Bac M2 2021, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2021 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați al treilea termen al progresiei geometrice ${\left(b_n\right)}_{n\ge 1}$, știind că $b_1=2$ și $b_2=6$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+7$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x-7$. Calculați $(f\circ g)(7)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x-1}=x-2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)>0$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$, $B(-1,0)$, $C(3,5)$ și $D(5,6)$. Demonstrați că punctele $B$, $D$ și mijlocul segmentului $AC$ sunt coliniare.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Determinați $x\in (0,\pi )$, știind că $(\sin x-\cos x{)}^2=2$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{și}A(a)=\left(\begin{array}{cc}1+2^a& 2^a\\ -2^a& 1-2^a\end{array}\right),$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(1)+A(2)-A(1)\cdot A(2)=I_2$.

c) (5 puncte) Se consideră numerele naturale $m$ și $n$, astfel încât $A(m)\cdot A(n)=A(m+n)$. Arătați că $m=n=1$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x^2+y^2+x+y$.

a) (5 puncte) Arătați că $(-1)\ast (-1)=0$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $x$ pentru care $x^2\ast x^2\le 4$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+4x-\frac{1}{2}\ln (x+2)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+3)(2x+5)}{2(x+2)}$, $x\in (-2,+\infty )$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+4x-f(x)}{x}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $x^2+4x+\frac{15}{4}\ge \frac{1}{2}\ln (2x+4)$, pentru orice $x\in (-2,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=1+\frac{2}{x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^3\left(x^2+1\right)f(x)dx=18$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^{3}xf(x)dx=4+\ln 5$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $F(x+1)\ge F(x)+1$, pentru orice număr real $x$, unde $F$ este o primitivă a lui $f$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2021; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul are, la cerința 4, trei rânduri punctate; le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie geometrică.

Rația progresiei geometrice este raportul a doi termeni consecutivi: $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{6}{2}=3,\text{ unde }q\text{ este rația progresiei geometrice}\text{(3 p)}.$$ Al treilea termen este $$b_3=b_1{q}^2=2\cdot 3^2=18\text{(2 p)}.$$

(Control: $2$, $6$, $18$ — fiecare termen este triplul celui dinainte. Unde se greșește de obicei: se tratează progresia ca aritmetică, cu rația $6-2=4$, și iese $b_3=10$.)

Exercițiul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Întâi se aplică funcția din interior, $g$: $$g(7)=7-7=0\text{(2 p)}.$$ Apoi funcția din exterior, $f$: $$(f\circ g)(7)=f(g(7))=f(0)=7\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se confundă compunerea cu suma, $f(7)+g(7)=14+0=14$, sau cu produsul, $f(7)\cdot g(7)=0$. Ordinea inversă, $g(f(7))=g(14)=7$, dă aici tot $7$, pentru că $f$ și $g$ sunt inverse una alteia; la alte funcții ordinea contează, așa că întâi se aplică $g$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Se ridică la pătrat ambii membri: $$2x-1=(x-2{)}^2⟺x^2-6x+5=0\text{(3 p)}.$$ Ecuația de gradul al doilea are rădăcinile $1$ și $5$. Verificăm în ecuația inițială: pentru $x=1$, $\sqrt{1}=1$, dar $1-2=-1$; pentru $x=5$, $\sqrt{9}=3=5-2$. Deci $x=1$, care nu convine, și $\mathbf{x}=5$, care convine (2 p).

(De ce e nevoie de verificare: ridicarea la pătrat adaugă soluțiile ecuației $\sqrt{2x-1}=-(x-2)$; membrul drept trebuie să fie nenegativ, adică $x\ge 2$, iar $x=1$ nu îndeplinește condiția. Unde se greșește de obicei: se păstrează ambele soluții.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Numerele naturale de o cifră sunt $0,1,2,\dots ,9$. Mulțimea numerelor naturale de o cifră are $10$ elemente, deci sunt $10$ cazuri posibile (2 p).

Pentru $n\in \{0,1,2,3,4\}$ unul dintre factori este zero, deci produsul este $0$, nu strict pozitiv; pentru $n\ge 5$ toți factorii sunt strict pozitivi. Mulțimea numerelor naturale de o cifră care verifică $n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)>0$ este $\{5,6,7,8,9\}$ și are $5$ elemente, deci sunt $5$ cazuri favorabile (2 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită cifra $0$ și se numără $9$ cazuri posibile, de unde $\frac{5}{9}$; sau se socotesc favorabile și numerele pentru care produsul este $0$, confundând $>0$ cu $\ge 0$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, coliniaritate.

Mijlocul segmentului $AC$ are coordonatele $\left(\frac{1+3}{2},\frac{1+5}{2}\right)$, adică este punctul $M(2,3)$, iar panta dreptei $BM$ este $$m_{BM}=\frac{3-0}{2-(-1)}=1\text{(3 p)}.$$ Panta dreptei $BD$ este $$m_{BD}=\frac{6-0}{5-(-1)}=1,\text{ deci }{m}_{BD}=m_{BM},$$ iar dreptele $BD$ și $BM$ au punctul comun $B$; de unde obținem că punctele $B$, $D$ și $M$ sunt coliniare (2 p).

(Control: dreapta prin $B$ cu panta $1$ are ecuația $y=x+1$; $M(2,3)$ și $D(5,6)$ o verifică. Unde se greșește de obicei: mijlocul se ia ca sumă, nu ca semisumă, $(4,6)$, și iese panta $\frac{6}{5}\ne 1$ — concluzia greșită „necoliniare"; sau la numitor se scrie $2-(-1)=1$, și iese $m_{BM}=3$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Se desface pătratul și se folosesc ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ și $2\sin x\cos x=\sin 2x$: $${\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=2⟺1-\sin 2x=2⟺\sin 2x=-1\text{(3 p)}.$$ Cum $x\in (0,\pi )$, avem $2x\in (0,2\pi )$, iar singurul unghi din acest interval cu sinusul $-1$ este $\frac{3\pi }{2}$; obținem $2x=\frac{3\pi }{2}$, deci $\mathbf{x}=\frac{3\pi }{4}$ (2 p).

(Control: $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, diferența este $\sqrt{2}$, iar pătratul ei este $2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(\sin x-\cos x{)}^2={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x$; sau din $\sin 2x=-1$ se ia $x=\frac{3\pi }{2}$, uitând împărțirea la $2$ — valoare care nici nu este în $(0,\pi )$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=0$ avem $2^0=1$: $$A(0)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 0\end{array}\right)⟹\det (A(0))=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 0\end{array}\right|=2\cdot 0-1\cdot (-1)\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(0))=0+1=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie elementul din dreapta jos $1-2^0$ ca $1$, și determinantul iese $2\cdot 1-1\cdot (-1)=3$; sau se adună produsul diagonalei secundare în loc să se scadă, $2\cdot 0+1\cdot (-1)=-1$.)

b) (5 p) Se calculează matricele și produsul lor: $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -2& -1\end{array}\right),A(2)=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ -4& -3\end{array}\right),A(1)\cdot A(2)=\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ -6& -5\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ $$A(1)+A(2)-A(1)\cdot A(2)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -2& -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ -4& -3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ -6& -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2\text{(2 p)}.$$

(Detaliul produsului: $3\cdot 5+2\cdot (-4)=7$, $3\cdot 4+2\cdot (-3)=6$, $(-2)\cdot 5+(-1)\cdot (-4)=-6$, $(-2)\cdot 4+(-1)\cdot (-3)=-5$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele de pe aceleași poziții, $\left(\begin{array}{cc}15& 8\\ 8& 3\end{array}\right)$ — produsul matricelor se face linie cu coloană.)

c) (5 p) Se calculează produsul în general, pentru $m$ și $n$ numere naturale: $$A(m)\cdot A(n)=\left(\begin{array}{cc}1+2^m+2^n& 2^m+2^n\\ -2^m-2^n& 1-2^m-2^n\end{array}\right),A(m+n)=\left(\begin{array}{cc}1+2^{m+n}& 2^{m+n}\\ -2^{m+n}& 1-2^{m+n}\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Egalând elementele corespunzătoare, $$A(m)\cdot A(n)=A(m+n)⟺2^{m+n}=2^m+2^n⟺\left(2^m-1\right)\left(2^n-1\right)=1$$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, $2^m-1$ și $2^n-1$ sunt numere naturale al căror produs este $1$, deci amândouă sunt egale cu $1$; obținem $\mathbf{m}=\mathbf{n}=1$ (3 p).

(De unde vine produsul: $A(a)=I_2+2^{a}N$, cu $N=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$ și $N^2=O_2$, deci $A(m)\cdot A(n)=I_2+\left(2^m+2^n\right)N$. Descompunerea: $2^{m+n}-2^m-2^n+1=\left(2^m-1\right)\left(2^n-1\right)$. Control: pentru $m=n=1$, $2^2=4=2+2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $A(m)\cdot A(n)$ ca matricea cu elementele înmulțite, $2^m\cdot 2^n=2^{m+n}$, și egalitatea pare adevărată pentru orice $m$ și $n$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=y=-1$: $$(-1)\ast (-1)=(-1{)}^2+(-1{)}^2+(-1)+(-1)\text{(3 p)}.$$ $$(-1)\ast (-1)=1+1-1-1=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $(-1{)}^2=-1$, și iese $-4$.)

b) (5 p) Se adaugă și se scade $\frac{1}{4}$ pentru fiecare variabilă: $$x\ast y=x^2+x+\frac{1}{4}+y^2+y+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ Primii trei termeni și următorii trei sunt pătrate perfecte: $$x\ast y=\left(x^2+2x\cdot \frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right)+\left(y^2+2y\cdot \frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right)-\frac{1}{2}={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2},$$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ (2 p).

(Control: pentru $x=y=-1$ forma restrânsă dă $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=0$, ca la a). Unde se greșește de obicei: se scrie $x^2+x={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2$, uitând să se scadă $\frac{1}{4}$.)

c) (5 p) Cu forma de la b), în care atât $x$, cât și $y$ se înlocuiesc cu $x^2$: $$x^2\ast x^2\le 4⟺2{\left(x^2+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}\le 4⟺{\left(x^2+\frac{1}{2}\right)}^2\le \frac{9}{4},$$ de unde obținem, cum $x^2+\frac{1}{2}>0$, $x^2+\frac{1}{2}\le \frac{3}{2}$ (3 p). Rezultă $x^2\le 1$, adică $\mathbf{x}\in [-1,1]$ (2 p).

(Drum direct, fără b): $x^2\ast x^2=2x^4+2x^2\le 4⟺x^4+x^2-2\le 0⟺\left(x^2-1\right)\left(x^2+2\right)\le 0$, deci $x^2\le 1$. Unde se greșește de obicei: se uită coeficientul $2$ din $x^2\ast x^2=2{\left(x^2+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}$ și iese ${\left(x^2+\frac{1}{2}\right)}^2\le \frac{9}{2}$, adică $x^2\le \frac{3\sqrt{2}-1}{2}\approx 1,6213$ — un interval mai larg; sau din $x^2\le 1$ se scrie doar $x\le 1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită și o inegalitate.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen, cu $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$: $$f^{\prime }(x)=2x+4-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x+2}=2(x+2)-\frac{1}{2(x+2)}=\frac{4(x+2{)}^2-1}{2(x+2)}\text{(3 p)}.$$ Numărătorul este o diferență de pătrate: $$f^{\prime }(x)=\frac{(2(x+2)-1)(2(x+2)+1)}{2(x+2)}=\frac{(2x+3)(2x+5)}{2(x+2)},x\in (-2,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: în $x=0$ formula dă $\frac{3\cdot 5}{4}=3,75$, iar $4-\frac{1}{4}=3,75$. Unde se greșește de obicei: se derivează $\ln (x+2)$ ca $\ln x$, adică $\frac{1}{x}$; sau se uită factorul $\frac{1}{2}$.)

b) (5 p) Diferența de la numărător se reduce la termenul cu logaritm: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+4x-f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{2}\ln (x+2)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x+2)}{2x}\text{(2 p)}.$$ Este o nedeterminare $\frac{\infty }{\infty }$; cu regula lui l'Hôpital, $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x+2)}{2x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x+2}}{2}=0\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se adună $f(x)$ în loc să se scadă, numărătorul devine $2x^2+8x-\frac{1}{2}\ln (x+2)$, iar limita iese $+\infty$; sau se afirmă că limita este $+\infty$ „pentru că logaritmul crește" — crește, dar mult mai încet decât $x$.)

c) (5 p) Semnul derivatei: pe $(-2,+\infty )$ avem $x+2>0$ și $2x+5>0$, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $2x+3$. Așadar $f^{\prime }(x)\le 0$, pentru orice $x\in \left(-2,-\frac{3}{2}\right]$ $\Rightarrow$ $f$ este descrescătoare pe $\left(-2,-\frac{3}{2}\right]$, și $f^{\prime }(x)\ge 0$, pentru orice $x\in \left[-\frac{3}{2},+\infty \right)$ $\Rightarrow$ $f$ este crescătoare pe $\left[-\frac{3}{2},+\infty \right)$; valoarea minimă este $$f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}-6-\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2}=-\frac{15}{4}+\frac{1}{2}\ln 2\text{(3 p)}.$$ Pentru orice $x\in (-2,+\infty )$, $f(x)\ge f\left(-\frac{3}{2}\right)$, deci $x^2+4x-\frac{1}{2}\ln (x+2)\ge -\frac{15}{4}+\frac{1}{2}\ln 2$, iar cum $\frac{1}{2}\ln 2+\frac{1}{2}\ln (x+2)=\frac{1}{2}\ln (2x+4)$, de unde obținem $$x^2+4x+\frac{15}{4}\ge \frac{1}{2}\ln (2x+4),\text{ pentru orice }x\in (-2,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: în $x=0$, membrul stâng este $3,75$, iar membrul drept $\frac{1}{2}\ln 4\approx 0,693$; în $x=-\frac{3}{2}$ ambii membri sunt egali cu $\frac{1}{2}\ln 1=0$ — egalitatea se atinge. Unde se greșește de obicei: se încearcă inegalitatea direct, prin estimări, fără funcția $f$; sau se calculează greșit $-\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\ln 2$ — semnul se schimbă, pentru că $\ln \frac{1}{2}=-\ln 2$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și primitive.

a) (5 p) Se înmulțește: $\left(x^2+1\right)f(x)=x^2+1+2=x^2+3$, deci $${\int }_0^3\left(x^2+1\right)f(x)dx={\int }_0^3\left(x^2+1+2\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+3x\right){|}_0^3\text{(3 p)}.$$ $${\int }_0^3\left(x^2+1\right)f(x)dx=\frac{27}{3}+9=18\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înmulțește doar primul termen, $\left(x^2+1\right)\cdot 1$, uitând fracția, și iese $12$.)

b) (5 p) Se desparte integrandul; al doilea termen este de forma $\frac{u^{\prime }}{u}$, cu $u=x^2+1$: $${\int }_1^{3}xf(x)dx={\int }_1^3\left(x+\frac{2x}{x^2+1}\right)dx=\frac{x^2}{2}{|}_1^3+\ln \left(x^2+1\right){|}_1^3\text{(3 p)}.$$ $${\int }_1^{3}xf(x)dx=\frac{9-1}{2}+\ln 10-\ln 2=4+\ln 5\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: $4+\ln 5\approx 5,609$, iar integrala calculată numeric pe $[1,3]$ dă tot $5,609$. Unde se greșește de obicei: primitiva lui $\frac{2x}{x^2+1}$ se scrie $2\ln \left(x^2+1\right)$ sau $\mathrm{arctg}x$.)

c) (5 p) $F$ este o primitivă a funcției $f$, iar $f$ este continuă, deci, după formula Leibniz–Newton, pentru orice număr real $x$, $$F(x+1)-F(x)={\int }_x^{x+1}f(t)dt\text{(2 p)}.$$ Cum $f(t)=1+\frac{2}{t^2+1}>1$, pentru orice număr real $t$, avem $${\int }_x^{x+1}f(t)dt\ge {\int }_x^{x+1}1dt=x+1-x=1,$$ de unde obținem că $F(x+1)\ge F(x)+1$, pentru orice număr real $x$ (3 p).

(De ce $f(t)>1$: fracția $\frac{2}{t^2+1}$ are numărătorul și numitorul pozitivi. De fapt inegalitatea este chiar strictă. Alt drum: cu primitiva explicită $F(x)=x+2\mathrm{arctg}x+\mathcal{C}$, inegalitatea devine $\mathrm{arctg}(x+1)\ge \mathrm{arctg}x$, adevărată pentru că arctangenta este crescătoare. Unde se greșește de obicei: se scrie $F(x+1)-F(x)=f(x+1)-f(x)$, confundând primitiva cu funcția; sau se uită să se spună că diferența de primitive este o integrală, și se compară direct $F(x+1)$ cu $F(x)$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea iunie-iulie 2021 a examenului național de bacalaureat — Varianta 2, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2021:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii geometrice: rația și un termen — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: valoarea funcției compuse într-un punct — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: ridicarea la pătrat și verificarea soluțiilor — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărarea cifrelor care fac un produs strict pozitiv — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și coliniaritatea prin pante — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: pătratul unei diferențe, formula $\sin 2x$ și o ecuație trigonometrică pe un interval — clasele a IX-a – a X-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, operații cu matrice și egalitatea a două matrice — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Lege de compoziție: calcul direct, restrângerea în pătrate și o inecuație — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, o limită la $+\infty$ și o inegalitate obținută din punctul de minim — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrala definită și primitive: formula Leibniz–Newton, primitiva de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$ și integrala unei funcții mai mari decât $1$ — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea iunie-iulie 2021. Subiectul I rămâne de un singur pas pe cerință, dar are două locuri unde se greșește din neatenție: la cerința 3, una dintre soluțiile ecuației de gradul al doilea nu convine, iar la cerința 4 cifra $0$ face parte dintre cazurile posibile. Subiectul al II-lea pune o matrice cu puteri ale lui $2$: la subpunctul c) egalitatea $A(m)\cdot A(n)=A(m+n)$ se reduce la $2^{m+n}=2^m+2^n$, care se descompune în $\left(2^m-1\right)\left(2^n-1\right)=1$. Legea de compoziție se scrie ca sumă de pătrate, iar forma aceasta rezolvă inecuația de la c). Subiectul al III-lea cere la problema 1 o inegalitate cu logaritm care nu se demonstrează direct, ci din punctul de minim al funcției; la problema 2, ultimul subpunct este o proprietate a primitivelor: diferența $F(x+1)-F(x)$ este o integrală, iar integrandul este mai mare decât $1$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt „curate": întregi, $\frac{1}{2}$, $\frac{3\pi }{4}$, intervalul $[-1,1]$ și $4+\ln 5$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Greșeli de redactare de evitat: soluțiile ecuației iraționale păstrate fără verificare; coliniaritatea afirmată fără calculul pantelor; inegalitatea de la problema 9 „demonstrată" doar pe câteva valori, fără monotonie; inegalitatea de la problema 10 scrisă fără să se spună că $F(x+1)-F(x)$ este o integrală.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii geometrice: $q=\frac{b_2}{b_1}$, $b_n=b_1{q}^{n-1}$. Compunere: $(f\circ g)(a)=f(g(a))$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u}=v$ implică $u=v^2$, cu verificarea $v\ge 0$. Geometrie analitică: mijlocul lui $[AC]$ are coordonatele $\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right)$, panta dreptei $PQ$ este $m_{PQ}=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$, iar trei puncte sunt coliniare când două pante cu un punct comun sunt egale. Trigonometrie: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ și $2\sin x\cos x=\sin 2x$.
• Matrice: determinantul de ordinul al doilea este $ps-qr$; două matrice sunt egale când au elementele corespunzătoare egale.
• Lege de compoziție: restrângerea în pătrat, $x^2+x={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}$.
• Derivate: $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$; dacă $f$ este descrescătoare pe $(a,x_0]$ și crescătoare pe $[x_0,b)$, atunci $f(x)\ge f(x_0)$ pe $(a,b)$.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{2x}{x^2+1}dx=\ln \left(x^2+1\right)+\mathcal{C}$; dacă $f(t)\ge 1$ pe $[x,x+1]$, atunci ${\int }_x^{x+1}f(t)dt\ge {\int }_x^{x+1}1dt=1$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere și semne în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=x+7$ la cerința $2$, $f(x)=x^2+4x-\frac{1}{2}\ln (x+2)$ la cerința $9$ și $f(x)=1+\frac{2}{x^2+1}$ la cerința $10$; la cerința $10$, $F$ este o primitivă a acestei ultime funcții. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Semnul $\circ$ de la cerința $2$ este compunerea funcțiilor, iar semnul $\ast$ de la cerința $8$ este o lege de compoziție. La subpunctul c) al cerinței $8$, $x^2\ast x^2$ înseamnă legea aplicată numerelor $x^2$ și $x^2$.
• Litera $a$ de la cerința $7$ este exponentul lui $2$ din matricea $A(a)$; la subpunctul c), $m$ și $n$ sunt numere naturale, nu reale.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".