Bac M2 2022, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2022 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că media aritmetică a numerelor $a=20-\sqrt{21}$ și $b=22+\sqrt{21}$ este egală cu $21$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=3-x$. Arătați că $f(a)+g(a)=2$, pentru orice număr real $a$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{7x-6}=x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, au cifrele elemente ale mulțimii $\{1,2,3,4\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(6,0)$ și $B(6,6)$. Arătați că triunghiul $AOM$ este isoscel, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $OB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, astfel încât $AC=4$ și măsura unghiului $B$ este egală cu $60^{\circ }$. Arătați că înălțimea din vârful $A$ a triunghiului $ABC$ are lungimea egală cu $2$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& -x\\ x& x+1\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=3$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(-1)\cdot A(2)-A(-1)=2I_2$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $A(x)\cdot A(-x)+xA(x)=3I_2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=4(xy+1)-3(x+y)$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\circ 2=3$.

b) (5 puncte) Arătați că, dacă $a\circ 3=4$, atunci $a\circ (-a)=0$.

c) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $(x\circ 1)\circ (x-1)\le 4$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2+x+3-5\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(4x+5)}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)+5\ln x}{3-x-x^2}=-2$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $2x^2+x\ge 3+5\ln x$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(3-2x)e^x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\frac{f(x)}{e^x}dx=2$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{2}f(x)dx=e^2-5$.

c) (5 puncte) Determinați $a\in (-\infty ,1)$ pentru care ${\int }_a^1\frac{e^{3x}}{f^3(x)}dx=\frac{2}{9}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2022; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — radicali.

Media aritmetică este jumătate din sumă: $$m_a=\frac{a+b}{2}=\frac{20-\sqrt{21}+22+\sqrt{21}}{2}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{42}{2}=21\text{(2 p)}.$$

(Radicalii au semne opuse și se reduc. Unde se greșește de obicei: se calculează media geometrică, $\sqrt{ab}$, în loc de cea aritmetică.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Se scriu cele două valori: $$f(a)=a-1,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$ $$g(a)=3-a⟹f(a)+g(a)=a-1+3-a=2,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se verifică egalitatea pentru o singură valoare a lui $a$ — cerința spune „pentru orice număr real $a$", deci calculul se face cu $a$ oarecare.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Se ridică la pătrat ambii membri: $$7x-6=x^2⟹x^2-7x+6=0\text{(2 p)}.$$ $$\mathbf{x}=1\text{ sau }\mathbf{x}=6,\text{ care convin}\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $\sqrt{7-6}=1$ și $\sqrt{42-6}=\sqrt{36}=6$. Ambele soluții sunt nenegative, cum cere membrul drept. Unde se greșește de obicei: se păstrează o singură soluție, sau se uită verificarea — la alte ecuații de acest tip, ridicarea la pătrat introduce soluții străine.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică.

Numărul este par, deci cifra unităților este $2$ sau $4$: ea se poate alege în $2$ moduri (2 p).

Cifrele nu trebuie să fie distincte, deci pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte $4$ moduri; se pot forma $2\cdot 4=8$ numere (3 p).

(Acestea sunt $12$, $14$, $22$, $24$, $32$, $34$, $42$, $44$. Unde se greșește de obicei: se cer cifre distincte — enunțul nu o cere — și iese $2\cdot 3=6$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică.

Mijlocul segmentului $OB$, cu $O(0,0)$ și $B(6,6)$, este $$M(3,3)\text{(2 p)}.$$ $$OM=3\sqrt{2},AM=3\sqrt{2},\text{ de unde obținem ca˘ triunghiul }AOM\text{ este isoscel}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $OM=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$ și $AM=\sqrt{(3-6{)}^2+(3-0{)}^2}=3\sqrt{2}$. Unde se greșește de obicei: se compară $OA=6$ cu $OM$, laturi care nu sunt egale.)

Exercițiul 6. (5 p) — geometrie plană.

În triunghiul dreptunghic $ABC$, unghiurile ascuțite sunt complementare: $$\text{ma˘sura unghiului }ACB\text{ este egala˘ cu }30^{\circ }\text{(2 p)}.$$ Dacă $AD$ este înălțimea din vârful $A$ a triunghiului $ABC$, atunci triunghiul $ACD$ este dreptunghic, cu unghiul $ACD$ de $30^{\circ }$, de unde obținem $$AD=\frac{AC}{2}=2\text{(3 p)}.$$

(În triunghiul $ACD$, cateta $AD$ se opune unghiului de $30^{\circ }$, iar ipotenuza este $AC=4$. Control: $AB=\frac{4}{\sqrt{3}}$, $BC=\frac{8}{\sqrt{3}}$, iar $AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=2$. Unde se greșește de obicei: se pune unghiul de $30^{\circ }$ în $B$ în loc de $C$; atunci $AC=4$ ar fi cateta opusă lui, $BC=8$, $AB=4\sqrt{3}$ și s-ar obține $AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=2\sqrt{3}$, nu $2$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=1$: $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 2\end{array}\right)⟹\det (A(1))=\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\cdot 2-(-1)\cdot 1=\text{(3 p)}$$ $$=2+1=3\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: $-(-1)\cdot 1$ se socotește $-1$, și iese $1$.)

b) (5 p) Pentru $x=-1$ și $x=2$: $$A(-1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 0\end{array}\right),A(2)=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 3\end{array}\right)⟹A(-1)\cdot A(2)-A(-1)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=\text{(3 p)}$$ $$=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2I_2\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: linia întâi a lui $A(-1)$ cu coloanele lui $A(2)$ dă $1+2=3$ și $-2+3=1$; linia a doua dă $-1+0=-1$ și $2+0=2$. Matricele de forma $A(x)$ comută între ele, deci și $A(2)\cdot A(-1)$ dă același produs. Unde se greșește de obicei: în $A(-1)$, elementul $-x$ se lasă $-1$, deși pentru $x=-1$ el devine $-(-1)=1$.)

c) (5 p) Se calculează cei doi termeni și se adună: $$A(x)\cdot A(-x)+xA(x)=\left(\begin{array}{cc}1+x^2& x^2\\ -x^2& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}x& -x^2\\ x^2& x^2+x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+x+x^2& 0\\ 0& 1+x+x^2\end{array}\right)=\left(x^2+x+1\right)I_2,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ $$\left(x^2+x+1\right)I_2=3I_2,\text{ de unde obținem }{x}^2+x-2=0,\text{ deci }\mathbf{x}=-2\text{ sau }\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $A(-x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ -x& 1-x\end{array}\right)$; de exemplu, elementul de pe linia $1$, coloana $2$ al produsului este $1\cdot x+(-x)(1-x)=x^2$. Unde se greșește de obicei: în $A(-x)$ se schimbă semnul și la $1$ de pe diagonală, sau se uită că $x+1$ devine $-x+1$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=1$ și $y=2$: $$1\circ 2=4(1\cdot 2+1)-3(1+2)=\text{(3 p)}$$ $$=12-9=3\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu $4$ doar $xy$, nu și $1$ din paranteză, și iese $0$.)

b) (5 p) Se calculează $a\circ 3$: $$a\circ 3=9a-5,\text{ deci }9a-5=4,\text{ de unde obținem }a=1\text{(3 p)}.$$ $$a\circ (-a)=1\circ (-1)=4(-1+1)-3(1-1)=0\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $a\circ 3=4(3a+1)-3(a+3)=12a+4-3a-9=9a-5$. În general, $a\circ (-a)=4-4a^2$, care se anulează pentru $a=\pm 1$. Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu $4$ doar $3a$ din paranteza $(3a+1)$: $12a+1-3a-9=9a-8=4$, deci $a=\frac{4}{3}$, iar atunci $a\circ (-a)=4-4\cdot \frac{16}{9}=-\frac{28}{9}\ne 0$. Legea este comutativă, deci $3\circ a$ dă tot $9a-5$; iar greșeala de semn $-3(a+3)=-3a+9$ duce la $a=-1$, pentru care, întâmplător, tot $a\circ (-a)=0$ — ea se vede doar pe valoarea lui $a$.)

c) (5 p) Se calculează întâi $x\circ 1$: $$x\circ 1=x+1,(x\circ 1)\circ (x-1)=4x^2-6x,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ $$4x^2-6x\le 4,\text{ de unde obținem }x\in \left[-\frac{1}{2},2\right]\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $x\circ 1=4(x+1)-3(x+1)=x+1$; apoi $(x+1)\circ (x-1)=4\left(x^2-1+1\right)-3\cdot 2x=4x^2-6x$. Inecuația devine $2x^2-3x-2\le 0$, adică $(2x+1)(x-2)\le 0$, cu rădăcinile $-\frac{1}{2}$ și $2$. Unde se greșește de obicei: se scrie intervalul deschis, sau soluțiile „în afara rădăcinilor".)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, inegalitate.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: $$f^{\prime }(x)=4x+1-\frac{5}{x}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{4x^2+x-5}{x}=\frac{(x-1)(4x+5)}{x},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Control: $(x-1)(4x+5)=4x^2+5x-4x-5=4x^2+x-5$. Unde se greșește de obicei: se derivează constanta $3$ ca $3$, sau $-5\ln x$ ca $-5$.)

b) (5 p) Cum $f(x)+5\ln x=2x^2+x+3$, se dă factor comun $x^2$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)+5\ln x}{3-x-x^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2+x+3}{3-x-x^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2\left(2+\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}{x^2\left(\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x}-1\right)}=\text{(3 p)}$$ $$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}}{\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x}-1}=-2\text{(2 p)}.$$

(Raportul coeficienților dominanți: $\frac{2}{-1}=-2$. Unde se greșește de obicei: se pierde semnul lui $-x^2$ de la numitor și iese $2$.)

c) (5 p) Din semnul derivatei, pentru că $4x+5>0$ și $x>0$: $$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=1;f^{\prime }(x)\le 0\text{ pe }(0,1]\Rightarrow f\text{ descresca˘toare pe }(0,1],f^{\prime }(x)\ge 0\text{ pe }[1,+\infty )\Rightarrow f\text{ cresca˘toare pe }[1,+\infty ),\text{ deci }f(x)\ge f(1),x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$ $$f(1)=6,\text{ deci }2x^2+x+3-5\ln x\ge 6,\text{ de unde obținem }2x^2+x\ge 3+5\ln x,\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $f(1)=2+1+3-5\ln 1=6$, iar $2x^2+x+3-5\ln x\ge 6$ se rescrie mutând $3-5\ln x$ în membrul drept. Unde se greșește de obicei: se arată doar $f(x)\ge f(1)$, fără valoarea $f(1)=6$ și fără legătura cu inegalitatea cerută.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Factorul $e^x$ se simplifică: $${\int }_0^1\frac{f(x)}{e^x}dx={\int }_0^1(3-2x)dx=\left(3x-2\cdot \frac{x^2}{2}\right){|}_0^1=\text{(3 p)}$$ $$=3-1=2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: o primitivă a lui $-2x$ se scrie $-2$ în loc de $-x^2$.)

b) (5 p) Se integrează prin părți, cu ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$ și $(3-2x{)}^{\prime }=-2$: $${\int }_0^{2}f(x)dx={\int }_0^2(3-2x)e^{x}dx=(3-2x)e^x{|}_0^2+2e^x{|}_0^2=\text{(3 p)}$$ $$=-e^2-3+2e^2-2=e^2-5\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $-{\int }_0^2(-2)e^{x}dx=2e^x{|}_0^2$; $(3-2x)e^x{|}_0^2=-e^2-3$, iar $2e^x{|}_0^2=2e^2-2$. Control numeric: $e^2-5\approx 2,389056$. Unde se greșește de obicei: semnul din fața celei de-a doua integrale — derivata lui $3-2x$ este $-2$, iar minusul din formula integrării prin părți îl face $+2$.)

c) (5 p) Cum $f^3(x)=(3-2x{)}^3{e}^{3x}$, factorul $e^{3x}$ se simplifică, iar $(3-2x{)}^{\prime }=-2$: $${\int }_a^1\frac{e^{3x}}{f^3(x)}dx={\int }_a^1\frac{1}{(3-2x{)}^3}dx=-\frac{1}{2}{\int }_a^1\frac{(3-2x{)}^{\prime }}{(3-2x{)}^3}dx=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{(3-2x{)}^2}{|}_a^1=\frac{1}{4}\cdot \left(1-\frac{1}{(3-2a{)}^2}\right),\text{ pentru orice }a\in (-\infty ,1)\text{(3 p)}.$$ $$\frac{1}{4}\cdot \left(1-\frac{1}{(3-2a{)}^2}\right)=\frac{2}{9}\text{ și, cum }a\in (-\infty ,1),\text{ obținem }\mathbf{a}=0\text{(2 p)}.$$

(Pe $[a,1]$, $3-2x\ge 1>0$, deci integrandul este definit. Detaliul: $1-\frac{1}{(3-2a{)}^2}=\frac{8}{9}$, deci $(3-2a{)}^2=9$, $3-2a=\pm 3$, adică $a=0$ sau $a=3$; doar $a=0$ aparține intervalului $(-\infty ,1)$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $-\frac{1}{2}$ care vine din $(3-2x{)}^{\prime }=-2$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea august-septembrie 2022 a examenului național de bacalaureat — Varianta 7, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul sesiunii august-septembrie din 2022:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Radicali: media aritmetică a două numere în care radicalii se reduc — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: suma valorilor a două funcții de gradul întâi — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: ridicarea la pătrat și verificarea soluțiilor — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numere pare de două cifre, prin regula produsului — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și distanța dintre două puncte — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: înălțimea unui triunghi dreptunghic cu un unghi de $30^{\circ }$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinantul unei matrice de ordinul al doilea, produse de matrice, o ecuație matriceală — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul cu legea, o ecuație cu necunoscuta $a$, o inecuație de gradul al doilea — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unei sume cu $\ln x$, o limită de funcții raționale, o inegalitate din tabelul de variație — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: o simplificare înainte de integrare, integrarea prin părți, o integrală de tipul $\frac{u^{\prime }}{u^3}$ cu limita de jos necunoscută — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie din 2022. Subiectul I este format din șase cerințe directe: o medie aritmetică în care $\sqrt{21}$ se reduce, o sumă de două funcții în care $x$ se reduce, o ecuație irațională cu două soluții, numerele pare de două cifre cu cifre din $\{1,2,3,4\}$ (cifrele se pot repeta), un triunghi isoscel dovedit prin două distanțe egale și un triunghi dreptunghic în care înălțimea se opune unghiului de $30^{\circ }$. La Subiectul al II-lea, matricea $A(x)$ are determinantul $1\cdot (x+1)+x^2$, iar la subpunctul c) suma $A(x)\cdot A(-x)+xA(x)$ este un multiplu al lui $I_2$, $\left(x^2+x+1\right)I_2$. Legea $x\circ y=4(xy+1)-3(x+y)$ are o proprietate care simplifică subpunctul c): $x\circ 1=x+1$. La Subiectul al III-lea, inegalitatea $2x^2+x\ge 3+5\ln x$ spune de fapt că $f(x)\ge f(1)=6$. La integrale, factorul $e^x$ se simplifică la subpunctul a), se integrează prin părți la b), iar la c) raportul $\frac{e^{3x}}{f^3(x)}$ devine $\frac{1}{(3-2x{)}^3}$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $21$, $2$, $\{1,6\}$, $8$, $3\sqrt{2}$, $2$, $3$, $\{-2,1\}$, $\left[-\frac{1}{2},2\right]$, $-2$, $2$, $e^2-5$ și $a=0$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluțiile păstrate fără verificare în ecuația cu radical; la cerința 8, subpunctul c), mulțimea soluțiilor scrisă ca interval deschis — inegalitatea este nestrictă; la cerința 10, subpunctul c), păstrarea soluției $a=3$, care nu aparține intervalului $(-\infty ,1)$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Media aritmetică: $m_a=\frac{a+b}{2}$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u}=v⟹u=v^2$, cu verificarea soluțiilor ($v\ge 0$). Regula produsului: se alege întâi cifra cu restricție. Mijlocul segmentului și distanța: $M\left(\frac{x_O+x_B}{2},\frac{y_O+y_B}{2}\right)$, $AM=\sqrt{(x_M-x_A{)}^2+(y_M-y_A{)}^2}$. Triunghi dreptunghic: cateta care se opune unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; o matrice de forma $k{I}_2$ este egală cu $3I_2$ exact când $k=3$. Inecuații de gradul al doilea: $a{x}^2+bx+c\le 0$, cu $a>0$, are soluțiile între rădăcini, capetele incluse.
• Derivate: $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; dacă $f^{\prime }\le 0$ pe $(0,1]$ și $f^{\prime }\ge 0$ pe $[1,+\infty )$, atunci $f(x)\ge f(1)$.
• Integrale: ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; $\int \frac{u^{\prime }}{u^3}dx=-\frac{1}{2u^2}+\mathcal{C}$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $A$ este, la cerința $5$, punctul $A(6,0)$, la cerința $6$, vârful unghiului drept al triunghiului $ABC$, iar la cerința $7$, matricea $A(x)$. Litera $B$ este, la cerința $5$, punctul $B(6,6)$, iar la cerința $6$, vârful unghiului de $60^{\circ }$. Litera $M$ este, la cerința $5$, mijlocul segmentului $OB$; punctul $D$, piciorul înălțimii de la cerința $6$, apare doar în barem.
• Litera $a$ este, la cerința $1$, numărul $20-\sqrt{21}$, la cerința $2$, un număr real oarecare, la cerința $8$, necunoscuta din $a\circ 3=4$, iar la cerința $10$, capătul de jos al integralei. Litera $f$ denumește trei funcții diferite: la cerințele $2$, $9$ și $10$. Așa este scris subiectul oficial; fiecare problemă se citește separat.
• La cerința $8$, semnul $\circ$ este legea de compoziție definită în enunț, nu compunerea funcțiilor: $1\circ 2=4(1\cdot 2+1)-3(1+2)$. La cerința $10$, subpunctul c), $f^3(x)$ înseamnă $(f(x){)}^3$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".