Bac M2 2018, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2018 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați al doilea termen al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $a_1=7$ și $a_3=15$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+2$. Determinați numerele naturale $n$, pentru care $f(n)<8$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2-1}=x+1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii $\{0,1,2,3,4\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreptele $d_1:y=\frac{x}{2}+2$ și $d_2:y=(m-3)x+1$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$, pentru care dreptele $d_1$ și $d_2$ sunt perpendiculare.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că, dacă $\sin 2x=\frac{1}{2}$, atunci $(\sin x+\cos x{)}^2=\frac{3}{2}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $X(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 9b& a\end{array}\right)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (X(3,1))=0$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $X(a,b)X(c,d)=X(ac+9bd,ad+bc)$, pentru orice numere reale $a$, $b$, $c$ și $d$.

c) (5 puncte) Determinați perechile de numere întregi $(m,n)$ pentru care $\det (X(m,n))=1$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=2X^3-4X^2-7X+m$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $m=9$, arătați că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu $X+\sqrt{2}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$, știind că suma a două rădăcini ale polinomului $f$ este egală cu $1$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-1)e^x+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=x{e}^x$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $-\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\sqrt[n]{e}\le \frac{n}{n-1}$, pentru orice număr natural $n$, $n\ge 2$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:[2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\sqrt{x-2}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_2^{3}f(x)\sqrt{x-2}dx=\frac{4}{3}$.

b) (5 puncte) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[0,1]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{f(x+2)}{x+2}\cdot \sqrt{e^x}$ este egal cu $\pi$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_3^{x}f(t)\cdot \frac{1}{\sqrt{t-2}}dt}{x^2}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale din 2018; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Într-o progresie aritmetică, fiecare termen (în afară de primul) este media aritmetică a vecinilor săi: $$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{7+15}{2}\text{(3 p)},$$ $$a_2=11\text{(2 p)}.$$

(Control: rația este $r=11-7=4$, iar $a_3=11+4=15$. Unde se greșește de obicei: se ia rația $r=15-7=8$, uitând că între $a_1$ și $a_3$ sunt doi pași, și iese $a_2=15$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi, inecuație în numere naturale.

$$3n+2<8⟺n<2\text{(2 p)}.$$ Cum $n$ este număr natural, obținem $\mathbf{n}=0$ sau $\mathbf{n}=1$ (3 p).

(Control: $f(0)=2<8$, $f(1)=5<8$, iar $f(2)=8$, care nu este strict mai mic decât $8$. Unde se greșește de obicei: se omite $n=0$; sau se include $n=2$, citind inegalitatea ca nestrictă.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Se ridică la pătrat ambii membri: $$x^2-1=(x+1{)}^2⟹2x+2=0\text{(3 p)},$$ pentru că $(x+1{)}^2=x^2+2x+1$, iar $x^2$ se reduce. Rezultă $$\mathbf{x}=-1,\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $\sqrt{(-1{)}^2-1}=\sqrt{0}=0$ și $-1+1=0$. Ridicarea la pătrat poate introduce soluții străine, de aceea soluția se verifică în ecuația inițială — aici ea convine. Unde se greșește de obicei: se desface $(x+1{)}^2$ ca $x^2+1$ și ecuația devine $-1=1$, „fără soluții".)

Exercițiul 4. (5 p) — combinări.

Numărul submulțimilor cu trei elemente ale unei mulțimi cu cinci elemente: $$C_5^3=\frac{5!}{3!\cdot 2!}\text{(3 p)},$$ $$C_5^3=10\text{(2 p)}.$$

(Elementul $0$ se numără ca oricare altul: mulțimea are cinci elemente. Unde se greșește de obicei: se folosesc aranjamentele, $A_5^3=60$; sau se exclude $0$, ca la numerele de trei cifre, și iese $C_4^3=4$.)

Exercițiul 5. (5 p) — drepte perpendiculare.

Pantele dreptelor se citesc drept coeficienții lui $x$: $$m_{d_1}=\frac{1}{2},m_{d_2}=m-3\text{(2 p)}.$$ Dreptele sunt perpendiculare exact când produsul pantelor este $-1$: $$d_1\perp d_2⟺m_{d_1}\cdot m_{d_2}=-1⟺\frac{1}{2}(m-3)=-1⟺\mathbf{m}=1\text{(3 p)}.$$

(Control: pentru $m=1$, $d_2:y=-2x+1$, iar $\frac{1}{2}\cdot (-2)=-1$. Unde se greșește de obicei: se pune condiția de paralelism, pante egale, și iese $m=\frac{7}{2}$; sau se ia panta lui $d_1$ egală cu $2$, citind greșit $\frac{x}{2}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Se dezvoltă pătratul și se folosesc ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ și $2\sin x\cos x=\sin 2x$: $$\sin 2x=\frac{1}{2}⟹(\sin x+\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+\sin 2x\text{(3 p)},$$ $$=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $(\sin x+\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, uitând termenul dublu; sau se ia $2\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matricea $X(a,b)$.

a) (5 p) Pentru $a=3$, $b=1$: $$X(3,1)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 9& 3\end{array}\right)⟹\det (X(3,1))=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 9& 3\end{array}\right|=3\cdot 3-9\cdot 1\text{(3 p)},$$ $$=9-9=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se adună produsele diagonalelor, $9+9=18$, în loc să se scadă; sau se construiește $X(3,1)$ cu $9a=27$ în colțul din stânga-jos, în loc de $9b=9$.)

b) (5 p) Se înmulțesc matricele, linie cu coloană: $$X(a,b)X(c,d)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 9b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& d\\ 9d& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac+9bd& ad+bc\\ 9bc+9ad& 9bd+ac\end{array}\right)\text{(3 p)},$$ iar elementul din stânga-jos se scrie $9(ad+bc)$: $$=\left(\begin{array}{cc}ac+9bd& ad+bc\\ 9(ad+bc)& ac+9bd\end{array}\right)=X(ac+9bd,ad+bc),\text{ pentru orice numere reale }a,b,c,d\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele de pe aceleași poziții și iese $\left(\begin{array}{cc}ac& bd\\ 81bd& ac\end{array}\right)$; sau, la linia a doua, se uită factorul $9$ din $9b\cdot c$.)

c) (5 p) Determinantul lui $X(m,n)$: $$\det (X(m,n))=m^2-9n^2\text{(2 p)}.$$ Cum $m$ și $n$ sunt numere întregi, $(m-3n)(m+3n)=1$, iar singurele descompuneri ale lui $1$ în produs de doi întregi sunt $1\cdot 1$ și $(-1)\cdot (-1)$; deci $m-3n=m+3n=-1$ sau $m-3n=m+3n=1$ și obținem $(-1,0)$ sau $(1,0)$ (3 p).

(Din $m-3n=m+3n$ rezultă $n=0$, apoi $m=\pm 1$. Control: $\det X(1,0)=\det I_2=1$ și $\det X(-1,0)=(-1{)}^2=1$. Unde se greșește de obicei: se dă doar perechea $(1,0)$, uitând descompunerea $(-1)\cdot (-1)$. Greșeală de redactare de evitat: soluțiile căutate prin încercări, fără argumentul de divizibilitate — chiar dacă perechile găsite sunt bune, nu se arată că altele nu există.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $m=9$: $$f=2X^3-4X^2-7X+9⟹f(1)=2\cdot 1^3-4\cdot 1^2-7\cdot 1+9\text{(2 p)},$$ $$f(1)=2-4-7+9=0\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează cu $m$ nesubstituit și se ajunge la $f(1)=m-9$, fără concluzie.)

b) (5 p) După teorema lui Bézout, $X+\sqrt{2}=X-\left(-\sqrt{2}\right)$ divide $f$ exact când $f\left(-\sqrt{2}\right)=0$: $$f\left(-\sqrt{2}\right)=0⟺2\cdot \left(-2\sqrt{2}\right)-4\cdot 2-7\cdot \left(-\sqrt{2}\right)+m=0\text{(3 p)},$$ pentru că ${\left(-\sqrt{2}\right)}^3=-2\sqrt{2}$ și ${\left(-\sqrt{2}\right)}^2=2$. Deci $-4\sqrt{2}-8+7\sqrt{2}+m=0$, adică $3\sqrt{2}-8+m=0$: $$\mathbf{m}=8-3\sqrt{2}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează $f\left(\sqrt{2}\right)$ în loc de $f\left(-\sqrt{2}\right)$ și iese $m=8+3\sqrt{2}$ — rădăcina lui $X+\sqrt{2}$ este $-\sqrt{2}$; sau se scrie ${\left(-\sqrt{2}\right)}^3=2\sqrt{2}$, pierzând semnul.)

c) (5 p) Fie $x_1$, $x_2$, $x_3$ rădăcinile, cu $x_1+x_2=1$. Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2+x_3=-\frac{-4}{2}=2$, deci $$x_1+x_2=1\text{ și }{x}_1+x_2+x_3=2⟹x_3=1\text{(3 p)}.$$ Atunci $1$ este rădăcină a lui $f$: $$f(1)=0⟹\mathbf{m}=9\text{(2 p)}.$$

(Control: $f(1)=2-4-7+m=m-9$. Pentru $m=9$, $f=(X-1)\left(2X^2-2X-9\right)$, iar rădăcinile trinomului, $\frac{1\pm \sqrt{19}}{2}$, au chiar suma $1$ — deci valoarea găsită chiar îndeplinește condiția. Unde se greșește de obicei: se scrie suma rădăcinilor $-4$ sau $4$, uitând împărțirea la coeficientul dominant $2$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, asimptotă orizontală, inegalitate.

a) (5 p) Cu regula produsului (constanta $1$ are derivata $0$): $$f^{\prime }(x)=(x-1{)}^{\prime }{e}^x+(x-1){\left(e^x\right)}^{\prime }\text{(2 p)},$$ $$f^{\prime }(x)=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x,x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se derivează doar $e^x$ și se scrie $f^{\prime }(x)=(x-1)e^x$; sau se păstrează $+1$ în derivată.)

b) (5 p) Se scrie produsul ca un cât, ca să se poată aplica regula lui l'Hôpital: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{x-1}{e^{-x}}+1\right)=1,\text{ deoarece }\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-1}{e^{-x}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{-e^{-x}}=0\text{(3 p)}.$$ Dreapta de ecuație $\mathbf{y}=1$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p).

(Pentru $x\to -\infty$, $e^{-x}\to +\infty$, deci câtul este de tip $\frac{\infty }{\infty }$. Unde se greșește de obicei: se scrie $y=0$, uitând termenul $+1$; sau se crede că $(x-1)e^x\to -\infty$, pentru că $x-1\to -\infty$ — exponențiala „câștigă" și produsul tinde la $0$.)

c) (5 p) Pentru $x\ge 0$, $f^{\prime }(x)=x{e}^x\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[0,+\infty )$ și, cum $f(0)=-1+1=0$, obținem $$f(x)\ge 0,\text{ pentru orice }x\in [0,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Pentru orice număr natural $n\ge 2$, $\frac{1}{n}\in [0,+\infty )$, deci $f\left(\frac{1}{n}\right)\ge 0$, adică $$\left(\frac{1}{n}-1\right)e^{\frac{1}{n}}+1\ge 0⟹\sqrt[n]{e}\le \frac{n}{n-1}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul trecerii: $\left(\frac{1}{n}-1\right)e^{\frac{1}{n}}\ge -1$ înseamnă $\frac{n-1}{n}{e}^{\frac{1}{n}}\le 1$; cum $n-1>0$, se înmulțește cu $\frac{n}{n-1}$ și $e^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{e}$. Control: pentru $n=2$, $\sqrt{e}\approx 1,6487\le 2$. Unde se greșește de obicei: din $\left(\frac{1}{n}-1\right)e^{\frac{1}{n}}\ge -1$ se împarte la $\frac{1}{n}-1$ fără să se schimbe sensul inegalității, deși $\frac{1}{n}-1<0$, și iese inegalitatea falsă $\sqrt[n]{e}\ge \frac{n}{n-1}$ (pentru $n=2$, $1,6487\ge 2$). Greșeală de redactare de evitat: inegalitatea verificată pentru $n=2$ și $n=3$ și declarată adevărată pentru orice $n$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale pe funcția $x\sqrt{x-2}$.

a) (5 p) $\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x-2}=x-2$ pentru $x\ge 2$: $${\int }_2^{3}f(x)\sqrt{x-2}dx={\int }_2^{3}x(x-2)dx=\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_2^3\text{(3 p)},$$ $$=9-9-\frac{8}{3}+4=\frac{4}{3}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $f(x)\sqrt{x-2}=x(x-2{)}^2$, ridicând la pătrat și factorul care nu era sub radical; sau se uită semnul la scăderea valorii din $2$, $-\left(\frac{8}{3}-4\right)=-\frac{8}{3}+4$.)

b) (5 p) $f(x+2)=(x+2)\sqrt{x}$, deci pentru $x\in [0,1]$ $$g(x)=\sqrt{x}\cdot \sqrt{e^x}=\sqrt{x{e}^x}⟹\mathcal{V}=\pi {\int }_0^1{g}^2(x)dx=\pi {\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=\pi (x-1)e^x{|}_0^1\text{(3 p)},$$ $$\mathcal{V}=0-\pi \cdot (-1)\cdot e^0=\pi \text{(2 p)}.$$

(Primitiva lui $x{e}^x$ se obține prin părți: $\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=(x-1)e^x+\mathcal{C}$. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește în $f(x+2)$ doar primul factor și iese $g(x)=\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{e^x}$, nedefinită pe $[0,1]$; sau se uită pătratul din formula volumului. În baremul oficial volumul este notat $V$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{V}$.)

c) (5 p) Pentru $t\ge 3$, $f(t)\cdot \frac{1}{\sqrt{t-2}}=t$: $${\int }_3^{x}f(t)\cdot \frac{1}{\sqrt{t-2}}dt={\int }_3^{x}tdt=\frac{t^2}{2}{|}_3^x=\frac{x^2-9}{2}\text{(3 p)},$$ de unde $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_3^{x}f(t)\cdot \frac{1}{\sqrt{t-2}}dt}{x^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-9}{2x^2}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se simplifică greșit și integrandul devine $t\sqrt{t-2}$ sau $\frac{t}{t-2}$; sau se uită împărțirea la $2$ din primitivă și iese limita $1$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea specială din 2018 a examenului național de bacalaureat — Varianta 3. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în sesiunea specială din 2018:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: o inecuație $f(n)<8$ rezolvată în numere naturale — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: ridicarea la pătrat și verificarea soluției — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărul submulțimilor cu trei elemente, $C_5^3$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: pantele a două drepte perpendiculare — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: $(\sin x+\cos x{)}^2=1+\sin 2x$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, produsul a două matrice de aceeași formă, o ecuație în numere întregi — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom, teorema lui Bézout cu o rădăcină irațională, relațiile lui Viète — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui produs, asimptota orizontală spre $-\infty$, o inegalitate obținută din monotonie — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale: integrala definită, volumul unui corp de rotație, limita unei funcții definite prin integrală — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială 2018. Subiectul I este format din șase cerințe scurte; două dintre ele cer atenție la condiții — la cerința 2 răspunsul se dă în numere naturale, iar la cerința 3 soluția ecuației iraționale se verifică. Subiectul al II-lea pune o matrice $X(a,b)$ a cărei formă se păstrează la înmulțire, apoi cere perechile de numere întregi cu $m^2-9n^2=1$ — o ecuație care se rezolvă prin descompunere, nu prin încercări; problema a doua este un polinom de gradul al treilea cu parametru, cu o divizibilitate prin $X+\sqrt{2}$ și o întrebare despre suma a două rădăcini, care se reduce la a treia rădăcină. Subiectul al III-lea cere o asimptotă orizontală spre $-\infty$, o inegalitate cu $\sqrt[n]{e}$ care este chiar $f\left(\frac{1}{n}\right)\ge 0$, apoi trei integrale pe funcția $x\sqrt{x-2}$, în care de fiecare dată radicalul se simplifică.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt întregi, fracții simple, perechi de numere întregi, $8-3\sqrt{2}$ și $\pi$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la 10 punctajul total.
• Greșeli de redactare de evitat: soluția ecuației iraționale dată fără verificare; perechile de numere întregi găsite prin încercări, fără descompunerea $(m-3n)(m+3n)=1$; asimptota scrisă fără calculul limitei; inegalitatea de la problema 9 „demonstrată" pe câteva valori ale lui $n$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: $a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u}=v⟹u=v^2$, cu verificarea soluțiilor. Combinări: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Drepte: $d_1\perp d_2⟺m_{d_1}\cdot m_{d_2}=-1$. Trigonometrie: $\sin 2x=2\sin x\cos x$, ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; $m^2-9n^2=(m-3n)(m+3n)$.
• Polinoame: teorema lui Bézout — $X-\alpha$ divide $f$ exact când $f(\alpha )=0$; pentru $f=a{X}^3+b{X}^2+cX+d$, $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$.
• Derivate: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$; dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ dacă $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\ell \in \mathbb{R}$.
• Integrale: volumul corpului de rotație $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$; $\int x{e}^{x}dx=(x-1)e^x+\mathcal{C}$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=3x+2$ de la cerința $2$, polinomul $f=2X^3-4X^2-7X+m$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=(x-1)e^x+1$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=x\sqrt{x-2}$ de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $m$ este parametrul dreptei $d_2$ la cerința $5$ și al polinomului la cerința $8$, dar la cerința $7$, subpunctul c), $m$ și $n$ sunt numerele întregi căutate; tot acolo, $m_{d_1}$ și $m_{d_2}$ de la cerința $5$ sunt pantele dreptelor. Litera $n$ este un număr natural la cerințele $2$ și $9$ și un număr întreg la cerința $7$; litera $d$ numește dreptele $d_1$, $d_2$ la cerința $5$ și un număr real la cerința $7$, subpunctul b); litera $a$ apare în termenii $a_1$, $a_2$, $a_3$ ai progresiei de la cerința $1$ și ca număr real în $X(a,b)$ la cerința $7$.
• Litera $X$ este o matrice la cerința $7$ și nedeterminata polinomului la cerința $8$; la cerința $10$, $g^2(x)$ înseamnă $(g(x){)}^2$, pătratul valorii funcției.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".