Bac M2 2021, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2021 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $3(4-i)+3i(1+i)=9$, unde $i^2=-1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4$. Calculați $(f\circ f)(2)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3\left(x^2-2x+4\right)=1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu $10$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,4)$ și $B(3,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctele $O$, $A$ și $B$ sunt coliniare.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră $E(x)=\cos x+\cos 2x+\cos 3x$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{4}\right)=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x,y)=\left(\begin{array}{cc}x+3y& 4y\\ -2y& x-3y\end{array}\right)$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1,1))=0$.

b) (5 puncte) Demonstrați că, dacă matricea $A(x,y)$ este inversabilă, atunci $|x|\ne |y|$.

c) (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$, de numere întregi, pentru care $A(m,n)\cdot A(-m,n)=I_2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $A=[0,+\infty )$ se definește legea de compoziție $x\circ y=4^{xy}-(1-x-y)$.

a) (5 puncte) Arătați că $2\circ 0=2$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\circ \frac{1}{x}\ge 5$, pentru orice $x\in A$, $x\ne 0$.

c) (5 puncte) Demonstrați că, dacă $m$ și $n$ sunt numere naturale impare, atunci $m\circ n$ este număr natural impar.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{3(x-1)\left(x^2+x+1\right)}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $x^3\ge 3\ln x+1$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2\frac{f(x)}{e^x}dx=2$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^1\left(f(x)+e^x\right)dx=\frac{e^2+1}{e}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ${\int }_{-1-a}^{-1+a}f(x)dx\ge -\frac{2a}{e}$, pentru orice $a\in (0,+\infty )$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2021; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. La cerința 4 baremul are trei rânduri punctate ($2+2+1$); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Se desfac parantezele: $$3(4-i)+3i(1+i)=12-3i+3i+3i^2=\text{(3 p)}$$ Cu $i^2=-1$: $$=12-3=9\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $3i^2=3$, uitând că $i^2=-1$, și iese $15$; sau se scrie $3i\cdot i=3i$ în loc de $3i^2$, și rămâne $12+3i$, care nici măcar nu este un număr real.)

Exercițiul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se calculează întâi valoarea interioară: $$f(2)=4-4=0\text{(2 p)}.$$ $$f(f(2))=f(0)=-4\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează $f(2)\cdot f(2)=0$, confundând compunerea cu produsul, sau se confundă $(f\circ f)(2)$ cu $f(2\cdot 2)=f(4)=12$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

După definiția logaritmului, ${\log }_{3}u=1⟺u=3$: $$x^2-2x+4=3⟹x^2-2x+1=0\text{(3 p)}.$$ $$(x-1{)}^2=0⟹\mathbf{x}=1,\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$

(Verificarea: pentru $x=1$ argumentul este $1-2+4=3>0$, iar ${\log }_{3}3=1$. De fapt, $x^2-2x+4=(x-1{)}^2+3>0$ pentru orice $x$ real. Unde se greșește de obicei: se scrie $x^2-2x+4=1$, confundând ${\log }_{3}u=1$ cu $u=1$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$: mulțimea are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Printre ele, divizibile cu $10$ sunt $10,20,\dots ,90$: $9$ numere, deci sunt $9$ cazuri favorabile (2 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se numără $99$ sau $100$ de numere de două cifre, sau se socotește și $100$ printre multipli — dar $100$ are trei cifre.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică.

Pantele dreptelor $OA$ și $OB$: $$m_{OA}=\frac{4}{2}=2,m_{OB}=\frac{a}{3},\text{ unde }a\text{ este numa˘r real}\text{(2 p)}.$$ Punctele sunt coliniare exact când pantele sunt egale: $$m_{OA}=m_{OB}⟺\mathbf{a}=6\text{(3 p)}.$$

(Control: $B(3,6)$ verifică dreapta $OA$, de ecuație $y=2x$. Unde se greșește de obicei: se calculează corect $m_{OA}=\frac{4}{2}=2$, dar panta lui $OB$ se scrie răsturnată, $\frac{3}{a}$; din $\frac{3}{a}=2$ iese $a=\frac{3}{2}$. Răsturnate amândouă, $\frac{2}{4}=\frac{3}{a}$, pantele ar da tot $a=6$, pentru că egalitatea rapoartelor nu se schimbă; rezultatul îl strică amestecul celor două forme.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Se înlocuiește $x=\frac{\pi }{4}$: $$E\left(\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{2}+\cos \frac{3\pi }{4}=\text{(2 p)}$$ $$=\frac{\sqrt{2}}{2}+0+\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $\cos \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, fără semn; unghiul este în cadranul al doilea, unde cosinusul este negativ.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu doi parametri.

a) (5 p) Pentru $x=y=1$: $$A(1,1)=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ -2& -2\end{array}\right)⟹\det (A(1,1))=\left|\begin{array}{cc}4& 4\\ -2& -2\end{array}\right|=\text{(2 p)}$$ $$=-8-(-8)=0\text{(3 p)}.$$

(Liniile sunt proporționale: a doua este $-\frac{1}{2}$ din prima. Unde se greșește de obicei: se calculează $x-3y=1-3=2$ în loc de $-2$.)

b) (5 p) Se calculează determinantul în general: $$\det (A(x,y))=\left|\begin{array}{cc}x+3y& 4y\\ -2y& x-3y\end{array}\right|=x^2-y^2,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.$$ $$A(x,y)\text{ este inversabila˘}⟺\det (A(x,y))\ne 0⟺x^2-y^2\ne 0,\text{ deci }|x|\ne |y|\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $(x+3y)(x-3y)-4y\cdot (-2y)=x^2-9y^2+8y^2=x^2-y^2$; iar $x^2=y^2⟺|x|=|y|$. Unde se greșește de obicei: se trage concluzia $x\ne y$ — insuficient, pentru că și $x=-y$ face determinantul nul, de exemplu $A(2,-2)$.)

c) (5 p) Se înmulțesc matricele: $$A(m,n)\cdot A(-m,n)=\left(\begin{array}{cc}m+3n& 4n\\ -2n& m-3n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-m+3n& 4n\\ -2n& -m-3n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{n}^2-m^2& 0\\ 0& n^2-m^2\end{array}\right),\text{ pentru orice numere ıˆntregi }m\text{ și }n\text{(3 p)}.$$ Egalând cu $I_2$: $$n^2-m^2=1⟺(n-m)(n+m)=1\text{(2 p)},$$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere întregi, obținem perechile $(0,1)$ sau $(0,-1)$.

(De ce doar acestea: $n-m$ și $n+m$ sunt numere întregi cu produsul $1$, deci sunt amândouă $1$ sau amândouă $-1$. Primul caz dă $n=1$, $m=0$; al doilea, $n=-1$, $m=0$. Detaliul produsului: elementul din colțul stâng sus este $(m+3n)(-m+3n)-8n^2=9n^2-m^2-8n^2=n^2-m^2$. Unde se greșește de obicei: se caută numai soluții naturale și se pierde perechea $(0,-1)$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește în definiție: $$2\circ 0=4^{2\cdot 0}-(1-2-0)=\text{(3 p)}$$ $$=1-1+2=2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $4^0=0$ în loc de $1$, sau se desface greșit $-(1-2)=-1$.)

b) (5 p) Pentru $x\in A$, $x\ne 0$, exponentul este $x\cdot \frac{1}{x}=1$: $$x\circ \frac{1}{x}=4^{x\cdot \frac{1}{x}}-1+x+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}+3=x+\frac{1}{x}-2+5=\text{(2 p)}$$ $$=\frac{x^2+1-2x}{x}+5=\frac{(x-1{)}^2}{x}+5\ge 5,\text{ pentru orice }x\in A,x\ne 0\text{(3 p)}.$$

(Fracția $\frac{(x-1{)}^2}{x}$ este nenegativă, pentru că numărătorul este un pătrat și $x>0$. Egalitatea are loc pentru $x=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $4^{x\cdot \frac{1}{x}}=4^x$, uitând să se simplifice exponentul.)

c) (5 p) Numerele $m$ și $n$ sunt naturale impare, deci $m\ge 1$ și $n\ge 1$, de unde $mn\ge 1$ și $$4^{mn}\text{ este numa˘r natural par}\text{(2 p)}.$$ Tot din imparitate, $m+n$ este par, deci $m+n-1$ este număr natural impar, de unde $$m\circ n=4^{mn}+m+n-1\text{ este numa˘r natural impar}\text{(3 p)}.$$

(Suma dintre un număr par și unul impar este impară. Observația $mn\ge 1$ contează: $4^0=1$ ar fi impar. Control: $1\circ 1=4+1=5$, $1\circ 3=64+3=67$. Unde se greșește de obicei: se crede că suma a două numere impare este impară; atunci $m+n-1$ ar ieși par și concluzia ar fi „$m\circ n$ este par", contrazisă chiar de $1\circ 1=5$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, inegalitate.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: $$f^{\prime }(x)=3x^2-3\cdot \frac{1}{x}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{3\left(x^3-1\right)}{x}=\frac{3(x-1)\left(x^2+x+1\right)}{x},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Se folosește diferența de cuburi $x^3-1=(x-1)\left(x^2+x+1\right)$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(3\ln x{)}^{\prime }=\frac{3}{x}$ cu semnul plus în $f^{\prime }$.)

b) (5 p) Valorile în $x=1$: $$f(1)=1,f^{\prime }(1)=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $\mathbf{y}=1$ (3 p).

(Detaliul: $f(1)=1-3\ln 1=1$. Unde se greșește de obicei: se ia $f(1)=1-3=-2$, crezând că $\ln 1=1$.)

c) (5 p) Semnul derivatei este semnul lui $x-1$, pentru că $x^2+x+1>0$ și $x>0$: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=1;\text{pentru }x\in (0,1],f^{\prime }(x)\le 0,\text{ deci }f\text{ este descresca˘toare pe }(0,1],\text{iar pentru }x\in [1,+\infty ),f^{\prime }(x)\ge 0,\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare pe }[1,+\infty )\text{(3 p)}.$$ $$f(x)\ge f(1),\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty ),\text{ și, cum }f(1)=1,\text{ obținem ca˘ }{x}^3\ge 3\ln x+1\text{(2 p)}.$$

(Egalitatea are loc doar pentru $x=1$. Unde se greșește de obicei: se afirmă direct $f(x)\ge 1$ din tangenta orizontală — o tangentă orizontală nu garantează singură un minim.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale.

a) (5 p) Integrandul se simplifică, $\frac{x{e}^x}{e^x}=x$: $${\int }_0^2\frac{f(x)}{e^x}dx={\int }_0^{2}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_0^2=\text{(3 p)}$$ $$=2-0=2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se integrează $x{e}^x$ prin părți, fără să se observe simplificarea — drum lung, cu risc de greșeli.)

b) (5 p) Integrandul este derivata unui produs, $(x{e}^x{)}^{\prime }=e^x+x{e}^x$: $${\int }_{-1}^1\left(f(x)+e^x\right)dx={\int }_{-1}^1\left(x{e}^x+e^x\right)dx={\int }_{-1}^1{\left(x{e}^x\right)}^{\prime }dx=x{e}^x{|}_{-1}^1=\text{(3 p)}$$ $$=e+e^{-1}=\frac{e^2+1}{e}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: la capătul $-1$, $x{e}^x=-e^{-1}$, iar scăderea lui dă $+e^{-1}$. Control numeric: $\frac{e^2+1}{e}\approx 3,08616$. Unde se greșește de obicei: se scrie $e-e^{-1}$, pierzând semnul lui $x=-1$.)

c) (5 p) Se studiază minimul lui $f$: $$f^{\prime }(x)=(x+1)e^x,\text{ deci }{f}^{\prime }(x)=0⟺x=-1\text{ și, cum }{f}^{\prime }(x)\le 0\text{ pentru }x\in (-\infty ,-1]\text{ și }{f}^{\prime }(x)\ge 0\text{ pentru }x\in [-1,+\infty ),\text{ obținem ca˘ }f(x)\ge f(-1),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Cum $f(-1)=-\frac{1}{e}$ și intervalul $[-1-a,-1+a]$ are lungimea $2a$: $${\int }_{-1-a}^{-1+a}f(x)dx\ge -\frac{1}{e}{\int }_{-1-a}^{-1+a}dx=-\frac{1}{e}x{|}_{-1-a}^{-1+a}=-\frac{2a}{e},\text{ pentru orice }a\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Integrarea păstrează inegalitatea pentru că $-1-a<-1+a$, adică limita de jos este mai mică decât cea de sus. Unde se greșește de obicei: se încearcă calculul exact al integralei, $((x-1)e^x){|}_{-1-a}^{-1+a}$, după care inegalitatea devine greu de comparat.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea august-septembrie 2021 a examenului național de bacalaureat — Varianta 4. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din august 2021:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: înmulțirea și $i^2=-1$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(2)=f(f(2))$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: trecerea la forma exponențială — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numerele de două cifre divizibile cu $10$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: coliniaritatea a trei puncte, prin pante — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valori ale cosinusului în $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{2}$, $\frac{3\pi }{4}$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinantul, condiția de inversabilitate, produsul a două matrice și o ecuație în numere întregi — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calcul direct, o inegalitate cu $x+\frac{1}{x}$, paritatea rezultatului — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, ecuația tangentei, o inegalitate obținută din punctul de minim — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale: simplificarea integrandului, o primitivă recunoscută ca derivată de produs, minorarea unei integrale — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie din 2021. Subiectul I are șase cerințe de câte un pas: un calcul cu $i^2=-1$, o compunere în care $f(2)=0$, o ecuație logaritmică ce se reduce la un pătrat perfect, numărarea multiplilor lui $10$ de două cifre, coliniaritatea prin pante egale și trei valori ale cosinusului care se anulează. La Subiectul al II-lea, determinantul matricei $A(x,y)$ se reduce la $x^2-y^2$, iar produsul $A(m,n)\cdot A(-m,n)$ este un multiplu al matricei unitate, așa că subpunctul c) devine ecuația în numere întregi $(n-m)(n+m)=1$. Legea de compoziție $x\circ y=4^{xy}-(1-x-y)$ cere la b) inegalitatea $x+\frac{1}{x}\ge 2$, scrisă ca pătrat, iar la c) un argument de paritate. La Subiectul al III-lea, funcția $x^3-3\ln x$ are minimul $1$ în $x=1$; la integrale, $f(x)+e^x$ este derivata lui $x{e}^x$, iar ultimul subpunct minorează integrala prin valoarea minimă a lui $f$, $f(-1)=-\frac{1}{e}$, pe un interval de lungime $2a$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, $\frac{1}{10}$, perechile $(0,1)$ și $(0,-1)$, $\frac{e^2+1}{e}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 7, subpunctul c), perechile de numere întregi scrise fără argumentul că $n-m$ și $n+m$ sunt întregi cu produsul $1$; la cerința 8, subpunctul c), afirmația „$4^{mn}$ este par" fără observația că $mn\ge 1$; la cerința 10, subpunctul c), inegalitatea dintre integrale fără inegalitatea dintre funcții pe care se sprijină.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$. Compunere: $(f\circ f)(a)=f(f(a))$. Logaritmi: ${\log }_{a}u=b⟺u=a^b$, pentru $u>0$. Coliniaritate: $O$, $A$, $B$ sunt coliniare exact când dreptele $OA$ și $OB$ au aceeași pantă (sau sunt amândouă verticale). Trigonometrie: $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{\pi }{2}=0$, $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Matrice: o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul; $x^2-y^2=0⟺|x|=|y|$. Numere întregi: dacă $a,b\in \mathbb{Z}$ și $ab=1$, atunci $a=b=1$ sau $a=b=-1$. Inegalitatea mediilor, forma de lucru: $x+\frac{1}{x}-2=\frac{(x-1{)}^2}{x}\ge 0$, pentru $x>0$.
• Derivate: ecuația tangentei în $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; dacă $f$ descrește până în $x_0$ și crește după, $f(x_0)$ este valoarea minimă.
• Integrale: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, deci $(x{e}^x{)}^{\prime }=e^x+x{e}^x$; dacă $f(x)\ge c$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge c(b-a)$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere și semne în locuri diferite:

• Semnul $\circ$ are în această probă două sensuri: la cerința $2$, $f\circ f$ este compunerea funcției $f$ cu ea însăși; la cerința $8$, $x\circ y$ este legea de compoziție definită pe $A=[0,+\infty )$. Așa este scris subiectul oficial.
• Litera $f$ denumește trei funcții diferite (cerințele $2$, $9$ și $10$), iar litera $A$ denumește un punct la cerința $5$, o matrice $A(x,y)$ la cerința $7$ și mulțimea $[0,+\infty )$ la cerința $8$. Litera $a$ este ordonata punctului $B(3,a)$ la cerința $5$ și numărul pozitiv din capetele integralei la cerința $10$, subpunctul c). Fiecare problemă se citește separat.
• La cerința $7$, $m$ și $n$ sunt numere întregi (nu naturale); la cerința $8$, $m$ și $n$ sunt numere naturale impare.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".