Bac M2 2019, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2019 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $b_3$ al progresiei geometrice $(b_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $b_1=1$ și rația $q=5$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-x+1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=4x-5$. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficelor celor două funcții.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x}+x=4$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\left\{\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\dots ,\sqrt{49}\right\}$, acesta să fie număr natural.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,3)$, $B(-3,0)$ și $C(-3,6)$. Determinați ecuația medianei din $A$ a triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin x(3\sin x-\cos x)+\cos x(\sin x+3\cos x)=3$, pentru orice număr real $x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 4\\ -4& a\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(-1))=17$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(2019-a)+A(2019+a)=2A(2019)$, pentru orice număr real $a$.

c) (5 puncte) Determinați perechile de numere reale $x$ și $y$, pentru care $A(x)A(y)=2A(-8)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $G=(-2,2)$ se definește legea de compoziție $x\ast y=\frac{4x+4y}{4+xy}$.

a) (5 puncte) Arătați că $0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".

b) (5 puncte) Determinați $x\in G$, pentru care $x\ast x=\frac{8}{5}$.

c) (5 puncte) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to G$, $f(x)=\frac{2(x-1)}{x+1}$. Demonstrați că $f(xy)=f(x)\ast f(y)$, pentru orice $x,y\in (0,+\infty )$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=1-2x+2\ln (x+1)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{-2x}{x+1}$, $x\in (-1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\ln (1+\cos x)\le \cos x$, pentru orice $x\in (0,\pi )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+3}{e^x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^{1}f(x)e^{x}dx=6$.

b) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este crescătoare pe intervalul $[-3,+\infty )$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural nenul $n$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=n$ are aria egală cu $4-6e^{-n}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2019; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. La cerința 4, baremul are trei rânduri punctate ($2+2+1$); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie geometrică.

Termenul general al progresiei geometrice este $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$, deci $$b_3=b_1\cdot q^2=\text{(3 p)}$$ $$=1\cdot 5^2=25\text{(2 p)}.$$

(Control: termenii sunt $1$, $5$, $25$. Unde se greșește de obicei: se folosește formula progresiei aritmetice, $b_3=b_1+2q=11$; sau se scrie $b_3=b_1\cdot q^3=125$, cu exponentul $n$ în loc de $n-1$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, intersecția a două grafice.

Abscisele punctelor comune sunt soluțiile ecuației $f(x)=g(x)$: $$f(x)=g(x)⟺x^2-x+1=4x-5⟺x^2-5x+6=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația de gradul al doilea are rădăcinile $$\mathbf{x}=2,\mathbf{x}=3\text{(3 p)}.$$

(Control: $f(2)=3=g(2)$ și $f(3)=7=g(3)$; punctele de intersecție sunt $(2,3)$ și $(3,7)$. Unde se greșește de obicei: la trecerea lui $4x-5$ în membrul stâng nu se schimbă semnele, și iese $x^2+3x-4=0$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Se izolează radicalul și se ridică la pătrat: $$\sqrt{2x}=4-x⟹2x=16-8x+x^2⟹x^2-10x+16=0\text{(3 p)}.$$ Rădăcinile sunt $2$ și $8$; se verifică fiecare în ecuația inițială: $$\mathbf{x}=2\text{, care convine, }x=8\text{, care nu convine}\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $\sqrt{4}+2=4$; pentru $x=8$, $\sqrt{16}+8=12\ne 4$ — soluție străină, apărută la ridicarea la pătrat, pentru că $4-8<0$. Unde se greșește de obicei: se păstrează ambele soluții; sau se ridică la pătrat fără să se izoleze radicalul, $2x+x^2=16$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea $A$ are $49$ de elemente, deci sunt $$49\text{ de cazuri posibile}\text{(2 p)}.$$ Numărul $\sqrt{k}$ este natural exact când $k$ este pătrat perfect: $k\in \{1,4,9,16,25,36,49\}$. În mulțimea $A$ sunt $$7\text{ numere naturale, deci }7\text{ cazuri favorabile}\text{(2 p)}.$$ Probabilitatea este $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{7}{49}=\frac{1}{7}\text{(1 p)}.$$

(Numerele naturale din $A$ sunt $\sqrt{1}=1$, $\sqrt{4}=2$, …, $\sqrt{49}=7$. Unde se greșește de obicei: se consideră toate elementele mulțimii ca fiind naturale, pentru că sub radical stau numere naturale, și iese probabilitatea $1$; sau se uită $\sqrt{1}=1$ și iese $\frac{6}{49}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, mediana unui triunghi.

Mediana din $A$ trece prin mijlocul laturii opuse, $[BC]$: $$\text{punctul }M(-3,3)\text{ este mijlocul laturii }BC\text{(2 p)}.$$ Punctele $A(2,3)$ și $M(-3,3)$ au aceeași ordonată, deci dreapta $AM$ este orizontală: $$\text{ecuația medianei din }A\text{ este }\mathbf{y}=3\text{(3 p)}.$$

(Coordonatele mijlocului: $x_M=\frac{-3+(-3)}{2}=-3$, $y_M=\frac{0+6}{2}=3$. Alt drum: $AB=AC=\sqrt{34}$, deci triunghiul este isoscel și mediana din $A$ coincide cu înălțimea din $A$, perpendiculara pe dreapta $BC$ ($x=-3$), adică tot $y=3$ — corect, dacă isoscelitatea este justificată. Unde se greșește de obicei: se scrie ecuația dreptei $BC$, $x=-3$; sau se uită împărțirea la $2$ la ordonata mijlocului, $M(-3,6)$, și iese dreapta $AC$, $3x+5y-21=0$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, o identitate.

Se desfac parantezele: $$\sin x(3\sin x-\cos x)+\cos x(\sin x+3\cos x)=3{\sin }^{2}x-\sin x\cos x+\cos x\sin x+3{\cos }^{2}x=\text{(2 p)}$$ Termenii din mijloc se reduc, iar restul se grupează: $$=3\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)=3,\text{pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$

(Control pentru $x=\frac{\pi }{4}$: $\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)=1+2=3$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sin x\cdot \cos x$ și $\cos x\cdot \sin x$ cu același semn și nu se mai reduc.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu un parametru.

a) (5 p) Pentru $a=-1$: $$A(-1)=\left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ -4& -1\end{array}\right)⟹\det (A(-1))=\left|\begin{array}{cc}-1& 4\\ -4& -1\end{array}\right|=(-1)\cdot (-1)-(-4)\cdot 4=\text{(3 p)}$$ $$=1+16=17\text{(2 p)}.$$

(În general, $\det (A(a))=a^2+16$, care pentru $a=-1$ dă $17$. Unde se greșește de obicei: se scrie produsul diagonalei secundare cu semnul greșit, $1-16=-15$.)

b) (5 p) Se adună matricele element cu element: $$A(2019-a)+A(2019+a)=\left(\begin{array}{cc}2019-a& 4\\ -4& 2019-a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2019+a& 4\\ -4& 2019+a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4038& 8\\ -8& 4038\end{array}\right)=\text{(3 p)}$$ $$=2\left(\begin{array}{cc}2019& 4\\ -4& 2019\end{array}\right)=2A(2019),\text{pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$

(Se dă factor comun $2$ din toate elementele, inclusiv din $8$ și $-8$. Unde se greșește de obicei: se adună doar elementele care conțin $a$ și se lasă $4$ și $-4$ neschimbate.)

c) (5 p) Se calculează ambii membri: $$A(x)A(y)=\left(\begin{array}{cc}x& 4\\ -4& x\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}y& 4\\ -4& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}xy-16& 4x+4y\\ -4x-4y& xy-16\end{array}\right),2A(-8)=\left(\begin{array}{cc}-16& 8\\ -8& -16\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalând elementele: $xy-16=-16$ și $4x+4y=8$, adică $$xy=0\text{ și }x+y=2,\text{deci }\mathbf{x}=0,\mathbf{y}=2\text{ sau }\mathbf{x}=2,\mathbf{y}=0\text{(2 p)}.$$

(Din $xy=0$, unul dintre numere este $0$, iar celălalt este atunci $2$. Control: $A(0)A(2)=\left(\begin{array}{cc}-16& 8\\ -8& -16\end{array}\right)$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $2$ din $2A(-8)$ și se ajunge la $x+y=1$; sau se păstrează o singură pereche.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție pe $(-2,2)$.

a) (5 p) Se verifică pe ambele părți; $0\in G$: $$x\ast 0=\frac{4x+4\cdot 0}{4+x\cdot 0}=\frac{4x}{4}=x,\text{pentru orice }x\in G\text{(2 p)},$$ $$0\ast x=\frac{4\cdot 0+4\cdot x}{4+0\cdot x}=\frac{4x}{4}=x,\text{pentru orice }x\in G\text{(3 p)},$$ deci $0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".

(Legea este comutativă, așa că a doua verificare repetă prima, dar redactarea completă le cere pe amândouă. Greșeală de redactare: se verifică $x\ast 0=x$ și se oprește acolo. Unde se greșește de obicei: se caută elementul neutru din $x\ast e=e$, care dă $e^2=4$, adică $e=\pm 2$, numere care nici nu aparțin lui $G$.)

b) (5 p) Pentru $y=x$: $$\frac{8x}{4+x^2}=\frac{8}{5}⟺40x=32+8x^2⟺x^2-5x+4=0\text{(3 p)}.$$ Rădăcinile sunt $1$ și $4$, iar $G=(-2,2)$: $$\mathbf{x}=1\text{, care convine, }x=4\text{, care nu convine}\text{(2 p)}.$$

(Control: $1\ast 1=\frac{8}{5}$. Numărul $4$ verifică ecuația algebrică, dar nu aparține lui $G$, deci nu e soluție. Unde se greșește de obicei: se păstrează și $x=4$; sau se scrie $x\ast x=\frac{8x}{4+2x}$.)

c) (5 p) Se înlocuiesc $f(x)$ și $f(y)$ în lege și se aduce la același numitor $(x+1)(y+1)$: $$f(x)\ast f(y)=\frac{4f(x)+4f(y)}{4+f(x)f(y)}=\frac{4\cdot \frac{2(x-1)}{x+1}+4\cdot \frac{2(y-1)}{y+1}}{4+\frac{4(x-1)(y-1)}{(x+1)(y+1)}}=\frac{2(xy+x-y-1+xy-x+y-1)}{xy+x+y+1+xy-x-y+1}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{4(xy-1)}{2(xy+1)}=\frac{2(xy-1)}{xy+1}=f(xy),\text{pentru orice }x,y\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Detaliul simplificării: numărătorul are factorul $8$, numitorul factorul $4$, iar raportul lor este $2$; apoi $(x-1)(y+1)+(y-1)(x+1)=2xy-2$ și $(x+1)(y+1)+(x-1)(y-1)=2xy+2$. Control pentru $x=2$, $y=3$: $f(2)=\frac{2}{3}$, $f(3)=1$, $\frac{2}{3}\ast 1=\frac{20/3}{14/3}=\frac{10}{7}=f(6)$. Unde se greșește de obicei: se înmulțește $f(x)f(y)$ uitând factorul $4$ din $2\cdot 2$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată cu logaritm, tangentă, inegalitate.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen; $(\ln (x+1){)}^{\prime }=\frac{1}{x+1}$: $$f^{\prime }(x)=-2+\frac{2}{x+1}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{-2x-2+2}{x+1}=\frac{-2x}{x+1},x\in (-1,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se derivează $1$ ca $1$ în loc de $0$; sau la aducerea la numitor comun se scrie $-2(x+1)=-2x+2$.)

b) (5 p) Valoarea și panta în $x=0$: $$f(0)=1,f^{\prime }(0)=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$, adică $$\mathbf{y}=1\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $f(0)=1-0+2\ln 1=1$. Tangenta este orizontală, pentru că $0$ este punct de extrem. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(0)=1+2=3$, cu $\ln 1=1$; sau ecuația tangentei ca $y=0$.)

c) (5 p) Semnul derivatei: pe $(-1,0]$, $-2x\ge 0$, iar pe $[0,+\infty )$, $-2x\le 0$; numitorul $x+1$ este pozitiv. Deci $0$ este punct de maxim: $$f^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in (-1,0]\Rightarrow f\text{ cresca˘toare pe }(-1,0];f^{\prime }(x)\le 0,\forall x\in [0,+\infty )\Rightarrow f\text{ descresca˘toare pe }[0,+\infty ),$$ $$\text{deci }f(x)\le f(0)\Rightarrow 1-2x+2\ln (x+1)\le 1,\text{deci }\ln (x+1)\le x,\forall x\in (-1,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Pentru $x\in (0,\pi )$, $\cos x>-1$, deci se poate pune $\cos x$ în locul lui $x$: $$\ln (1+\cos x)\le \cos x,\text{pentru orice }x\in (0,\pi )\text{(2 p)}.$$

(De ce $\cos x>-1$: pe $(0,\pi )$, $\cos x$ ia valori în $(-1,1)$; valoarea $-1$ apare doar în $x=\pi$, care nu aparține intervalului, iar atunci $\ln 0$ nu ar exista. Control pentru $x=\frac{\pi }{3}$: $\ln 1,5\approx 0,405\le 0,5$. Unde se greșește de obicei: se confundă maximul cu minimul, se scrie $f(x)\ge f(0)$ și iese $\ln (1+\cos x)\ge \cos x$ — falsă, cum arată chiar controlul de mai sus. Greșeală de redactare: se demonstrează $\ln (x+1)\le x$ și nu se spune de ce $\cos x$ aparține domeniului $(-1,+\infty )$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrală, primitive crescătoare, arie.

a) (5 p) Exponențiala se simplifică: $f(x)e^x=x+3$. $${\int }_{-1}^{1}f(x)e^{x}dx={\int }_{-1}^1(x+3)dx=\left(\frac{x^2}{2}+3x\right){|}_{-1}^1=\text{(3 p)}$$ $$=\left(\frac{1}{2}+3\right)-\left(\frac{1}{2}-3\right)=6\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se greșește semnul la capătul $-1$: $\frac{(-1{)}^2}{2}+3\cdot (-1)=\frac{1}{2}-3$, nu $-\frac{1}{2}-3$ — cu el iese $7$.)

b) (5 p) Fie $F$ o primitivă a funcției $f$: $$F\text{ este o primitiva˘ a funcției }f⟹F^{\prime }(x)=f(x)=\frac{x+3}{e^x},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Pe $[-3,+\infty )$, $x+3\ge 0$ și $e^x>0$: $$F^{\prime }(x)\ge 0,\text{pentru orice }x\in [-3,+\infty ),\text{deci funcția }F\text{ este cresca˘toare pe intervalul }[-3,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Nu e nevoie de formula primitivei: monotonia se citește din semnul derivatei, iar derivata oricărei primitive este chiar $f$. Unde se greșește de obicei: se studiază monotonia lui $f$ în loc de semnul lui $f$: $f^{\prime }(x)=-\frac{x+2}{e^x}\le 0$ pe $[-2,+\infty )$, și se trage concluzia greșită că primitivele ar fi descrescătoare acolo.)

c) (5 p) Pe $[0,n]$, $f(x)>0$, deci modulul dispare; integrăm prin părți: $$\mathcal{S}={\int }_0^n|f(x)|dx={\int }_0^n(x+3)e^{-x}dx=-(x+4)e^{-x}{|}_0^n=-(n+4)e^{-n}+4\text{(3 p)}.$$ Egalând cu aria dată: $$-(n+4)e^{-n}+4=4-6e^{-n},\text{de unde obținem }\mathbf{n}=2\text{(2 p)}.$$

(Primitiva se verifică prin derivare: $(-(x+4)e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}+(x+4)e^{-x}=(x+3)e^{-x}$. Egalitatea devine $(n+4)e^{-n}=6e^{-n}$, deci $n+4=6$. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi, $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: la integrarea prin părți se pierde semnul și primitiva iese $(x+4)e^{-x}$; sau se ia ${\int }_0^{n}f(x)e^{x}dx$, ca la subpunctul a).)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea iunie-iulie 2019 a examenului național de bacalaureat — Varianta 6, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2019:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii geometrice: un termen din primul termen și rație — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: intersecția graficului unei funcții de gradul al doilea cu o dreaptă — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: izolarea radicalului, ridicarea la pătrat, eliminarea soluției străine — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: câte dintre numerele $\sqrt{1},\sqrt{2},\dots ,\sqrt{49}$ sunt naturale — clasele a IX-a și a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și ecuația unei mediane — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: o identitate cu ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, sumă de matrice, o ecuație matriceală cu două necunoscute — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: elementul neutru, o ecuație cu legea și o funcție $f$ cu $f(xy)=f(x)\ast f(y)$ — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata cu logaritm, tangenta într-un punct de extrem, o inegalitate din maximul funcției — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: o integrală definită, monotonia primitivelor și aria unei suprafețe plane cu un parametru natural — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea iunie-iulie 2019. Subiectul I are două cerințe cu „capcană": ecuația $\sqrt{2x}+x=4$ are o soluție străină, iar la probabilitate se numără câte dintre cele $49$ de numere $\sqrt{k}$ sunt naturale — exact pătratele perfecte, șapte. Subiectul al II-lea pune o matrice de forma $\left(\begin{array}{cc}a& 4\\ -4& a\end{array}\right)$, cu o ecuație matriceală care se reduce la $xy=0$ și $x+y=2$, și o lege de compoziție pe $(-2,2)$, cu elementul neutru $0$, o ecuație care are o soluție în afara mulțimii și o verificare de tip „morfism", $f(xy)=f(x)\ast f(y)$. Subiectul al III-lea cere o derivată cu logaritm, tangenta într-un punct în care derivata se anulează și inegalitatea $\ln (1+\cos x)\le \cos x$, citită din maximul funcției; la integrale, o integrală în care exponențiala se simplifică, monotonia oricărei primitive și o arie care duce la $n=2$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple și o dreaptă orizontală.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: ecuația irațională încheiată fără verificarea soluțiilor; elementul neutru verificat doar pe o parte ($x\ast 0$, fără $0\ast x$); la ecuația $x\ast x=\frac{8}{5}$, soluția $4$ păstrată deși nu aparține lui $G$; inegalitatea de la problema a treia fără monotonia din care rezultă maximul; aria scrisă fără modul și fără semnul funcției.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii geometrice: $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u}=v⟹u=v^2$, cu verificarea soluțiilor (sau condițiile $u\ge 0$, $v\ge 0$). Probabilitate: $p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$. Mediana din $A$ trece prin $A$ și prin mijlocul laturii $[BC]$. Trigonometrie: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; două matrice sunt egale exact când au elementele corespunzătoare egale.
• Legi de compoziție: $e$ este element neutru dacă $x\ast e=e\ast x=x$, oricare ar fi $x$ din mulțime; soluțiile unei ecuații cu legea trebuie să aparțină mulțimii pe care e definită legea.
• Derivate: $(\ln (x+1){)}^{\prime }=\frac{1}{x+1}$; tangenta în punctul de abscisă $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; dacă $f$ are maxim în $x_0$, atunci $f(x)\le f(x_0)$ pentru orice $x$ din domeniu.
• Integrale: o primitivă $F$ a lui $f$ are $F^{\prime }=f$; aria suprafeței dintre graficul lui $f$, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$ este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$; integrarea prin părți, $\int f{g}^{\prime }=fg-\int f^{\prime }g$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=x^2-x+1$ de la cerința $2$, funcția $f:(0,+\infty )\to G$, $f(x)=\frac{2(x-1)}{x+1}$ de la cerința $8$, subpunctul c), funcția $f(x)=1-2x+2\ln (x+1)$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=\frac{x+3}{e^x}$ de la cerința $10$. Litera $A$ este mulțimea de la cerința $4$, punctul de la cerința $5$ și matricea $A(a)$ de la cerința $7$. Litera $n$ este indicele progresiei $(b_n{)}_{n\ge 1}$ de la cerința $1$ și numărul natural nenul căutat la cerința $10$, subpunctul c); litera $e$ este, în formulele despre legi de compoziție, un element neutru oarecare, iar la cerința $10$ baza logaritmului natural, $e\approx 2,718$. Fiecare problemă se citește separat.
• La cerința $8$, „$\ast$" este legea de compoziție din enunț, nu înmulțirea obișnuită, iar $G=(-2,2)$ este intervalul deschis dintre $-2$ și $2$, nu perechea de numere $(-2,2)$.
• La cerința $10$, subpunctul c), baremul oficial notează aria cu $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria este $\mathcal{S}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".