Bac M2 2021, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2021 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră numărul complex $z=3+2i$. Arătați că $z+\frac{13}{z}=6$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-5$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2+x$. Determinați numărul real $a$ pentru care $(f\circ g)(a)=(f\circ g)(-a)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{3x+5}=9\cdot 3^{x+1}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Se consideră $A$, o mulțime cu $4$ elemente. Calculați probabilitatea ca, alegând o mulțime din mulțimea submulțimilor lui $A$, aceasta să aibă un număr impar de elemente.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$, $B(3,5)$ și $C(0,6)$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $A$ și este paralelă cu mediana din vârful $C$ a triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea laturii $BC$ a triunghiului $ABC$, știind că $AB=2$, $AC=2\sqrt{3}$ și $B=\frac{\pi }{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră $a$ un număr real nenul și matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1+2x& 0& -4x\\ 0& a& 0\\ x& 0& 1-2x\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(x))=a$, pentru orice număr real $x$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real nenul $a$ astfel încât $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Pentru $a=1$, determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ pentru care $A(2)\cdot X=A(3)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $M=[0,+\infty )$ se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y={\log }_2\left(2^x+2^y-1\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $0\ast 2021=2021$.

b) (5 puncte) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".

c) (5 puncte) Determinați $x\in M$ pentru care $x\ast (x+1)\ast (x+2)={\log }_{2}54$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2+1}}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2}{2\left(x^2+1\right)\sqrt{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+1\right)}}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $-\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\sqrt{2}\le \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{x^2-x+1}{x^2+1}}\le \sqrt{6}$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+3-2\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^3(f(x)+2\ln x)dx=14$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^e(2x+3-f(x))dx$.

c) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1{x}^{2}f\left(x^3+1\right)dx=\frac{4(2-\ln 2)}{3}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării naționale din 2021; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. La cerința 4 baremul are trei rânduri punctate ($2+2+1$); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Se amplifică fracția cu conjugatul numitorului, $3-2i$: $$z+\frac{13}{z}=3+2i+\frac{13}{3+2i}=3+2i+\frac{13(3-2i)}{9-4i^2}=3+2i+\frac{13(3-2i)}{13}=\text{(3 p)}$$ $$=3+2i+3-2i=6\text{(2 p)}.$$

(La numitor, $(3+2i)(3-2i)=9-4i^2=9+4=13$. Unde se greșește de obicei: se scrie $9-4i^2=5$, uitând că $i^2=-1$; sau se amplifică doar numitorul, nu și numărătorul.)

Exercițiul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Cu $(f\circ g)(a)=f(g(a))=3g(a)-5$: $$f(g(a))=f(g(-a))⟺3g(a)-5=3g(-a)-5⟺g(a)=g(-a)\text{(3 p)}.$$ $$a^2+a=a^2-a⟺\mathbf{a}=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: compunerea se citește ca produs, $f(a)\cdot g(a)=f(-a)\cdot g(-a)$, adică $(3a-5)\left(a^2+a\right)=(-3a-5)\left(a^2-a\right)$, de unde $6a^3-10a=0$ și apar, pe lângă $0$, și valorile $\pm \frac{\sqrt{15}}{3}$; sau se scrie $g(-a)=a^2+a$, uitând că $-a$ la puterea întâi își păstrează semnul: $g(-a)=(-a{)}^2+(-a)=a^2-a$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Cu $9=3^2$ și regula produsului de puteri: $$3^{3x+5}=3^2\cdot 3^{x+1}⟺3^{3x+5}=3^{x+3}\text{(3 p)}.$$ Funcția exponențială este injectivă, deci $$3x+5=x+3⟹\mathbf{x}=-1\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $3^2=9$ și $9\cdot 3^0=9$. Unde se greșește de obicei: se scrie $9\cdot 3^{x+1}=27^{x+1}$, înmulțind bazele; sau $3^2\cdot 3^{x+1}=3^{2x+2}$, înmulțind exponenții.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Numărul submulțimilor lui $A$ este egal cu $2^4$, deci sunt $16$ cazuri posibile (2 p).

Submulțimile cu un număr impar de elemente au $1$ sau $3$ elemente. Numărul submulțimilor lui $A$ cu un număr impar de elemente este egal cu $C_4^1+C_4^3=4+4=8$, deci sunt $8$ cazuri favorabile (2 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\text{(1 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită mulțimea vidă sau mulțimea $A$ însăși printre cazurile posibile și se numără $14$ sau $15$; sau se ia doar $C_4^1$ ca favorabile. Control: submulțimile cu număr par de elemente sunt $C_4^0+C_4^2+C_4^4=1+6+1=8$, iar $8+8=16$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică.

Mijlocul segmentului $AB$ are coordonatele $\left(\frac{1+3}{2},\frac{3+5}{2}\right)$: $M(2,4)$ este mijlocul segmentului $AB$, deci mediana din $C$ este $CM$, cu panta $$m_{CM}=\frac{4-6}{2-0}=-1\text{(2 p)}.$$ $d\parallel CM\Rightarrow m_d=-1$, deci ecuația dreptei $d$ este $y-y_A=m_d(x-x_A)$, adică $y-3=-(x-1)$, adică $$\mathbf{y}=-\mathbf{x}+4\text{(3 p)}.$$

(Control: $A(1,3)$ verifică $3=-1+4$. Unde se greșește de obicei: se ia mijlocul lui $BC$ sau al lui $AC$ în loc de $AB$ — mediana din vârful $C$ merge la mijlocul laturii opuse, $AB$; sau se scrie dreapta prin $C$ în loc de $A$.)

Exercițiul 6. (5 p) — teorema cosinusului.

Unghiul $B$ este cuprins între laturile $AB$ și $BC$, iar latura opusă lui este $AC$: $$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B⟹12=4+B{C}^2-2\cdot 2\cdot BC\cdot \frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ Ecuația devine $B{C}^2-2BC-8=0$, cu rădăcinile $4$ și $-2$; lungimea este pozitivă, deci $\mathbf{BC}=4$ (2 p).

(Control: $4+16-2\cdot 2\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=12={\left(2\sqrt{3}\right)}^2$. Unde se greșește de obicei: se scrie teorema cu $B{C}^2$ în stânga, $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos B$ — dar unghiul dintre $AB$ și $AC$ este $A$, nu $B$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Dezvoltând după linia a doua (singurul element nenul este $a$, pe diagonală): $$\det (A(x))=\left|\begin{array}{ccc}1+2x& 0& -4x\\ 0& a& 0\\ x& 0& 1-2x\end{array}\right|=a(1+2x)(1-2x)+4a{x}^2=\text{(3 p)}$$ $$=a\left(1-4x^2\right)+4a{x}^2=a,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: produsul de pe diagonala secundară, $(-4x)\cdot a\cdot x=-4a{x}^2$, se scade, deci apare cu $+$; dacă se pierde un semn, iese $a-8a{x}^2$.)

b) (5 p) Se înmulțesc matricele și se compară cu $A(x+y)$: $$A(x)\cdot A(y)=\left(\begin{array}{ccc}1+2(x+y)& 0& -4(x+y)\\ 0& a^2& 0\\ x+y& 0& 1-2(x+y)\end{array}\right),A(x+y)=\left(\begin{array}{ccc}1+2(x+y)& 0& -4(x+y)\\ 0& a& 0\\ x+y& 0& 1-2(x+y)\end{array}\right),$$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ (3 p).

$A(x)\cdot A(y)=A(x+y)\Rightarrow a^2=a$ și, cum $a$ este un număr real nenul, obținem $\mathbf{a}=1$ (2 p).

(Detaliul elementului $(1,1)$: $(1+2x)(1+2y)+(-4x)\cdot y=1+2x+2y+4xy-4xy=1+2(x+y)$; termenii în $xy$ se reduc la toate elementele. Unde se greșește de obicei: se păstrează și $a=0$, deși enunțul cere $a$ nenul.)

c) (5 p) Pentru $a=1$, cu relația de la subpunctul b): $$A(-2)\cdot A(2)=A(0)=I_3,\text{ deci }A(-2)\text{ este inversa matricei }A(2)\text{(2 p)}.$$ Înmulțind la stânga ecuația $A(2)\cdot X=A(3)$ cu $A(-2)$: $$X=A(-2)\cdot A(3)\Rightarrow X=A(1)\Rightarrow X=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& -4\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

(Pentru a fi inversă este nevoie și de $A(2)\cdot A(-2)=I_3$, care rezultă din aceeași relație. Control: $A(2)\cdot A(1)=A(3)$. Aici și $A(3)\cdot A(-2)$ dă tot $A(1)$, pentru că matricele $A(t)$ comută între ele; în general, ordinea contează. Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu $A(2)$ în loc de inversa ei și iese $X=A(3)\cdot A(2)=A(5)$; sau se „scade” $A(2)$, $X=A(3)-A(2)$, o matrice cu linia a doua nulă, pentru care $A(2)\cdot X\ne A(3)$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție cu logaritmi.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=0$ și $y=2021$: $$0\ast 2021={\log }_2\left(2^0+2^{2021}-1\right)={\log }_2\left(1+2^{2021}-1\right)=\text{(3 p)}$$ $$={\log }_2{2}^{2021}=2021\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $2^0=0$ și rămâne ${\log }_2\left(2^{2021}-1\right)$, care nu se simplifică.)

b) (5 p) Căutăm $e\in M$ cu $x\ast e=x$: $$x\ast e=x⟺{\log }_2\left(2^x+2^e-1\right)=x⟺2^x+2^e-1=2^x,\text{ pentru orice }x\in [0,+\infty ),$$ de unde obținem $2^e=1$, deci $e=0\in M$ (3 p).

Cum $0\ast x={\log }_2\left(1+2^x-1\right)=x$, pentru orice $x\in [0,+\infty )$, obținem că $\mathbf{e}=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$" (2 p).

(Legea este comutativă, deci cele două egalități $x\ast 0=x$ și $0\ast x=x$ spun același lucru; baremul le scrie pe amândouă. Unde se greșește de obicei: se scrie $2^e=0$, fără soluție, pierzând termenul $-1$.)

c) (5 p) Legea este asociativă, deci se calculează din aproape în aproape, „sub logaritm": $$x\ast (x+1)\ast (x+2)={\log }_2\left(2^x+2^{x+1}+2^{x+2}-2\right),x\in M\text{(3 p)}.$$ Cum $2^x+2^{x+1}+2^{x+2}=2^x(1+2+4)=7\cdot 2^x$: $${\log }_2\left(7\cdot 2^x-2\right)={\log }_{2}54\Rightarrow 7\cdot 2^x-2=54\Rightarrow 2^x=8,\text{ deci }\mathbf{x}=3,\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $x\ast (x+1)={\log }_2\left(2^x+2^{x+1}-1\right)$, iar $2^{x\ast (x+1)}=2^x+2^{x+1}-1$, deci $(x\ast (x+1))\ast (x+2)={\log }_2\left(2^x+2^{x+1}-1+2^{x+2}-1\right)$ — de aici $-2$. Verificare: $7\cdot 8-2=54$, iar $3\in [0,+\infty )$. Unde se greșește de obicei: se scade $1$ o singură dată, și iese $7\cdot 2^x-1=54$, fără soluție întreagă.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, asimptotă, încadrare.

a) (5 p) Se derivează radicalul, cu ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{u}}{u}^{\prime }$: $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+x+1}}\cdot {\left(\frac{x^2+x+1}{x^2+1}\right)}^{\prime }=\text{(2 p)}$$ $$=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+x+1}}\cdot \frac{(2x+1)\left(x^2+1\right)-\left(x^2+x+1\right)\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{1-x^2}{2\left(x^2+1\right)\sqrt{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+1\right)}},x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul numărătorului: $2x^3+x^2+2x+1-2x^3-2x^2-2x=1-x^2$. Apoi $\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+x+1}}\cdot \frac{1}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+1\right)}}$. Funcția este definită pe tot $\mathbb{R}$, pentru că $x^2+x+1>0$ (discriminantul este $-3$). Unde se greșește de obicei: la derivata câtului se inversează termenii numărătorului, și iese $x^2-1$.)

b) (5 p) Se dă factor comun $x^2$ sub radical: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2+1}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{\frac{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}}=1\text{(3 p)}.$$ Dreapta de ecuație $\mathbf{y}=1$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se răspunde „$x=1$" — aceea ar fi o dreaptă verticală; sau se scrie $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2+x+1}{x^2+1}=-1$, ca și cum semnul lui $x$ ar conta la termenii de grad par.)

c) (5 p) Din semnul lui $f^{\prime }$ (numărătorul $1-x^2$, numitorul pozitiv): $f^{\prime }(x)\le 0$, pentru orice $x\in (-\infty ,-1]\Rightarrow f$ descrescătoare pe $(-\infty ,-1]$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, pentru orice $x\in [-1,1]\Rightarrow f$ crescătoare pe $[-1,1]$ și $f^{\prime }(x)\le 0$, pentru orice $x\in [1,+\infty )\Rightarrow f$ descrescătoare pe $[1,+\infty )$ (2 p).

Valorile în punctele de extrem sunt $f(-1)=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $f(1)=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$, iar $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$ (și, de la subpunctul b), $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=1$), deci $\frac{\sqrt{2}}{2}\le f(x)\le \frac{\sqrt{6}}{2}$, pentru orice număr real $x$. Scriind inegalitatea și pentru $-x$ și adunând, $\sqrt{2}\le f(x)+f(-x)\le \sqrt{6}$, adică $$\sqrt{2}\le \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{x^2-x+1}{x^2+1}}\le \sqrt{6},\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$

(De ce: $f(-x)=\sqrt{\frac{x^2-x+1}{x^2+1}}$, iar valorile lui $f$ nu depășesc $\frac{\sqrt{6}}{2}$ și nu coboară sub $\frac{\sqrt{2}}{2}$, pentru că $1$ — limita la $\pm \infty$ — se află între cele două. Baremul oficial scrie explicit doar limita la $+\infty$; cea la $-\infty$ este chiar rezultatul subpunctului b). Unde se greșește de obicei: se încadrează doar $f(x)$ și se uită că $f(-x)$ are aceleași margini.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Termenii cu $\ln x$ se reduc: $${\int }_1^3(f(x)+2\ln x)dx={\int }_1^3\left(2x+3-2\ln x+2\ln x\right)dx={\int }_1^3(2x+3)dx=\left(x^2+3x\right){|}_1^3=\text{(3 p)}$$ $$=9+9-1-3=14\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $2x+3$ se scrie $x^2+3$, uitând $x$-ul de la $3x$.)

b) (5 p) Integrandul se reduce la $2\ln x$, care se integrează prin părți, cu $x^{\prime }=1$: $${\int }_1^e(2x+3-f(x))dx=2{\int }_1^e\ln xdx=2x\ln x{|}_1^e-2{\int }_1^{e}x\cdot \frac{1}{x}dx=\text{(3 p)}$$ $$=2e-2(e-1)=2\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $2x\ln x{|}_1^e=2e\cdot 1-2\cdot 0=2e$, iar $2{\int }_1^{e}1dx=2(e-1)$. Unde se greșește de obicei: se scrie $2x+3-f(x)=-2\ln x$, cu semnul greșit, și iese $-2$; sau primitiva lui $\ln x$ se scrie $x\ln x$, fără $-x$, și iese $2x\ln x{|}_1^e=2e$.)

c) (5 p) Cu schimbarea de variabilă $t=x^3+1$, $dt=3x^{2}dx$; pentru $x=0$, $t=1$, iar pentru $x=1$, $t=2$: $${\int }_0^1{x}^{2}f\left(x^3+1\right)dx=\frac{1}{3}{\int }_1^{2}f(t)dt=\frac{1}{3}\left({\int }_1^2(2t+3)dt-2{\int }_1^2\ln tdt\right)=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{1}{3}\left(t^2+3t-2t\ln t+2t\right){|}_1^2=\frac{1}{3}(4+6-4\ln 2+4-1-3-2)=\frac{4(2-\ln 2)}{3}\text{(2 p)}.$$

(Primitiva lui $\ln t$ este $t\ln t-t$, de aceea $-2\int \ln tdt$ dă $-2t\ln t+2t$. Control numeric: integrala pe $[0,1]$ dă $1,742470$, iar $\frac{4(2-\ln 2)}{3}\approx 1,742470$. Unde se greșește de obicei: se păstrează capetele $0$ și $1$ după schimbarea de variabilă, sau se uită factorul $\frac{1}{3}$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la simularea națională a examenului de bacalaureat din 2021, proba E. c), Matematică M_șt-nat. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Ce este „simularea națională" și cu ce diferă de un subiect de sesiune. Documentul simulării nu are număr de variantă — în colțul din dreapta sus al documentului scrie chiar cuvântul „Simulare". Baremul ei este însă la fel de oficial ca al oricărei sesiuni, iar structura este aceeași ca la examen: trei subiecte, 90 de puncte din cerințe și 10 din oficiu.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în simularea din 2021:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: împărțirea prin amplificare cu conjugatul, $i^2=-1$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ g)(a)=f(g(a))$ și injectivitatea funcției de gradul întâi — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază, $9=3^2$ — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numărul submulțimilor unei mulțimi cu patru elemente și al celor cu număr impar de elemente — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment, panta unei drepte, dreapta paralelă printr-un punct — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema cosinusului și o ecuație de gradul al doilea în latura necunoscută — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinant, produsul a două matrice de aceeași formă, o ecuație matriceală rezolvată cu inversa — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calcul cu legea, elementul neutru, o ecuație cu trei „factori" — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unei funcții compuse cu radical, asimptota orizontală, monotonia și valorile extreme — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale: formula Leibniz–Newton, integrarea prin părți pentru $\ln x$, schimbarea de variabilă $t=x^3+1$ — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2021. Subiectul I este format din șase cerințe directe; cea mai lungă este cerința 5, unde întâi se află mijlocul lui $AB$, apoi panta medianei, apoi dreapta paralelă prin $A$. La Subiectul al II-lea, matricea $A(x)$ are proprietatea $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$ doar pentru $a=1$, iar ecuația matriceală de la subpunctul c) se rezolvă observând că $A(-2)$ este inversa lui $A(2)$ — fără niciun calcul de inversă. Legea de compoziție este dată printr-un logaritm, $x\ast y={\log }_2\left(2^x+2^y-1\right)$, iar tot calculul se face „sub logaritm", cu puterile lui $2$. Subiectul al III-lea cere la problema 1 o încadrare a sumei $f(x)+f(-x)$, obținută din tabelul de variație al lui $f$; la problema 2, trei integrale, în care integrandul se simplifică, apoi apar integrarea prin părți și schimbarea de variabilă.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție (cu element neutru), capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, $\frac{1}{2}$, o dreaptă, o matrice cu elemente întregi și $\frac{4(2-\ln 2)}{3}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 6, păstrarea soluției negative $BC=-2$ a ecuației de gradul al doilea; la cerința 8, subpunctul b), elementul neutru găsit fără verificarea ambelor egalități $x\ast e=x$ și $e\ast x=x$; la cerința 8, subpunctul c), soluția $x=3$ dată fără să se spună că aparține mulțimii $M$; la cerința 9, subpunctul c), încadrarea lui $f$ scrisă fără limitele la $\pm \infty$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $\frac{1}{p+qi}=\frac{p-qi}{p^2+q^2}$. Exponențiale: $a^u=a^v⟺u=v$. Submulțimi: o mulțime cu $n$ elemente are $2^n$ submulțimi, iar $C_n^k$ dintre ele au $k$ elemente. Geometrie analitică: mijlocul segmentului, panta $m_{PQ}=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$, dreptele paralele au pante egale, dreapta prin $A$ cu panta $m$: $y-y_A=m(x-x_A)$. Teorema cosinusului: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$.
• Matrice: dacă $P\cdot Q=I_3$, atunci $Q$ este inversa lui $P$, iar ecuația $P\cdot X=N$ are soluția $X=P^{-1}\cdot N$.
• Legi de compoziție: $e$ este element neutru dacă $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$ din mulțime. Logaritmi: ${\log }_{2}u={\log }_{2}v⟺u=v$, iar ${\log }_2{2}^k=k$.
• Derivate: ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$, ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ dacă $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\ell$.
• Integrale: prin părți, ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }dx=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }gdx$; schimbarea de variabilă $t=u(x)$, cu $dt=u^{\prime }(x)dx$ și capetele transformate.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=3x-5$ la cerința $2$, $f(x)=\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2+1}}$ la cerința $9$ și $f(x)=2x+3-2\ln x$ la cerința $10$. Semnul „$\circ$" de la cerința $2$ este compunerea funcțiilor; legea de compoziție de la cerința $8$ se notează „$\ast$".
• Litera $M$ este, la cerința $8$, mulțimea $[0,+\infty )$ pe care se definește legea; în rezolvarea cerinței $5$, ca în baremul oficial, $M$ este mijlocul segmentului $AB$ — altceva.
• Litera $a$ este necunoscuta de la cerința $2$ și parametrul nenul al matricei de la cerința $7$; tot la cerința $7$, $x$ și $y$ sunt parametrii matricelor $A(x)$, $A(y)$, iar $X$ (majusculă) este matricea necunoscută. La cerința $8$, $e$ este elementul neutru, nu numărul lui Euler.
• Litera $A$ este, la cerința $4$, o mulțime cu patru elemente, la cerința $5$ un punct al reperului, la cerința $6$ un vârf al triunghiului, iar la cerința $7$ matricea $A(x)$; literele $B$ și $C$ sunt puncte la cerința $5$ și vârfuri ale altui triunghi la cerința $6$. La cerința $6$, „$B=\frac{\pi }{3}$” înseamnă, ca în documentul oficial, că unghiul $B$ are măsura $\frac{\pi }{3}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".