Bac M2 2021, modelul oficial — rezolvat

Toate probele M2 din 2021 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că numerele ${\log }_{2}3$, ${\log }_{2}6$ și ${\log }_{2}12$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-x+1$. Determinați numărul real $x$ pentru care $f(x)=x$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $|2x-1|=2x+1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor pară și cifra unităților impară.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$, pentru care vectorii $\vec{u}=a\vec{i}+\vec{j}$ și $\vec{v}=8\vec{i}+2\vec{j}$ sunt coliniari.

Exercițiul 6 (5 puncte)

În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, $BC=12$ și $B=\frac{\pi }{6}$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $18\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{cc}2a-1& 4a-4\\ 1-a& 3-2a\end{array}\right),$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(2))=1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(a)\cdot A(b)=A(a+b-1)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$, știind că $A(1)\cdot A(2)\cdot A\left(2^2\right)\cdot A\left(2^3\right)\cdot A\left(2^4\right)=A(32)\cdot A(-n)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=3x^2-5xy+2y^2$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\circ 2=1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $x\circ x=0$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $2^x\circ 3^x=0$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}-x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}-1$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=-1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\sqrt{{\left(x^2+1\right)}^2+2\left(x^2+1\right)+2}-\sqrt{4x^2+4x+2}\le (x-1{)}^2$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(4-f^2(x)\right)dx=\pi$.

b) (5 puncte) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$ are aria egală cu $2\left(\sqrt{2}-1\right)$.

c) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\frac{f\left(x^2\right)}{x}dx=\ln \left(\sqrt{34}-\sqrt{17}+4\sqrt{2}-4\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul pentru 2021; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. La cerința 4 baremul are trei rânduri punctate ($2+2+1$); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — logaritmi și progresie aritmetică.

Trei numere $a$, $b$, $c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice exact când $a+c=2b$. Calculăm suma extremelor: $${\log }_{2}3+{\log }_{2}12={\log }_{2}36={\log }_2{6}^2=\text{(3 p)}$$ $$=2{\log }_{2}6,\text{ deci numerele date sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice}\text{(2 p)}.$$

(Un drum echivalent: ${\log }_{2}6-{\log }_{2}3={\log }_{2}2=1$ și ${\log }_{2}12-{\log }_{2}6={\log }_{2}2=1$ — diferențele sunt egale, deci progresia are rația $1$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\log }_{2}3+{\log }_{2}12={\log }_{2}15$, adunând argumentele; sau se verifică relația de progresie geometrică, $b^2=ac$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea.

Se trece totul în membrul stâng: $$f(x)=x⟺x^2-x+1=x⟺x^2-2x+1=0\text{(3 p)}.$$ Trinomul este un pătrat perfect, $(x-1{)}^2=0$, deci $$\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $f(1)=1-1+1=1$. Unde se greșește de obicei: se rezolvă $f(x)=0$, care nu are soluții reale, sau se scade $x$ doar dintr-un termen și iese $x^2+1=0$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu modul.

Membrul stâng este un modul, deci nenegativ; soluțiile trebuie să verifice $2x+1\ge 0$. Ecuația $|u|=v$ se desface în două: $$2x-1=2x+1\text{ sau }2x-1=-2x-1\text{(3 p)}.$$ Prima ecuație se reduce la $-1=1$, imposibil; a doua dă $4x=0$, deci $\mathbf{x}=0$ (2 p), care verifică $2x+1=1\ge 0$.

(Verificare: $|-1|=1=2\cdot 0+1$. Unde se greșește de obicei: se scrie doar $2x-1=2x+1$ și se conclude „ecuația nu are soluții"; sau la ramura cu minus se schimbă semnul doar la un termen, $2x-1=-2x+1$, și iese $x=\frac{1}{2}$, care nu verifică.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Cifra zecilor este pară și nenulă: $2$, $4$, $6$ sau $8$ (patru posibilități); cifra unităților este impară: $1$, $3$, $5$, $7$ sau $9$ (cinci posibilități). În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt $4\cdot 5=20$ de numere care au cifra zecilor pară și cifra unităților impară, deci sunt $20$ de cazuri favorabile (2 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se socotește și $0$ printre cifrele pare ale zecilor, și ies $25$ de cazuri favorabile — dar un număr de două cifre nu începe cu $0$; sau se numără $99$ sau $100$ de cazuri posibile.)

Exercițiul 5. (5 p) — vectori coliniari.

Vectorii $\vec{u}$ și $\vec{v}$ sunt coliniari exact când coordonatele lor sunt proporționale: $$\frac{a}{8}=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{a}=4\text{(2 p)}.$$

(Control: $\vec{v}=8\vec{i}+2\vec{j}=2\left(4\vec{i}+\vec{j}\right)=2\vec{u}$. Unde se greșește de obicei: se scrie proporția „în cruce" greșit, $\frac{a}{2}=\frac{1}{8}$, și iese $a=\frac{1}{4}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie în triunghiul dreptunghic.

În triunghiul dreptunghic în $A$, cosinusul unghiului $B$ este cateta alăturată supra ipotenuză: $$\cos B=\frac{AB}{BC}⟹\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AB}{12}⟹AB=6\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$ Aria se calculează cu sinusul unghiului dintre laturile $AB$ și $BC$: $${\mathcal{S}}_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\cdot 12\cdot \frac{1}{2}=18\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$

(Un drum echivalent: $AC=BC\cdot \sin B=6$, iar aria este semiprodusul catetelor, $\frac{6\sqrt{3}\cdot 6}{2}=18\sqrt{3}$. Unde se greșește de obicei: se ia $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, și iese $AB=6$ și aria $18$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=2$: $$A(2)=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -1& -1\end{array}\right)⟹\det (A(2))=\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ -1& -1\end{array}\right|=3\cdot (-1)-(-1)\cdot 4=\text{(3 p)}$$ $$=-3+4=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: produsul de pe diagonala secundară este $(-1)\cdot 4=-4$, care se SCADE; dacă se pierde un minus, iese $-3-4=-7$.)

b) (5 p) Se înmulțesc matricele, linie cu coloană: $$A(a)\cdot A(b)=\left(\begin{array}{cc}2a-1& 4a-4\\ 1-a& 3-2a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2b-1& 4b-4\\ 1-b& 3-2b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2a+2b-3& 4a+4b-8\\ -a-b+2& -2a-2b+5\end{array}\right)=\text{(3 p)}$$ $$=\left(\begin{array}{cc}2(a+b-1)-1& 4(a+b-1)-4\\ 1-(a+b-1)& 3-2(a+b-1)\end{array}\right)=A(a+b-1),\text{ pentru orice numere reale }a\text{ și }b\text{(2 p)}.$$

(Detaliul primului element: $(2a-1)(2b-1)+(4a-4)(1-b)=4ab-2a-2b+1+4a-4ab-4+4b=2a+2b-3$; termenii în $ab$ se reduc la fiecare element. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele element cu element; sau, la sfârșit, se scrie $A(a+b)$ — dar $2(a+b)-1=2a+2b-1\ne 2a+2b-3$.)

c) (5 p) Cu relația de la subpunctul b), aplicată de patru ori, parametrii se adună și la fiecare înmulțire se scade $1$: $$A(1)\cdot A(2)\cdot A\left(2^2\right)\cdot A\left(2^3\right)\cdot A\left(2^4\right)=A\left(1+2+2^2+2^3+2^4-4\right)=A(27)\text{(3 p)}.$$ La fel, $A(32)\cdot A(-n)=A(32+(-n)-1)=A(31-n)$, deci $A(27)=A(31-n)$, de unde obținem $\mathbf{n}=4$ (2 p).

(De ce se poate trece de la $A(27)=A(31-n)$ la $27=31-n$: elementul de pe poziția $(2,1)$ al lui $A(a)$ este $1-a$, deci matrice egale au parametri egali. Detaliul primului calcul: $1+2+4+8+16=31$, iar la patru înmulțiri se scade de patru ori $1$. Unde se greșește de obicei: se scade $1$ o singură dată, și iese $A(30)$, deci $n=1$; sau se scade de cinci ori, câte unul pentru fiecare factor.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=1$ și $y=2$: $$1\circ 2=3\cdot 1^2-5\cdot 1\cdot 2+2\cdot 2^2=\text{(3 p)}$$ $$=3-10+8=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează $2\cdot 2^2=16$, ca și cum pătratul ar fi $(2\cdot 2{)}^2$; sau se inversează rolurile lui $x$ și $y$ — legea nu este comutativă: $2\circ 1=12-10+2=4$.)

b) (5 p) Pentru $y=x$: $$x\circ x=3x^2-5x^2+2x^2=\text{(3 p)}$$ $$=-2x^2+2x^2=0,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$

(Un drum echivalent: $x\circ y=(x-y)(3x-2y)$, iar pentru $y=x$ primul factor este $0$.)

c) (5 p) Cu $x\to 2^x$ și $y\to 3^x$, ecuația devine $3\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^x\cdot 3^x+2\cdot 3^{2x}=0$ și se descompune în factori: $$3\cdot 2^x\left(2^x-3^x\right)-2\cdot 3^x\left(2^x-3^x\right)=0⟺\left(2^x-3^x\right)\left(3\cdot 2^x-2\cdot 3^x\right)=0\text{(3 p)}.$$ Un produs este nul când un factor este nul: $2^x=3^x$ sau $3^{x-1}=2^{x-1}$, de unde obținem $\mathbf{x}=0$ sau $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(De ce: $2^x=3^x$ înseamnă ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=1$, deci $x=0$; iar $3\cdot 2^x=2\cdot 3^x$ se împarte la $6$ și dă $2^{x-1}=3^{x-1}$, deci $x-1=0$. Verificare: $1\circ 1=0$ și $2\circ 3=12-30+18=0$. Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația la $2^x-3^x$ fără să se discute cazul în care factorul este nul, și se pierde soluția $x=0$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, inegalitate prin monotonie.

a) (5 p) Se derivează radicalul cu ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{{\left(x^2+2x+2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{x^2+2x+2}}-x^{\prime }=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2+2x+2}}-1=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}-1,x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Radicalul există pe tot $\mathbb{R}$: $x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1\ge 1$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{u}}$, fără factorul $u^{\prime }$; sau se uită derivata termenului $-x$.)

b) (5 p) Valoarea și derivata în $-1$: $$f(-1)=\sqrt{1-2+2}+1=2,f^{\prime }(-1)=\frac{0}{1}-1=-1\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-f(-1)=f^{\prime }(-1)(x-(-1))$, adică $y-2=-(x+1)$, deci $\mathbf{y}=-\mathbf{x}+1$ (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se scrie $f(-1)=\sqrt{1}-1=0$, uitând că $-x$ devine $+1$; sau se scrie factorul $x-1$ în loc de $x+1$. Control: dreapta $y=-x+1$ trece prin $(-1,2)$.)

c) (5 p) Pentru orice $x$ real, $\sqrt{x^2+2x+2}=\sqrt{(x+1{)}^2+1}>|x+1|\ge x+1$, deci $\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}<1$ și $f^{\prime }(x)<0$. Așadar $f$ este descrescătoare pe $\mathbb{R}$ și, cum $x^2+1\ge 2x$, obținem $$f\left(x^2+1\right)\le f(2x),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ Cum $f\left(x^2+1\right)=\sqrt{{\left(x^2+1\right)}^2+2\left(x^2+1\right)+2}-\left(x^2+1\right)$ și $f(2x)=\sqrt{(2x{)}^2+2\cdot 2x+2}-2x$, inegalitatea devine, după trecerea termenilor fără radical în membrul drept, $$\sqrt{{\left(x^2+1\right)}^2+2\left(x^2+1\right)+2}-\sqrt{4x^2+4x+2}\le x^2+1-2x=(x-1{)}^2,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$

(Inegalitatea $x^2+1\ge 2x$ este $(x-1{)}^2\ge 0$. Baremul oficial afirmă doar „$f^{\prime }(x)<0$"; justificarea semnului, cu $\sqrt{(x+1{)}^2+1}>|x+1|$, o scriem noi, fără punctaj separat. Unde se greșește de obicei: se trage concluzia $f\left(x^2+1\right)\ge f(2x)$, ca la o funcție crescătoare; sau se ridică la pătrat inegalitatea fără să se discute semnele membrilor — ridicarea la pătrat păstrează sensul doar între numere nenegative.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite și aria unei suprafețe plane.

a) (5 p) Cum $f^2(x)=\frac{4x^2}{x^2+1}$, integrandul se simplifică: $4-\frac{4x^2}{x^2+1}=\frac{4}{x^2+1}$, deci $${\int }_0^1\left(4-f^2(x)\right)dx={\int }_0^1\left(4-\frac{4x^2}{x^2+1}\right)dx=4{\int }_0^1\frac{1}{x^2+1}dx=4\mathrm{arctg}x{|}_0^1=\text{(3 p)}$$ $$=4\left(\mathrm{arctg}1-\mathrm{arctg}0\right)=4\cdot \frac{\pi }{4}=\pi \text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $f^2(x)=\frac{4x^2}{\sqrt{x^2+1}}$, ridicând la pătrat doar numărătorul; sau se ia $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{2}$ și iese $2\pi$.)

b) (5 p) Pe $[0,1]$ avem $f(x)\ge 0$, deci modulul dispare, iar numărătorul $2x$ este derivata lui $x^2+1$: $$\mathcal{S}={\int }_0^1|f(x)|dx={\int }_0^1\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx={\int }_0^1\frac{{\left(x^2+1\right)}^{\prime }}{\sqrt{x^2+1}}dx=\text{(3 p)}$$ $$=2\sqrt{x^2+1}{|}_0^1=2\left(\sqrt{2}-1\right)\text{(2 p)}.$$

(Control: ${\left(2\sqrt{x^2+1}\right)}^{\prime }=\frac{2\cdot 2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$. Numeric: integrala pe $[0,1]$ dă $0,828427$, iar $2\left(\sqrt{2}-1\right)\approx 0,828427$. Unde se greșește de obicei: primitiva se scrie $\sqrt{x^2+1}$, fără factorul $2$, și iese $\sqrt{2}-1$. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{S}$.)

c) (5 p) Pentru $x\in [1,2]$, $f\left(x^2\right)=\frac{2x^2}{\sqrt{x^4+1}}$, iar după împărțirea la $x$ numărătorul devine $2x={\left(x^2\right)}^{\prime }$: $${\int }_1^2\frac{f\left(x^2\right)}{x}dx={\int }_1^2\frac{2x^2}{x\sqrt{x^4+1}}dx={\int }_1^2\frac{2x}{\sqrt{x^4+1}}dx={\int }_1^2\frac{{\left(x^2\right)}^{\prime }}{\sqrt{{\left(x^2\right)}^2+1}}dx=\text{(3 p)}$$ $$=\ln \left(x^2+\sqrt{x^4+1}\right){|}_1^2=\ln \frac{4+\sqrt{17}}{1+\sqrt{2}}=\ln \left(\sqrt{34}-\sqrt{17}+4\sqrt{2}-4\right)\text{(2 p)}.$$

(Baremul folosește direct o formulă din tabelul de primitive al programei vechi; în lecțiile de azi ea nu apare, așa că o verificăm prin derivare. Formula este $\int \frac{u^{\prime }}{\sqrt{u^2+1}}dx=\ln \left(u+\sqrt{u^2+1}\right)+\mathcal{C}$, iar pentru $u=x^2$: ${\left(\ln \left(x^2+\sqrt{x^4+1}\right)\right)}^{\prime }=\frac{2x+\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+1}}}{x^2+\sqrt{x^4+1}}=\frac{2x\left(\sqrt{x^4+1}+x^2\right)}{\sqrt{x^4+1}\left(x^2+\sqrt{x^4+1}\right)}=\frac{2x}{\sqrt{x^4+1}}$. Ultima egalitate vine din raționalizarea numitorului: $\frac{4+\sqrt{17}}{1+\sqrt{2}}=(4+\sqrt{17})(\sqrt{2}-1)=4\sqrt{2}-4+\sqrt{34}-\sqrt{17}$. Control numeric: integrala pe $[1,2]$ dă $1,213339$, iar $\sqrt{34}-\sqrt{17}+4\sqrt{2}-4\approx 3,364701$, cu $\ln 3,364701\approx 1,213339$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f\left(x^2\right)=\frac{2x^2}{\sqrt{x^2+1}}$, înlocuind $x$ cu $x^2$ doar la numărător.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_șt-nat, publicat înaintea sesiunilor din 2021 ca reper al structurii și al nivelului de dificultate. Un model nu se dă în ziua examenului: el este documentul prin care ministerul arată cum va arăta proba — de aceea nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum o anunță modelul din 2021:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Logaritmi: suma logaritmilor în aceeași bază și condiția ca trei numere să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice — clasele a IX-a și a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: ecuația $f(x)=x$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație cu modul: $|u|=v$ se desface în $u=v$ sau $u=-v$ — clasa a IX-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărarea numerelor de două cifre după paritatea cifrelor — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: coliniaritatea a doi vectori dați prin $\vec{i}$ și $\vec{j}$ — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie în triunghiul dreptunghic: cosinusul unui unghi ascuțit și aria cu sinusul — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, produsul a două matrice cu parametru și o relație de „compunere" a parametrilor — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calcul cu legea, $x\circ x=0$ și o ecuație exponențială scrisă cu legea — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unei funcții cu radical, ecuația tangentei, monotonia folosită la o inegalitate — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale: primitiva $\mathrm{arctg}x$, o arie, o primitivă de tipul $\ln \left(u+\sqrt{u^2+1}\right)$ — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2021. Subiectul I rămâne de un singur pas pe cerință, cu o ecuație cu modul la cerința 3, unde una dintre ramuri nu are soluții. Subiectul al II-lea pune o matrice $A(a)$ cu o „lege a parametrilor": produsul $A(a)\cdot A(b)$ este tot o matrice de aceeași formă, $A(a+b-1)$, iar subpunctul c) se reduce la adunarea parametrilor $1+2+4+8+16$, cu câte $-1$ la fiecare înmulțire. Legea de compoziție se descompune în factori, $x\circ y=(x-y)(3x-2y)$, iar ecuația cu $2^x$ și $3^x$ are două soluții. Subiectul al III-lea cere la problema 1 o inegalitate cu radicali demonstrată fără calcul, doar din faptul că funcția este descrescătoare și $x^2+1\ge 2x$; la problema 2 apar două primitive din tabelul lecțiilor, $\mathrm{arctg}x$ și $\sqrt{x^2+1}$, și una din tabelul programei vechi, $\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$, pe care o verificăm prin derivare.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, $\frac{2}{9}$, $18\sqrt{3}$, o dreaptă, $\pi$, $2\left(\sqrt{2}-1\right)$ și un logaritm.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluția găsită fără verificarea condiției $2x+1\ge 0$; la cerința 7, subpunctul c), egalitatea $A(27)=A(31-n)$ trecută direct în $27=31-n$, fără să se spună că matricele $A(a)$ diferă pentru valori diferite ale lui $a$; la cerința 9, subpunctul c), monotonia folosită fără justificarea semnului lui $f^{\prime }$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii: $a$, $b$, $c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice exact când $a+c=2b$. Logaritmi: ${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a(uv)$ și ${\log }_a{u}^k=k{\log }_{a}u$. Modul: $|u|=v$, cu $v\ge 0$, exact când $u=v$ sau $u=-v$. Vectori: $p\vec{i}+q\vec{j}$ și $r\vec{i}+s\vec{j}$ sunt coliniari exact când $ps-qr=0$ (pentru $r,s\ne 0$: $\frac{p}{r}=\frac{q}{s}$). Triunghiul dreptunghic în $A$: $\cos B=\frac{AB}{BC}$; aria oricărui triunghi este $\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; produsul a două matrice $2\times 2$ se face „linie cu coloană".
• Derivate: ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; tangenta în punctul de abscisă $a$: $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$; dacă $f^{\prime }<0$ pe $\mathbb{R}$, atunci $f$ este descrescătoare, deci $u\ge v\Rightarrow f(u)\le f(v)$.
• Integrale: $\int \frac{1}{x^2+1}dx=\mathrm{arctg}x+\mathcal{C}$; $\int \frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}dx=\sqrt{u}+\mathcal{C}$; $\int \frac{u^{\prime }}{\sqrt{u^2+1}}dx=\ln \left(u+\sqrt{u^2+1}\right)+\mathcal{C}$ (formulă din tabelul de primitive al programei vechi, verificată prin derivare la cerința $10$, subpunctul c)); aria suprafeței plane delimitate de graficul unei funcții continue $f$, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$ este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=x^2-x+1$ la cerința $2$, $f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}-x$ la cerința $9$ și $f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$ la cerința $10$. Fiecare problemă se citește separat. La cerința $10$, subpunctul a), $f^2(x)$ înseamnă $(f(x){)}^2$, pătratul valorii funcției, nu compunerea $f(f(x))$.
• Litera $A$ este vârful unghiului drept al triunghiului de la cerința $6$ și matricea $A(a)$ de la cerința $7$. Litera $a$ este necunoscuta de la cerința $5$ și parametrul real al matricei $A(a)$ la cerința $7$; la cerința $7$, subpunctul c), $A\left(2^2\right)$ este matricea pentru $a=4$, iar $A(-n)$ matricea pentru $a=-n$.
• Semnul „$\circ$" de la cerința $8$ este legea de compoziție din enunț, $x\circ y=3x^2-5xy+2y^2$, nu compunerea funcțiilor. La cerința $6$, „$B=\frac{\pi }{6}$" înseamnă că unghiul $B$ are măsura $\frac{\pi }{6}$. Baremul oficial notează aria cu $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{S}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".