Bac M2 2020, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2020 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră o progresie aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ cu $a_1=2$ și rația $r=3$. Calculați $a_3$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$. Determinați numerele reale $x$ pentru care $f\left(x^2\right)=9$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{2x+2}-3^{2x}=8$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, acesta să fie divizor al lui $100$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Se consideră un punct $P$ în planul paralelogramului $ABCD$. Arătați că $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0$, pentru orice număr real $x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}12+a& a\\ 1+a& 3+a\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=36$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det (A(a)-(12+a)I_2)=0$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Se consideră matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea $X\cdot X=A(0)$. Arătați că cel puțin un element al matricei $X$ este număr irațional.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x+\sqrt[3]{y}-2$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\circ 1=0$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $x\circ a=x$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\circ x^6=4$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2\sqrt{x^2-1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=2x\left(1-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)$, $x\in (1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-f(x)}{x}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că axa $Ox$ este tangentă la graficul funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2+2x+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(x^2+2x+2\right)f(x)dx=\frac{1}{2}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2\left(f(x)+\frac{1}{x^2+2x+2}\right)dx=\frac{1}{2}\ln 5$.

c) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e\left(\frac{1}{f(x)}-2\right)\ln xdx=\frac{e^2+5}{4}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2020; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Al treilea termen se obține adunând de două ori rația la primul: $$a_3=a_1+2r=2+2\cdot 3=\text{(3 p)}$$ $$=8\text{(2 p)}.$$

(Control: termenii sunt $2$, $5$, $8$. Unde se greșește de obicei: se scrie $a_3=a_1+3r=11$, cu indicele în loc de „indicele minus unu"; sau se înmulțește, $a_3=a_1\cdot r^2=18$, ca la progresia geometrică.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

În formula lui $f$ se înlocuiește $x$ cu $x^2$: $$f\left(x^2\right)=9⟺2x^2+1=9⟺x^2=4\text{(3 p)}.$$ Ecuația $x^2=4$ are două soluții: $$\mathbf{x}=-2\text{ sau }\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$

(Control: $f(4)=9$, iar $(-2{)}^2=2^2=4$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f\left(x^2\right)=(2x+1{)}^2$, adică se ridică la pătrat valoarea funcției în loc de argument; sau se păstrează doar $x=2$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Cum $3^{2x+2}=3^{2x}\cdot 3^2$, se dă factor comun $3^{2x}$: $$3^{2x}\left(3^2-1\right)=8⟺3^{2x}=1\text{(3 p)}.$$ Funcția exponențială este injectivă, iar $1=3^0$, deci $2x=0$: $$\mathbf{x}=0\text{(2 p)}.$$

(Control: $3^2-3^0=9-1=8$. Unde se greșește de obicei: se scrie $3^{2x+2}-3^{2x}=3^2$, ca și cum puterile cu aceeași bază s-ar scădea prin scăderea exponenților.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Mulțimea $A$ are $9$ elemente, deci sunt $9$ cazuri posibile (2 p). Divizorii din mulțimea $A$ ai numărului $100=2^2\cdot 5^2$ sunt $1$, $2$, $4$ și $5$, deci sunt $4$ cazuri favorabile (2 p). $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{4}{9}\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită $1$ printre divizori și iese $\frac{3}{9}$; sau se socotesc toți divizorii lui $100$, inclusiv $10$, $20$, $25$, $50$, $100$, care nu sunt în $A$.)

Exercițiul 5. (5 p) — vectori în paralelogram.

$ABCD$ este paralelogram, deci diagonalele se înjumătățesc: fie $\{O\}=AC\cap BD$, mijlocul comun al lui $(AC)$ și $(BD)$. Cum $O$ este mijlocul lui $(AC)$, obținem $$\overrightarrow{PO}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}\right)\text{(3 p)}.$$ La fel, $O$ este mijlocul lui $(BD)$: $$\overrightarrow{PO}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}\right),\text{ deci }\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}\text{(2 p)}.$$

(Un drum la fel de bun: $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\vec{0}$, pentru că în paralelogram $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$. Unde se greșește de obicei: se folosește $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PO}$, fără factorul $2$; sau se presupune că $P$ este chiar centrul paralelogramului, deși $P$ este un punct oarecare.)

Exercițiul 6. (5 p) — identitate trigonometrică.

Se desfac cele două funcții cu formulele pentru diferență și sumă: $$\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{4}\cos x+\cos x\cos \frac{\pi }{4}-\sin x\sin \frac{\pi }{4}=\text{(2 p)}$$ $$=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=0,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$

(Control: pentru $x=\frac{\pi }{4}$, $\sin 0+\cos \frac{\pi }{2}=0+0=0$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\cos (a+b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$, cu plus — semnele din formule sunt „opuse" operației din argument la cosinus.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=0$: $$A(0)=\left(\begin{array}{cc}12& 0\\ 1& 3\end{array}\right)⟹\det (A(0))=\left|\begin{array}{cc}12& 0\\ 1& 3\end{array}\right|=12\cdot 3-0\cdot 1=\text{(3 p)}$$ $$=36-0=36\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înlocuiește $a=0$ doar pe diagonală și rămâne $1+a$ scris „$a$", adică $0$ în colțul de jos. Aici determinantul iese tot $36$, pentru că în dreapta sus este $0$, dar matricea $A(0)$ este scrisă greșit.)

b) (5 p) Se scade $12+a$ de pe diagonala principală: $$A(a)-(12+a)I_2=\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 1+a& -9\end{array}\right)⟹\det (A(a)-(12+a)I_2)=\left|\begin{array}{cc}0& a\\ 1+a& -9\end{array}\right|=-a(1+a)\text{(3 p)}.$$ Determinantul este nul când $$a(1+a)=0,\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=0\text{ sau }\mathbf{a}=-1\text{(2 p)}.$$

(Elementul din dreapta jos: $3+a-12-a=-9$. Unde se greșește de obicei: se scade $12+a$ din toate cele patru elemente, nu doar de pe diagonală — $(12+a)I_2$ are zerouri în afara diagonalei.)

c) (5 p) Fie $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ (aici $a$, $b$, $c$, $d$ sunt elementele lui $X$, nu parametrul de mai sus). Atunci $$X\cdot X=A(0)⟺\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& b(a+d)\\ c(a+d)& d^2+bc\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}12& 0\\ 1& 3\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Din $b(a+d)=0$ și $c(a+d)=1$ rezultă $a+d\ne 0$ (altfel produsul $c(a+d)$ ar fi $0$, nu $1$) și atunci $b=0$; cum $d^2+bc=3$, obținem $d^2=3$, deci $d=\pm \sqrt{3}$ este număr irațional (3 p).

(Raționamentul este valabil pentru ORICE matrice $X$ cu $X\cdot X=A(0)$, fără să fie nevoie să le găsim pe toate. De altfel, există exact patru astfel de matrice reale: $a=\pm 2\sqrt{3}$, $d=\pm \sqrt{3}$, $b=0$, $c=\frac{1}{a+d}$ — în toate, $a$, $c$ și $d$ sunt iraționale. Unde se greșește de obicei: se ghicește o singură matrice $X$ și se arată că ea are un element irațional — asta nu acoperă toate matricele posibile; sau se împarte relația $b(a+d)=0$ la $a+d$ fără să se arate că $a+d\ne 0$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție cu radical de ordinul al treilea.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=y=1$ în definiția legii: $$1\circ 1=1+\sqrt[3]{1}-2=\text{(3 p)}$$ $$=1+1-2=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt[3]{1}=\frac{1}{3}$ și iese $-\frac{2}{3}$.)

b) (5 p) Egalitatea cerută, scrisă cu definiția legii: $$x+\sqrt[3]{a}-2=x,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Scăzând $x$: $\sqrt[3]{a}-2=0$, deci $$\sqrt[3]{a}=2⟺\mathbf{a}=8\text{(3 p)}.$$

(Control: $x\circ 8=x+2-2=x$. Unde se greșește de obicei: se pune $a$ pe primul loc, $a\circ x=a+\sqrt[3]{x}-2=x$, care nu poate avea loc pentru orice $x$ — legea nu este comutativă; sau din $\sqrt[3]{a}=2$ se scrie $a=2^2=4$ sau $a=\sqrt[3]{2}$.)

c) (5 p) Pentru $y=x^6$, $\sqrt[3]{x^6}=\sqrt[3]{{\left(x^2\right)}^3}=x^2$, pentru orice $x$ real: $$x+\sqrt[3]{x^6}-2=4,\text{ deci }{x}^2+x-6=0\text{(3 p)}.$$ Discriminantul este $1+24=25$, deci $$\mathbf{x}=-3\text{ sau }\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$

(Control: $(-3)\circ 729=-3+9-2=4$ și $2\circ 64=2+4-2=4$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt[3]{x^6}=x^3$ (exponentul se ÎMPARTE la $3$, nu se scade) sau $\sqrt[3]{x^6}=x^2$ doar pentru $x\ge 0$ — radicalul de ordinul al treilea există pentru orice număr real, iar $x^2\ge 0$ oricum.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită și tangentă orizontală.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen, cu ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$: $$f^{\prime }(x)={\left(x^2\right)}^{\prime }-{\left(2\sqrt{x^2-1}\right)}^{\prime }=2x-2\cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}=\text{(3 p)}$$ $$=2x-\frac{2x}{\sqrt{x^2-1}}=2x\left(1-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right),x\in (1,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită derivata interioară $2x$ a lui $x^2-1$ și iese $2x-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$.)

b) (5 p) Cum $x^2-f(x)=2\sqrt{x^2-1}$, iar pentru $x>1$ se poate scoate $x^2$ de sub radical ($\sqrt{x^2}=x$, pentru că $x>0$): $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2\sqrt{x^2-1}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}{x}=\text{(3 p)}$$ $$=2\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}=2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $x^2-f(x)=-2\sqrt{x^2-1}$, pierzând semnul, și iese $-2$; sau se consideră $\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\to 0$, ca și cum radicalul ar crește mai încet decât $x$ — el crește la fel de repede.)

c) (5 p) Se caută punctele graficului aflate pe axa $Ox$: $$f(x)=0⟺x^2=2\sqrt{x^2-1}⟺x^4=4\left(x^2-1\right)⟺{\left(x^2-2\right)}^2=0⟺x^2=2$$ și, cum $x>1$, obținem $x=\sqrt{2}$ (2 p). $A\left(\sqrt{2},0\right)$ este punctul de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$ și, cum panta tangentei la graficul funcției $f$ în punctul $A$ este $f^{\prime }\left(\sqrt{2}\right)=0$, obținem că axa $Ox$ este tangentă la graficul funcției $f$ (3 p).

(Ridicarea la pătrat este echivalentă aici, pentru că ambii membri, $x^2$ și $2\sqrt{x^2-1}$, sunt nenegativi. Valoarea derivatei: $f^{\prime }\left(\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}\left(1-\frac{1}{1}\right)=0$. Tangenta în $A$ este $y-0=0\cdot \left(x-\sqrt{2}\right)$, adică $y=0$ — chiar axa $Ox$. Unde se greșește de obicei: se arată doar $f^{\prime }\left(\sqrt{2}\right)=0$ — asta dă o tangentă orizontală, dar ea este axa $Ox$ numai dacă punctul de tangență este pe axă, adică $f\left(\sqrt{2}\right)=0$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu o funcție rațională și cu $\ln x$.

a) (5 p) Factorul $x^2+2x+2$ se simplifică cu numitorul lui $f$ (el nu se anulează, pentru că $x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1>0$): $${\int }_0^1\left(x^2+2x+2\right)f(x)dx={\int }_0^1\left(x^2+2x+2\right)\frac{x}{x^2+2x+2}dx={\int }_0^{1}xdx=\text{(2 p)}$$ $$=\frac{x^2}{2}{|}_0^1=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se integrează separat fiecare factor și se înmulțesc rezultatele.)

b) (5 p) Fracțiile au același numitor, iar numărătorul $x+1$ este jumătate din derivata numitorului, ${\left(x^2+2x+2\right)}^{\prime }=2x+2$: $${\int }_0^2\left(f(x)+\frac{1}{x^2+2x+2}\right)dx={\int }_0^2\frac{x+1}{x^2+2x+2}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^2\frac{{\left(x^2+2x+2\right)}^{\prime }}{x^2+2x+2}dx=\text{(2 p)}$$ $$=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+2x+2\right){|}_0^2=\frac{1}{2}\left(\ln 10-\ln 2\right)=\frac{1}{2}\ln 5\text{(3 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{1}{2}\ln 5\approx 0,80472$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{2}$ și iese $\ln 5$; sau, la înlocuirea limitelor, se ia $\ln 10-\ln 0$, uitând că în $x=0$ numitorul este $2$, nu $0$.)

c) (5 p) Pentru $x\in [1,e]$, $\frac{1}{f(x)}-2=\frac{x^2+2x+2}{x}-2=x+\frac{2}{x}$. Integrala se desparte în două, apoi fiecare se scrie cu o derivată: $${\int }_1^e\left(\frac{1}{f(x)}-2\right)\ln xdx={\int }_1^e\left(x+\frac{2}{x}\right)\ln xdx={\int }_1^{e}x\ln xdx+2{\int }_1^e\frac{1}{x}\ln xdx={\int }_1^e{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{\prime }\ln xdx+2{\int }_1^e(\ln x{)}^{\prime }\ln xdx=\text{(3 p)}$$ Prima integrală se face prin părți, iar a doua are forma $u^{\prime }\cdot u$, cu primitiva $\frac{u^2}{2}$: $$=\frac{x^2}{2}\ln x{|}_1^e-{\int }_1^e\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx+2\cdot \frac{1}{2}{\ln }^{2}x{|}_1^e=\frac{e^2}{2}-\frac{x^2}{4}{|}_1^e+{\ln }^{2}e-{\ln }^{2}1=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}+1=\frac{{\mathbf{e}}^2+5}{4}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $\frac{e^2+5}{4}\approx 3,09726$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{1}{f(x)}=\frac{x}{x^2+2x+2}$ răsturnat greșit, sau $\frac{1}{f(x)}-2=x+2+\frac{2}{x}$, uitând să se scadă $2$; ori se ia primitiva lui $\frac{\ln x}{x}$ ca $\ln |\ln x|$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea iunie-iulie 2020 a examenului național de bacalaureat — Varianta 6, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2020:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: termenul general $a_n=a_1+(n-1)r$ — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: valoarea funcției într-un argument dat, $f\left(x^2\right)$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: factor comun $3^{2x}$ și injectivitatea funcției exponențiale — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărarea divizorilor printre cazurile posibile — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: mijlocul diagonalelor unui paralelogram și regula paralelogramului — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formulele pentru $\sin (a-b)$ și $\cos (a+b)$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, o ecuație cu parametru și o ecuație matriceală $X\cdot X=A(0)$ — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul direct, elementul neutru la dreapta și o ecuație — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unei funcții cu radical, o limită la $+\infty$ și tangenta orizontală — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: simplificarea integrandului, integrala de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$ și integrarea prin părți — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2020. Subiectul I are șase cerințe de calcul direct, dintre care una — cerința 5 — este o egalitate vectorială care se dovedește prin mijlocul comun al diagonalelor paralelogramului, iar cerința 6 este o identitate trigonometrică cu $\frac{\pi }{4}$. Subiectul al II-lea pune o matrice de ordinul al doilea cu parametru la care subpunctul c) este o cerință de raționament, nu de calcul: dintr-o ecuație $X\cdot X=A(0)$ se arată că un element al lui $X$ trebuie să fie irațional. Problema a doua este o lege de compoziție cu radical de ordinul al treilea, la care ecuația de la c) devine de gradul al doilea pentru că $\sqrt[3]{x^6}=x^2$. Subiectul al III-lea cere la problema 1 derivata lui $x^2-2\sqrt{x^2-1}$, o limită și faptul că axa $Ox$ este tangentă la grafic (un punct al graficului pe axă, cu derivata nulă), iar la problema 2 trei integrale în care integrandul se simplifică înainte de integrare, ultima prin integrare prin părți.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, $\sqrt{2}$, $\frac{1}{2}\ln 5$ și $\frac{e^2+5}{4}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 2, o singură soluție în loc de amândouă; la cerința 7, subpunctul c), calculul unei singure matrice $X$ „găsite", în loc de argumentul valabil pentru orice $X$ cu $X\cdot X=A(0)$; la cerința 8, subpunctul c), $\sqrt[3]{x^6}$ scris $x^3$ în loc de $x^2$; la cerința 9, subpunctul c), tangenta afirmată fără punctul de pe grafic.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii: $a_n=a_1+(n-1)r$. Exponențiale: $3^{2x+2}=3^{2x}\cdot 3^2$. Probabilitate: $p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$. Vectori: dacă $O$ este mijlocul lui $(AC)$, atunci $\overrightarrow{PO}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}\right)$. Trigonometrie: $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$, $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; ${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& b(a+d)\\ c(a+d)& d^2+bc\end{array}\right)$.
• Legi de compoziție: $\sqrt[3]{t^3}=t$ pentru orice $t$ real, deci $\sqrt[3]{x^6}=x^2$; elementul $a$ cu $x\circ a=x$ pentru orice $x$ se găsește din identitatea în $x$.
• Derivate: ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; axa $Ox$ este tangentă la graficul lui $f$ în punctul $(x_0,0)$ exact când $f(x_0)=0$ și $f^{\prime }(x_0)=0$.
• Integrale: $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }dx=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }gdx$; $\int \frac{\ln x}{x}dx=\frac{{\ln }^{2}x}{2}+\mathcal{C}$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=2x+1$ la cerința $2$, $f(x)=x^2-2\sqrt{x^2-1}$ la cerința $9$ și $f(x)=\frac{x}{x^2+2x+2}$ la cerința $10$. Fiecare problemă se citește separat.
• Litera $a$ este parametrul real al matricei $A(a)$ la cerința $7$ și numărul căutat cu $x\circ a=x$ la cerința $8$; tot la cerința $7$, subpunctul c), baremul notează cu $a$, $b$, $c$, $d$ elementele matricei $X$. Litera $A$ este vârful paralelogramului la cerința $5$ și matricea $A(a)$ la cerința $7$.
• Semnul $\circ$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită în enunț, nu compunerea funcțiilor; $x\circ x^6$ înseamnă legea aplicată numerelor $x$ și $x^6$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".