Bac M2 2018, modelul oficial — rezolvat

Toate probele M2 din 2018 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că suma elementelor mulțimii $\{n\in \mathbb{N}\mid n(n+2)<14\}$ este egală cu $3$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$. Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că $f(0)=1$ și $f(x+1)=f(x)+2$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $(x+5{)}^2-9>0$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați numărul submulțimilor ordonate cu două elemente ale mulțimii $\{1,3,5,7,9\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,2)$, $B(3,5)$ și $C(-1,3)$. Determinați coordonatele simetricului punctului $A$ față de mijlocul segmentului $BC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați sinusul unghiului $D$ al triunghiului $DEF$, știind că semiperimetrul triunghiului $DEF$ este egal cu $6$, $DE=4$ și $DF=5$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& -1& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\right)\text{și}{I}_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=2$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A\cdot A\cdot A=xA+y{I}_3$.

c) (5 puncte) Determinați inversa matricei $B=A+I_3$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $M=(0,+\infty )$ se definește legea de compoziție $x\circ y=x^{2{\log }_{3}y}$.

a) (5 puncte) Arătați că $2\circ 9=16$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$, $x\in M$ pentru care $x\circ 3=25$.

c) (5 puncte) Demonstrați că legea de compoziție „$\circ$" este comutativă.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x}{x-1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{e^x(x-2)}{(x-1{)}^2}$, $x\in (1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $e^{x-2}-x+1\ge 0$, pentru orice $x\in (1,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}f(x)dx=\frac{1}{2}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}xf(x)dx=1$.

c) (5 puncte) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:\left[0,\frac{\pi }{4}\right]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului pentru 2018 (cu corectura de la cerința 3, explicată acolo); rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — elementele unei mulțimi de numere naturale.

Se încearcă, pe rând, numerele naturale: $0\cdot 2=0<14$, $1\cdot 3=3<14$, $2\cdot 4=8<14$, iar $3\cdot 5=15\ge 14$; cum produsul $n(n+2)$ crește odată cu $n$, niciun număr mai mare nu mai convine. Deci $$n(n+2)<14\text{ și }n\in \mathbb{N}⟹n=0\text{ sau }n=1\text{ sau }n=2\text{(3 p)}.$$ Suma elementelor mulțimii este egală cu $0+1+2=3$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se ia și $n=3$, deși $3\cdot 5=15$ nu este mai mic decât $14$, și suma iese $6$; sau se citește $n(n+2)$ ca $n\cdot n+2$, inegalitatea devine $n^2<12$, intră și $n=3$, iar suma iese tot $6$. O observație separată: dacă se uită că $0$ este număr natural, suma rămâne $1+2=3$, dar mulțimea scrisă, $\{1,2\}$, este greșită — egalitatea cerută „iese", însă pe un drum greșit.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi, coeficienții din două condiții.

Din $f(0)=a\cdot 0+b=b$ și $f(0)=1$ obținem $\mathbf{b}=1$ (2 p).

Cu $b=1$, condiția $f(x+1)=f(x)+2$ se scrie $$a(x+1)+1=ax+1+2,\text{ pentru orice numa˘r real }x⟹\mathbf{a}=2\text{(3 p)}.$$

(După reducerea lui $ax$ în ambii membri rămâne $a+1=3$. Control: $f(x)=2x+1$ dă $f(x+1)=2x+3=f(x)+2$. Unde se greșește de obicei: se uită termenul liber din membrul drept, $a(x+1)+1=ax+2$, și iese $a=1$; sau se scrie $f(x+1)=ax+1+1$, adică se adună $1$ la rezultat în loc să se înlocuiască $x$ cu $x+1$.)

Exercițiul 3. (5 p) — inecuație de gradul al doilea.

Membrul stâng este o diferență de pătrate: $(x+5{)}^2-3^2=(x+5-3)(x+5+3)$, deci inecuația devine $$(x+2)(x+8)>0\text{(2 p)}.$$ Produsul este pozitiv când factorii au același semn, adică în afara rădăcinilor $-8$ și $-2$. Mulțimea soluțiilor inecuației este $$(-\infty ,-8)\cup (-2,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(⚠️ Divergență față de documentul oficial: în baremul tipărit, fiecare dintre cele două rânduri ale acestei cerințe are câte două puncte, deci doar patru din cele cinci ale cerinței. Este o greșeală de tipar: toate celelalte cerințe ale Subiectului I au câte cinci. Am păstrat cele două rânduri ale baremului, în aceeași ordine, și am pus punctul lipsă pe rândul al doilea — cel care dă mulțimea soluțiilor —, după repartiția obișnuită de două plus trei; aceasta este alegerea noastră, nu a documentului oficial.)

(Control: $x=0$ dă $25-9=16>0$, iar $x=-5$ dă $0-9<0$ — punctul $-5$ stă între rădăcini și nu este soluție. Unde se greșește de obicei: se scrie mulțimea dintre rădăcini, $(-8,-2)$, care este soluția inecuației cu „$<$"; sau se dezvoltă greșit pătratul, $(x+5{)}^2=x^2+25$, și inecuația pare adevărată pentru orice $x$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică, submulțimi ordonate.

Submulțimile ordonate cu două elemente sunt perechile de elemente distincte în care contează ordinea, deci se numără cu aranjamente: $$\text{numa˘rul submulțimilor ordonate cu doua˘ elemente din }\{1,3,5,7,9\}\text{ este egal cu }{A}_5^2\text{(3 p)},$$ $$A_5^2=5\cdot 4=20\text{(2 p)}.$$

(Control: primul element se alege în $5$ moduri, al doilea, diferit de primul, în $4$ moduri — $20$ de perechi. Unde se greșește de obicei: se folosesc combinările, $C_5^2=10$, ca pentru submulțimile obișnuite, uitând cuvântul „ordonate"; sau se numără $5^2=25$ de perechi, admițând același element de două ori.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, simetricul unui punct.

Mijlocul segmentului $BC$ are coordonatele $\left(\frac{3+(-1)}{2},\frac{5+3}{2}\right)$, deci $M(1,4)$ este mijlocul segmentului $BC$ (2 p).

Simetricul $A^{\prime }(x,y)$ al punctului $A$ față de $M$ este punctul pentru care $M$ este mijlocul segmentului $A{A}^{\prime }$: $\frac{0+x}{2}=1$ și $\frac{2+y}{2}=4$, deci coordonatele simetricului punctului $A$ față de punctul $M$ sunt $\mathbf{x}=2$ și $\mathbf{y}=6$ (3 p).

(Control: mijlocul lui $A(0,2)$ și $A^{\prime }(2,6)$ este $(1,4)$, chiar $M$. Unde se greșește de obicei: mijlocul se calculează cu diferențe, $\left(\frac{3-(-1)}{2},\frac{5-3}{2}\right)=(2,1)$; sau simetricul se ia drept $M-A=(1,2)$ ori drept mijlocul lui $AM$, în loc de $2M-A$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, un triunghi pitagoreic.

Perimetrul este dublul semiperimetrului, $DE+EF+DF=12$, deci $EF=12-4-5=3$ (2 p).

Cum $D{E}^2+E{F}^2=16+9=25=D{F}^2$, după reciproca teoremei lui Pitagora, $\Delta DEF$ este dreptunghic în $E$, deci $$\sin D=\frac{EF}{DF}=\frac{3}{5}\text{(3 p)}.$$

(Baremul scrie direct „dreptunghic în $E$"; justificarea este reciproca teoremei lui Pitagora, cu ipotenuza $DF$, cea mai lungă latură. Același rezultat se obține cu teorema cosinusului: $\cos D=\frac{16+25-9}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{4}{5}$, deci $\sin D=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}$. Unde se greșește de obicei: se ia cateta alăturată, $\frac{DE}{DF}=\frac{4}{5}$, care este $\cos D$; sau se împarte la cealaltă catetă, $\frac{EF}{DE}=\frac{3}{4}$, care este $\mathrm{tg}D$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea.

a) (5 p) Cu regula lui Sarrus: $$\det A=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& -1& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\right|=0+0+0-(-1)-(-1)-0\text{(3 p)}.$$ $$\det A=1+1=2\text{(2 p)}.$$

(Cei șase termeni, în ordine: $1\cdot (-1)\cdot 0$, $0\cdot 1\cdot 1$, $1\cdot 0\cdot (-1)$, apoi, cu minus, $1\cdot (-1)\cdot 1=-1$, $1\cdot 1\cdot (-1)=-1$ și $0\cdot 0\cdot 0$. Unde se greșește de obicei: se pierde un minus la scăderea unui termen negativ și iese $0$ sau $-2$.)

b) (5 p) Se calculează puterile, pe rând: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 1& 0& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right),A\cdot A\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& -1& 2\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $$\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& -1& 2\end{array}\right)=x\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& -1& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)⟺\mathbf{x}=1,\mathbf{y}=2\text{(3 p)}.$$

(Din elementul de pe linia $1$, coloana $3$: $1=x$; din cel de pe linia $1$, coloana $1$: $3=x+y$, deci $y=2$. Control pe celelalte elemente: pe diagonală $-x+y=1$ și $0\cdot x+y=2$ — adevărat. Unde se greșește de obicei: se ridică la puterea a treia fiecare element, ca și cum $A\cdot A\cdot A$ s-ar calcula element cu element — atunci elementele $0$, $1$ și $-1$ rămân neschimbate și „iese" $A$ însăși.)

c) (5 p) Se adună $I_3$, adică $1$ pe diagonala principală: $$B=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& 0& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)⟹\det B=2\text{(2 p)}.$$ Cum $\det B\ne 0$, matricea $B$ este inversabilă; cu adjuncta $B^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 1& 1& -2\\ 0& 2& 0\end{array}\right)$, $$B^{-1}=\frac{1}{\det B}{B}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

(Control: $B\cdot B^{-1}=I_3$ și $B^{-1}\cdot B=I_3$. Unde se greșește de obicei: se uită împărțirea la $\det B=2$; sau se scriu complemenții algebrici pe linii fără transpunere, și iese transpusa inversei, $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 1\\ 0& -1& 0\end{array}\right)$, care nu verifică $B\cdot B^{-1}=I_3$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție definită cu un logaritm.

a) (5 p) Cum ${\log }_{3}9=2$, $$2\circ 9=2^{2{\log }_{3}9}=2^{2\cdot 2}\text{(3 p)}.$$ $$2\circ 9=2^4=16\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia ${\log }_{3}9=3$, confundând logaritmul cu câtul $9:3$, și iese $2^6=64$; sau se uită factorul $2$ din exponent și iese $2^2=4$.)

b) (5 p) Cum ${\log }_{3}3=1$, ecuația devine $$x^{2{\log }_{3}3}=25⟺x^2=25\text{(2 p)}.$$ Soluțiile ecuației $x^2=25$ sunt $-5$ și $5$; $x=-5$ care nu convine, pentru că nu aparține lui $M=(0,+\infty )$, și $\mathbf{x}=5$ care convine (3 p).

(Control: $5\circ 3=5^{2{\log }_{3}3}=5^2=25$. Unde se greșește de obicei: se păstrează și $x=-5$ — dar legea este definită doar pentru numere pozitive; sau se confundă ${\log }_{3}3=1$ cu $3$ și iese ecuația $x^6=25$.)

c) (5 p) Se scrie exponentul ca logaritmul unui pătrat și se folosește identitatea $a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$, adevărată pentru $a,c>0$ (logaritmând în baza $b$, ambii membri dau ${\log }_{b}a\cdot {\log }_{b}c$): $$x\circ y=x^{2{\log }_{3}y}=x^{{\log }_3{y}^2}={\left(y^2\right)}^{{\log }_{3}x}\text{(3 p)},$$ $${\left(y^2\right)}^{{\log }_{3}x}=y^{2{\log }_{3}x}=y\circ x,\text{ pentru orice }x,y\in M\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie greșit ${\left(y^2\right)}^{{\log }_{3}x}=y^{2+{\log }_{3}x}$, adunând exponenții în loc să-i înmulțească; lanțul nu mai ajunge la $y\circ x=y^{2{\log }_{3}x}$ și se trage concluzia greșită că legea nu este comutativă — de exemplu, pentru $x=27$, $y=3$ ar ieși $3^5=243$, deși $27\circ 3=3\circ 27=729$. O observație separată: verificarea pe un singur exemplu, $2\circ 9=9\circ 2=16$, este corectă ca număr, dar nu dovedește proprietatea „pentru orice $x,y$".)

Exercițiul 9. (15 p) — derivata unui cât, monotonie și o inegalitate.

a) (5 p) Cu regula de derivare a câtului: $$f^{\prime }(x)=\frac{{\left(e^x\right)}^{\prime }\cdot (x-1)-e^x\cdot (x-1{)}^{\prime }}{(x-1{)}^2}\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x(x-1)-e^x}{(x-1{)}^2}=\frac{e^x(x-2)}{(x-1{)}^2},x\in (1,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se inversează ordinea din numărător, $e^x\cdot (x-1{)}^{\prime }-{\left(e^x\right)}^{\prime }\cdot (x-1)$, și derivata iese cu semnul schimbat; sau se uită pătratul numitorului.)

b) (5 p) Cum $e^x>0$ și $(x-1{)}^2>0$, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x-2$: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=2\text{(2 p)}.$$ Pentru $x\in (1,2]$, $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $(1,2]$, iar pentru $x\in [2,+\infty )$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[2,+\infty )$ (3 p).

(Control: $f(1,5)=2e^{1,5}\approx 8,96$, $f(2)=e^2\approx 7,39$, $f(3)=\frac{e^3}{2}\approx 10,04$ — scade, apoi crește. Unde se greșește de obicei: se spune că $f$ este crescătoare pe tot domeniul „pentru că $e^x$ este crescătoare" — numitorul $x-1$ crește și el.)

c) (5 p) Din monotonia de la subpunctul b), $x=2$ este punct de minim pe tot domeniul, deci $$f(x)\ge f(2),\text{ pentru orice }x\in (1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Cum $f(2)=e^2$, înmulțind cu $x-1>0$ (sensul inegalității se păstrează) și împărțind la $e^2>0$: $$\frac{e^x}{x-1}\ge e^2⟺\frac{e^{x-2}}{x-1}\ge 1⟺e^{x-2}-x+1\ge 0,\text{ pentru orice }x\in (1,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Baremul trece direct de la $\frac{e^{x-2}}{x-1}\ge 1$ la $e^{x-2}\ge x-1$; justificarea este $x-1>0$ pe domeniu, scrisă mai sus. Egalitatea are loc doar pentru $x=2$: $e^0-2+1=0$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(x)\le f(2)$, ca și cum $2$ ar fi punct de maxim, și iese inegalitatea inversă, $e^{x-2}-x+1\le 0$, falsă de exemplu în $x=3$, unde $e-2>0$. O observație separată: verificarea inegalității pe câteva valori nu este o demonstrație „pentru orice $x$".)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu $\sin x$ și un volum de rotație.

a) (5 p) O primitivă a lui $\sin x$ este $-\cos x$: $${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}f(x)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\sin xdx=-\cos x{|}_0^{\frac{\pi }{3}}\text{(3 p)}.$$ $${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}f(x)dx=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia primitiva $\cos x$, fără minus, și iese $-\frac{1}{2}$; sau se uită valoarea în capătul de jos, $-\cos 0=-1$, care intră cu semnul schimbat.)

b) (5 p) Prin părți, cu $u=x$ și $v=-\cos x$: $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}xf(x)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\sin xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x(-\cos x{)}^{\prime }dx=-x\cos x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx\text{(3 p)}.$$ $$=-\frac{\pi }{2}\cdot \cos \frac{\pi }{2}+0\cdot \cos 0+\sin x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\sin \frac{\pi }{2}-\sin 0=1\text{(2 p)}.$$

(Termenul de la capete se anulează: $\cos \frac{\pi }{2}=0$, iar în $0$ factorul $x$ este $0$. Unde se greșește de obicei: semnul din fața integralei rămase — $-\int u^{\prime }vdx=-\int (-\cos x)dx=+\int \cos xdx$; cu minus ar ieși $-1$.)

c) (5 p) Volumul corpului de rotație este $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{g}^2(x)dx$, iar pătratul lui $\sin x$ se liniarizează: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{g}^2(x)dx=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\sin }^{2}xdx=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{1-\cos 2x}{2}dx\text{(2 p)}.$$ $$\mathcal{V}=\frac{\pi }{2}x{|}_0^{\frac{\pi }{4}}-\frac{\pi }{4}\sin 2x{|}_0^{\frac{\pi }{4}}=\frac{{\pi }^2}{8}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi (\pi -2)}{8}\text{(3 p)}.$$

(O primitivă a lui $\cos 2x$ este $\frac{\sin 2x}{2}$, de unde factorul $\frac{\pi }{4}$. Control: volumul este pozitiv, $\frac{\pi (\pi -2)}{8}\approx 0,4483$. Unde se greșește de obicei: se uită pătratul, $\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sin xdx$; se scrie ${\sin }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$, formula lui ${\cos }^{2}x$; sau se uită factorul $\pi$. În baremul oficial volumul este notat $V$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{V}$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_șt-nat, publicat înaintea sesiunilor din 2018 ca reper al structurii și al nivelului de dificultate. Un model nu se dă în ziua examenului: el este documentul prin care ministerul arată cum va arăta proba — de aceea nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul (cu o singură corectură, la cerința 3, explicată acolo).

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum o anunță modelul din 2018:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Mulțimi de numere naturale: elementele unei mulțimi date printr-o inegalitate și suma lor — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: coeficienții din două condiții, $f(0)=1$ și $f(x+1)=f(x)+2$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Inecuație de gradul al doilea: descompunerea în factori și semnul produsului — clasa a IX-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărul submulțimilor ordonate, adică aranjamentele $A_5^2$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și simetricul unui punct față de un punct — clasele a IX-a – a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: un triunghi pitagoreic ascuns, sinusul unui unghi ascuțit — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinant, produse de matrice, inversa unei matrice — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: o lege definită cu un logaritm, o ecuație cu legea, comutativitatea — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, intervalele de monotonie, o inegalitate din punctul de minim — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale și volume: formula Leibniz–Newton, integrarea prin părți și volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $\sin x$ — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2018. Modelul are cerințe de dificultate obișnuită, dar două dintre ele se rezolvă printr-o observație, nu prin calcul lung. La legea de compoziție $x\circ y=x^{2{\log }_{3}y}$, tot ce se cere (valoarea $2\circ 9$, ecuația $x\circ 3=25$ și comutativitatea) se sprijină pe proprietățile logaritmului, iar comutativitatea vine din identitatea $a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$. La funcția $f(x)=\frac{e^x}{x-1}$, inegalitatea $e^{x-2}-x+1\ge 0$ nu se demonstrează direct: ea este chiar relația $f(x)\ge f(2)$, scrisă altfel, iar $x=2$ este punctul de minim găsit la subpunctul b). Subiectul I conține un triunghi $3$–$4$–$5$ ascuns în datele cerinței 6, iar Subiectul al III-lea se încheie cu un volum de rotație, calculat cu formula ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, o reuniune de intervale, $\frac{3}{5}$, o matrice cu elemente $\pm \frac{1}{2}$, $0$ și $\pm 1$, iar volumul $\frac{\pi (\pi -2)}{8}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total obținut pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 1, numărul $0$ uitat din mulțimea numerelor naturale; la cerința 4, combinările $C_5^2$ în loc de aranjamente, deși submulțimile sunt ordonate; la cerința 8, subpunctul b), soluția $x=-5$ păstrată, deși legea este definită doar pe $M=(0,+\infty )$; la cerința 9, subpunctul c), împărțirea la $x-1$ fără să se spună că $x-1>0$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Mulțimi: $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ — zero este număr natural. Inecuații: $(x-a)(x-b)>0$, cu $a<b$, are soluțiile $x\in (-\infty ,a)\cup (b,+\infty )$. Aranjamente: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ numără submulțimile ordonate cu $k$ elemente; $C_n^k$ le numără pe cele neordonate. Simetricul punctului $A$ față de $M$ este punctul $A^{\prime }$ pentru care $M$ este mijlocul lui $A{A}^{\prime }$. Triunghiul dreptunghic: $\sin$ unui unghi ascuțit $=$ cateta opusă supra ipotenuză.
• Matrice: regula lui Sarrus pentru determinanții de ordinul al treilea; $B^{-1}=\frac{1}{\det B}{B}^{\ast }$, unde $B^{\ast }$ este adjuncta, iar controlul este $B\cdot B^{-1}=I_3$.
• Logaritmi și legi de compoziție: ${\log }_{3}9=2$, ${\log }_{3}3=1$, $k{\log }_{b}y={\log }_b{y}^k$ și $a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$, pentru $a,c>0$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; semnul derivatei dă monotonia; dacă $x_0$ este punct de minim pe tot intervalul, atunci $f(x)\ge f(x_0)$ pentru orice $x$ din interval.
• Integrale: $\int \sin xdx=-\cos x+\mathcal{C}$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$; volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ în jurul axei $Ox$ este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $A$ este punctul $A(0,2)$ de la cerința $5$ și matricea $A$ de la cerința $7$; litera $B$ este punctul $B(3,5)$ de la cerința $5$ și matricea $B=A+I_3$ de la cerința $7$. Litera $M$ este mulțimea $(0,+\infty )$ pe care e definită legea de la cerința $8$, iar în baremul cerinței $5$ ea denumește mijlocul segmentului $BC$; rândurile de barem le redăm cu litera oficială, așa că la cerința $5$ litera $M$ înseamnă doar mijlocul, iar la cerința $8$ doar mulțimea. Litera $f$ este funcția de gradul întâi de la cerința $2$, funcția $f(x)=\frac{e^x}{x-1}$ de la cerința $9$ și funcția sinus de la cerința $10$. Fiecare problemă se citește separat.
• Semnul $\circ$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită în enunț, $x\circ y=x^{2{\log }_{3}y}$, nu compunerea funcțiilor. La cerința $7$, subpunctul b), literele $x$ și $y$ sunt numerele reale căutate, nu variabile; la cerința $9$, $e$ este baza logaritmului natural.
• La cerința $4$, „submulțimi ordonate cu două elemente" înseamnă perechi în care contează ordinea, de exemplu $(1,3)\ne (3,1)$: se numără cu aranjamente, nu cu combinări. La cerința $10$, subpunctul c), $g^2(x)$ înseamnă $(g(x){)}^2$, iar volumul, notat $V$ în barem, îl notăm $\mathcal{V}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".