Bac M2 2018, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2018 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați conjugatul numărului complex $z=(1-i)(2+i)+5i$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numerele naturale $n$ pentru care $n^2+n-12<0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\lg (x+1)=2\lg (x-5)$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are $45$ de submulțimi cu două elemente.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Se consideră dreptunghiul $ABCD$ și $\vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$. Știind că lungimea vectorului $\vec{v}$ este egală cu $20$, determinați lungimea vectorului $\overrightarrow{BD}$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că, dacă $x$ este număr real pentru care $\sin x+\cos x=\sqrt{2}$, atunci $\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x=2$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2x\\ -2x& 1& -2x^2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Calculați $\det (A(2))$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $\det (A(a)+aA(0))=8$.

c) (5 puncte) Știind că $\det ((m+n)A(x))=\det (mA(x))+\det (nA(x))+18$, pentru orice număr real $x$, determinați numerele naturale $m$ și $n$, $m<n$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea ${\mathbb{Z}}_7$ se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=xy+\hat{6}x+\hat{6}y+\hat{2}$.

a) (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=\left(x+\hat{6}\right)\left(y+\hat{6}\right)+\hat{1}$, pentru orice $x,y\in {\mathbb{Z}}_7$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $x\ast \hat{1}=\hat{1}\ast x=\hat{1}$, pentru orice $x\in {\mathbb{Z}}_7$.

c) (5 puncte) Calculați $\hat{0}\ast \hat{1}\ast \hat{2}\ast \hat{3}\ast \hat{4}\ast \hat{5}\ast \hat{6}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x\left(x^2-6x+9\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=e^x\left(x^2-4x+3\right)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați punctele de extrem ale funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $(x-3{)}^2\le 4e^{1-x}$, pentru orice $x\in (-\infty ,3]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2-4x+1,& x\in (-\infty ,1)\\ \frac{\ln x}{\sqrt{x}},& x\in [1,+\infty )\end{array}$.

a) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^{e}f(x)dx=2\left(4-\sqrt{e}\right)$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$ pentru care ${\int }_{e^n}^{e^{n+1}}{f}^2(x)dx=\frac{7}{3}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării naționale din 2018; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe, conjugatul.

Se desface produsul, cu $i^2=-1$: $(1-i)(2+i)=2+i-2i-i^2=3-i$, deci $$z=3-i+5i=3+4i\text{(3 p)}.$$ Conjugatul se obține schimbând semnul părții imaginare: $$\bar{z}=3-4i\text{(2 p)}.$$

(Control: $z\cdot \bar{z}=9+16=25=|z{|}^2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $i^2=1$ și iese $(1-i)(2+i)=1-i$; sau se schimbă semnul și la partea reală, $\bar{z}=-3-4i$.)

Exercițiul 2. (5 p) — inecuație de gradul al doilea în numere naturale.

Trinomul se descompune: $n^2+n-12=(n+4)(n-3)$. Cum $n$ este număr natural, $n+4>0$, deci $$(n+4)(n-3)<0⟹n<3\text{(2 p)}.$$ Numerele naturale mai mici decât $3$ sunt $$\mathbf{n}=0,\mathbf{n}=1\text{ sau }\mathbf{n}=2\text{(3 p)}.$$

(Control: pentru $n=2$, $4+2-12=-6<0$; pentru $n=3$, $9+3-12=0$, care nu este strict negativ. Unde se greșește de obicei: se dă răspunsul ca interval, $n\in (-4,3)$, uitând că se cer numere naturale; sau se omite $n=0$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Cu proprietatea $2\lg u=\lg u^2$, ecuația devine o egalitate de logaritmi în aceeași bază: $$\lg (x+1)=\lg (x-5{)}^2⟹x+1=(x-5{)}^2\text{(2 p)}.$$ Desfăcând pătratul: $x^2-11x+24=0$, cu rădăcinile $3$ și $8$. Pentru $x=3$, $\lg (x-5)$ nu există, deci $$x=3\text{ nu verifica˘ ecuația, iar }\mathbf{x}=8\text{ verifica˘ ecuația}\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $\lg 9=2\lg 3$. Capcana cerinței: trecerea de la $2\lg (x-5)$ la $\lg (x-5{)}^2$ lărgește domeniul — $(x-5{)}^2$ are sens și pentru $x<5$ —, de aceea soluțiile ecuației de gradul al doilea se verifică în ecuația inițială. Unde se greșește de obicei: se păstrează și $x=3$; sau se scrie $x+1=2(x-5)$, ca și cum $2\lg u$ ar fi $\lg 2u$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinări.

O mulțime cu $n$ elemente are $C_n^2$ submulțimi cu două elemente (2 p). Din $$\frac{n(n-1)}{2}=45⟹n(n-1)=90⟹\mathbf{n}=10\text{(3 p)}.$$

(Control: $C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45$; a doua rădăcină a ecuației $n^2-n-90=0$ este $-9$, care nu este număr de elemente. Unde se greșește de obicei: se folosesc aranjamentele, $n(n-1)=45$, care nu are soluție naturală.)

Exercițiul 5. (5 p) — vectori în dreptunghi.

În dreptunghiul $ABCD$ (paralelogram), regula paralelogramului dă $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, deci $\vec{v}=2\overrightarrow{AC}$. Lungimea lui $\vec{v}$ este $20$, deci $$\vec{v}=2\overrightarrow{AC}⟹AC=10\text{(3 p)}.$$ Diagonalele unui dreptunghi sunt congruente; cum $ABCD$ este dreptunghi, obținem $$BD=10\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se adună lungimile, $AB+AC+AD=20$, ca și cum vectorii ar avea aceeași direcție; sau se răspunde $BD=20$, uitând factorul $2$ din $\vec{v}=2\overrightarrow{AC}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Se ridică la pătrat relația dată și se folosește ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$: $$(\sin x+\cos x{)}^2=2⟹1+2\sin x\cos x=2⟹\sin x\cos x=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ Apoi, aducând la același numitor: $$\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\text{(3 p)}.$$

(Din $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\ne 0$ rezultă și că $\mathrm{tg}x$ și $\mathrm{ctg}x$ există. Control: pentru $x=\frac{\pi }{4}$, $\sin x+\cos x=\sqrt{2}$, iar $\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x=1+1=2$. Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat ca ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=2$, uitând termenul dublu.)

Exercițiul 7. (15 p) — matricea $A(x)$ și determinanți.

a) (5 p) Pentru $x=2$: $$A(2)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 4\\ -4& 1& -8\\ 0& 0& 1\end{array}\right)⟹\det (A(2))=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 4\\ -4& 1& -8\\ 0& 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)},$$ iar cu regula lui Sarrus $$\det (A(2))=1+0+0-0-0-0=1\text{(3 p)}.$$

(Ultima linie are doi de zero: dezvoltând după ea, determinantul este $1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 0\\ -4& 1\end{array}\right|=1$. Aici o greșeală la elementele $2x$, $-2x$ sau $-2x^2$ nu schimbă determinantul — ele nu intră în niciun produs nenul —, dar una în regula lui Sarrus îl schimbă. Unde se greșește de obicei: se inversează semnele din regula lui Sarrus — produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei se scad, iar celelalte se adună — și iese $0+0+0-1-0-0=-1$; sau, la regula lui Sarrus, se păstrează un produs care conține $4$ sau $-8$, deși fiecare dintre ele conține și un zero de pe linia a treia.)

b) (5 p) $A(0)=I_3$, deci $A(a)+aA(0)$ are $a+1$ pe diagonală: $$\det (A(a)+aA(0))=\left|\begin{array}{ccc}a+1& 0& 2a\\ -2a& a+1& -2a^2\\ 0& 0& a+1\end{array}\right|=(a+1{)}^3\text{(3 p)}.$$ Din $(a+1{)}^3=8=2^3$: $$a+1=2⟹\mathbf{a}=1\text{(2 p)}.$$

(Dezvoltarea după linia a treia: $(a+1)\cdot \left|\begin{array}{cc}a+1& 0\\ -2a& a+1\end{array}\right|=(a+1{)}^3$. Unde se greșește de obicei: se ia $A(0)$ drept matricea nulă și se ajunge la $\det A(a)=8$, imposibil, pentru că $\det A(a)=1$.)

c) (5 p) Pentru orice $x$ real, $\det (A(x))=1$, iar pentru o matrice de ordinul al treilea $\det (kA(x))=k^3\det (A(x))=k^3$. Egalitatea din enunț devine $$(m+n{)}^3=m^3+n^3+18\text{(2 p)}.$$ Desfăcând cubul, $3mn(m+n)=18$, adică $mn(m+n)=6$; deci, cum $m$ și $n$ sunt numere naturale și $m<n$, obținem $$\mathbf{m}=1\text{ și }\mathbf{n}=2\text{(3 p)}.$$

(De ce doar această pereche: $m=0$ dă $0=6$, imposibil; pentru $m\ge 1$ și $n\ge m+1$, produsul $mn(m+n)$ este $1\cdot 2\cdot 3=6$ pentru $(1,2)$ și crește strict pentru orice altă pereche. Control: $3^3=27=1+8+18$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\det (kA)=k\det A$, ca la o matrice de ordinul întâi, și egalitatea devine $m+n=m+n+18$, fără soluție.)

Exercițiul 8. (15 p) — legea de compoziție pe ${\mathbb{Z}}_7$.

a) (5 p) Se grupează termenii câte doi, scriind $\hat{2}=\hat{1}+\hat{1}$: $$x\ast y=\left(xy+\hat{6}x\right)+\left(\hat{6}y+\hat{1}\right)+\hat{1}\text{(3 p)},$$ iar cum în ${\mathbb{Z}}_7$ avem $\hat{6}\cdot \hat{6}=\widehat{36}=\hat{1}$, a doua paranteză este $\hat{6}\left(y+\hat{6}\right)$: $$x\ast y=x\left(y+\hat{6}\right)+\hat{6}\left(y+\hat{6}\right)+\hat{1}=\left(x+\hat{6}\right)\left(y+\hat{6}\right)+\hat{1},\text{ pentru orice }x,y\in {\mathbb{Z}}_7\text{(2 p)}.$$

(Controlul invers: $\left(x+\hat{6}\right)\left(y+\hat{6}\right)+\hat{1}=xy+\hat{6}x+\hat{6}y+\widehat{36}+\hat{1}=xy+\hat{6}x+\hat{6}y+\widehat{37}$, iar $37=5\cdot 7+2$, deci $\widehat{37}=\hat{2}$. Unde se greșește de obicei: se calculează $\hat{6}\cdot \hat{6}=\widehat{36}$ și nu se reduce modulo $7$.)

b) (5 p) Cu forma de la a), $\hat{1}+\hat{6}=\hat{7}=\hat{0}$: $$x\ast \hat{1}=\left(x+\hat{6}\right)\left(\hat{1}+\hat{6}\right)+\hat{1}=\hat{0}+\hat{1}=\hat{1}\text{(2 p)},$$ $$\hat{1}\ast x=\left(\hat{1}+\hat{6}\right)\left(x+\hat{6}\right)+\hat{1}=\hat{0}+\hat{1}=\hat{1}=x\ast \hat{1},\text{ pentru orice }x\in {\mathbb{Z}}_7\text{(3 p)}.$$

(Elementul $\hat{1}$ „absoarbe" orice element la această lege: rezultatul nu mai depinde de $x$. Unde se greșește de obicei: se confundă cu elementul neutru, cerând $x\ast e=x$.)

c) (5 p) Legea este asociativă, deci produsul se poate grupa începând cu primii doi factori: $$\hat{0}\ast \hat{1}\ast \hat{2}\ast \hat{3}\ast \hat{4}\ast \hat{5}\ast \hat{6}=\left(\hat{0}\ast \hat{1}\right)\ast \hat{2}\ast \hat{3}\ast \hat{4}\ast \hat{5}\ast \hat{6}\text{(3 p)},$$ iar după b), $\hat{0}\ast \hat{1}=\hat{1}$ și apoi $\hat{1}$ absoarbe restul: $$=\hat{1}\ast \left(\hat{2}\ast \hat{3}\ast \hat{4}\ast \hat{5}\ast \hat{6}\right)=\hat{1}\text{(2 p)}.$$

(Nu trebuie calculat produsul din paranteză: orice element $y$ dă $\hat{1}\ast y=\hat{1}$. Unde se greșește de obicei: se începe calculul de la $\hat{0}\ast \hat{1}$ crezând că $\hat{0}$ „anulează" totul, ca la înmulțire, și se răspunde $\hat{0}$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, puncte de extrem, inegalitate.

a) (5 p) Cu regula produsului: $$f^{\prime }(x)={\left(e^x\right)}^{\prime }\left(x^2-6x+9\right)+e^x{\left(x^2-6x+9\right)}^{\prime }\text{(2 p)},$$ $$f^{\prime }(x)=e^x\left(x^2-6x+9+2x-6\right)=e^x\left(x^2-4x+3\right),x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se derivează doar paranteza și se scrie $f^{\prime }(x)=e^x(2x-6)$; sau se scrie ${\left(x^2-6x+9\right)}^{\prime }=2x-6x$.)

b) (5 p) Cum $e^x>0$, semnul derivatei este semnul trinomului $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=1\text{ și }x=3\text{(2 p)}.$$ $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x\in (-\infty ,1)$, $f^{\prime }(x)<0$ pentru orice $x\in (1,3)$ și $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x\in (3,+\infty )$, deci punctele de extrem ale funcției $f$ sunt $\mathbf{x}=1$ și $\mathbf{x}=3$ (3 p).

($x=1$ este punct de maxim, cu $f(1)=4e$; $x=3$ este punct de minim, cu $f(3)=0$. Unde se greșește de obicei: se declară puncte de extrem fără să se arate că derivata își schimbă semnul; sau se dau valorile $4e$ și $0$ în loc de abscise — cerința cere punctele de extrem, adică $x=1$ și $x=3$.)

c) (5 p) Din b), $f$ este crescătoare pe $(-\infty ,1]$ și descrescătoare pe $[1,3]$, deci $$f(x)\le f(1),\text{ pentru orice }x\in (-\infty ,3]\text{(3 p)}.$$ Cum $f(1)=e\cdot 4=4e$ și $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$, împărțind prin $e^x>0$: $$f(x)\le 4e⟺e^x(x-3{)}^2\le 4e⟺(x-3{)}^2\le 4e^{1-x},\text{ pentru orice }x\in (-\infty ,3]\text{(2 p)}.$$

(Inegalitatea este chiar „valoarea maximă a lui $f$ pe $(-\infty ,3]$ este $f(1)$", scrisă altfel. Egalitate are loc doar în $x=1$: $(1-3{)}^2=4=4e^0$. Unde se greșește de obicei: la împărțirea prin $e^x$ se scrie $\frac{4e}{e^x}=4e^{x-1}$ și se ajunge la $(x-3{)}^2\le 4e^{x-1}$ — altă inegalitate, falsă de exemplu în $x=-1$, unde $16>4e^{-2}$; sau se calculează $f(1)=e(1+6+9)=16e$, cu semnul lui $-6x$ pierdut, și se ajunge la $(x-3{)}^2\le 16e^{1-x}$, altă inegalitate decât cea cerută. Atenție și la domeniu: $f(x)\le f(1)$ NU are loc pe tot $\mathbb{R}$ — pentru $x>3$ funcția crește din nou, de exemplu $f(6)=9e^6>4e$.)

Exercițiul 10. (15 p) — funcție definită pe ramuri: primitive și integrale.

a) (5 p) Se calculează limitele laterale în $x=1$: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\left(3x^2-4x+1\right)=0,\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=0$$ și, cum $f(1)=0$, obținem $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)$, deci funcția $f$ este continuă în $x=1$ (3 p). Cum funcția $f$ este continuă pe $(-\infty ,1)$ și pe $(1,+\infty )$ (compuneri și operații cu funcții elementare), obținem că $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, deci funcția $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se verifică doar că $f(1)=0$, fără limitele laterale; sau se crede că o funcție definită pe ramuri „nu poate" avea primitive — orice funcție continuă pe un interval are.)

b) (5 p) Intervalul $[-1,e]$ se împarte în punctul de legătură $1$: $${\int }_{-1}^{e}f(x)dx={\int }_{-1}^{1}f(x)dx+{\int }_1^{e}f(x)dx={\int }_{-1}^1\left(3x^2-4x+1\right)dx+{\int }_1^e\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx\text{(2 p)}.$$ O primitivă a lui $\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ este $2\sqrt{x}\ln x-4\sqrt{x}$ (prin părți, cu ${\left(2\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x}}$): $$=\left(x^3-2x^2+x\right){|}_{-1}^1+\left(2\sqrt{x}\ln x-4\sqrt{x}\right){|}_1^e=4-2\sqrt{e}+4=2\left(4-\sqrt{e}\right)\text{(3 p)}.$$

(Detaliu: $\left(x^3-2x^2+x\right){|}_{-1}^1=0-(-4)=4$ și $\left(2\sqrt{x}\ln x-4\sqrt{x}\right){|}_1^e=\left(2\sqrt{e}-4\sqrt{e}\right)-(0-4)=4-2\sqrt{e}$. Control numeric: $2\left(4-\sqrt{e}\right)\approx 4,7026$. Unde se greșește de obicei: se integrează o singură ramură pe tot intervalul $[-1,e]$; sau pe ramura a doua se ia în $x=1$ valoarea primitivei $0$, uitând termenul $-4\sqrt{1}=-4$.)

c) (5 p) Pentru $n$ natural, $e^n\ge 1$, deci pe $\left[e^n,e^{n+1}\right]$ funcția este $\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ și $f^2(x)=\frac{{\ln }^{2}x}{x}$: $${\int }_{e^n}^{e^{n+1}}{f}^2(x)dx={\int }_{e^n}^{e^{n+1}}\frac{{\ln }^{2}x}{x}dx=\frac{{\ln }^{3}x}{3}{|}_{e^n}^{e^{n+1}}=\frac{3n^2+3n+1}{3}\text{(3 p)},$$ pentru că $\ln e^{n+1}=n+1$, $\ln e^n=n$ și $(n+1{)}^3-n^3=3n^2+3n+1$. Din $$\frac{3n^2+3n+1}{3}=\frac{7}{3}\text{ și, cum }n\text{ este numa˘r natural, obținem }\mathbf{n}=1\text{(2 p)}.$$

(Ecuația este $3n^2+3n-6=0$, adică $n^2+n-2=0$, cu rădăcinile $1$ și $-2$; doar $1$ este natural. Control: ${\int }_e^{e^2}\frac{{\ln }^{2}x}{x}dx=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f^2(x)=\frac{{\ln }^{2}x}{\sqrt{x}}$, uitând să ridice la pătrat și numitorul.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial al simulării naționale a probei E. c), Matematică M_șt-nat, dată elevilor de clasa a XII-a în 2018, înaintea examenului național de bacalaureat. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în simularea din 2018:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: înmulțirea în forma algebrică și conjugatul — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Inecuație de gradul al doilea rezolvată în mulțimea numerelor naturale — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: proprietățile logaritmilor, condițiile de existență și verificarea soluțiilor — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărul submulțimilor cu două elemente, $C_n^2$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: regula paralelogramului într-un dreptunghi — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: o relație între $\sin x$ și $\cos x$, apoi $\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinant, sumă de matrice, determinantul lui $kA$ — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție pe ${\mathbb{Z}}_7$: scrierea legii ca produs, un element „absorbant", un calcul prin asociativitate — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui produs, punctele de extrem din semnul derivatei, o inegalitate din monotonie — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: continuitatea unei funcții definite pe ramuri, integrala pe ramuri, o integrală cu ${\ln }^{2}x$ și un parametru natural — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2018. Subiectul I este format din șase cerințe scurte, dintre care două cer atenție la condiții: la cerința 2 răspunsul se dă în numere naturale (nu ca interval), iar la cerința 3 una dintre rădăcinile ecuației de gradul al doilea nu verifică ecuația logaritmică. Subiectul al II-lea pune o matrice $A(x)$ cu determinantul $1$ pentru orice $x$ — observație pe care se sprijină subpunctul c), unde totul se reduce la $\det (kA)=k^3\det A$ și la o ecuație în numere naturale — și o lege de compoziție pe ${\mathbb{Z}}_7$ la care $\hat{1}$ „absoarbe" orice element, deci produsul lung de la c) se calculează dintr-o privire. Subiectul al III-lea cere extremele unei funcții și o inegalitate care este chiar „$f(x)\le f(1)$" scrisă altfel, apoi o funcție definită pe ramuri: continuitate în punctul de legătură, integrala împărțită pe cele două ramuri și o integrală care determină un număr natural.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție pe ${\mathbb{Z}}_7$, calculată cu adunarea și înmulțirea claselor de resturi (inelul $\left({\mathbb{Z}}_7,+,\cdot \right)$), capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, calculul în ${\mathbb{Z}}_7$ stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: inele și corpuri", iar legile de compoziție, în „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt întregi, un număr complex, un element din ${\mathbb{Z}}_7$ și expresia $2\left(4-\sqrt{e}\right)$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la 10 punctajul total.
• Greșeli de redactare de evitat: soluțiile ecuației logaritmice date fără verificare; punctele de extrem afirmate fără semnul derivatei pe intervale; existența primitivelor „demonstrată" fără continuitatea în punctul de legătură a ramurilor; calculul din ${\mathbb{Z}}_7$ făcut fără să se reducă modulo $7$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; conjugatul lui $a+bi$ este $a-bi$. Logaritmi: $2\lg u=\lg u^2$, iar $\lg A=\lg B⟺A=B$, cu $A,B>0$. Combinări: $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$. Vectori: în paralelogramul $ABCD$, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Trigonometrie: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, $\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x=\frac{1}{\sin x\cos x}$.
• Matrice: pentru o matrice de ordinul al treilea, $\det (kA)=k^3\det A$.
• Legi de compoziție: în ${\mathbb{Z}}_7$, $\hat{6}+\hat{1}=\hat{0}$ și $\widehat{36}=\hat{1}$; asociativitatea permite gruparea factorilor în orice ordine a parantezelor.
• Derivate: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$; un punct în care derivata se anulează și își schimbă semnul este punct de extrem.
• Integrale: o funcție continuă pe un interval admite primitive; ${\int }_a^{b}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f$; ${\left(2\sqrt{x}\ln x-4\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$, ${\left(\frac{{\ln }^{3}x}{3}\right)}^{\prime }=\frac{{\ln }^{2}x}{x}$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă două funcții diferite: $f(x)=e^x\left(x^2-6x+9\right)$ la cerința $9$ și funcția definită pe ramuri de la cerința $10$. Litera $A$ este un vârf al dreptunghiului $ABCD$ la cerința $5$ și matricea $A(x)$ la cerința $7$. Litera $x$ este un număr real la cerințele $6$ și $7$ (parametrul matricei $A(x)$) și un element din ${\mathbb{Z}}_7$ la cerința $8$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $n$ este numărul natural necunoscut la cerințele $2$, $4$ și $10$ și unul dintre cele două numere naturale $m<n$ la cerința $7$; la cerința $4$ ea este numărul de elemente al mulțimii.
• La cerința $8$, $\hat{0},\hat{1},\dots ,\hat{6}$ sunt clasele de resturi modulo $7$, iar $\ast$ este legea de compoziție dată; la cerința $10$, $f^2(x)$ înseamnă $(f(x){)}^2$, pătratul valorii funcției, nu compunerea $f(f(x))$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".