Bac M2 2020, modelul oficial — rezolvat

Toate probele M2 din 2020 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $(0,3\cdot 10-1)(0,3\cdot 10+1)=8$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră $x_1$ și $x_2$ soluțiile ecuației $x^2-6x+m=0$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care $x_1{x}_2(x_1+x_2)=12$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2\sqrt{5-x}=\sqrt{x+10}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor cu $3$ mai mare decât cifra unităților.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care vectorii $\vec{u}=a\vec{i}+(a-1)\vec{j}$ și $\vec{v}=3\vec{i}+4\vec{j}$ sunt coliniari.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că, dacă $x$ este număr real pentru care $\sin x=\cos x$, atunci $\cos 2x=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& 2b\\ -b& a\end{array}\right)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1,1))=3$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(a,b)\cdot A(b,a)=A\left(-ab,a^2+b^2\right)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

c) (5 puncte) Determinați perechile de numere întregi $m$ și $n$ pentru care $\det (A(m,n))=1$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-15X^2+mX-80$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $m=95$, arătați că $f(1)=1$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care $x_1(x_1-x_2)+x_2(x_2-x_3)+x_3(x_3-x_1)=0$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Determinați rădăcinile polinomului $f$, știind că acestea sunt numere reale în progresie aritmetică.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x-x-10$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(0)=0$.

b) (5 puncte) Demonstrați că oricare două tangente la graficul funcției $f$ sunt concurente.

c) (5 puncte) Demonstrați că $e^{x^3}\ge (x+1)\left(x^2-x+1\right)$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$, $f(x)=x+\frac{9}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^3\left(f(x)-\frac{9}{x}\right)dx=4$.

b) (5 puncte) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{2}{f(x)}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=9$ are aria egală cu $2\ln 3$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că ${\int }_1^{\sqrt{3}}\left(f(x)-\frac{9}{x}\right)\mathrm{arctg}xdx=\frac{5\pi }{12}-\frac{3+\sqrt{3}-a}{2}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului pentru 2020; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul numeric cu zecimale.

Se calculează întâi produsele din paranteze, $0,3\cdot 10=3$: $$(0,3\cdot 10-1)(0,3\cdot 10+1)=(3-1)(3+1)=\text{(3 p)}$$ $$=2\cdot 4=8\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se face întâi scăderea, $0,3\cdot (10-1)=2,7$ — înmulțirea are prioritate față de scădere.)

Exercițiul 2. (5 p) — relațiile lui Viète pentru ecuația de gradul al doilea.

Pentru $x^2-6x+m=0$, relațiile lui Viète dau $$x_1+x_2=6,x_1{x}_2=m\text{(2 p)}.$$ Condiția devine $$6m=12,\text{ deci }\mathbf{m}=2\text{(3 p)}.$$

(Control: pentru $m=2$, ecuația $x^2-6x+2=0$ are $\Delta =36-8=28>0$, deci soluțiile $3\pm \sqrt{7}$ sunt reale, cu produsul $2$ și suma $6$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x_1+x_2=-6$, cu semnul coeficientului neschimbat, și iese $m=-2$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Ambii membri sunt nenegativi, deci se pot ridica la pătrat: $$4(5-x)=x+10⟹20-4x=x+10⟹5x=10\text{(3 p)},$$ $$\mathbf{x}=2,\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $2\sqrt{5-2}=2\sqrt{3}=\sqrt{12}$ și $\sqrt{2+10}=\sqrt{12}$. Condițiile de existență sunt $x\le 5$ și $x\ge -10$, iar $2$ le îndeplinește. Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat doar radicalul și se uită factorul $2$, adică se scrie $2(5-x)=x+10$, de unde $x=0$, care nu verifică ecuația.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate, cazuri numărate de mână.

Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$: $$\text{Mulțimea numerelor naturale de doua˘ cifre are }90\text{ de elemente, deci sunt }90\text{ de cazuri posibile}\text{(2 p)}.$$ Cifra zecilor este cu $3$ mai mare decât cifra unităților pentru $30,41,52,63,74,85,96$: $$\text{sunt }7\text{ cazuri favorabile}\text{(2 p)},$$ $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{7}{90}\text{(1 p)}.$$

(Numărarea: cifra unităților poate fi $0,1,\dots ,6$, iar cifra zecilor este atunci $3,4,\dots ,9$. Unde se greșește de obicei: se uită numărul $30$, cu cifra unităților $0$, și iese $\frac{6}{90}$; sau se numără și numerele cu cifra UNITĂȚILOR mai mare cu $3$, cum ar fi $14$.)

Exercițiul 5. (5 p) — vectori coliniari.

Doi vectori sunt coliniari exact când coordonatele lor sunt proporționale: $$\frac{a}{3}=\frac{a-1}{4}⟺4a=3a-3\text{(3 p)},$$ $$\mathbf{a}=-3\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $a=-3$, $\vec{u}=-3\vec{i}-4\vec{j}=-\vec{v}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $4a=3a-1$, înmulțind cu $3$ doar pe $a$, și iese $a=-1$.)

Exercițiul 6. (5 p) — formula lui $\cos 2x$.

Se scrie $\cos 2x$ ca diferență de pătrate: $$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\text{(2 p)}$$ $$=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=0\cdot (\cos x+\sin x)=0\text{(3 p)},$$ pentru că $\cos x-\sin x=0$.

(Alt drum: din $\sin x=\cos x$, $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\cos }^{2}x=0$. Unde se greșește de obicei: se deduce $x=\frac{\pi }{4}$ și se verifică doar pentru această valoare — enunțul cere pentru ORICE $x$ cu $\sin x=\cos x$, iar $x=\frac{5\pi }{4}$ este și el o soluție.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice cu doi parametri.

a) (5 p) Pentru $a=b=1$: $$A(1,1)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 1\end{array}\right)⟹\det (A(1,1))=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 1\end{array}\right|=1\cdot 1-(-1)\cdot 2=\text{(3 p)}$$ $$=1+2=3\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $A(1,1)$ cu $-2$ în colțul din stânga jos — acolo este $-b=-1$, iar $2b=2$ este sus; sau se pierde semnul și iese $1-2=-1$.)

b) (5 p) Se înmulțesc matricele, linie cu coloană: $$A(a,b)\cdot A(b,a)=\left(\begin{array}{cc}a& 2b\\ -b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}b& 2a\\ -a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ab-2ab& 2a^2+2b^2\\ -b^2-a^2& -2ab+ab\end{array}\right)=\text{(3 p)}$$ $$=\left(\begin{array}{cc}-ab& 2\left(a^2+b^2\right)\\ -\left(a^2+b^2\right)& -ab\end{array}\right)=A\left(-ab,a^2+b^2\right),\text{ pentru orice numere reale }a\text{ și }b\text{(2 p)}.$$

(De ce ultima matrice este din familie: are pe diagonală același număr, $-ab$, iar sus de două ori, jos cu minus, numărul $a^2+b^2$ — exact forma $A(\alpha ,\beta )$ cu $\alpha =-ab$ și $\beta =a^2+b^2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $A(b,a)$ ca $\left(\begin{array}{cc}a& 2b\\ -b& a\end{array}\right)$, fără să se schimbe rolurile, sau se înmulțesc elementele de pe aceleași poziții.)

c) (5 p) Determinantul lui $A(m,n)$ este $$\det (A(m,n))=\left|\begin{array}{cc}m& 2n\\ -n& m\end{array}\right|=m^2+2n^2\text{(2 p)}.$$ Cum $m$ și $n$ sunt numere întregi, din $m^2+2n^2=1$ obținem $$\mathbf{m}=-1,\mathbf{n}=0\text{ sau }\mathbf{m}=1,\mathbf{n}=0\text{(3 p)}.$$

(De ce: dacă $n\ne 0$, atunci $n^2\ge 1$ și $m^2+2n^2\ge 2>1$; deci $n=0$ și $m^2=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie doar $m=1$, uitând soluția negativă a lui $m^2=1$; sau se calculează determinantul ca $m^2-2n^2$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea, Viète și progresie aritmetică.

a) (5 p) Pentru $m=95$: $$f=X^3-15X^2+95X-80⟹f(1)=1^3-15\cdot 1^2+95\cdot 1-80=\text{(2 p)}$$ $$=1-15+95-80=1\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înlocuiește $m=95$ în termenul liber în loc de coeficientul lui $X$.)

b) (5 p) Relațiile lui Viète: $$x_1+x_2+x_3=15\text{ și }{x}_1{x}_2+x_2{x}_3+x_1{x}_3=m\text{(2 p)}.$$ Desfăcând parantezele, expresia din enunț este $x_1^2+x_2^2+x_3^2-(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_1{x}_3)$, adică $$(x_1+x_2+x_3{)}^2-3(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_1{x}_3)=0⟺225-3m=0,\text{ deci }\mathbf{m}=75\text{(3 p)}.$$

(Pasul de mijloc: $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_1{x}_3)$, iar scăzând încă o dată suma produselor rezultă coeficientul $3$. Observație: expresia este egală cu $\frac{1}{2}\left[(x_1-x_2{)}^2+(x_2-x_3{)}^2+(x_3-x_1{)}^2\right]$, dar asta NU înseamnă că rădăcinile sunt egale: pentru $m=75$, $f=(X-5{)}^3+45$, care are o singură rădăcină reală și două rădăcini complexe, iar pătratele diferențelor complexe se pot anula în sumă. Unde se greșește de obicei: se scrie coeficientul $2$ în loc de $3$ și iese $m=112,5$.)

c) (5 p) Rădăcinile sunt în progresie aritmetică, deci termenul din mijloc este media celorlalte două: $$2x_2=x_1+x_3\text{ și }{x}_1+x_2+x_3=15⟹x_2=5\text{(2 p)}.$$ Din relația lui Viète pentru produs: $$x_1{x}_2{x}_3=80⟹x_1{x}_3=16\text{ și, cum }{x}_1+x_3=10,\text{ polinomul }f\text{ are ra˘da˘cinile }2,5\text{ și }8\text{(3 p)}.$$

($x_1$ și $x_3$ sunt soluțiile ecuației $t^2-10t+16=0$, adică $2$ și $8$. Control: $2+5+8=15$, $2\cdot 5\cdot 8=80$, iar $m=2\cdot 5+5\cdot 8+2\cdot 8=66$ — polinomul este $f=X^3-15X^2+66X-80=(X-2)(X-5)(X-8)$. Unde se greșește de obicei: se scrie $x_1{x}_2{x}_3=-80$, cu semnul termenului liber neschimbat.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivate, tangente concurente, o inegalitate.

a) (5 p) Derivând termen cu termen: $$f^{\prime }(x)=e^x-1,x\in \mathbb{R}\text{(3 p)},$$ $$f^{\prime }(0)=e^0-1=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se derivează constanta $-10$ ca $-10$ în loc de $0$, sau $-x$ ca $-x$.)

b) (5 p) Derivata a doua este pozitivă: $$f^{\prime \prime }(x)=e^x>0,\text{ pentru orice numa˘r real }x⟹f^{\prime }\text{ este strict cresca˘toare, deci }{f}^{\prime }\text{ este injectiva˘}\text{(2 p)}.$$ Pentru orice numere reale $x_1$ și $x_2$, $x_1\ne x_2⟹f^{\prime }(x_1)\ne f^{\prime }(x_2)$, deci tangentele la graficul lui $f$ în punctele de coordonate $(x_1,f(x_1))$ și $(x_2,f(x_2))$ au pante diferite, deci sunt concurente (3 p).

(Două drepte din plan cu pante diferite nu sunt paralele și nu coincid, deci se intersectează într-un singur punct. Unde se greșește de obicei: se arată doar că $f^{\prime }$ nu e constantă — aceasta nu exclude două pante egale în puncte diferite; este nevoie de injectivitate.)

c) (5 p) Se studiază semnul derivatei: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=0\text{(1 p)}.$$ $f^{\prime }(x)\le 0$, pentru orice $x\in (-\infty ,0]$ $⟹$ $f$ este descrescătoare pe $(-\infty ,0]$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, pentru orice $x\in [0,+\infty )$ $⟹$ $f$ este crescătoare pe $[0,+\infty )$ și, cum $f(0)=-9$, obținem $f(x)\ge -9$, pentru orice număr real $x$ (2 p).

Inegalitatea se aplică în punctul $x^3$: $$f\left(x^3\right)\ge -9⟹e^{x^3}\ge x^3+1,\text{ deci }{e}^{x^3}\ge (x+1)\left(x^2-x+1\right),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$

(Detaliu: $f\left(x^3\right)=e^{x^3}-x^3-10\ge -9$ înseamnă $e^{x^3}\ge x^3+1$, iar $x^3+1=(x+1)\left(x^2-x+1\right)$ este descompunerea sumei de cuburi. Control: pentru $x=1$, $e\approx 2,718\ge 2$. Alt drum: studiul unei funcții noi, $e^{x^3}-x^3-1$, cu derivata $3x^2\left(e^{x^3}-1\right)$ — merge, dar e mai lung; cerința este construită să folosească minimul lui $f$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite, arie, integrare prin părți.

a) (5 p) Scăzând $\frac{9}{x}$, rămâne $x$: $${\int }_1^3\left(f(x)-\frac{9}{x}\right)dx={\int }_1^3\left(x+\frac{9}{x}-\frac{9}{x}\right)dx={\int }_1^{3}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_1^3=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva lui $x$ ca $x^2$, fără împărțirea la $2$, și iese $8$.)

b) (5 p) Cum $f(x)=\frac{x^2+9}{x}$, funcția $g$ este $\frac{2x}{x^2+9}>0$ pe $[1,9]$, iar numărătorul este chiar derivata numitorului: $$g(x)=\frac{2x}{x^2+9}⟹\mathcal{S}={\int }_1^9|g(x)|dx={\int }_1^9\frac{2x}{x^2+9}dx=\ln \left(x^2+9\right){|}_1^9=\text{(3 p)}$$ $$=\ln 90-\ln 10=\ln 9=2\ln 3\text{(2 p)}.$$

(Integrala este de forma $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln u+C$, cu $u=x^2+9>0$. Control numeric: $2\ln 3\approx 2,197$. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{S}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $g(x)=\frac{2}{x}+\frac{2x}{9}$, „inversând termen cu termen" — inversul unei sume nu este suma inverselor.)

c) (5 p) Integrandul este $x\mathrm{arctg}x$. Se integrează prin părți, cu ${\left(\frac{x^2+1}{2}\right)}^{\prime }=x$ — alegere care face ca, în integrala rămasă, numitorul lui ${\left(\mathrm{arctg}x\right)}^{\prime }$ să se simplifice: $${\int }_1^{\sqrt{3}}x\mathrm{arctg}xdx={\int }_1^{\sqrt{3}}{\left(\frac{x^2+1}{2}\right)}^{\prime }\mathrm{arctg}xdx=\frac{x^2+1}{2}\mathrm{arctg}x{|}_1^{\sqrt{3}}-{\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{x^2+1}{2\left(x^2+1\right)}dx=\left(\frac{x^2+1}{2}\mathrm{arctg}x-\frac{x}{2}\right){|}_1^{\sqrt{3}}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{5\pi }{12}-\frac{\sqrt{3}-1}{2},\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=4\text{(2 p)}.$$

(Calculul: în $\sqrt{3}$, $2\cdot \frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$; în $1$, $1\cdot \frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}$; diferența este $\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{4}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}=\frac{5\pi }{12}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}$. Egalând cu $\frac{5\pi }{12}-\frac{3+\sqrt{3}-a}{2}$: $3+\sqrt{3}-a=\sqrt{3}-1$, deci $a=4$. Control numeric: integrala $\approx 0,943$. Alt drum: se alege primitiva $\frac{x^2}{2}$ în loc de $\frac{x^2+1}{2}$ — merge și așa, dar integrala rămasă, $\int \frac{x^2}{2\left(x^2+1\right)}dx$, cere încă o descompunere.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_șt-nat, publicat înaintea sesiunilor din 2020 ca reper al structurii și al nivelului de dificultate. Un model nu se dă în ziua examenului: el este documentul prin care ministerul arată cum va arăta proba — de aceea nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în modelul pentru 2020:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Calcul numeric: numere zecimale, ordinea operațiilor — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: relațiile lui Viète pentru ecuația de gradul al doilea — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: ridicarea la pătrat și verificarea soluției — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărarea cazurilor favorabile printre numerele de două cifre — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: condiția de coliniaritate, cu coordonate — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formula lui $\cos 2x$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice: determinantul de ordinul al doilea, produsul a două matrice, o ecuație în numere întregi — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom, relațiile lui Viète, rădăcini în progresie aritmetică — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata întâi și a doua, tangente cu pante diferite, o inegalitate din minimul funcției — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: o integrală definită, aria unei suprafețe plane, integrarea prin părți — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2020. Subiectul I are șase cerințe scurte — cinci cu doi pași de barem, iar probabilitatea cu trei —, de la un calcul cu zecimale până la o probabilitate în care cazurile favorabile se numără de mână. Subiectul al II-lea pune o matrice cu doi parametri, $A(a,b)$, la care produsul $A(a,b)\cdot A(b,a)$ se scrie tot ca o matrice din aceeași familie, iar subpunctul c) cere soluțiile întregi ale ecuației $m^2+2n^2=1$; apoi un polinom de gradul al treilea la care relațiile lui Viète rezolvă și o condiție cu sume de pătrate, și o condiție de progresie aritmetică a rădăcinilor. Subiectul al III-lea cere derivata a doua pentru a arăta că oricare două tangente sunt concurente și o inegalitate cu $e^{x^3}$, citită din minimul funcției $f$ în punctul $x^3$; la integrale, o arie cu o fracție de forma $\frac{u^{\prime }}{u}$ și o integrare prin părți cu $\mathrm{arctg}x$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, $2\ln 3$ și două perechi de numere întregi.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la 10 punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: soluția ecuației iraționale nevalidată; la cerința 7 c), perechile scrise fără justificarea că $n$ trebuie să fie $0$; la cerința 9 b), concurența afirmată fără injectivitatea derivatei; aria scrisă fără modul și fără justificarea semnului funcției.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Viète, gradul al doilea: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$. Probabilitate: $p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$. Vectori coliniari: $a_1\vec{i}+b_1\vec{j}$ și $a_2\vec{i}+b_2\vec{j}$ sunt coliniari când $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$. Trigonometrie: $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; produsul se face linie cu coloană.
• Polinoame (Viète, gradul al treilea): pentru $X^3+b{X}^2+cX+d$, $x_1+x_2+x_3=-b$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=c$, $x_1{x}_2{x}_3=-d$. Trei numere $x_1,x_2,x_3$ sunt în progresie aritmetică când $2x_2=x_1+x_3$.
• Derivate: o funcție cu derivata strict pozitivă este strict crescătoare, deci injectivă; tangentele în două puncte ale graficului au pantele $f^{\prime }(x_1)$ și $f^{\prime }(x_2)$.
• Integrale: $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+C$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }dx=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }gdx$; ${\left(\mathrm{arctg}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x^2+1}$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: polinomul $f$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=e^x-x-10$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=x+\frac{9}{x}$ de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $m$ este parametrul ecuației de la cerința $2$ și al polinomului de la cerința $8$; la cerința $7$, $m$ și $n$ sunt numere întregi care înlocuiesc parametrii $a$ și $b$ ai matricei $A(a,b)$.
• La cerința $10$, $a$ din subpunctul c) este un număr real necunoscut, fără legătură cu parametrul $a$ al matricei $A(a,b)$ de la cerința $7$ sau al vectorului de la cerința $5$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".