10$ la $99$ sunt $99-10+1=90$ de numere; sau se numără doar $9$ cazuri favorabile, uitând numărul $90$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, dreaptă paralelă cu $Ox$.

Cum $a\ne 0$, coeficientul lui $y$ este nenul și ecuația se scrie $y=\frac{a-1}{a^2}x-1$, deci panta dreptei este $$m_d=\frac{a-1}{a^2}\text{(2 p)}.$$ O dreaptă este paralelă cu $Ox$ exact când panta ei este zero: $$\text{dreapta }d\text{ este paralela˘ cu axa }Ox⟺\frac{a-1}{a^2}=0\text{, deci }\mathbf{a}=1\text{(3 p)}.$$

(Control: pentru $a=1$, dreapta devine $-y-1=0$, adică $y=-1$ — o dreaptă orizontală, diferită de axa $Ox$. Unde se greșește de obicei: se cere coeficientul lui $y$ egal cu zero, adică $a=0$ — aceea ar fi condiția de paralelism cu $Oy$, iar $a=0$ este oricum exclus.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Din ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, ${\cos }^{2}x=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$, iar în primul cadran cosinusul este pozitiv: $$\text{cum }\sin x=\frac{1}{\sqrt{5}}\text{ și }x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)\text{, obținem }\cos x=\frac{2}{\sqrt{5}}\text{(2 p)}.$$ Aducând la același numitor: $$\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}}=\frac{5}{2}\text{(3 p)}.$$

(Control pe alt drum: $\mathrm{tg}x=\frac{1}{2}$ și $\mathrm{ctg}x=2$, iar $\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\cos x=1-\frac{1}{\sqrt{5}}$, fără pătrate.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=1$: $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& -2\end{array}\right)⟹\det (A(1))=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& -2\end{array}\right|=3\cdot (-2)-1\cdot 1=\text{(3 p)}$$ $$=-6-1=-7\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $A(1)$ cu $x+2=1+2$ uitat, adică primul element $1$; sau se adună produsele diagonalelor în loc să se scadă.)

b) (5 p) Se înmulțește fiecare matrice cu scalarul ei și se scad: $$xA(y)-yA(x)=x\left(\begin{array}{cc}y+2& y\\ 1& -2\end{array}\right)-y\left(\begin{array}{cc}x+2& x\\ 1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}xy+2x-yx-2y& xy-yx\\ x-y& -2x+2y\end{array}\right)=\text{(2 p)}$$ $$=\left(\begin{array}{cc}2(x-y)& 0\\ x-y& -2(x-y)\end{array}\right)=(x-y)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -2\end{array}\right)=(x-y)A(0)\text{, pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

(Am folosit $A(0)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -2\end{array}\right)$. Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu scalarul doar prima linie a matricei; înmulțirea cu un număr se face pe toate elementele.)

c) (5 p) Cu $x=a$ și $y=-1$ în identitatea de la b), $aA(-1)-(-1)A(a)=(a+1)A(0)$, iar $A(0)\cdot A(0)=4I_2$: $$aA(-1)-(-1)A(a)=(a+1)A(0)⟹(aA(-1)+A(a))A(0)=(a+1)A(0)A(0)=4(a+1)I_2\text{(3 p)}.$$ Egalând cu $\left(a^2+7\right)I_2$: $$4(a+1)=a^2+7⟺a^2-4a+3=0⟺\mathbf{a}=1\text{ sau }\mathbf{a}=3\text{(2 p)}.$$

(Control: $A(0)\cdot A(0)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 2-2& 4\end{array}\right)=4I_2$; pentru $a=1$, $4\cdot 2=8=1+7$, iar pentru $a=3$, $4\cdot 4=16=9+7$. Alt drum: se pot calcula matricele pe elemente, fără b) — corect, dar mai lung. Unde se greșește de obicei: se ia $A(0)\cdot A(0)=2I_2$ și ecuația devine $2(a+1)=a^2+7$, adică $a^2-2a+5=0$, fără soluții reale; sau se scrie $A(0)\cdot A(0)=4$, uitând că rezultatul este o matrice.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $m=2$: $$f=4X^3-6X+2⟹f(1)=4\cdot 1^3-6\cdot 1+2=\text{(3 p)}$$ $$=4-6+2=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înlocuiește $X=1$ înainte de a fixa $m=2$ și rămâne $f(1)=-2+m$, fără concluzie.)

b) (5 p) Se împarte $f$ la $X^2+X+1$: $4X^3-6X+m=\left(X^2+X+1\right)(4X-4)-6X+m+4$, deci $$\text{restul ıˆmpa˘rțirii polinomului }f\text{ la }{X}^2+X+1\text{ este egal cu }-6X+m+4\text{(3 p)}.$$ Coeficientul lui $X$ din rest este $-6$, care nu depinde de $m$: $$\text{cum pentru orice numa˘r real }m\text{ restul este nenul, polinomul }f\text{ nu se divide cu }{X}^2+X+1\text{(2 p)}.$$

(Control al împărțirii: $\left(X^2+X+1\right)(4X-4)=4X^3-4$, iar $4X^3-4-6X+m+4=4X^3-6X+m$. Unde se greșește de obicei: se alege un $m$ care anulează termenul liber al restului, $m=-4$, și se crede că atunci restul e zero — rămâne $-6X$.)

c) (5 p) Relațiile lui Viète pentru $f=4X^3+0\cdot X^2-6X+m$ și suma inverselor: $$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=-\frac{3}{2},x_1{x}_2{x}_3=-\frac{m}{4}⟹\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1}{x_1{x}_2{x}_3}=\frac{6}{m}\text{(3 p)}.$$ Produsul inverselor este $\frac{1}{x_1{x}_2{x}_3}=-\frac{4}{m}$, deci egalitatea din enunț devine $${\left(\frac{6}{m}\right)}^2=-\frac{4}{m}\text{ și, cum }m\text{ este numa˘r real nenul, obținem }\mathbf{m}=-9\text{(2 p)}.$$

(Detaliu: $\frac{36}{m^2}=-\frac{4}{m}$, înmulțind cu $m^2\ne 0$: $36=-4m$, deci $m=-9$. Control numeric: pentru $m=-9$ suma inverselor este $-\frac{2}{3}$, cu pătratul $\frac{4}{9}$, iar produsul inverselor este $-\frac{4}{-9}=\frac{4}{9}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x_1{x}_2{x}_3=\frac{m}{4}$, fără minus, și iese $m=9$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă și o inegalitate.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen; pentru $\frac{\ln x}{x}$ se folosește regula câtului: $$f^{\prime }(x)=0-\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2}-\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\text{(3 p)}$$ $$=-\frac{1-\ln x-1}{x^2}=\frac{\ln x}{x^2},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(\frac{\ln x}{x}\right)}^{\prime }=\frac{\frac{1}{x}}{1}=\frac{1}{x}$, derivând separat numărătorul și numitorul; sau se pierde minusul din fața lui $\frac{1}{x}$.)

b) (5 p) Se calculează valorile în $1$: $$f(1)=0,f^{\prime }(1)=0\text{(2 p)}.$$ $$\text{ecuația tangentei este }y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)\text{, adica˘ }\mathbf{y}=0\text{(3 p)}.$$

(Tangenta în $x=1$ este chiar axa $Ox$: graficul atinge axa în punctul $(1,0)$, pe care îl folosim la c). Unde se greșește de obicei: $f(1)=1-0-1=0$, nu $1$ — se uită termenul $-\frac{1}{x}$.)

c) (5 p) Semnul derivatei este semnul lui $\ln x$: $$f^{\prime }(x)\le 0\text{ pentru }x\in (0,1]\Rightarrow f\text{ descresca˘toare pe }(0,1]\text{, și }{f}^{\prime }(x)\ge 0\text{ pentru }x\in [1,+\infty )\Rightarrow f\text{ cresca˘toare pe }[1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Deci $1$ este punct de minim: $f(x)\ge f(1)=0$ pentru orice $x>0$. Aplicând inegalitatea în $\sqrt{x}$ (care este tot un număr pozitiv) și folosind $\ln \sqrt{x}=\frac{\ln x}{2}$: $$f\left(\sqrt{x}\right)\ge 0\Rightarrow 1-\frac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}\ge 0\text{, deci }\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}\le 1-\frac{1}{\sqrt{x}}\text{, pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Alt drum: se poate studia direct funcția $h(x)=1-\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}$, cu o derivată mai lungă; enunțul a pregătit însă funcția $f$ — inegalitatea este chiar $f\left(\sqrt{x}\right)\ge 0$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\ln \sqrt{x}=2\ln x$ și iese $\frac{2\ln x}{\sqrt{x}}\le 1-\frac{1}{\sqrt{x}}$, o inegalitate falsă: pentru $x=e^2$, $\frac{4}{e}\approx 1,47>1-\frac{1}{e}\approx 0,63$. Control: pentru $x=4$, $\frac{\ln 4}{4}\approx 0,347\le 1-\frac{1}{2}=0,5$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și volum de rotație.

a) (5 p) Se înmulțește întâi: $(x+1)f(x)=3x^2(x+1)+1=3x^3+3x^2+1$, deci $${\int }_0^2(x+1)f(x)dx={\int }_0^2\left(3x^3+3x^2+1\right)dx=\left(\frac{3x^4}{4}+x^3+x\right){|}_0^2=\text{(3 p)}$$ $$=12+8+2=22\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înmulțește doar $3x^2$ cu $x+1$ și se uită că $\frac{1}{x+1}\cdot (x+1)=1$; sau primitiva lui $3x^3$ se scrie $x^4$.)

b) (5 p) Diferența din paranteză este chiar $3x^2$, adică derivata exponentului $x^3$: $${\int }_0^1\left(f(x)-\frac{1}{x+1}\right)e^{x^3}dx={\int }_0^{1}3x^2{e}^{x^3}dx=e^{x^3}{|}_0^1=\text{(3 p)}$$ $$=\mathbf{e}-1\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $e-1\approx 1,7183$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva $\frac{e^{x^3}}{3x^2}$ — împărțirea la derivata exponentului nu este o regulă de integrare; forma $u^{\prime }{e}^u$ dă direct $e^u$.)

c) (5 p) Funcția $g$ este $g(x)=f(x)-3x^2=\frac{1}{x+1}$, iar volumul corpului de rotație este $$g(x)=\frac{1}{x+1}\Rightarrow \mathcal{V}=\pi {\int }_0^1{g}^2(x)dx=\pi {\int }_0^1\frac{1}{(x+1{)}^2}dx=-\frac{\pi }{x+1}{|}_0^1=-\frac{\pi }{2}+\pi =\frac{\pi }{2}\text{(3 p)}.$$ Din $\frac{\pi }{n}=\frac{\pi }{2}$: $$\mathbf{n}=2\text{(2 p)}.$$

(În baremul oficial volumul este notat $V$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{V}$. Unde se greșește de obicei: se uită pătratul și se calculează $\pi {\int }_0^1\frac{1}{x+1}dx=\pi \ln 2$, care nu are forma $\frac{\pi }{n}$; sau primitiva lui $\frac{1}{(x+1{)}^2}$ se scrie cu plus, $\frac{1}{x+1}$, și volumul iese negativ.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea iunie-iulie 2018 a examenului național de bacalaureat — Varianta 2, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2018:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii geometrice: proprietatea $b_1{b}_3=b_2^2$ — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: valoarea $g(f(1))$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază și injectivitatea funcției exponențiale — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărarea cazurilor posibile și favorabile printre numerele de două cifre — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta unei drepte și condiția de paralelism cu axa $Ox$ — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: $\cos x$ din $\sin x$ și suma $\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, o identitate cu parametri și o ecuație matriceală — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea polinomului, restul împărțirii și relațiile lui Viète — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, tangenta, monotonia și o inegalitate — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: formula Leibniz–Newton, integrala de tipul $u^{\prime }{e}^u$ și volumul unui corp de rotație — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2018. Subiectul I are șase cerințe de calcul direct, dintre care una — dreapta paralelă cu $Ox$ de la cerința 5 — se rezolvă doar dacă știi că paralelismul cu $Ox$ înseamnă pantă zero. Subiectul al II-lea pune o matrice de ordinul al doilea cu parametru la care subpunctul b) este o identitate construită special pentru c): cu $x=a$ și $y=-1$ ea dă exact suma din ecuația de la c), iar $A(0)\cdot A(0)=4I_2$ încheie calculul. Problema a doua este un polinom de gradul al treilea cu parametru: valoarea în $1$, restul împărțirii la $X^2+X+1$ (în care parametrul nu poate anula coeficientul lui $X$) și o relație între rădăcini rezolvată cu Viète. Subiectul al III-lea cere la problema 1 derivata, o tangentă orizontală și o inegalitate obținută din monotonie, aplicată în $\sqrt{x}$; la problema 2, trei integrale în care totul se simplifică înainte de integrare, ultima fiind un volum de rotație egal cu $\frac{\pi }{n}$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, $e-1$ și $\frac{\pi }{2}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: soluțiile ecuației exponențiale scrise fără pasul „aceeași bază, deci exponenți egali"; la cerința 4, numărul cazurilor posibile numărat ca $99$ sau $100$; la problema 8.b), concluzia scrisă fără să se spună că restul este nenul pentru orice $m$; inegalitatea de la 9.c) „verificată" pe câteva valori, fără monotonie.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii geometrice: $b_{n-1}{b}_{n+1}=b_n^2$. Exponențiale: $a^u=a^v⟺u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$. Probabilități: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$. Dreapta $mx+ny+p=0$ cu $n\ne 0$ are panta $-\frac{m}{n}$; este paralelă cu $Ox$ exact când panta este $0$. Trigonometrie: $\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; înmulțirea matricelor este distributivă față de adunare.
• Polinoame: restul împărțirii la un polinom de gradul al doilea are gradul cel mult $1$; pentru $a{X}^3+b{X}^2+cX+d$, relațiile lui Viète: $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}$, $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; tangenta în $(x_0,f(x_0))$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; dacă $f$ scade până în $x_0$ și crește după, atunci $f(x)\ge f(x_0)$ pe tot domeniul.
• Integrale: $\int u^{\prime }(x)e^{u(x)}dx=e^{u(x)}+\mathcal{C}$; volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ în jurul axei $Ox$ este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=(x-1{)}^2$ de la cerința $2$, polinomul $f=4X^3-6X+m$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=1-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=3x^2+\frac{1}{x+1}$ de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $x$ este măsura unghiului la cerința $6$, parametrul matricei $A(x)$ la cerința $7$ și variabila obișnuită în rest; la cerința $8$, $x_1$, $x_2$, $x_3$ sunt rădăcinile polinomului.
• Litera $g$ denumește două funcții: $g(x)=2018-x$ la cerința $2$ și $g(x)=f(x)-3x^2$ la cerința $10$. Litera $a$ este parametrul dreptei $d$ la cerința $5$ și necunoscuta de la cerința $7$, subpunctul c); litera $m$ este, la cerința $5$, în $m_d$, panta dreptei, iar la cerința $8$ parametrul polinomului; litera $n$ este indicele progresiei la cerința $1$ și numărul natural căutat la cerința $10$.
• La cerința $10$, subpunctul c), $g^2(x)$ înseamnă $(g(x){)}^2$, pătratul valorii funcției, nu compunerea $g(g(x))$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".