Bac M2 2020, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2020 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că ${\log }_{2}7+{\log }_{2}6-{\log }_{2}21=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=2x-1$. Demonstrați că $f(x)\ge g(x)$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+12}=2x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $x$ din mulțimea $A=\{-2,-1,0,1,2\}$, acesta să fie soluție a ecuației $x^2-3x+2=0$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determinați numerele reale $a$ și $b$, pentru care $\vec{u}=3\vec{v}$, unde $\vec{u}=a\vec{i}+6\vec{j}$ și $\vec{v}=2\vec{i}+b\vec{j}$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră expresia $E(x)={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x+\sqrt{2}(\sin x+\cos x)-2$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{4}\right)=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x+2& x+3\\ x-3& x-2\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(x))=5$, pentru orice număr real $x$.

b) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$ astfel încât $A(-3)+A(-2)+A(-1)+A(1)+A(2)+A(3)=nA(0)$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A(x)\cdot A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 8\\ -4& -7\end{array}\right)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=\frac{x+y+1}{x^2+y^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $0\ast 1=1$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast x=1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $x\ast (-x)\le 1$, pentru orice număr real $x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\sqrt{x^2+2x+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{2x^2+3x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că, pentru orice număr real $a$, ecuația $f(x)=a$ are cel puțin o soluție.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x+x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-x{e}^x\right)dx=\frac{1}{2}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\frac{1}{x}\cdot f\left(x^2\right)dx=\frac{e^4-e+3}{2}$.

c) (5 puncte) Se consideră $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, primitiva funcției $f$ pentru care $F(1)=0$. Arătați că ${\int }_0^{1}F(x)dx=\frac{5-3e}{3}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2020; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — proprietățile logaritmilor.

Suma logaritmilor devine logaritmul produsului, iar diferența, logaritmul câtului: $${\log }_{2}7+{\log }_{2}6-{\log }_{2}21={\log }_2\frac{7\cdot 6}{21}=\text{(3 p)}$$ $$={\log }_{2}2=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie ${\log }_{2}7+{\log }_{2}6={\log }_{2}13$, adunând argumentele în loc să le înmulțească.)

Exercițiul 2. (5 p) — inegalitate între două funcții.

Se studiază semnul diferenței: $$f(x)-g(x)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ Un pătrat este nenegativ: $$(x-1{)}^2\ge 0,\text{ pentru orice numa˘r real }x,\text{ deci }f(x)\ge g(x),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$

(Egalitate are loc doar pentru $x=1$, unde $f(1)=g(1)=1$ — dreapta $y=2x-1$ este tangentă la parabolă în acest punct. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(x)-g(x)=x^2-2x-1$, cu semnul termenului liber greșit, și atunci diferența nu mai e un pătrat perfect.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Ridicând la pătrat: $$x^2+12=4x^2⟹3x^2=12⟺x^2=4\text{(3 p)}.$$ Membrul drept, $2x$, trebuie să fie nenegativ, pentru că este egal cu un radical: $$x=-2,\text{ care nu convine},\mathbf{x}=2,\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $\sqrt{4+12}=4=2\cdot 2$, iar pentru $x=-2$ membrul stâng este $4$ și membrul drept $-4$. Unde se greșește de obicei: se păstrează ambele soluții ale lui $x^2=4$ — ridicarea la pătrat a adus soluția străină $-2$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

$$\text{Mulțimea }A\text{ are }5\text{ elemente, deci sunt }5\text{ cazuri posibile}\text{(2 p)}.$$ $$x^2-3x+2=0⟺x=1\text{ sau }x=2,\text{ care sunt elemente ale mulțimii }A,\text{ deci avem }2\text{ cazuri favorabile}\text{(2 p)},$$ $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{2}{5}\text{(1 p)}.$$

(Soluțiile ecuației sunt $1$ și $2$, nu $-1$ și $-2$: de exemplu, $(-1{)}^2-3\cdot (-1)+2=6\ne 0$. Unde se greșește de obicei: se inversează raportul și se scrie $p=\frac{5}{2}$ — o probabilitate nu poate depăși $1$; sau se numără ca posibile doar valorile pozitive din $A$, și iese $p=\frac{2}{2}=1$.)

Exercițiul 5. (5 p) — vectori egali.

Se înmulțește $\vec{v}$ cu $3$ și se egalează coordonatele: $$\vec{u}=3\vec{v}⟺a\vec{i}+6\vec{j}=6\vec{i}+3b\vec{j}\text{(3 p)},$$ $$\mathbf{a}=6,\mathbf{b}=2\text{(2 p)}.$$

(Control: $3\vec{v}=3\left(2\vec{i}+2\vec{j}\right)=6\vec{i}+6\vec{j}=\vec{u}$. Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu $3$ doar prima coordonată, și iese $b=6$.)

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice în $\frac{\pi }{4}$.

Cu $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci ${\sin }^2\frac{\pi }{4}={\cos }^2\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}$: $$E\left(\frac{\pi }{4}\right)={\sin }^2\frac{\pi }{4}-{\cos }^2\frac{\pi }{4}+\sqrt{2}\left(\sin \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4}\right)-2=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-2=\text{(3 p)}$$ $$=\sqrt{2}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{2}-2=2-2=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se iau $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}$, confundând cu valorile de la $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{\pi }{3}$, și iese $\sqrt{2}-2\ne 0$; sau $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=1$, în loc de $2$, și iese $-1$. Observație: ${\sin }^2\frac{\pi }{4}$ și ${\cos }^2\frac{\pi }{4}$ sunt amândouă $\frac{1}{2}$, deci primii doi termeni se reduc — scrierea lor fără pătrat nu s-ar vedea în rezultat, dar în redactare pătratul se scrie.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice cu determinant constant.

a) (5 p) Se aplică regula determinantului de ordinul al doilea: $$\det (A(x))=\left|\begin{array}{cc}x+2& x+3\\ x-3& x-2\end{array}\right|=x^2-4-\left(x^2-9\right)=\text{(3 p)}$$ $$=x^2-4-x^2+9=5,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$

(Produsele sunt diferențe de pătrate: $(x+2)(x-2)=x^2-4$ și $(x+3)(x-3)=x^2-9$. Unde se greșește de obicei: se scrie $-(x^2-9)=-x^2-9$, și rezultatul iese $-13$.)

b) (5 p) Fiecare element al lui $A(x)$ este de forma $x+c$, deci $A(-k)+A(k)$ are elementele $2c$, adică $A(-k)+A(k)=2A(0)$: $$A(-3)+A(3)=A(-2)+A(2)=A(-1)+A(1)=2A(0)\text{(3 p)}.$$ Suma cerută este atunci $$2A(0)+2A(0)+2A(0)=nA(0),\text{ de unde obținem }\mathbf{n}=6\text{(2 p)}.$$

(Control: $A(0)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -3& -2\end{array}\right)$, iar suma celor șase matrice este $\left(\begin{array}{cc}12& 18\\ -18& -12\end{array}\right)=6A(0)$. Unde se greșește de obicei: se răspunde $n=7$, numărând și $A(0)$ printre termenii sumei — el lipsește din sumă.)

c) (5 p) Pentru $x=1$: $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -2& -1\end{array}\right)⟹A(x)\cdot A(1)=\left(\begin{array}{cc}x& 3x+5\\ x-5& 3x-10\end{array}\right),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ $$\left(\begin{array}{cc}x& 3x+5\\ x-5& 3x-10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 8\\ -4& -7\end{array}\right),\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$

(Primul element: $(x+2)\cdot 3+(x+3)\cdot (-2)=3x+6-2x-6=x$. Toate cele patru egalități dau $x=1$: $x=1$, $3x+5=8$, $x-5=-4$, $3x-10=-7$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele de pe aceleași poziții.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție dată printr-o fracție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=0$, $y=1$: $$0\ast 1=\frac{0+1+1}{0^2+1^2+1}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{2}{2}=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită $+1$ de la numărător sau de la numitor și iese $\frac{1}{2}$ sau $2$.)

b) (5 p) Pentru $y=x$: $$x\ast x=\frac{2x+1}{2x^2+1},\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Numitorul este pozitiv, deci ecuația se poate înmulți cu el: $$\frac{2x+1}{2x^2+1}=1⟺2x(x-1)=0⟹\mathbf{x}=0\text{ sau }\mathbf{x}=1\text{(3 p)}.$$

(Pasul de mijloc: $2x+1=2x^2+1⟺2x^2-2x=0$. Control: $0\ast 0=\frac{1}{1}=1$ și $1\ast 1=\frac{3}{3}=1$. Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația $2x^2=2x$ la $x$ și se pierde soluția $x=0$.)

c) (5 p) Pentru $y=-x$, numărătorul se simplifică: $$x\ast (-x)=\frac{x+(-x)+1}{x^2+(-x{)}^2+1}=\frac{1}{2x^2+1},\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ $$x\ast (-x)\le 1⟺\frac{1}{2x^2+1}\le 1⟺\frac{-2x^2}{2x^2+1}\le 0,\text{ inegalitate adeva˘rata˘ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$

(Ultima fracție are numărătorul $-2x^2\le 0$ și numitorul $2x^2+1>0$. Altfel spus: numitorul $2x^2+1$ este cel puțin $1$, deci fracția $\frac{1}{2x^2+1}$ este cel mult $1$. Egalitatea are loc doar pentru $x=0$. Unde se greșește de obicei: se pierde semnul lui $-x$ la numărător, $x+x+1=2x+1$; atunci inegalitatea nu mai iese — pentru $x=\frac{1}{2}$ fracția $\frac{2x+1}{2x^2+1}$ ar fi $\frac{4}{3}>1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată cu radical, limită, existența soluțiilor.

a) (5 p) Se derivează produsul $x\cdot \sqrt{x^2+2x+2}$: $$f^{\prime }(x)=\sqrt{x^2+2x+2}+x\cdot \frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+2}}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{x^2+2x+2+x^2+x}{\sqrt{x^2+2x+2}}=\frac{2x^2+3x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Radicalul există pe tot $\mathbb{R}$, pentru că $x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1>0$. La al doilea rând, $x\cdot \frac{2x+2}{2\sqrt{\dots }}=\frac{x^2+x}{\sqrt{\dots }}$, iar primul termen se aduce la numitorul $\sqrt{\dots }$. Unde se greșește de obicei: se uită derivata interioară, $2x+2$, a expresiei de sub radical.)

b) (5 p) Se înlocuiesc $f^{\prime }(x)$ și $f(x)$; produsul radicalilor de la numitor este $x^2+2x+2$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2x^2+3x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}}\cdot \frac{1}{x\sqrt{x^2+2x+2}}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2+3x+2}{x^3+2x^2+2x}=\text{(3 p)}$$ $$=0\text{(2 p)}.$$

(Gradul numărătorului, $2$, este mai mic decât gradul numitorului, $3$, deci limita este $0$. Unde se greșește de obicei: se păstrează $\sqrt{x^2+2x+2}$ o singură dată la numitor și se ajunge la gradele $2$ și $2$, adică la limita $2$.)

c) (5 p) Limitele la capete: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }x\sqrt{x^2+2x+2}=-\infty \text{(2 p)},$$ $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\sqrt{x^2+2x+2}=+\infty \text{ și, cum }f\text{ este funcție continua˘, obținem ca˘, pentru orice numa˘r real }a,\text{ ecuația }f(x)=a\text{ are cel puțin o soluție}\text{(3 p)}.$$

(Argumentul este proprietatea lui Darboux: o funcție continuă pe un interval nu „sare" valori; cum ia valori oricât de mici și oricât de mari, le ia și pe toate cele dintre ele. Observație: cum $2x^2+3x+2$ are discriminantul $9-16<0$, $f^{\prime }(x)>0$ pe $\mathbb{R}$, deci $f$ este strict crescătoare și soluția este chiar unică — mai mult decât cere enunțul. Unde se greșește de obicei: se calculează doar o limită; sau se uită continuitatea, fără de care limitele nu ajung.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite, schimbare de variabilă, integrare prin părți.

a) (5 p) Termenii cu $x{e}^x$ se reduc: $${\int }_0^1\left(f(x)-x{e}^x\right)dx={\int }_0^1\left(x{e}^x+x-x{e}^x\right)dx={\int }_0^{1}xdx=\text{(2 p)}$$ $$=\frac{x^2}{2}{|}_0^1=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$

(Alt drum, mai lung: se calculează separat ${\int }_0^{1}f(x)dx$ și ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$ (prin părți) și se scad — rezultatul e același, dar termenii $x{e}^x$ se reduc de la început. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva lui $x$ ca $x^2$, fără împărțirea la $2$, și iese $1$.)

b) (5 p) Pentru $x^2$ în locul lui $x$: $f\left(x^2\right)=x^2{e}^{x^2}+x^2$, iar împărțirea la $x$ lasă $x{e}^{x^2}+x$: $${\int }_1^2\frac{1}{x}\cdot f\left(x^2\right)dx={\int }_1^2\frac{x^2{e}^{x^2}+x^2}{x}dx={\int }_1^{2}x{e}^{x^2}dx+{\int }_1^{2}xdx=\frac{1}{2}{e}^{x^2}{|}_1^2+\frac{x^2}{2}{|}_1^2=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{1}{2}{e}^4-\frac{1}{2}e+\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{{\mathbf{e}}^4-\mathbf{e}+3}{2}\text{(2 p)}.$$

(Primitiva lui $x{e}^{x^2}$: ${\left(\frac{1}{2}{e}^{x^2}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot e^{x^2}=x{e}^{x^2}$. Control numeric: $\frac{e^4-e+3}{2}\approx 27,44$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f\left(x^2\right)=x^2{e}^x+x^2$, înlocuind $x$ doar în primul factor.)

c) (5 p) Se integrează prin părți, cu $x^{\prime }=1$ și $F^{\prime }=f$: $${\int }_0^{1}F(x)dx={\int }_0^1{x}^{\prime }F(x)dx=xF(x){|}_0^1-{\int }_0^{1}xf(x)dx=F(1)-{\int }_0^1\left(x^2{e}^x+x^2\right)dx=\text{(3 p)}$$ Cum $F(1)=0$ și o primitivă a lui $x^2{e}^x$ este $\left(x^2-2x+2\right)e^x$: $$=-\left(\left(x^2-2x+2\right)e^x+\frac{x^3}{3}\right){|}_0^1=-\left(e+\frac{1}{3}-2\right)=\frac{5-3e}{3}\text{(2 p)}.$$

(Primul termen de la capete: $xF(x){|}_0^1=1\cdot F(1)-0\cdot F(0)=F(1)=0$ — de aceea enunțul dă $F(1)=0$; valoarea lui $F(0)$ nu contează. Primitiva lui $x^2{e}^x$ se obține prin părți de două ori; control: ${\left(\left(x^2-2x+2\right)e^x\right)}^{\prime }=(2x-2)e^x+\left(x^2-2x+2\right)e^x=x^2{e}^x$. În $1$ ea dă $e$, în $0$ dă $2$. Control numeric: $\frac{5-3e}{3}\approx -1,052$. Alt drum, mult mai lung: se scrie $F$ explicit, $F(x)=(x-1)e^x+\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}$, și se integrează. Unde se greșește de obicei: se adună integrala rămasă în loc să se scadă, $xF(x){|}_0^1+{\int }_0^{1}xf(x)dx$, și iese $\frac{3e-5}{3}$, cu semnul schimbat.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea specială 2020 a examenului de bacalaureat național — Varianta 1. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2020:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Logaritmi: proprietățile logaritmilor — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: o inegalitate între două funcții, prin pătratul unui binom — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: ridicarea la pătrat și verificarea soluțiilor — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile și posibile, cu soluțiile unei ecuații de gradul al doilea — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: egalitatea a doi vectori dați prin coordonate — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valorile funcțiilor trigonometrice în $\frac{\pi }{4}$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice: determinantul de ordinul al doilea, o sumă de matrice, produsul a două matrice — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul cu o lege dată printr-o fracție, o ecuație și o inegalitate — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui produs cu radical, o limită, existența soluțiilor unei ecuații din continuitate și limite — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Primitive și integrale: integrale definite, o integrală cu $f(x^2)$, integrarea prin părți a unei primitive — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială din 2020. Subiectul I este format din șase cerințe directe, fiecare cu doi pași de barem (cu excepția probabilității, care are trei). Subiectul al II-lea pune o matrice $A(x)$ al cărei determinant nu depinde de $x$ — cheia subpunctului b) este că $A(-k)+A(k)=2A(0)$ —, apoi o lege de compoziție dată printr-o fracție, $x\ast y=\frac{x+y+1}{x^2+y^2+1}$, la care se cer un calcul, o ecuație și o inegalitate. Subiectul al III-lea cere derivata lui $x\sqrt{x^2+2x+2}$, o limită a raportului $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$ și existența unei soluții a ecuației $f(x)=a$, din limitele la $\pm \infty$ și continuitate; la integrale, o integrală cu $f\left(x^2\right)$ și o integrare prin părți a primitivei $F$, în care condiția $F(1)=0$ face să dispară termenul de la capete.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple și expresii cu $e$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la $10$ punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la ecuația irațională, soluția $x=-2$ păstrată fără verificare; la cerința 8 c), inegalitatea afirmată fără a arăta că numărătorul și numitorul au semnele potrivite; la cerința 9 c), existența soluției afirmată fără continuitatea funcției; la cerința 10 c), termenul $F(1)$ scris fără să se folosească $F(1)=0$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Logaritmi: ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a(xy)$, ${\log }_{a}x-{\log }_{a}y={\log }_a\frac{x}{y}$. Pătratul binomului: $x^2-2x+1=(x-1{)}^2\ge 0$. Probabilitate: $p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$. Vectori egali: au coordonatele egale. Trigonometrie: $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; produsul se face linie cu coloană.
• Derivate: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$; ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$. O funcție continuă pe $\mathbb{R}$, cu limitele $-\infty$ și $+\infty$ la capete, ia orice valoare reală (proprietatea lui Darboux).
• Integrale: $\int x{e}^{x^2}dx=\frac{1}{2}{e}^{x^2}+C$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }dx=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }gdx$; o primitivă a lui $x^2{e}^x$ este $\left(x^2-2x+2\right)e^x$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=x^2$ de la cerința $2$, funcția $f(x)=x\sqrt{x^2+2x+2}$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=x{e}^x+x$ de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $x$ este necunoscuta în Subiectul I, parametrul matricei $A(x)$ la cerința $7$ și variabila obișnuită la cerințele $8$–$10$; la cerința $5$, $a$ și $b$ sunt coordonate ale vectorilor, iar la cerința $9$, $a$ este un număr real oarecare. Litera $A$ este mulțimea $\{-2,-1,0,1,2\}$ la cerința $4$ și matricea $A(x)$ la cerința $7$.
• La cerința $10$, $F$ este primitiva lui $f$ care se anulează în $1$ — o singură funcție, nu mulțimea tuturor primitivelor.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".