Bac M2 2019, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2019 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați numărul complex $z$, știind că $3z+2\overline{z}=5+2i$, unde $\overline{z}$ este conjugatul lui $z$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care $(f\circ f\circ f)(x)=x+3$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3(2x+3)-{\log }_{3}x=1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să se dividă cu $10$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care vectorii $\vec{u}=(a+1)\vec{i}+(5a-1)\vec{j}$ și $\vec{v}=\vec{i}+3\vec{j}$ sunt coliniari.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați aria triunghiului $ABC$, știind că $AB=6$, $AC=10$ și $\cos A=\frac{3}{5}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $M(x)=\left(\begin{array}{ccc}x+1& 0& x+2\\ 0& x& 0\\ 3-x& 0& 4-x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Calculați $\det (M(-1))$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $M(x)+M(y)=M(0)+M(x+y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați perechile de numere naturale $m$ și $n$, știind că suma elementelor matricei $M(m)\cdot M(1)$ este egală cu suma elementelor matricei $M(1)\cdot M(n)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=4x+4y-4xy-3$.

a) (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=1-4(x-1)(y-1)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\ast \frac{1}{x}\ge 1$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast x\ast x\ast x=x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=5\ln x-x^2-3x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(1-x)(2x+5)}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este concavă pe $(0,+\infty )$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $5\ln x\le x^2+3x-4$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2+4x+5\right)e^x$.

a) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1\left(f(x)-x^2{e}^x-5e^x\right)dx$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\frac{e^2-1}{e^3}\le {\int }_{-3}^{-1}f(x)dx\le \frac{2\left(e^2-1\right)}{e^3}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării naționale din 2019; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe, conjugatul.

Cu $z=a+ib$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale, conjugatul este $\overline{z}=a-ib$: $$3(a+ib)+2(a-ib)=5+2i⟺5a+ib=5+2i\text{(3 p)}.$$ Egalând părțile reale și părțile imaginare: $$a=1\text{ și }b=2,\text{ deci }\mathbf{z}=1+2i\text{(2 p)}.$$

(Control: $3(1+2i)+2(1-2i)=3+6i+2-4i=5+2i$. Unde se greșește de obicei: se ia $\overline{z}=-a+ib$, schimbând semnul părții reale în loc de al părții imaginare; sau se scrie $3ib-2ib=5ib$, adunând termenii imaginari fără semn.)

Exercițiul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Fiecare aplicare a lui $f$ adaugă încă un $a$: $$(f\circ f)(x)=f(x+a)=x+2a,(f\circ f\circ f)(x)=x+3a\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cerută devine $$x+3a=x+3,\text{ pentru orice numa˘r real }x,\text{ deci }\mathbf{a}=1\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $a=1$, $f(f(f(x)))=x+1+1+1=x+3$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc funcțiile în loc să se compună, $(x+a{)}^3$; sau se scrie $f(f(x))=x+a^2$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Diferența logaritmilor în aceeași bază este logaritmul câtului: $${\log }_3\frac{2x+3}{x}=1⟹\frac{2x+3}{x}=3\text{(3 p)}.$$ Înmulțind cu $x$: $$2x+3=3x⟹\mathbf{x}=3,\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$

(Condițiile de existență sunt $2x+3>0$ și $x>0$, adică $x>0$; $x=3$ le respectă. Control: ${\log }_{3}9-{\log }_{3}3=2-1=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\log }_3(2x+3)-{\log }_{3}x={\log }_3(x+3)$, scăzând argumentele; sau din ${\log }_{3}u=1$ se trage concluzia $u=1$ în loc de $u=3$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Numerele naturale de trei cifre sunt $100,101,\dots ,999$: $$\text{sunt }900\text{ de numere naturale de trei cifre, deci sunt }900\text{ de cazuri posibile}\text{(1 p)}.$$ Un număr se divide cu $10$ exact când ultima lui cifră este $0$; de trei cifre sunt $100,110,\dots ,990$: $$\text{sunt }90\text{ de numere de trei cifre care se divid cu }10,\text{ deci }90\text{ de cazuri favorabile}\text{(2 p)}.$$ Probabilitatea este $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{90}{900}=\frac{1}{10}\text{(2 p)}.$$

(Numărarea multiplilor: $\frac{990-100}{10}+1=90$ — sau: prima cifră are $9$ variante, a doua $10$, iar ultima este obligatoriu $0$. Unde se greșește de obicei: se socotesc $999$ sau $1000$ de cazuri posibile, numărând și numerele cu mai puțin de trei cifre.)

Exercițiul 5. (5 p) — vectori coliniari.

Doi vectori sunt coliniari exact când coordonatele lor sunt proporționale: $$\frac{a+1}{1}=\frac{5a-1}{3}⟺3a+3=5a-1\text{(3 p)}.$$ De aici $2a=4$, deci $$\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $a=2$, $\vec{u}=3\vec{i}+9\vec{j}=3\vec{v}$. Unde se greșește de obicei: se scrie proporția „în cruce" greșit, $\frac{a+1}{3}=\frac{5a-1}{1}$, care dă $a=\frac{2}{7}$; sau se cere ca vectorii să fie egali, $a+1=1$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, aria cu sinusul.

Unghiul $A$ al unui triunghi are sinusul pozitiv, iar ${\sin }^{2}A=1-{\cos }^{2}A=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$: $$\sin A=\frac{4}{5}\text{(2 p)}.$$ Aria triunghiului este $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}=\frac{6\cdot 10\cdot \frac{4}{5}}{2}=24\text{(3 p)}.$$

(În baremul oficial aria este notată ${\mathcal{A}}_{\Delta ABC}$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: se folosește $\cos A$ în locul lui $\sin A$ în formula ariei și iese $18$; sau se uită împărțirea la $2$ și iese $48$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea care depind de $x$.

a) (5 p) Pentru $x=-1$: $$M(-1)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& -1& 0\\ 4& 0& 5\end{array}\right)⟹\det (M(-1))=\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& -1& 0\\ 4& 0& 5\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ Cu regula lui Sarrus: $$\det (M(-1))=0+0+0-(-4)-0-0=4\text{(3 p)}.$$

(Singurul produs nenul este cel de pe diagonala secundară: $1\cdot (-1)\cdot 4=-4$, care se scade. Control prin dezvoltare după linia a doua: $(-1)\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 4& 5\end{array}\right|=(-1)\cdot (-4)=4$. Unde se greșește de obicei: se greșește elementul $3-x$ pentru $x=-1$ — el este $4$, nu $2$.)

b) (5 p) Se adună matricele element cu element: $$M(x)+M(y)=\left(\begin{array}{ccc}x+y+2& 0& x+y+4\\ 0& x+y& 0\\ 6-x-y& 0& 8-x-y\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Această matrice se desparte în două: $$=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 0& 0\\ 3& 0& 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}(x+y)+1& 0& (x+y)+2\\ 0& x+y& 0\\ 3-(x+y)& 0& 4-(x+y)\end{array}\right)=M(0)+M(x+y)\text{(2 p)},$$ pentru orice numere reale $x$ și $y$.

(Prima matrice este chiar $M(0)$, iar a doua este $M(t)$ cu $t=x+y$. Unde se greșește de obicei: se scrie direct $M(x)+M(y)=M(x+y)$ — relația nu este adevărată, pentru că termenii liberi $1$, $2$, $3$, $4$ se adună de două ori; tocmai de aceea apare $M(0)$.)

c) (5 p) Se calculează cele două produse, linie cu coloană, cu $M(1)=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 3\\ 0& 1& 0\\ 2& 0& 3\end{array}\right)$: $$M(m)\cdot M(1)=\left(\begin{array}{ccc}4m+6& 0& 6m+9\\ 0& m& 0\\ 14-4m& 0& 21-6m\end{array}\right),M(1)\cdot M(n)=\left(\begin{array}{ccc}11-n& 0& 16-n\\ 0& n& 0\\ 11-n& 0& 16-n\end{array}\right)\text{(2 p)},$$ unde $m$ și $n$ sunt numere naturale. Sumele elementelor sunt $50+m$ și $54-3n$: $$50+m=54-3n⟺m+3n=4\text{ și, cum }m,n\in \mathbb{N}:\mathbf{m}=1,\mathbf{n}=1\text{ sau }\mathbf{m}=4,\mathbf{n}=0\text{(3 p)}.$$

(Control: primul element al lui $M(m)\cdot M(1)$ este $(m+1)\cdot 2+0+(m+2)\cdot 2=4m+6$. Din $m+3n=4$ cu $m,n$ naturale, $n$ poate fi doar $0$ sau $1$. Unde se greșește de obicei: se uită perechea cu $n=0$ — $0$ este număr natural; sau se socotește că suma elementelor produsului este produsul sumelor elementelor.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Se rescrie legea, scoțând $1$ în față: $$x\ast y=1-4xy+4x+4y-4\text{(3 p)},$$ apoi se grupează: $$=1-4x(y-1)+4(y-1)=1-4(x-1)(y-1),\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.$$

(Control prin desfacere: $1-4(xy-x-y+1)=1-4xy+4x+4y-4=4x+4y-4xy-3$. Unde se greșește de obicei: se scrie $-4(x-1)(y-1)=-4xy-4x-4y-4$, cu semnele greșite la produsele mixte.)

b) (5 p) Cu forma de la a): $$x\ast \frac{1}{x}=1-4(x-1)\left(\frac{1}{x}-1\right)=1-4(x-1)\cdot \frac{1-x}{x}\text{(3 p)},$$ $$=1+\frac{4(x-1{)}^2}{x}\ge 1,\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Justificarea: $(x-1{)}^2\ge 0$ și $x>0$, deci fracția este nenegativă; egalitatea are loc doar pentru $x=1$. Unde se greșește de obicei: se pierde semnul, $(x-1)(1-x)=(x-1{)}^2$ — de fapt este $-(x-1{)}^2$, iar cele două minusuri dau plusul din rezultat.)

c) (5 p) Legea se compune de mai multe ori, cu forma de la a): $$x\ast x=1-4(x-1{)}^2,x\ast x\ast x=1+4^2(x-1{)}^3,x\ast x\ast x\ast x=1-4^3(x-1{)}^4\text{(3 p)},$$ unde $x$ este număr real. Ecuația $1-4^3(x-1{)}^4=x$ se scrie $(x-1)+4^3(x-1{)}^4=0$, adică $$(x-1)\left(1+4^3(x-1{)}^3\right)=0,\text{ deci }\mathbf{x}=\frac{3}{4}\text{ sau }\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$

(Al doilea factor: $(x-1{)}^3=-\frac{1}{64}$, deci $x-1=-\frac{1}{4}$ și $x=\frac{3}{4}$. Control: $1-64\cdot \frac{1}{256}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$. Pasul de compunere: $(x\ast x)\ast x=1-4((x\ast x)-1)(x-1)=1-4\cdot (-4(x-1{)}^2)(x-1)=1+16(x-1{)}^3$. Unde se greșește de obicei: se simplifică ecuația prin $x-1$ și se pierde soluția $x=1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivata întâi și a doua, concavitate, o inegalitate.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: $$f^{\prime }(x)=5\cdot \frac{1}{x}-2x-3\text{(3 p)}.$$ Aducând la același numitor și descompunând numărătorul: $$f^{\prime }(x)=\frac{-2x^2-3x+5}{x}=\frac{(1-x)(2x+5)}{x},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Control al descompunerii: $(1-x)(2x+5)=2x+5-2x^2-5x=-2x^2-3x+5$. Unde se greșește de obicei: se derivează $5\ln x$ ca $\frac{1}{5x}$; sau se descompune $-2x^2-3x+5$ cu semnul greșit, $(x-1)(2x+5)$.)

b) (5 p) Derivata a doua este $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{-2x^2-5}{x^2},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Numărătorul $-2x^2-5$ este negativ, iar numitorul pozitiv: $$f^{\prime \prime }(x)<0,\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty ),\text{ deci funcția }f\text{ este concava˘ pe }(0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Calculul: $f^{\prime }(x)=\frac{5}{x}-2x-3$, deci $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{5}{x^2}-2=\frac{-5-2x^2}{x^2}$. Unde se greșește de obicei: se confundă concavitatea cu monotonia și se studiază semnul lui $f^{\prime }$; sau se scrie ${\left(\frac{5}{x}\right)}^{\prime }=\frac{5}{x^2}$, fără minus.)

c) (5 p) Din semnul lui $f^{\prime }$ (numitorul $x$ și factorul $2x+5$ sunt pozitive, deci contează $1-x$): $$f\text{ este cresca˘toare pe }(0,1]\text{ și descresca˘toare pe }[1,+\infty ),\text{ deci }f(x)\le f(1),\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Valoarea maximă este $$f(1)=-4⟹5\ln x-x^2-3x\le -4,\text{ deci }5\ln x\le x^2+3x-4,\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Calculul: $f(1)=5\ln 1-1-3=-4$. Control numeric: pentru $x=2$, $5\ln 2\approx 3,47\le 4+6-4=6$. Unde se greșește de obicei: se ia $f(1)$ ca minim — pe $(0,1]$ funcția crește, deci în $1$ are maximul; cu minimul ar ieși inegalitatea inversă, $5\ln x\ge x^2+3x-4$, falsă de exemplu pentru $x=2$. Alt drum, corect: după b), graficul funcției concave $f$ stă sub orice tangentă, iar tangenta în $x=1$ este orizontală, $y=-4$, pentru că $f^{\prime }(1)=0$.)

Exercițiul 10. (15 p) — primitive, integrare prin părți, încadrarea unei integrale.

a) (5 p) Orice primitivă $F$ are derivata egală cu funcția: $$F\text{ este o primitiva˘ a funcției }f⟹F^{\prime }(x)=f(x)=\left(x^2+4x+5\right)e^x,x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Cum $x^2+4x+5=(x+2{)}^2+1>0$ și $e^x>0$: $$f(x)>0⟹F^{\prime }(x)>0,\text{ pentru orice numa˘r real }x,\text{ deci funcția }F\text{ este cresca˘toare pe }\mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Nu e nevoie de o formulă pentru $F$: contează doar semnul lui $F^{\prime }=f$. Iar $x^2+4x+5>0$ se justifică: discriminantul este $16-20<0$, sau direct $(x+2{)}^2+1\ge 1$. Unde se greșește de obicei: se studiază monotonia lui $f$, derivând-o: $f^{\prime }(x)=(x+3{)}^2{e}^x\ge 0$ arată că $f$ este crescătoare, ceea ce nu spune nimic despre monotonia primitivelor lui $f$ — pentru ele contează semnul lui $f$, nu al lui $f^{\prime }$.)

b) (5 p) Din integrand rămâne doar termenul $4x{e}^x$, care se integrează prin părți: $${\int }_0^1\left(\left(x^2+4x+5\right)e^x-x^2{e}^x-5e^x\right)dx={\int }_0^{1}4x{e}^{x}dx=4(x-1)e^x{|}_0^1\text{(3 p)},$$ $$=0-4\cdot (-1)=4\text{(2 p)}.$$

(Integrarea prin părți: $\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=(x-1)e^x+C$. În $1$: $(1-1)e=0$; în $0$: $(0-1)\cdot 1=-1$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva lui $x{e}^x$ ca $\frac{x^2}{2}{e}^x$; sau se încurcă semnul la scăderea valorii din $0$ și iese $-4$.)

c) (5 p) Pe intervalul de integrare, $x^2+4x+5=(x+2{)}^2+1$, iar $(x+2{)}^2\in [0,1]$: $$\text{pentru orice }x\in [-3,-1]:1\le x^2+4x+5\le 2,\text{ deci }{e}^x\le f(x)\le 2e^x\text{(2 p)}.$$ Integrând inegalitățile: $${\int }_{-3}^{-1}{e}^{x}dx\le {\int }_{-3}^{-1}f(x)dx\le 2{\int }_{-3}^{-1}{e}^{x}dx\text{ și, cum }{\int }_{-3}^{-1}{e}^{x}dx=\frac{e^2-1}{e^3}:\frac{e^2-1}{e^3}\le {\int }_{-3}^{-1}f(x)dx\le \frac{2\left(e^2-1\right)}{e^3}\text{(3 p)}.$$

(Calculul: ${\int }_{-3}^{-1}{e}^{x}dx=e^{-1}-e^{-3}=\frac{e^2-1}{e^3}$. Control numeric: $0,318\le 0,437\le 0,636$. Unde se greșește de obicei: se caută minimul și maximul lui $x^2+4x+5$ doar în capete, $x=-3$ și $x=-1$ (unde valorile sunt amândouă $2$), uitând minimul $1$ din $x=-2$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la simularea națională a examenului de bacalaureat din 2019, proba E. c), Matematică M_șt-nat, pentru clasa a XII-a. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Ce este „simularea națională" și cu ce diferă de un subiect de sesiune. Simularea are subiect unic, trimis de minister pentru toate școlile. Nu are număr de variantă — în colțul din dreapta sus al documentului scrie chiar cuvântul „Simulare" — și nu intră în media de bacalaureat. Baremul ei este însă la fel de oficial ca al oricărei sesiuni, iar structura este aceeași ca la examen: pentru un elev de clasa a XII-a, simularea este repetiția generală, dată cât încă mai există timp de recuperat.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul de simulare din 2019:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: forma algebrică și conjugatul — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $f\circ f\circ f$ pentru o funcție de gradul întâi — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: diferența de logaritmi și condițiile de existență — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numerele de trei cifre divizibile cu $10$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: condiția de coliniaritate a doi vectori dați prin coordonate — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: $\sin A$ din $\cos A$ și aria cu sinusul unghiului — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinant, sume și produse de matrice care depind de un parametru, ecuație în numere naturale — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: forma „descompusă" a legii, o inegalitate și o ecuație cu puteri ale lui $x$ în raport cu legea — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata întâi, derivata a doua și concavitatea, o inegalitate din maximul funcției — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: monotonia primitivelor, integrarea prin părți, încadrarea unei integrale prin inegalitatea integrandului — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2019. Subiectul I este format din șase cerințe directe, fiecare cu o singură idee: conjugatul, compunerea repetată, diferența de logaritmi, numărarea multiplilor lui $10$, coliniaritatea prin proporționalitatea coordonatelor și aria cu sinusul. Subiectul al II-lea pune o matrice de ordinul al treilea cu elemente de gradul întâi în $x$, la care subpunctul c) se termină cu o ecuație în numere naturale, $m+3n=4$, și o lege de compoziție care se scrie $x\ast y=1-4(x-1)(y-1)$ — forma din care ies și inegalitatea de la b), și ecuația cu patru termeni de la c). Subiectul al III-lea cere derivata a doua și concavitatea, apoi o inegalitate citită din maximul funcției, iar la integrale o încadrare a unei integrale fără calculul ei exact.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre legi de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, perechi de numere naturale și expresii cu $e$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: soluția ecuației logaritmice nevalidată prin condiții; perechea $m=4$, $n=0$ uitată pentru că $0$ „nu pare" număr natural; concavitatea afirmată fără semnul derivatei a doua; inegalitatea de la problema 9, subpunctul c), fără tabelul de monotonie din care rezultă maximul.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: dacă $z=a+ib$, atunci $\overline{z}=a-ib$; două numere complexe sunt egale exact când au părțile reale și părțile imaginare egale. Logaritmi: ${\log }_{a}u-{\log }_{a}v={\log }_a\frac{u}{v}$. Probabilitate: $p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$. Coliniaritate: $\vec{u}=p\vec{i}+q\vec{j}$ și $\vec{v}=r\vec{i}+s\vec{j}$ sunt coliniari exact când $ps=qr$. Aria: ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}$, cu ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$.
• Matrice: suma elementelor unei matrice se citește direct din forma ei; înmulțirea se face linie cu coloană.
• Legi de compoziție: o lege de forma $x\ast y=k-c(x-k)(y-k)$ se compune ușor de mai multe ori: fiecare nouă operație înmulțește $(x-k)$ cu încă un factor.
• Derivate: $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; o funcție cu derivata a doua negativă pe un interval este concavă pe acel interval; dacă $f$ crește până în $x_0$ și scade după, atunci $f(x)\le f(x_0)$ pe tot domeniul.
• Integrale: o primitivă $F$ a lui $f$ are $F^{\prime }=f$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }dx=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }gdx$; dacă $g(x)\le f(x)\le h(x)$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}g\le {\int }_a^{b}f\le {\int }_a^{b}h$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=x+a$ de la cerința $2$, funcția $f(x)=5\ln x-x^2-3x$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=\left(x^2+4x+5\right)e^x$ de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $a$ este un număr real necunoscut la cerințele $2$ și $5$ (alt număr la fiecare); la cerința $1$, în rezolvare, $a$ și $b$ sunt partea reală și partea imaginară ale lui $z$. La cerința $7$, $m$ și $n$ sunt numere naturale (inclusiv $0$), iar $M(0)$ este matricea pentru $x=0$.
• La cerința $8$, $x\ast x\ast x\ast x$ înseamnă compunerea repetată prin lege (asociativă, deci fără paranteze), nu înmulțirea obișnuită; la cerința $2$, $\circ$ este compunerea funcțiilor.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".