Bac M2 2019, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2019 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $(1+i{)}^2-2i=0$, unde $i^2=-1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real nenul $m$, știind că abscisa vârfului parabolei asociate funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=m{x}^2+8x-7$ este egală cu $12$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_4\left(x^2-10x+40\right)=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $M=\{1,2,3,\dots ,100\}$, acesta să fie număr impar.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,-1)$, $B(-2,0)$ și $C(0,3)$. Determinați lungimea vectorului $\overrightarrow{BD}$, știind că $ABCD$ este paralelogram.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin 3x+\sin 2x+\sin x=\sqrt{3}$, știind că $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ și $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 3\end{array}\right)$ și $M(a)=I_2+aA$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (M(1))=5$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $M(a)M(b)=M(a+b+4ab)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $M(a)M(a)=M(2)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=5x+5y-xy-20$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=-(x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $x\ast x\ge x$.

c) (5 puncte) Calculați $1\ast (-2)\ast 3\ast (-4)\ast \dots \ast (-2018)\ast 2019$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+6x+9}{e^x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{-(x+1)(x+3)}{e^x}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $0\le (x+3)(y+3)\le 4e^{\frac{x+y+2}{2}}$, pentru orice $x,y\in [-3,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^3}{x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2(x+1)f(x)dx=4$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $F:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-\ln (x+1)$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, $a>1$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{x^3}f(x)$, axa $Ox$, dreptele de ecuații $x=1$ și $x=a^2$ are aria egală cu $\ln 5$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2019; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. La cerința 8, subpunctul c), primul rând al baremului tipărit conține o greșeală de tipar, semnalată la locul ei.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Se dezvoltă pătratul binomului: $$(1+i{)}^2-2i=1+2i+i^2-2i\text{(3 p)}.$$ Cu $i^2=-1$: $$=1+(-1)=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $(1+i{)}^2=1+i^2=0$, uitând termenul dublu $2i$ — rezultatul final ar ieși atunci $-2i$; sau se ia $i^2=1$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, vârful parabolei.

Abscisa vârfului parabolei asociate lui $a{x}^2+bx+c$ este $-\frac{b}{2a}$; aici coeficienții sunt $m$ și $8$: $$x_V=-\frac{b}{2a}⟹-\frac{8}{2m}=12\text{(3 p)}.$$ De aici $-\frac{4}{m}=12$, deci $$\mathbf{m}=-\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$

(Control: $-\frac{8}{2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}=-\frac{8}{-\frac{2}{3}}=12$. Unde se greșește de obicei: se uită minusul din formula vârfului și iese $m=\frac{1}{3}$; sau se folosește $-\frac{\Delta }{4a}$, care este ordonata vârfului, nu abscisa.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Din definiția logaritmului: $$x^2-10x+40=4^2⟹x^2-10x+24=0\text{(3 p)}.$$ Rădăcinile sunt $$\mathbf{x}=4\text{ sau }\mathbf{x}=6,\text{ care convin}\text{(2 p)}.$$

(Pentru ambele valori argumentul logaritmului este $16>0$; de fapt $x^2-10x+40=(x-5{)}^2+15>0$ pentru orice $x$ real. Control: ${\log }_{4}16=2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x^2-10x+40=4\cdot 2=8$ sau $=\sqrt{4}=2$, încurcând baza cu exponentul — ambele ecuații, $x^2-10x+32=0$ și $x^2-10x+38=0$, ies fără soluții reale.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

$$\text{mulțimea }M\text{ are }100\text{ de elemente, deci sunt }100\text{ de cazuri posibile}\text{(2 p)}.$$ Numerele impare sunt $1,3,\dots ,99$: $$\text{ıˆn mulțimea }M\text{ sunt }50\text{ de numere impare, deci sunt }50\text{ de cazuri favorabile}\text{(2 p)}.$$ Probabilitatea este $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}\text{(1 p)}.$$

(Între $1$ și $100$ numerele pare și cele impare sunt la fel de multe. Unde se greșește de obicei: numerele impare $1,3,\dots ,99$ se numără ca $\frac{99-1}{2}=49$, uitând să se adauge $1$, și iese $p=\frac{49}{100}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, diagonala paralelogramului.

Cu coordonatele punctelor, $\overrightarrow{BA}=(2+2)\vec{i}+(-1-0)\vec{j}$ și $\overrightarrow{BC}=(0+2)\vec{i}+(3-0)\vec{j}$; în paralelogramul $ABCD$, diagonala din $B$ este suma laturilor din $B$: $$\overrightarrow{BA}=4\vec{i}-\vec{j},\overrightarrow{BC}=2\vec{i}+3\vec{j}⟹\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=6\vec{i}+2\vec{j}\text{(2 p)}.$$ Lungimea vectorului este $$BD=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\text{(3 p)}.$$

(Control: $D=B+\overrightarrow{BD}=(4,2)$, iar $\overrightarrow{AB}=-4\vec{i}+\vec{j}=\overrightarrow{DC}$, deci $ABCD$ este într-adevăr paralelogram. Unde se greșește de obicei: se ia $D$ astfel încât $ABDC$ să fie paralelogram — ordinea literelor contează; sau se calculează lungimea lui $\overrightarrow{AC}$, cealaltă diagonală.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Singurul unghi din intervalul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ cu sinusul $\frac{\sqrt{3}}{2}$ este $\frac{\pi }{3}$: $$x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)\text{ și }\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}⟹x=\frac{\pi }{3}\text{(2 p)}.$$ Atunci $3x=\pi$ și $2x=\frac{2\pi }{3}$: $$\sin \pi +\sin \frac{2\pi }{3}+\sin \frac{\pi }{3}=0+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $\sin 3x=3\sin x$ — sinusul nu este liniar; sau se ia $\sin \frac{2\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, deși unghiul este în cadranul al doilea, unde sinusul este pozitiv.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea de forma $I_2+aA$.

a) (5 p) Pentru $a=1$: $$M(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right)⟹\det (M(1))=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right|=2\cdot 4-3\cdot 1\text{(3 p)},$$ $$=8-3=5\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $M(1)=A$, uitând $I_2$, și iese determinantul $0$; sau se adună $1$ la toate elementele, nu doar la cele de pe diagonală.)

b) (5 p) Se desface produsul: $$M(a)M(b)=(I_2+aA)(I_2+bA)=I_2+aA+bA+abA\cdot A\text{(2 p)}.$$ Cum $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 12& 12\end{array}\right)=4A,\text{ obținem }M(a)M(b)=I_2+(a+b+4ab)A=M(a+b+4ab)\text{(3 p)},$$ pentru orice numere reale $a$ și $b$.

(Primul element al lui $A\cdot A$: $1\cdot 1+1\cdot 3=4$. Unde se greșește de obicei: se scrie $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 9& 9\end{array}\right)$, ridicând fiecare element la pătrat.)

c) (5 p) Din b), cu $b=a$: $$M\left(a+a+4a^2\right)=M(2)⟺4a^2+2a-2=0\text{(3 p)}.$$ Împărțind la $2$, $2a^2+a-1=0$, cu rădăcinile $$\mathbf{a}=-1\text{ sau }\mathbf{a}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Echivalența $M(t)=M(2)⟺t=2$ vine din faptul că $M(t)$ are pe prima linie, a doua coloană, chiar numărul $t$. Control: $a=-1$ dă $-1-1+4=2$, iar $a=\frac{1}{2}$ dă $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $M(a)M(a)=M(a^2)$ sau $M(2a)$, ca și cum produsul s-ar citi simplu pe parametru.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție, element absorbant.

a) (5 p) Se rescrie legea, cu $-20=-25+5$: $$x\ast y=-xy+5x+5y-25+5\text{(3 p)},$$ apoi se grupează: $$=-x(y-5)+5(y-5)+5=-(x-5)(y-5)+5,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.$$

(Control prin desfacere: $-(xy-5x-5y+25)+5=-xy+5x+5y-20$. Unde se greșește de obicei: se scrie $-(x-5)(y-5)=-xy-5x-5y-25$, cu semnele greșite la produsele mixte.)

b) (5 p) Cu forma de la a), $x\ast x=-(x-5{)}^2+5$: $$-(x-5{)}^2+5\ge x⟺(x-5)(x-4)\le 0\text{(3 p)}.$$ Produsul este negativ sau nul între rădăcini: $$\mathbf{x}\in [4,5]\text{(2 p)}.$$

(Echivalența: $-(x-5{)}^2+5-x\ge 0⟺(x-5{)}^2+(x-5)\le 0⟺(x-5)(x-5+1)\le 0$. Control: pentru $x=4,5$, $x\ast x=-0,25+5=4,75\ge 4,5$; pentru $x=6$, $x\ast x=4<6$. Unde se greșește de obicei: se schimbă sensul inegalității la înmulțirea cu $-1$ și iese $x\in (-\infty ,4]\cup [5,+\infty )$.)

c) (5 p) Cu forma de la a), compunerea cu $5$ dă mereu $5$: $$x\ast 5=5\text{ și }5\ast x=5,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ (⚠️ Divergență față de documentul oficial: în baremul tipărit, acest rând apare ca „$x\ast 5=x$ și $5\ast x=x$" — o greșeală de tipar. Că este vorba de o eroare se vede din formula de la a): $x\ast 5=-(x-5)\cdot 0+5=5$, nu $x$; de altfel, chiar rândul următor al baremului folosește $(\dots )\ast 5=5$ și $5\ast (\dots )=5$, adică faptul că $5$ este element absorbant, nu neutru. În rezolvarea noastră scriem egalitatea corectă; punctajul acestui rând rămâne cel din barem.)

Factorul $5$ apare în șir pe poziția a cincea; grupând, legea fiind asociativă: $$1\ast (-2)\ast 3\ast (-4)\ast 5\ast \dots \ast (-2018)\ast 2019=\left(\right(1\ast (-2)\ast 3\ast (-4))\ast 5)\ast (-6)\ast \dots \ast (-2018)\ast 2019=5\ast ((-6)\ast \dots \ast (-2018)\ast 2019)=5\text{(3 p)}.$$

(Nu trebuie calculat nimic din șirul lung: oricât ar fi $1\ast (-2)\ast 3\ast (-4)$, compus cu $5$ dă $5$, iar $5$ compus cu orice dă tot $5$. Control: calculul complet, pas cu pas, al celor $2018$ compuneri dintre cei $2019$ termeni dă tot $5$. Unde se greșește de obicei: se tratează $5$ ca element neutru, $x\ast 5=x$, și se „simplifică" din șir; calculul nu se mai scurtează și rezultatul nu mai iese $5$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivata unui cât, asimptotă orizontală, o inegalitate.

a) (5 p) Cu regula de derivare a câtului: $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x+6)e^x-\left(x^2+6x+9\right)e^x}{{\left(e^x\right)}^2}\text{(3 p)}.$$ Simplificând cu $e^x$ și descompunând numărătorul: $$f^{\prime }(x)=\frac{-x^2-4x-3}{e^x}=\frac{-(x+1)(x+3)}{e^x},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Control al descompunerii: $(x+1)(x+3)=x^2+4x+3$. Unde se greșește de obicei: se inversează ordinea la numărător, $\left(x^2+6x+9\right)e^x-(2x+6)e^x$, și derivata iese cu semnul schimbat.)

b) (5 p) Limita spre $+\infty$ are forma $\frac{\infty }{\infty }$; cu regula lui l'Hôpital, de două ori: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+6x+9}{e^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+6}{e^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{e^x}=0\text{(3 p)},$$ deci dreapta de ecuație $y=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se scrie ecuația asimptotei $x=0$; sau se afirmă că limita este $+\infty$ pentru că numărătorul crește — exponențiala crește mai repede decât orice polinom.)

c) (5 p) Din semnul derivatei, cu $e^x>0$ și $x+3\ge 0$ pe $[-3,+\infty )$: $$f^{\prime }(x)\ge 0\text{ pe }[-3,-1]⟹f\text{ cresca˘toare pe }[-3,-1];f^{\prime }(x)\le 0\text{ pe }[-1,+\infty )⟹f\text{ descresca˘toare pe }[-1,+\infty );\text{ cum }f(-1)=4e,f(x)\le 4e\text{ pe }[-3,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Inegalitatea $\frac{(x+3{)}^2}{e^x}\le 4e$ se scrie $(x+3{)}^2\le 4e^{x+1}$, iar cum $x+3\ge 0$, prin radical: $$0\le x+3\le 2e^{\frac{x+1}{2}}\text{ și }0\le y+3\le 2e^{\frac{y+1}{2}},\text{ deci }0\le (x+3)(y+3)\le 4e^{\frac{x+y+2}{2}},\text{ pentru orice }x,y\in [-3,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Valoarea maximă: $f(-1)=\frac{1-6+9}{e^{-1}}=4e$. Înmulțirea celor două inegalități este permisă pentru că toți termenii sunt nenegativi, iar $e^{\frac{x+1}{2}}\cdot e^{\frac{y+1}{2}}=e^{\frac{x+y+2}{2}}$. Unde se greșește de obicei: se ia maximul funcției în $x=-3$, unde $f$ se anulează — acolo este minimul pe interval.)

Exercițiul 10. (15 p) — o integrală, verificarea unei primitive, aria unei suprafețe plane.

a) (5 p) Factorul $x+1$ se simplifică: $${\int }_0^2(x+1)f(x)dx={\int }_0^2{x}^{3}dx=\frac{x^4}{4}{|}_0^2\text{(3 p)},$$ $$=\frac{16}{4}-0=4\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $x^3$ se scrie $3x^2$, adică derivata, și iese $3\cdot 2^2=12$.)

b) (5 p) Se derivează $F$ termen cu termen: $$F^{\prime }(x)={\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-\ln (x+1)\right)}^{\prime }=\frac{3x^2}{3}-\frac{2x}{2}+1-\frac{1}{x+1}\text{(3 p)},$$ și se aduce la același numitor: $$F^{\prime }(x)=\frac{x^3+x^2-x^2-x+x+1-1}{x+1}=\frac{x^3}{x+1}=f(x),x\in (-1,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Numărătorul: $\left(x^2-x+1\right)(x+1)-1=x^3+1-1=x^3$. $F$ este derivabilă pe $(-1,+\infty )$, unde $x+1>0$. Unde se greșește de obicei: se derivează $\ln (x+1)$ ca $\frac{1}{x}$.)

c) (5 p) Pentru $x>0$, $g(x)=\frac{1}{x^3}\cdot \frac{x^3}{x+1}=\frac{1}{x+1}>0$: $$g(x)=\frac{1}{x+1}⟹\mathcal{S}={\int }_1^{a^2}|g(x)|dx={\int }_1^{a^2}\frac{1}{x+1}dx=\ln (x+1){|}_1^{a^2}=\ln \left(a^2+1\right)-\ln 2\text{(3 p)}.$$ Din $\ln \left(a^2+1\right)-\ln 2=\ln 5$ rezultă $$\ln \left(a^2+1\right)=\ln 10⟺a^2-9=0\text{ și, cum }a>1,\mathbf{a}=3\text{(2 p)}.$$

(Control: $\ln 10-\ln 2=\ln 5$. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: se integrează până la $a$ în loc de $a^2$; sau se scrie $\ln \left(a^2+1\right)-\ln 2=\ln \left(a^2-1\right)$, scăzând argumentele.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea specială 2019 a examenului național de bacalaureat — Varianta 8. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2019:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: pătratul unui binom și $i^2=-1$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: abscisa vârfului parabolei — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: definiția logaritmului și o ecuație de gradul al doilea — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numerele impare dintre $1$ și $100$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: diagonala unui paralelogram ca sumă de vectori, lungimea unui vector — clasele a IX-a și a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: unghiul din valoarea sinusului și valorile remarcabile — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, produsul $M(a)M(b)$, o ecuație matriceală cu parametru — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: forma „descompusă" a legii, o inecuație și un calcul lung scurtat de elementul absorbant $5$ — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, asimptota orizontală, o inegalitate cu două variabile din maximul funcției — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: o integrală definită, verificarea unei primitive, aria unei suprafețe plane cu un parametru — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială din 2019. Subiectul I este format din șase cerințe directe; cea mai lungă este cerința 5, unde diagonala $\overrightarrow{BD}$ a paralelogramului se obține ca sumă $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$. Subiectul al II-lea pune o matrice de forma $I_2+aA$, la care totul se sprijină pe relația $A^2=4A$, și o lege de compoziție scrisă ca $x\ast y=-(x-5)(y-5)+5$, formă din care se vede că $5$ este element absorbant — cheia calculului lung de la subpunctul c). Subiectul al III-lea cere o derivată de cât, o asimptotă orizontală cu regula lui l'Hôpital aplicată de două ori și o inegalitate cu două variabile, citită din maximul funcției; la integrale, o primitivă cu logaritm și o arie care duce la o ecuație logaritmică.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre legi de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, $2\sqrt{10}$, $\sqrt{3}$ și un interval.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: soluțiile ecuației logaritmice nevalidate prin condiția de existență; la calculul lung cu legea, rezultatul scris fără să se arate că $5$ este element absorbant; inegalitatea de la problema a treia fără tabelul de monotonie din care rezultă maximul; aria scrisă fără modul și fără justificarea semnului funcției.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$. Vârful parabolei: $x_V=-\frac{b}{2a}$. Logaritmi: ${\log }_{a}u=c⟺u=a^c$, cu $u>0$. Paralelogram: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ (regula paralelogramului); lungimea vectorului $p\vec{i}+q\vec{j}$ este $\sqrt{p^2+q^2}$. Trigonometrie: $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \pi =0$.
• Matrice: pentru $M(a)=I_2+aA$ cu $A^2=kA$, $M(a)M(b)=M(a+b+kab)$.
• Legi de compoziție: un element $z$ este absorbant dacă $x\ast z=z\ast x=z$ pentru orice $x$; într-un șir de compuneri, odată apărut, el „înghite" tot restul.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; asimptota orizontală spre $+\infty$ este $y=\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$, când limita este finită; dacă $f$ crește până în $x_0$ și scade după, atunci $f(x)\le f(x_0)$.
• Integrale: ${\left(\ln (x+1)\right)}^{\prime }=\frac{1}{x+1}$; aria suprafeței dintre graficul lui $g$, axa $Ox$ și dreptele $x=p$, $x=q$ este $\mathcal{S}={\int }_p^q|g(x)|dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=m{x}^2+8x-7$ de la cerința $2$, funcția $f(x)=\frac{x^2+6x+9}{e^x}$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=\frac{x^3}{x+1}$ de la cerința $10$. Litera $M$ este mulțimea $\{1,2,\dots ,100\}$ la cerința $4$ și matricea $M(a)$ la cerința $7$, iar litera $A$ este punctul $A(2,-1)$ la cerința $5$ și matricea $A$ la cerința $7$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $a$ este parametrul real al matricei $M(a)$ la cerința $7$ și numărul real $a>1$ de la cerința $10$; la cerința $2$, în formula $x_V=-\frac{b}{2a}$, $a$ și $b$ sunt coeficienții funcției, adică $m$ și $8$. Litera $i$ este unitatea imaginară la cerința $1$ ($i^2=-1$), iar în rezolvarea cerinței $5$, $\vec{i}$ și $\vec{j}$ sunt vectorii unitari ai axelor.
• La cerința $8$, $1\ast (-2)\ast 3\ast (-4)\ast \dots \ast (-2018)\ast 2019$ se citește de la stânga la dreapta; legea fiind asociativă, parantezele se pot pune oricum. La cerința $10$, $a^2$ este capătul intervalului, iar $\ln 5$ este aria cerută.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".