Bac M2 2020, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2020 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați primul termen al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $a_2=3$ și $a_3=5$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-1$. Determinați numărul natural $n$ pentru care $f(n)=3$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2-9}=x-1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii $\{1,2,3,4\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(1,1)$, $N(3,3)$, $P(4,3)$ și $Q(1,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, pentru care patrulaterul $MNPQ$ este trapez cu bazele $MN$ și $PQ$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea ipotenuzei $BC$ a triunghiului dreptunghic $ABC$, în care $AB=5$ și $\cos B=\frac{1}{2}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A\cdot A)=a^2{b}^2$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

b) (5 puncte) Se consideră matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ astfel încât $A\cdot X=X\cdot A$. Demonstrați că, dacă $a$ și $b$ sunt numere reale distincte, atunci există numerele reale $x$ și $t$ astfel încât $X=\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& t\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Pentru $a=4$ și $b=0$, determinați matricele $Y\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $Y\cdot Y=A$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $M=[0,+\infty )$ se definește legea de compoziție $x\ast y=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $3\ast 3=12$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $x\ast 0=0\ast x=x$, pentru orice $x\in M$.

c) (5 puncte) Determinați $x\in M$ pentru care $\left(x^2+2x\right)\ast 3=7$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\ln (x+1)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}$, $x\in (-1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este convexă.

c) (5 puncte) Se consideră funcția $g:(-1,0]\to \mathbb{R}$, $g(x)=(x+1{)}^x$. Demonstrați că, dacă $x_1,x_2\in (-1,0]$ astfel încât $x_1\le x_2$, atunci $g(x_1)\ge g(x_2)$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=1-x^3$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{3}{4}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1{x}^2(f(x){)}^{3}dx=\frac{1}{12}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ${\int }_0^1(f(x){)}^{n+1}dx\le {\int }_0^1(f(x){)}^{n}dx$, pentru orice număr natural nenul $n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2020; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Rația este diferența dintre doi termeni consecutivi: $$r=a_3-a_2=2\text{(3 p)}.$$ Primul termen se obține scăzând rația din al doilea: $$a_1=a_2-r=1\text{(2 p)}.$$

(Control: termenii sunt $1$, $3$, $5$. Unde se greșește de obicei: se scrie $a_1=a_2-2r=-1$, ca și cum de la $a_1$ la $a_2$ ar fi doi pași; sau $r=a_2-a_3=-2$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea.

Se calculează valoarea funcției în $n$: $$f(n)=n^2-1,\text{ deci }{n}^2-1=3⟹n^2-4=0\text{(3 p)}.$$ Ecuația are soluțiile $-2$ și $2$; cum $n$ este număr natural, obținem $$\mathbf{n}=2\text{(2 p)}.$$

(Control: $f(2)=4-1=3$. Unde se greșește de obicei: se păstrează și $n=-2$, deși enunțul cere un număr natural; sau se scrie $n^2=3-1=2$, cu semnul lui $1$ neschimbat.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Ridicând la pătrat ambii membri: $$x^2-9=(x-1{)}^2⟹2x=10\text{(3 p)},$$ pentru că $(x-1{)}^2=x^2-2x+1$, iar $x^2$ se reduce. Deci $$\mathbf{x}=5,\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4=5-1$. Ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă, deci soluția se verifică în ecuația inițială — aici convine, pentru că $x-1=4\ge 0$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(x-1{)}^2=x^2-1$ și ecuația devine $-9=-1$, fără soluții.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinări.

Numărul submulțimilor cu trei elemente ale unei mulțimi cu patru elemente este $$C_4^3=\frac{4!}{3!\cdot 1!}=\text{(3 p)}$$ $$=4\text{(2 p)}.$$

(Control prin enumerare: $\{1,2,3\}$, $\{1,2,4\}$, $\{1,3,4\}$, $\{2,3,4\}$. Unde se greșește de obicei: se folosesc aranjamentele, $A_4^3=24$, care numără și ordinea elementelor.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, trapez.

Pantele dreptelor care conțin bazele: $$m_{MN}=\frac{3-1}{3-1}=1,m_{PQ}=\frac{a-3}{1-4}=\frac{3-a}{3}\text{(2 p)}.$$ Bazele unui trapez sunt paralele: $$MN\parallel PQ,\text{ de unde obținem }{m}_{MN}=m_{PQ}⟺3-a=3⟺\mathbf{a}=0\text{(3 p)}.$$

(Pentru $a=0$, $Q(1,0)$: laturile neparalele $NP$ (orizontală) și $MQ$ (verticală) nu sunt paralele, deci patrulaterul este într-adevăr trapez, nu paralelogram. Unde se greșește de obicei: se scrie panta lui $PQ$ ca $\frac{a-3}{4-1}$, cu numărătorul și numitorul luați în ordini diferite, și iese $a=6$.)

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic.

Ipotenuza este $BC$, deci unghiul drept este $A$, iar cateta alăturată unghiului $B$ este $AB$: $$\cos B=\frac{AB}{BC}⟺\frac{1}{2}=\frac{5}{BC}\text{(3 p)},$$ $$\mathbf{BC}=10\text{(2 p)}.$$

(Control: $\cos B=\frac{1}{2}$ înseamnă $B=60^{\circ }$, iar cateta alăturată unui unghi de $60^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză. Unde se greșește de obicei: se scrie $\cos B=\frac{BC}{AB}$ și iese $BC=2,5$, mai mic decât cateta — o ipotenuză este întotdeauna cea mai lungă latură.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice diagonală.

a) (5 p) Produsul a două matrice diagonale se face pe diagonală: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}{a}^2& 0\\ 0& b^2\end{array}\right),\text{ pentru orice numere reale }a\text{ și }b\text{(3 p)}.$$ $$\det (A\cdot A)=\left|\begin{array}{cc}{a}^2& 0\\ 0& b^2\end{array}\right|=a^2{b}^2,\text{ pentru orice numere reale }a\text{ și }b\text{(2 p)}.$$

(Control: $\det (A\cdot A)=\det A\cdot \det A=(ab{)}^2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}{a}^2& ab\\ ab& b^2\end{array}\right)$, ca și cum toate elementele s-ar înmulți între ele.)

b) (5 p) Fie $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)$, cu $x,y,z,t\in \mathbb{R}$. Atunci $$A\cdot X=\left(\begin{array}{cc}ax& ay\\ bz& bt\end{array}\right)\text{ și }X\cdot A=\left(\begin{array}{cc}ax& by\\ az& bt\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $A\cdot X=X\cdot A$ dă $ay=by$ și $az=bz$, deci $y(a-b)=0$ și $z(a-b)=0$ și, cum $a\ne b$, obținem $y=z=0$, deci există numerele reale $x$ și $t$ astfel încât $X=\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& t\end{array}\right)$ (2 p).

(Înmulțirea la stânga cu o matrice diagonală înmulțește LINIILE, la dreapta înmulțește COLOANELE — de aceea $ay$ și $by$ diferă. Unde se greșește de obicei: se împarte $y(a-b)=0$ la $y$ și se ajunge la $a=b$; se împarte la $a-b$, care este nenul prin ipoteză.)

c) (5 p) Orice matrice comută cu pătratul ei, deci din $Y\cdot Y=A$: $$A\cdot Y=(Y\cdot Y)\cdot Y=Y\cdot (Y\cdot Y)=Y\cdot A,\text{ deci }Y=\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right),\text{ unde }\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\text{(2 p)},$$ după subpunctul b), pentru că $a=4\ne 0=b$. Atunci $$Y\cdot Y=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }^2& 0\\ 0& {\beta }^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\text{ de unde }{\alpha }^2=4\text{ și }{\beta }^2=0,\text{ deci }\mathbf{Y}=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\text{ sau }\mathbf{Y}=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\text{ care convin}\text{(3 p)}.$$

(Control: rezolvând direct sistemul $Y\cdot Y=A$ cu patru necunoscute, fără să presupunem că $Y$ este diagonală, se obțin exact aceleași două matrice. Unde se greșește de obicei: se păstrează doar $\alpha =2$, uitând că și $(-2{)}^2=4$; sau se presupune de la început că $Y$ este diagonală, fără justificare.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție cu radicali.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=y=3$: $$3\ast 3=3\sqrt{3+1}+3\sqrt{3+1}=\text{(3 p)}$$ $$=3\cdot 2+3\cdot 2=6+6=12\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt{3+1}=\sqrt{3}+1$.)

b) (5 p) Cu $y=0$: $$x\ast 0=x\cdot \sqrt{0+1}+0\cdot \sqrt{x+1}=x,\text{ pentru orice }x\in M\text{(2 p)}.$$ Cu primul element $0$: $$0\ast x=0\cdot \sqrt{x+1}+x\cdot \sqrt{0+1}=x,\text{ pentru orice }x\in M⟹x\ast 0=0\ast x=x,\text{ pentru orice }x\in M\text{(3 p)}.$$

(Deci $0$ este element neutru al legii. Unde se greșește de obicei: se verifică doar $x\ast 0=x$ — legea e comutativă, dar cerința cere ambele egalități, iar baremul le punctează pe amândouă.)

c) (5 p) Cu $x^2+2x$ pe primul loc și $3$ pe al doilea: $$\left(x^2+2x\right)\sqrt{3+1}+3\sqrt{x^2+2x+1}=7⟺2\left(x^2+2x\right)+3\sqrt{(x+1{)}^2}=7⟺2x^2+7x-4=0\text{(3 p)},$$ pentru că, pe $M$, $x+1>0$ și $\sqrt{(x+1{)}^2}=x+1$. Ecuația are soluțiile $$x=-4,\text{ care nu convine},\mathbf{x}=\frac{1}{2},\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$

($x=-4$ nu aparține mulțimii $M=[0,+\infty )$; în plus, pentru $x<-1$ radicalul ar fi fost $|x+1|=-(x+1)$, deci ecuația de gradul al doilea nici nu mai era echivalentă cu cea inițială. Control pentru $x=\frac{1}{2}$: $x^2+2x=\frac{5}{4}$, iar $\frac{5}{4}\cdot 2+3\cdot \frac{3}{2}=\frac{5}{2}+\frac{9}{2}=7$. Unde se greșește de obicei: se păstrează ambele soluții; sau $x^2+2x+1$ nu este recunoscut ca $(x+1{)}^2$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivate, convexitate și o inegalitate.

a) (5 p) Cu regula de derivare a produsului: $$f^{\prime }(x)=x^{\prime }\ln (x+1)+x(\ln (x+1){)}^{\prime }=\text{(3 p)}$$ $$=1\cdot \ln (x+1)+x\cdot \frac{1}{x+1}=\ln (x+1)+\frac{x}{x+1},x\in (-1,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se derivează produsul ca produs al derivatelor, $1\cdot \frac{1}{x+1}$.)

b) (5 p) Derivata a doua: $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{(x+1)-x}{(x+1{)}^2}=\frac{x+2}{(x+1{)}^2},x\in (-1,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Pe $(-1,+\infty )$, $x+2>0$ și $(x+1{)}^2>0$, deci $f^{\prime \prime }(x)>0$, pentru orice $x\in (-1,+\infty )$, deci funcția $f$ este convexă (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se deduce convexitatea din semnul lui $f^{\prime }$, nu al lui $f^{\prime \prime }$; sau se scrie ${\left(\frac{x}{x+1}\right)}^{\prime }=\frac{1}{1}$, derivând separat numărătorul și numitorul.)

c) (5 p) Pe $(-1,0]$, $x+1\in (0,1]$, deci $\ln (x+1)\le 0$, iar $\frac{x}{x+1}\le 0$ (numărătorul este nepozitiv, numitorul pozitiv). Atunci $f^{\prime }(x)\le 0$, de unde obținem că $f$ este descrescătoare pe $(-1,0]$ (2 p). Pentru orice $x_1,x_2\in (-1,0]$ cu $x_1\le x_2$ $⟹$ $f(x_1)\ge f(x_2)$, deci $x_1\ln (x_1+1)\ge x_2\ln (x_2+1)$, de unde obținem $\ln \left((x_1+1{)}^{x_1}\right)\ge \ln \left((x_2+1{)}^{x_2}\right)$, deci $(x_1+1{)}^{x_1}\ge (x_2+1{)}^{x_2}$, adică $g(x_1)\ge g(x_2)$ (3 p).

(Legătura: $\ln g(x)=x\ln (x+1)=f(x)$, adică $g=e^f$, iar funcția exponențială este crescătoare — deci $g$ are aceeași monotonie ca $f$. Control numeric: $g(-0,5)=0,5^{-0,5}=\sqrt{2}\approx 1,414$, iar $g(0)=1$. Unde se greșește de obicei: se afirmă că $f$ este descrescătoare pentru că este convexă — convexitatea nu spune nimic despre monotonie; semnul lui $f^{\prime }$ pe $(-1,0]$ trebuie arătat.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu $1-x^3$.

a) (5 p) Cu formula Leibniz–Newton: $${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1\left(1-x^3\right)dx=\left(x-\frac{x^4}{4}\right){|}_0^1=\text{(3 p)}$$ $$=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $x^3$ se scrie $3x^2$ — aceea este derivata.)

b) (5 p) Cum ${\left(1-x^3\right)}^{\prime }=-3x^2$, factorul $x^2$ este, până la constanta $-\frac{1}{3}$, derivata bazei: $${\int }_0^1{x}^2(f(x){)}^{3}dx={\int }_0^1{x}^2{\left(1-x^3\right)}^{3}dx=-\frac{1}{3}{\int }_0^1{\left(1-x^3\right)}^{\prime }{\left(1-x^3\right)}^{3}dx=-\frac{1}{12}{\left(1-x^3\right)}^4{|}_0^1=\text{(3 p)}$$ $$=0-\left(-\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{12}\text{(2 p)}.$$

(Control: cu $t=1-x^3$, integrala devine $\frac{1}{3}{\int }_0^1{t}^{3}dt=\frac{1}{12}$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $-\frac{1}{3}$ și iese $\frac{1}{4}$; sau se inversează ordinea la evaluare și iese $-\frac{1}{12}$.)

c) (5 p) Se studiază diferența celor două integrale, pe același interval: $${\int }_0^1(f(x){)}^{n+1}dx-{\int }_0^1(f(x){)}^{n}dx={\int }_0^1{\left(1-x^3\right)}^{n+1}dx-{\int }_0^1{\left(1-x^3\right)}^{n}dx=-{\int }_0^1{x}^3{\left(1-x^3\right)}^{n}dx,\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(2 p)},$$ pentru că ${\left(1-x^3\right)}^{n+1}-{\left(1-x^3\right)}^n={\left(1-x^3\right)}^n\left(1-x^3-1\right)=-x^3{\left(1-x^3\right)}^n$. Cum $x^3\ge 0$ și $1-x^3\ge 0$, pentru orice $x\in [0,1]$, integrandul $x^3{\left(1-x^3\right)}^n$ este nenegativ, deci ${\int }_0^1(f(x){)}^{n+1}dx-{\int }_0^1(f(x){)}^{n}dx\le 0$, de unde obținem ${\int }_0^1(f(x){)}^{n+1}dx\le {\int }_0^1(f(x){)}^{n}dx$, pentru orice număr natural nenul $n$ (3 p).

(Altfel spus: pe $[0,1]$, $0\le f(x)\le 1$, iar un număr din $[0,1]$ ridicat la o putere mai mare nu crește. Control: ${\int }_0^{1}fdx=\frac{3}{4}$ și ${\int }_0^1{f}^{2}dx=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{7}=\frac{9}{14}\approx 0,643\le 0,75$. Unde se greșește de obicei: se afirmă inegalitatea fără semnul integrandului pe $[0,1]$ — pe alt interval, unde $f$ ar depăși $1$, ea ar fi falsă.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea august-septembrie 2020 a examenului național de bacalaureat — Varianta 3, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2020:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: rația din doi termeni consecutivi, apoi primul termen — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: o ecuație $f(n)=3$ cu necunoscuta număr natural — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: ridicarea la pătrat și verificarea soluției — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinări: numărul submulțimilor cu trei elemente, $C_4^3$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: pantele a două drepte și condiția de paralelism — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: cosinusul unui unghi ascuțit în triunghiul dreptunghic — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: produsul și determinantul unei matrice diagonale, matricele care comută cu ea și o ecuație $Y\cdot Y=A$ — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul direct, elementul neutru și o ecuație — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui produs, convexitatea din semnul derivatei a doua, monotonia folosită pentru o inegalitate între puteri — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: formula Leibniz–Newton, integrala de tipul $u^{\prime }\cdot u^3$ și monotonia integralei — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august 2020. Subiectul I are șase cerințe scurte: rația și primul termen, o ecuație $n^2-1=3$ în care cuvântul „natural" elimină $n=-2$, o ecuație irațională, $C_4^3$, un trapez recunoscut din pantele bazelor și ipotenuza dintr-un cosinus. Subiectul al II-lea pune o matrice diagonală $A$: la b) se arată că o matrice care comută cu ea este tot diagonală (dacă $a\ne b$), iar la c) ecuația $Y\cdot Y=A$ se rezolvă observând că $Y$ comută cu $A$. Problema a doua este o lege de compoziție cu radicali, definită doar pe $[0,+\infty )$ — de aceea, la c), soluția negativă a ecuației de gradul al doilea nu convine. Subiectul al III-lea cere derivata întâi și a doua pentru $x\ln (x+1)$, convexitatea și o inegalitate $g(x_1)\ge g(x_2)$ pentru $g(x)=(x+1{)}^x$, care vine din monotonia lui $f=\ln g$; la problema 2, două integrale de calcul și o comparație între ${\int }_0^1(f(x){)}^{n+1}dx$ și ${\int }_0^1(f(x){)}^{n}dx$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple și două matrice.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 2, $n=-2$ păstrat, deși nu este număr natural; la cerința 3, soluția nescrisă ca „$x=5$, care convine"; la cerința 8, subpunctul c), soluția $x=-4$ păstrată, deși nu aparține mulțimii $M$; la cerința 10, subpunctul c), inegalitatea dintre integrale scrisă fără semnul integrandului pe $[0,1]$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii: $r=a_{n+1}-a_n$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u}=v⟹u=v^2$, cu verificarea soluțiilor. Combinări: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Paralelism: două drepte neverticale sunt paralele exact când au aceeași pantă, $m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$. Triunghi dreptunghic: $\cos B=\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza˘}}$.
• Matrice: produsul a două matrice diagonale este diagonal, cu produsele elementelor de pe diagonală; orice matrice $Y$ comută cu $Y\cdot Y$, pentru că înmulțirea matricelor este asociativă.
• Legi de compoziție: $\sqrt{(x+1{)}^2}=|x+1|$, egal cu $x+1$ când $x\ge -1$; elementul neutru $e$ verifică $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$.
• Derivate: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$; $f^{\prime \prime }>0$ pe un interval $⟹f$ convexă pe acel interval; dacă $f$ este descrescătoare, $x_1\le x_2⟹f(x_1)\ge f(x_2)$; funcția $\ln$ este strict crescătoare.
• Integrale: $\int u^{\prime }{u}^{3}dx=\frac{u^4}{4}+\mathcal{C}$; dacă $h\le 0$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}h(x)dx\le 0$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=x^2-1$ la cerința $2$, $f(x)=x\ln (x+1)$ la cerința $9$ și $f(x)=1-x^3$ la cerința $10$. Litera $A$ este un vârf al triunghiului la cerința $6$ și matricea $A$ la cerința $7$. Fiecare problemă se citește separat.
• La cerința $7$, $a$ și $b$ sunt elementele de pe diagonala lui $A$, iar $x$, $y$, $z$, $t$ sunt elementele matricei $X$, nu necunoscute ale unei ecuații; la cerința $5$, $a$ este ordonata punctului $Q$.
• Semnul $\ast$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită în enunț, pe mulțimea $M=[0,+\infty )$; la cerința $10$, $(f(x){)}^n$ înseamnă puterea a $n$-a a valorii $f(x)$, nu compunerea lui $f$ cu ea însăși.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".