Bac M2 2019, modelul oficial — rezolvat

Toate probele M2 din 2019 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $a={\left(\frac{1}{1-i}-\frac{1}{1+i}\right)}^2$ este întreg, unde $i^2=-1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați cel mai mare număr natural $m$ pentru care soluțiile ecuației $x^2-7x+m=0$ sunt numere reale.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^x+3^{x+1}+3^{x+2}=117$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact $36$ de submulțimi cu două elemente.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,1)$, $B(3,-3)$ și $C(3,0)$. Determinați ecuația medianei din $C$ a triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Determinați $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ pentru care $\cos x\sin (\pi -x)-\sin x\cos (\pi +x)=1$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}2& a& 1\\ 3& 2a-1& 1\\ a-3& a& 1\end{array}\right)$ și sistemul de ecuații $\{\begin{array}{l}2x+ay+z=1\\ 3x+(2a-1)y+z=1\\ (a-3)x+ay+z=2a-1\end{array}$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=-5$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det (A(a))=0$.

c) (5 puncte) Pentru $a=1$, determinați soluțiile $(x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului pentru care $x_0^2=y_0{z}_0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=5xy-5(x+y)+6$.

a) (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=5(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $x\ast x\ast x<26$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural nenul $n$ pentru care $\frac{1}{n^2}\ast \frac{1}{(n+1{)}^2}\ast \frac{1}{(n+2{)}^2}=-19$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x-\frac{2(x-1)}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x-2}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $f$ în care tangenta la graficul funcției $f$ este perpendiculară pe dreapta de ecuație $y=x$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f\left(\frac{\pi }{2}\right)<0$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{3}f(x)dx=12$.

b) (5 puncte) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{x}{f(x)}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că există un unic număr real $x$ pentru care ${\int }_0^x{e}^{f(t)}dt=x$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul pentru 2019; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Se aduc fracțiile la numitorul comun $(1-i)(1+i)=1^2-i^2$: $$\frac{1}{1-i}-\frac{1}{1+i}=\frac{(1+i)-(1-i)}{1^2-i^2}=\frac{2i}{2}=i\text{(3 p)},$$ deci $$a=i^2=-1,\text{ care este numa˘r ıˆntreg}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează $1^2-i^2=1-1=0$, uitând că $i^2=-1$; numitorul comun este $1+1=2$.)

Exercițiul 2. (5 p) — ecuația de gradul al doilea, condiția de rădăcini reale.

Discriminantul ecuației este $$\Delta =49-4m\text{(2 p)}.$$ Rădăcinile sunt reale exact când $\Delta \ge 0$: $$\Delta \ge 0⟺m\in \left(-\infty ,\frac{49}{4}\right],\text{ deci cel mai mare numa˘r natural }m\text{ pentru care soluțiile ecuației sunt numere reale este }12\text{(3 p)}.$$

(Control: $\frac{49}{4}=12,25$; pentru $m=12$, $\Delta =1>0$, iar pentru $m=13$, $\Delta =-3<0$. Unde se greșește de obicei: se răspunde $\frac{49}{4}$, care nu este număr natural, sau se rotunjește în sus la $13$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se scoate factor comun $3^x$, pentru că $3^{x+1}=3\cdot 3^x$ și $3^{x+2}=3^2\cdot 3^x$: $$3^x\left(1+3+3^2\right)=117⟺3^x=9\text{(3 p)},$$ deci $$\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$

(Control: $9+27+81=117$. Unde se greșește de obicei: se scrie $3^{x+1}+3^{x+2}=3^{2x+3}$, adunând exponenții ca la înmulțire.)

Exercițiul 4. (5 p) — submulțimi cu două elemente.

Numărul submulțimilor cu două elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente este $C_n^2$: $$C_n^2=36,\text{ unde }n\text{ este numa˘rul de elemente ale mulțimii}\text{(3 p)}.$$ Atunci $$\frac{n(n-1)}{2}=36,\text{ deci }\mathbf{n}=9\text{(2 p)}.$$

(Ecuația $n^2-n-72=0$ are rădăcinile $9$ și $-8$; numai $9$ este număr natural. Control: $C_9^2=\frac{9\cdot 8}{2}=36$. Unde se greșește de obicei: se folosește $A_n^2=n(n-1)$, care numără perechile ordonate, și iese o ecuație fără soluție naturală.)

Exercițiul 5. (5 p) — ecuația medianei.

Mediana din $C$ trece prin $C$ și prin mijlocul laturii opuse, $(AB)$: $$\text{mijlocul segmentului }AB\text{ este punctul }M(1,-1)\text{(2 p)}.$$ Panta dreptei $CM$ este $\frac{0-(-1)}{3-1}=\frac{1}{2}$, deci $$\text{ecuația medianei din }C\text{ este }y+1=\frac{1}{2}(x-1),\text{ deci }\mathbf{y}=\frac{1}{2}\mathbf{x}-\frac{3}{2}\text{(3 p)}.$$

(Control: $C(3,0)$ verifică, $\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=0$, iar $M(1,-1)$ verifică, $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-1$. Unde se greșește de obicei: se scrie ecuația dreptei $AB$ sau a medianei din $A$, în loc de cea din $C$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Cu $\sin (\pi -x)=\sin x$ și $\cos (\pi +x)=-\cos x$, ecuația devine $$\cos x\sin x+\sin x\cos x=1⟺\sin 2x=1\text{(3 p)}.$$ Pentru $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, $2x\in (0,\pi )$, iar singurul unghi din $(0,\pi )$ cu sinusul $1$ este $\frac{\pi }{2}$: $$\text{cum }x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right),\text{ obținem }\mathbf{x}=\frac{\pi }{4}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $\cos (\pi +x)=\cos x$, iar ecuația devine $0=1$; sau se rezolvă $\sin 2x=1$ ca $2x=\frac{\pi }{4}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice cu parametru și sistem.

a) (5 p) Pentru $a=0$: $$A(0)=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 3& -1& 1\\ -3& 0& 1\end{array}\right)⟹\det (A(0))=\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 3& -1& 1\\ -3& 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)},$$ iar cu regula lui Sarrus $$\det (A(0))=-2+0+0-3-0-0=-5\text{(3 p)}.$$

(Termenii, în ordine: $2\cdot (-1)\cdot 1=-2$, $0\cdot 1\cdot (-3)=0$, $1\cdot 3\cdot 0=0$; scăzuți: $1\cdot (-1)\cdot (-3)=3$, $2\cdot 1\cdot 0=0$, $0\cdot 3\cdot 1=0$. Unde se greșește de obicei: se scrie $a-3=3$ pentru $a=0$, fără minus.)

b) (5 p) Determinantul, ca funcție de $a$: $$\det (A(a))=\left|\begin{array}{ccc}2& a& 1\\ 3& 2a-1& 1\\ a-3& a& 1\end{array}\right|=-a^2+6a-5,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$ Ecuația $-a^2+6a-5=0$, adică $a^2-6a+5=0$, are soluțiile $$\mathbf{a}=1\text{ sau }\mathbf{a}=5\text{(2 p)}.$$

(Controlul formulei: pentru $a=0$ ea dă $-5$, ca la a). Unde se greșește de obicei: la termenul $a\cdot 1\cdot (a-3)$ se uită paranteza și apare $a^2-3$ în loc de $a^2-3a$.)

c) (5 p) Pentru $a=1$ determinantul este $0$, iar sistemul este $$\{\begin{array}{l}2x+y+z=1\\ 3x+y+z=1\\ -2x+y+z=1\end{array}\text{ și, sca˘zaˆnd primele doua˘ ecuații, obținem }{x}_0=0,\text{ deci }{y}_0+z_0=1\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț: $$x_0^2=y_0{z}_0⟹y_0{z}_0=0,\text{ deci soluțiile sunt }(0,1,0)\text{ sau }(0,0,1),\text{ care convin}\text{(2 p)}.$$

(Sistemul are o infinitate de soluții, $(0,1-z,z)$ cu $z$ real; dintre ele, condiția $y_0{z}_0=0$ păstrează doar două: fie $y_0=0$, fie $z_0=0$. Verificare în a treia ecuație: $0+1+0=1$ și $0+0+1=1$. Unde se greșește de obicei: din $y_0{z}_0=0$ se reține doar $y_0=0$ și se pierde soluția $(0,1,0)$; o altă capcană este regula lui Cramer, care nu se poate aplica, pentru că determinantul este $0$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Se scrie $6=5+1$: $$x\ast y=5xy-5x-5y+5+1\text{(3 p)},$$ apoi se grupează: $$5x(y-1)-5(y-1)+1=5(x-1)(y-1)+1,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scoate $5$ factor comun și din $6$, obținând $5(x-1)(y-1)+6$.)

b) (5 p) Aplicând forma de la a) de două ori: $$x\ast x=5(x-1{)}^2+1,x\ast x\ast x=25(x-1{)}^3+1\text{(2 p)}.$$ Inecuația devine $25(x-1{)}^3+1<26$, adică $$(x-1{)}^3<1⟺\mathbf{x}\in (-\infty ,2)\text{(3 p)}.$$

(Funcția $t\mapsto t^3$ este strict crescătoare, deci $(x-1{)}^3<1^3⟺x-1<1$. Justificarea formulei: $(x\ast x)\ast x=5(5(x-1{)}^2+1-1)(x-1)+1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x\ast x\ast x=5(x-1{)}^3+1$, cu factorul $5$ în loc de $25$.)

c) (5 p) Cu formula pentru trei termeni, $x\ast y\ast z=25(x-1)(y-1)(z-1)+1$, și cu $\frac{1}{k^2}-1=\left(\frac{1}{k}-1\right)\left(\frac{1}{k}+1\right)$: $$25\left(\frac{1}{n}-1\right)\left(\frac{1}{n}+1\right)\left(\frac{1}{n+1}-1\right)\left(\frac{1}{n+1}+1\right)\left(\frac{1}{n+2}-1\right)\left(\frac{1}{n+2}+1\right)+1=-19⟺\frac{(1-n)(n+3)}{n(n+2)}=-\frac{4}{5}\text{(3 p)}.$$ Aducând la aceeași formă, $5(1-n)(n+3)=-4n(n+2)$, adică $n^2+2n-15=0$, cu rădăcinile $3$ și $-5$: $$\text{cum }n\text{ este numa˘r natural nenul, obținem }\mathbf{n}=3\text{(2 p)}.$$

(De ce se simplifică produsul: $\frac{1}{n}+1=\frac{n+1}{n}$ se simplifică cu $\frac{1}{n+1}-1=\frac{-n}{n+1}$, iar $\frac{1}{n+1}+1=\frac{n+2}{n+1}$ cu $\frac{1}{n+2}-1=\frac{-(n+1)}{n+2}$; rămân doar capetele, $\frac{1-n}{n}$ și $\frac{n+3}{n+2}$. Control pentru $n=3$: $\frac{(-2)\cdot 6}{3\cdot 5}=-\frac{12}{15}=-\frac{4}{5}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{1}{k^2}-1={\left(\frac{1}{k}-1\right)}^2$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, semnul unei valori.

a) (5 p) Se derivează fiecare termen, fracția cu regula câtului: $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{2x-2(x-1)}{x^2}\text{(3 p)},$$ $$f^{\prime }(x)=\frac{x-2x+2x-2}{x^2}=\frac{x-2}{x^2},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Mai simplu: $\frac{2(x-1)}{x}=2-\frac{2}{x}$, a cărui derivată este $\frac{2}{x^2}$; atunci $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}=\frac{x-2}{x^2}$. Unde se greșește de obicei: se derivează fracția ca $\frac{2}{1}=2$, derivând separat numărătorul și numitorul.)

b) (5 p) Dreapta $y=x$ are panta $1$, deci tangenta perpendiculară pe ea are panta $-1$: $$\text{tangenta la graficul funcției }f\text{ ıˆn punctul }(a,f(a))\text{ este perpendiculara˘ pe dreapta de ecuație }y=x⟺f^{\prime }(a)=-1\text{(3 p)}.$$ Atunci $$\frac{a-2}{a^2}=-1⟺a^2+a-2=0⟺a=-2,\text{ care nu convine, sau }\mathbf{a}=1,\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$

($a=-2$ nu este în domeniul $(0,+\infty )$. Unde se greșește de obicei: se cere $f^{\prime }(a)=1$ — aceasta ar fi tangenta PARALELĂ cu $y=x$.)

c) (5 p) Pe $(0,2)$, $x-2<0$ și $x^2>0$: $$f^{\prime }(x)<0,\text{ pentru orice }x\in (0,2)⟹f\text{ este strict descresca˘toare pe }(0,2)\text{(2 p)}.$$ Cum $\frac{\pi }{2}\approx 1,57$ se află între $1$ și $2$: $$0<1<\frac{\pi }{2}<2⟹f\left(\frac{\pi }{2}\right)<f(1)\text{ și, cum }f(1)=0,\text{ obținem }f\left(\frac{\pi }{2}\right)<0\text{(3 p)}.$$

(Ideea: se caută un punct din același interval de monotonie în care valoarea funcției se știe exact — aici $f(1)=\ln 1-0=0$. Control numeric: $f\left(\frac{\pi }{2}\right)\approx -0,275$. Unde se greșește de obicei: se citește invers semnul derivatei, „$f$ crescătoare pe $(0,2)$", și se scrie $f\left(\frac{\pi }{2}\right)>f(1)=0$ — exact contrariul a ceea ce se cere.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrală, arie, funcție definită printr-o integrală.

a) (5 p) Cu primitiva $\frac{x^3}{3}+x$: $${\int }_0^{3}f(x)dx={\int }_0^3\left(x^2+1\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right){|}_0^3\text{(3 p)},$$ $$\frac{27}{3}+3-0=12\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită primitiva lui $1$, adică $x$, și iese $9$.)

b) (5 p) Pe $[0,1]$, $g(x)=\frac{x}{x^2+1}\ge 0$, deci modulul dispare; numărătorul este jumătate din derivata numitorului: $$g(x)=\frac{x}{x^2+1}⟹\mathcal{S}={\int }_0^1|g(x)|dx={\int }_0^1\frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+1\right){|}_0^1\text{(3 p)},$$ $$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\ln 1=\frac{1}{2}\ln 2\text{(2 p)}.$$

(Control: ${\left(\frac{1}{2}\ln \left(x^2+1\right)\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{x^2+1}=\frac{x}{x^2+1}$; numeric, $\frac{1}{2}\ln 2\approx 0,3466$. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: se ia primitiva $\ln \left(x^2+1\right)$, fără factorul $\frac{1}{2}$, și iese $\ln 2$.)

c) (5 p) Se mută totul într-un membru și se studiază funcția care rezultă: $$\text{funcția }h:\mathbb{R}\to \mathbb{R},h(x)={\int }_0^x{e}^{f(t)}dt-x\text{ este derivabila˘ și }{h}^{\prime }(x)=e^{x^2+1}-1\text{(2 p)}.$$ Cum $x^2+1\ge 1$, $e^{x^2+1}\ge e>1$: $$h^{\prime }(x)>0\text{ pentru orice numa˘r real }x,\text{ deci }h\text{ este strict cresca˘toare pe }\mathbb{R}⟹h\text{ este injectiva˘ și, cum }h(0)=0,\text{ exista˘ un unic numa˘r real }x\text{ pentru care }{\int }_0^x{e}^{f(t)}dt=x\text{(3 p)}.$$

(Numărul căutat este $x=0$: existența vine din $h(0)=0$, unicitatea din injectivitate. Derivabilitatea lui $h$ vine din continuitatea lui $t\mapsto e^{t^2+1}$: o integrală cu limita de sus variabilă are ca derivată integrandul. Unde se greșește de obicei: se derivează integrala ca pe o funcție compusă, $h^{\prime }(x)=2x{e}^{x^2+1}-1$; această expresie este negativă pentru $x\le 0$, iar argumentul de monotonie nu mai merge. Nici căutarea unei primitive pentru $e^{t^2+1}$ nu duce nicăieri: nu există una exprimabilă prin funcții elementare, iar problema nici nu o cere.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_șt-nat, publicat înaintea sesiunilor din 2019 ca reper al structurii și al nivelului de dificultate. Un model nu se dă în ziua examenului: el este documentul prin care ministerul arată cum va arăta proba — de aceea nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2"). Pe model, fiecare subiect are în titlu și precizarea „Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete".

Structura probei, așa cum o anunță modelul din 2019:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: diferența a două fracții cu numitori conjugați, $i^2=-1$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Ecuația de gradul al doilea: condiția $\Delta \ge 0$ pentru rădăcini reale — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: factor comun $3^x$ — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărul submulțimilor cu două elemente, $C_n^2$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și ecuația medianei — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formule de reducere, $\sin 2x=2\sin x\cos x$, o ecuație pe un interval — clasa a IX-a și a X-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme liniare: determinant de ordinul al treilea cu parametru, un sistem nedeterminat cu o condiție suplimentară — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: forma „descompusă" a legii, o inecuație cu legea, o ecuație cu trei „factori" — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, tangenta perpendiculară pe o dreaptă, monotonia folosită la stabilirea semnului — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale: integrală definită, aria unei suprafețe plane, o funcție definită printr-o integrală și injectivitatea ei — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2019. Modelul acoperă toată programa de examen cu cerințe de dificultate obișnuită, dar fiecare problemă are la subpunctul c) câte un „prag": la sistem, soluțiile nu se găsesc din determinant (sistemul are o infinitate de soluții), ci dintr-o condiție în plus, $x_0^2=y_0{z}_0$; la legea de compoziție, un calcul cu trei fracții care se simplifică spectaculos, pentru că fiecare $\frac{1}{k^2}-1$ se desface ca diferență de pătrate; la funcția logaritmică, semnul lui $f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ se obține fără calcul numeric, din monotonie; iar la integrale, o funcție definită printr-o integrală cu limita de sus variabilă, studiată cu derivata. Subiectul I are și un exercițiu cu submulțimi ($C_n^2=36$) și unul cu mediana unui triunghi.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, un interval, $\frac{\pi }{4}$, două triplete și $\frac{1}{2}\ln 2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 2, răspunsul $\frac{49}{4}$ în loc de cel mai mare număr NATURAL; la cerința 9, subpunctul b), soluția $a=-2$ păstrată deși nu este în domeniu; la cerința 9, subpunctul c), o aproximare numerică a lui $f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ în loc de argumentul prin monotonie; la cerința 10, subpunctul c), existența soluției arătată fără unicitate (sau invers).
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $(1-i)(1+i)=1-i^2=2$. Rădăcini reale: $\Delta =b^2-4ac\ge 0$. Submulțimi: o mulțime cu $n$ elemente are $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$ submulțimi cu două elemente. Mediana din $C$ trece prin $C$ și prin mijlocul laturii opuse, $(AB)$. Reducere: $\sin (\pi -x)=\sin x$, $\cos (\pi +x)=-\cos x$; $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
• Matrice și sisteme: un sistem cu determinantul nul poate avea o infinitate de soluții; o condiție suplimentară le poate alege pe cele cerute.
• Legi de compoziție: dacă $x\ast y=5(x-1)(y-1)+1$, atunci $x\ast y\ast z=25(x-1)(y-1)(z-1)+1$; $\frac{1}{k^2}-1=\left(\frac{1}{k}-1\right)\left(\frac{1}{k}+1\right)$.
• Derivate: două drepte (neverticale) sunt perpendiculare dacă produsul pantelor este $-1$; pe un interval unde $f$ este strict descrescătoare, argumentul mai mare dă valoarea mai mică.
• Integrale: $\int \frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+1\right)+\mathcal{C}$; dacă $h(x)={\int }_0^{x}u(t)dt$ cu $u$ continuă, atunci $h^{\prime }(x)=u(x)$; o funcție strict monotonă este injectivă.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $a$ este numărul complex de la cerința $1$ și parametrul real al matricei $A(a)$ de la cerința $7$; la cerința $9$, subpunctul b), baremul folosește tot $a$ pentru abscisa punctului de tangență. Litera $f$ este funcția logaritmică de la cerința $9$ și funcția $f(x)=x^2+1$ de la cerința $10$. Litera $A$ este un punct la cerința $5$ și matricea $A(a)$ la cerința $7$ (aria de la cerința $10$ o notăm $\mathcal{S}$). Litera $C$ este un punct la cerința $5$, iar la cerința $4$ intră în notația $C_n^2$ a combinărilor. Litera $n$ este, în baremul cerinței $4$, numărul de elemente ale mulțimii, iar la cerința $8$ numărul natural nenul căutat. Fiecare problemă se citește separat.
• Semnul $\ast$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită în enunț; $x\ast x\ast x$ și $\frac{1}{n^2}\ast \frac{1}{(n+1{)}^2}\ast \frac{1}{(n+2{)}^2}$ au sens fără paranteze pentru că legea este asociativă.
• La cerința $10$, subpunctul c), $e^{f(t)}$ înseamnă $e$ la puterea $f(t)=t^2+1$, iar $t$ este variabila de integrare; necunoscuta ecuației este $x$, limita de sus a integralei.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".