Bac M2 2019, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2019 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, dacă $a_1=2$ și rația $r=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-10x+9$ cu axa $Ox$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{x+1}-3\cdot 5^x=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $x$ din mulțimea $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, acesta să fie soluție a ecuației $x^2-4x+4=0$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determinați lungimea vectorului $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, știind că triunghiul $ABC$ este echilateral și $AB=2$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că ${\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+{\sin }^2(x+\pi )=1$, pentru orice număr real $x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}1+4a& -6a\\ 2a& 1-3a\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=2$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(a)A(b)=A(a+b+ab)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

c) (5 puncte) Determinați perechile de numere naturale $m$ și $n$ pentru care $A(m)A(n)=A(2)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=2xy-2x-2y+3$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\circ y=2(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $x\circ x\le 9$.

c) (5 puncte) Calculați $1^n\circ 2^n\circ 3^n\circ \dots \circ 2019^n$, pentru orice număr natural nenul $n$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\ln x^e$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x-e}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $f$, în care tangenta la graficul funcției $f$ este paralelă cu axa $Ox$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ecuația $e^x=x^e$ are exact o soluție în $(0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-1)(x+1)e^x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^3\frac{f(x)}{e^x}dx=6$.

b) (5 puncte) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, $a>2$, știind că ${\int }_2^a\frac{2x{e}^x}{f(x)}dx=3\ln 2$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2019; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. La cerința 4, baremul are trei rânduri punctate ($1+2+2$); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Cu $a_1=2$ și $r=2$: $$a_2=4,a_3=6\text{(2 p)},$$ $$a_1+a_2+a_3=2+4+6=12\text{(3 p)}.$$

(Control cu formula sumei: $S_3=\frac{(a_1+a_3)\cdot 3}{2}=\frac{8\cdot 3}{2}=12$. Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu rația, ca la progresia geometrică, și iese $2+4+8=14$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, intersecția cu $Ox$.

Punctele de pe axa $Ox$ au ordonata $0$: $$f(x)=0⟺x^2-10x+9=0\text{(3 p)}.$$ $$\text{Abscisele sunt }\mathbf{x}=1\text{ și }\mathbf{x}=9\text{(2 p)}.$$

(Rădăcinile: suma $10$, produsul $9$, sau $\Delta =100-36=64$, $x=\frac{10\pm 8}{2}$. Unde se greșește de obicei: se calculează intersecția cu axa $Oy$, $f(0)=9$, în loc de cea cu $Ox$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se scrie $5^{x+1}=5\cdot 5^x$ și se dă factor comun $5^x$: $$5^x(5-3)=2⟺5^x\cdot 2=2⟺5^x=1\text{(3 p)},$$ $$\mathbf{x}=0\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $5^1-3\cdot 5^0=5-3=2$. Unde se greșește de obicei: din $5^x=1$ se scrie $x=1$; sau se scrie $5^{x+1}=5^x+5$, iar ecuația devine $5-2\cdot 5^x=2$, cu $5^x=\frac{3}{2}$ și $x={\log }_5\frac{3}{2}\ne 0$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea $A$ are $10$ elemente, deci sunt $$10\text{ cazuri posibile}\text{(1 p)}.$$ Ecuația $x^2-4x+4=0$ se scrie $(x-2{)}^2=0$, cu singura soluție $x=2$. În mulțimea $A$ este $$\text{un singur numa˘r care verifica˘ ecuația, deci este un caz favorabil}\text{(2 p)}.$$ $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{1}{10}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se numără soluția $x=2$ de două ori, pentru că este „rădăcină dublă", și iese $\frac{2}{10}$; sau se uită elementul $0$ și iese $\frac{1}{9}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — vectori în triunghiul echilateral.

Regula paralelogramului, cu $M$ mijlocul laturii $[BC]$: $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM},\text{unde }M\text{ este mijlocul laturii }BC\text{(3 p)}.$$ În triunghiul echilateral de latură $2$, mediana $AM$ este și înălțime: $$AM=\sqrt{3},\text{deci lungimea vectorului }\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\text{ este egala˘ cu }2\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$

(Calculul lui $AM$: $AM=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$, sau din Pitagora, $AM=\sqrt{4-1}$. Unde se greșește de obicei: se adună lungimile, $2+2=4$; sau se ia lungimea lui $\overrightarrow{AM}$, $\sqrt{3}$, uitând factorul $2$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, formule de reducere.

Formulele de reducere: $$\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x,\sin (x+\pi )=-\sin x\text{(2 p)}.$$ Ridicând la pătrat, semnul minus dispare: $${\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+{\sin }^2(x+\pi )={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1,\text{pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$, iar suma devine $2{\sin }^{2}x$, care nu este $1$ (pentru $x=0$ dă $0$). Observație: și $\sin (x+\pi )=\sin x$ este o formulă greșită, dar aici nu se vede în rezultat, pentru că termenul se ridică la pătrat.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea, $A(a)A(b)=A(a+b+ab)$.

a) (5 p) Pentru $a=1$: $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}5& -6\\ 2& -2\end{array}\right)⟹\det (A(1))=\left|\begin{array}{cc}5& -6\\ 2& -2\end{array}\right|=5\cdot (-2)-2\cdot (-6)=\text{(3 p)}$$ $$=-10+12=2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $1-3=-2$ ca $-4$ în colțul din dreapta jos, și determinantul iese $5\cdot (-4)+12=-8$; sau se adună produsul diagonalei secundare, $-10-12=-22$.)

b) (5 p) Se înmulțesc matricele, linie cu coloană: $$A(a)A(b)=\left(\begin{array}{cc}1+4a& -6a\\ 2a& 1-3a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1+4b& -6b\\ 2b& 1-3b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+4a+4b+4ab& -6b-6ab-6a\\ 2a+2ab+2b& 1-3a-3b-3ab\end{array}\right)=\text{(3 p)}$$ $$=\left(\begin{array}{cc}1+4(a+b+ab)& -6(a+b+ab)\\ 2(a+b+ab)& 1-3(a+b+ab)\end{array}\right)=A(a+b+ab),\text{pentru orice numere reale }a\text{ și }b\text{(2 p)}.$$

(Primul element în detaliu: $(1+4a)(1+4b)+(-6a)\cdot 2b=1+4a+4b+16ab-12ab=1+4a+4b+4ab$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele element cu element; sau se uită termenul $-12ab$ și iese $16ab$.)

c) (5 p) Din subpunctul b): $$A(m+n+mn)=A(2)⟺m+n+mn=2\text{(2 p)}.$$ Cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, $(m+1)(n+1)=3$, cu factori naturali nenuli, deci $$\mathbf{m}=2,\mathbf{n}=0\text{ sau }\mathbf{m}=0,\mathbf{n}=2\text{(3 p)}.$$

(De ce $A(p)=A(q)$ dă $p=q$: elementele din colțul din dreapta sus sunt $-6p$ și $-6q$. Iar $m+n+mn+1=(m+1)(n+1)$. Cum $3$ este prim, factorii sunt $1$ și $3$. Unde se greșește de obicei: se păstrează și perechile $(-2,-4)$, $(-4,-2)$, care dau tot produsul $3$, dar nu sunt numere naturale; sau se uită că $0$ este număr natural.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție cu element absorbant.

a) (5 p) Se scrie $3=2+1$ și se grupează: $$x\circ y=2xy-2x-2y+2+1=\text{(2 p)}$$ $$=2x(y-1)-2(y-1)+1=2(x-1)(y-1)+1,\text{pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

(Verificarea desfăcând: $2(x-1)(y-1)+1=2xy-2x-2y+2+1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $2(x-1)(y-1)+3$, fără să se observe că produsul conține deja $+2$.)

b) (5 p) Pentru $y=x$: $$x\circ x=2(x-1{)}^2+1,\text{de unde obținem }(x-1{)}^2\le 4\text{(2 p)}.$$ Inecuația $|x-1|\le 2$ înseamnă $-2\le x-1\le 2$: $$\mathbf{x}\in [-1,3]\text{(3 p)}.$$

(Control: $3\circ 3=2\cdot 4+1=9$, iar $4\circ 4=19>9$. Unde se greșește de obicei: din $(x-1{)}^2\le 4$ se scrie doar $x-1\le 2$, adică $x\le 3$, uitând partea negativă.)

c) (5 p) Numărul $1$ este element absorbant: din forma de la a), factorul $1-1=0$ anulează produsul: $$1\circ x=1,\text{pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Cum $1^n=1$ și legea este asociativă: $$1^n\circ 2^n\circ 3^n\circ \dots \circ 2019^n=1\circ \left(2^n\circ 3^n\circ \dots \circ 2019^n\right)=1,\text{pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(3 p)}.$$

(Nu trebuie calculat nimic din șirul lung: primul factor este $1^n=1$, iar $1$ compus cu orice dă $1$. Control pentru $n=1$ pe un șir scurt: $1\circ 2=2\cdot 0\cdot 1+1=1$, $1\circ 3=1$. Unde se greșește de obicei: se tratează $1$ ca element neutru — elementul neutru al legii este $\frac{3}{2}$ — și se ajunge la un rezultat care depinde de $n$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată cu logaritm, tangentă orizontală, numărul soluțiilor.

a) (5 p) Cum $\ln x^e=e\ln x$ pentru $x>0$: $$f^{\prime }(x)=x^{\prime }-(e\ln x{)}^{\prime }=\text{(2 p)}$$ $$=1-e\cdot \frac{1}{x}=\frac{x-e}{x},x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se derivează $\ln x^e$ ca $\frac{1}{x^e}$, uitând derivata funcției interioare; sau se tratează $e$ ca variabilă.)

b) (5 p) Tangenta este paralelă cu axa $Ox$ când panta ei este $0$: $$\text{tangenta la graficul funcției }f\text{ ıˆn punctul }(a,f(a))\text{ este paralela˘ cu axa }Ox⟺f^{\prime }(a)=0\text{(3 p)},$$ $$a-e=0⟺\mathbf{a}=\mathbf{e}\text{(2 p)}.$$

(Punctul de pe grafic este $(e,f(e))=(e,0)$, pentru că $f(e)=e-e\ln e=0$. Unde se greșește de obicei: se confundă tangenta paralelă cu $Ox$ cu cea paralelă cu prima bisectoare și se cere $f^{\prime }(a)=1$ — ecuația $\frac{a-e}{a}=1$ nu are soluție. Observație: condiția $f(a)=0$ dă, aici din întâmplare, tot $a=e$, dar nu exprimă paralelismul cu $Ox$.)

c) (5 p) Semnul derivatei: $$f^{\prime }(x)<0,\forall x\in (0,e)\Rightarrow f\text{ strict descresca˘toare pe }(0,e);f^{\prime }(x)>0,\forall x\in (e,+\infty )\Rightarrow f\text{ strict cresca˘toare pe }(e,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Logaritmând (ambii membri sunt pozitivi): $$e^x=x^e⟺x=\ln x^e⟺f(x)=0;\text{cum }f\text{ este continua˘ și }f(e)=0,\text{ ecuația }{e}^x=x^e\text{ are exact o soluție ıˆn }(0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(De ce exact una: $f(e)=0$ este minimul lui $f$; pe $(0,e)$ și pe $(e,+\infty )$ funcția este strict monotonă, deci ia valori strict mai mari decât $f(e)=0$. Singura soluție este $x=e$. Baremul spune doar „$f$ continuă și $f(e)=0$"; unicitatea vine din monotonia strictă de mai sus. Unde se greșește de obicei: se ghicește soluția $x=e$ fără să se arate că nu mai există altele.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrală, arie prin părți, integrală cu parametru.

a) (5 p) Exponențiala se simplifică, iar $(x-1)(x+1)=x^2-1$: $${\int }_0^3\frac{f(x)}{e^x}dx={\int }_0^3(x-1)(x+1)dx={\int }_0^3\left(x^2-1\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}-x\right){|}_0^3=\text{(3 p)}$$ $$=9-3=6\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $(x-1)(x+1)=x^2+1$ și iese $12$.)

b) (5 p) Pe $[1,2]$, $x^2-1\ge 0$, deci $|f(x)|=f(x)$. Integrare prin părți, cu $u=x^2-1$ și $v^{\prime }=e^x$: $$\mathcal{S}={\int }_1^2|f(x)|dx={\int }_1^2\left(x^2-1\right)e^{x}dx=\left(x^2-1\right)e^x{|}_1^2-{\int }_1^{2}2x{e}^{x}dx=\text{(2 p)}$$ $$=3e^2-0-2(x-1)e^x{|}_1^2=3e^2-2e^2={\mathbf{e}}^2\text{(3 p)}.$$

(A doua integrare prin părți: $\int 2x{e}^{x}dx=2(x-1)e^x+C$. Control numeric: $\mathcal{S}=e^2\approx 7,389$. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi, $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: se uită termenul $(x^2-1)e^x{|}_1^2$ la integrarea prin părți; sau la $x=1$ se ia $(1-1)e=e$.)

c) (5 p) Exponențiala se simplifică, iar numărătorul este derivata numitorului: $${\int }_2^a\frac{2x{e}^x}{f(x)}dx={\int }_2^a\frac{2x}{x^2-1}dx=\ln \left(x^2-1\right){|}_2^a=\ln \frac{a^2-1}{3}\text{(3 p)}.$$ Egalând cu $3\ln 2=\ln 8$: $$\ln \frac{a^2-1}{3}=3\ln 2⟺a^2-25=0\text{și, cum }a\text{ este numa˘r real, }a>2,\text{ obținem }\mathbf{a}=5\text{(2 p)}.$$

(Pe $[2,a]$, $x^2-1>0$, deci logaritmul se scrie fără modul. Din $\frac{a^2-1}{3}=8$: $a^2=25$, iar $a=-5$ nu verifică $a>2$. Unde se greșește de obicei: se ia $3\ln 2=\ln 6$; sau se păstrează și $a=-5$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea august-septembrie 2019 a examenului național de bacalaureat — Varianta 7, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2019:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: suma primilor trei termeni — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: intersecția graficului cu axa $Ox$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: factor comun $5^x$ — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: câte elemente ale unei mulțimi verifică o ecuație de gradul al doilea — clasele a IX-a și a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: suma a doi vectori ca dublul medianei, în triunghiul echilateral — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formulele de reducere și ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, produsul $A(a)A(b)$ și o ecuație în numere naturale — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: forma „produs de paranteze", o inecuație și un calcul lung scurtat de elementul absorbant $1$ — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, tangenta paralelă cu $Ox$, numărul soluțiilor ecuației $e^x=x^e$ din monotonie — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: o integrală în care exponențiala se simplifică, o arie prin părți și o integrală de forma $\frac{u^{\prime }}{u}$ cu parametru — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie 2019. Subiectul I are șase cerințe directe; cea cu mai multă geometrie este cerința 5, unde $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ este de două ori mediana $\overrightarrow{AM}$ a triunghiului echilateral. Subiectul al II-lea pune o matrice $A(a)$ la care produsul $A(a)A(b)$ este tot de forma $A(\dots )$, cu o ecuație care, în numere naturale, devine $(m+1)(n+1)=3$; apoi o lege de compoziție $x\circ y=2(x-1)(y-1)+1$, la care $1$ este element absorbant — calculul cu $2019$ de termeni se termină imediat, pentru că $1^n=1$ este primul factor. Subiectul al III-lea cere derivata lui $x-\ln x^e$, tangenta orizontală în $x=e$ și demonstrația că ecuația $e^x=x^e$ are exact o soluție, citită din minimul funcției; la integrale, o arie cu integrare prin părți și o integrală cu parametru care duce la $a=5$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, $2\sqrt{3}$, $e$, $e^2$ și un interval.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la ecuația în numere naturale, perechile cu numere negative păstrate; la calculul lung cu legea, rezultatul scris fără să se arate că $1$ este element absorbant; unicitatea soluției ecuației $e^x=x^e$ afirmată fără monotonia strictă pe cele două intervale; aria scrisă fără modul și fără semnul funcției pe $[1,2]$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: $a_n=a_1+(n-1)r$. Ecuații exponențiale: $a^{x+1}=a^x\cdot a$; $a^x=1\iff x=0$. Probabilitate: $p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$. Vectori: dacă $M$ este mijlocul lui $[BC]$, atunci $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$; înălțimea triunghiului echilateral de latură $\ell$ este $\frac{\ell \sqrt{3}}{2}$. Reducere: $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$, $\sin (x+\pi )=-\sin x$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; două matrice sunt egale exact când au elementele corespunzătoare egale.
• Legi de compoziție: dacă $x\circ y=k(x-c)(y-c)+c$, atunci $c\circ x=x\circ c=c$ ($c$ este element absorbant).
• Derivate: $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, $\ln x^e=e\ln x$ pentru $x>0$; tangenta în punctul de abscisă $a$ este paralelă cu $Ox$ exact când $f^{\prime }(a)=0$; o funcție strict monotonă pe un interval se anulează cel mult o dată pe el.
• Integrale: ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }g$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+C$; aria este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere și semne în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=x^2-10x+9$ de la cerința $2$, $f(x)=x-\ln x^e$ de la cerința $9$ și $f(x)=(x-1)(x+1)e^x$ de la cerința $10$. Litera $A$ este mulțimea de la cerința $4$, vârful triunghiului de la cerința $5$ și matricea $A(a)$ de la cerința $7$. Litera $a$ este parametrul matricei $A(a)$ la cerința $7$, abscisa punctului de tangență în baremul cerinței $9$, subpunctul b), și numărul real $a>2$ la cerința $10$, subpunctul c); rândurile de barem se redau cu litera oficială. Fiecare problemă se citește separat.
• La cerința $8$, semnul „$\circ$" este legea de compoziție din enunț, nu compunerea funcțiilor; așa îl tipărește subiectul oficial. În $1^n\circ 2^n\circ \dots \circ 2019^n$, $k^n$ este puterea obișnuită a numărului $k$, iar legea, fiind asociativă, permite gruparea factorilor oricum.
• La cerința $9$, $\ln x^e$ înseamnă $\ln \left(x^e\right)=e\ln x$ (exponentul $e$ stă pe $x$, nu pe logaritm), așa cum folosește și baremul. La cerința $10$, subpunctul b), baremul notează aria cu $\mathcal{A}$; la noi, $\mathcal{S}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".