Bac M2 2022, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2022 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $a_1$ al progresiei aritmetice ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$, știind că $a_2=6$ și $a_3=12$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-5$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)+f(2a)=2$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^x\cdot \frac{1}{5}=25$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de $16$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,2)$ și $B(1,4)$. Determinați coordonatele punctului $C$, astfel încât punctul $A$ este mijlocul segmentului $BC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră expresia $E(x)=\sin x+\sin \frac{3x}{2}-\cos \frac{x}{2}$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{3}\right)=1$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$, $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 3-x\\ 2-x& x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=0$.

b) (5 puncte) Arătați că $B(x)-B(0)=xA$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Arătați că matricea $C(a)=B(a)\cdot B(1)-B(a+1)$ este inversabilă, pentru orice număr întreg $a$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=(2x-1)(2y-1)+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast 2=4$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast x=2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul întreg nenul $m$ pentru care $m\ast \left(1+\frac{1}{m}\right)=1$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2+1+\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{4x^2+1}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)-\ln x}{x^2+x+4}=2$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\left(e^x+2x^2\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^4\frac{f(x)}{e^x+2x^2}dx=8$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-2x^3\right)dx=1$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_1^2\frac{1}{x}\cdot f\left(x^2\right)dx=\frac{e^4-e}{2}+a$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2022; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresii aritmetice.

Rația este diferența a doi termeni consecutivi: $$r=a_3-a_2=6,\text{ unde }r\text{ este rația progresiei aritmetice}\text{(2 p)}.$$ $$a_1=a_2-r=6-6=0\text{(3 p)}.$$

(Control: $0$, $6$, $12$ are diferența constantă $6$. Unde se greșește de obicei: se ia rația $\frac{12}{6}=2$, ca la o progresie geometrică, și iese $a_1=3$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Se înlocuiesc $f(a)=a-5$ și $f(2a)=2a-5$: $$a-5+2a-5=2⟺3a=12\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{a}=4\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $f(4)+f(8)=-1+3=2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(2a)=2(a-5)=2a-10$, înmulțind cu $2$ toată funcția, și iese $a=\frac{17}{3}$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Cum $\frac{1}{5}=5^{-1}$, membrul stâng este $5^{x-1}$, iar $25=5^2$: $$5^{x-1}=5^2,\text{ deci }x-1=2\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{x}=3\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $5^3\cdot \frac{1}{5}=25$. Unde se greșește de obicei: se înmulțește exponentul cu $\frac{1}{5}$, ca și cum ar fi $5^{\frac{x}{5}}$, și iese $x=10$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Multiplii lui $16$ de două cifre sunt $16$, $32$, $48$, $64$, $80$, $96$: sunt $6$ cazuri favorabile, de unde $$p=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se socotesc $99$ de numere de două cifre, sau se ia și $0$ ca multiplu de $16$ — dar $0$ nu are două cifre.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică.

Punctul $A$ este mijlocul segmentului $BC$, deci $A\left(\frac{1+x_C}{2},\frac{4+y_C}{2}\right)$. Din abscisă, $\frac{1+x_C}{2}=3$, de unde obținem $${\mathbf{x}}_{\mathbf{C}}=5\text{(3 p)}.$$ Din ordonată, $\frac{4+y_C}{2}=2$, deci $${\mathbf{y}}_{\mathbf{C}}=0\text{(2 p)}.$$

(Punctul căutat este $C(5,0)$. Control: mijlocul lui $B(1,4)$ și $C(5,0)$ este $(3,2)=A$. Unde se greșește de obicei: se calculează mijlocul lui $AB$, $(2,3)$, în loc să se folosească $A$ ca mijloc.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Pentru $x=\frac{\pi }{3}$: $\frac{3x}{2}=\frac{\pi }{2}$ și $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}$, iar $$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \frac{\pi }{2}=1,\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(3 p)}.$$ $$E\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ — aceasta este valoarea lui $\sin \frac{\pi }{6}$ — și radicalii nu se mai reduc.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea.

a) (5 p) Se calculează determinantul: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right|=1\cdot 1-(-1)\cdot (-1)=\text{(3 p)}$$ $$=1-1=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: $(-1)\cdot (-1)$ se socotește $-1$, și iese $2$.)

b) (5 p) Pentru $x=0$: $$B(0)=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 2& 0\end{array}\right)⟹B(x)-B(0)=\left(\begin{array}{cc}x& -x\\ -x& x\end{array}\right)=\text{(3 p)}$$ $$=x\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=xA,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $(3-x)-3=-x$ și $(2-x)-2=-x$. Unde se greșește de obicei: $B(0)$ se scrie cu zerouri peste tot, uitând că elementele din afara diagonalei sunt $3-0$ și $2-0$.)

c) (5 p) Cu $B(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $B(a+1)=\left(\begin{array}{cc}a+1& 2-a\\ 1-a& a+1\end{array}\right)$: $$C(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 3-a\\ 2-a& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}a+1& 2-a\\ 1-a& a+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2-a& 2a+1\\ a+1& 3-2a\end{array}\right)$$ $$⟹\det (C(a))=-10a+5,\text{ pentru orice numa˘r ıˆntreg }a\text{(3 p)}.$$ $$-10a+5=0⟹a=\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z},\text{ deci matricea }C(a)\text{ este inversabila˘, pentru orice numa˘r ıˆntreg }a\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $B(a)\cdot B(1)=\left(\begin{array}{cc}3& a+3\\ 2& 4-a\end{array}\right)$, iar $\det (C(a))=(2-a)(3-2a)-(2a+1)(a+1)=2a^2-7a+6-2a^2-3a-1=5-10a$. Pentru orice $a$ întreg, $-10a+5$ este un număr impar, deci nenul. Observație: în ordinea inversă, $B(1)\cdot B(a)-B(a+1)$ este altă matrice, dar are același determinant, $5-10a$. Unde se greșește de obicei: produsul $B(a)\cdot B(1)$ se face element cu element, $\left(\begin{array}{cc}a& 6-2a\\ 2-a& a\end{array}\right)$; atunci $C(a)$ iese $\left(\begin{array}{cc}-1& 4-a\\ 1& -1\end{array}\right)$, cu determinantul $a-3$, care se anulează pentru numărul întreg $a=3$ — și s-ar „demonstra” contrariul enunțului.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=1$ și $y=2$: $$1\ast 2=(2\cdot 1-1)(2\cdot 2-1)+1=\text{(3 p)}$$ $$=1\cdot 3+1=4\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită termenul $+1$ din afara produsului și iese $3$.)

b) (5 p) Pentru $y=x$: $$x\ast x=(2x-1{)}^2+1=4x^2-4x+2,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ $$4x^2-4x+2=2⟹4x^2-4x=0,\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=0\text{ sau }\mathbf{x}=1\text{(3 p)}.$$

(Echivalent: $(2x-1{)}^2=1$, deci $2x-1=\pm 1$. Verificare: $0\ast 0=1+1=2$ și $1\ast 1=1+1=2$. Unde se greșește de obicei: se împarte $4x^2-4x=0$ la $x$ și se pierde soluția $x=0$.)

c) (5 p) Pentru $y=1+\frac{1}{m}$, $2y-1=1+\frac{2}{m}$: $$m\ast \left(1+\frac{1}{m}\right)=(2m-1)\left(1+\frac{2}{m}\right)+1,\text{ pentru orice numa˘r ıˆntreg nenul }m\text{(2 p)}.$$ $$(2m-1)\left(1+\frac{2}{m}\right)=0\text{ și, cum }m\text{ este numa˘r ıˆntreg nenul, obținem }\mathbf{m}=-2\text{(3 p)}.$$

(Produsul se anulează pentru $2m-1=0$, adică $m=\frac{1}{2}$, care nu este întreg, sau pentru $1+\frac{2}{m}=0$, adică $m=-2$. Verificare: $-2\ast \frac{1}{2}=(-5)\cdot 0+1=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $2\left(1+\frac{1}{m}\right)-1=1+\frac{1}{m}$, uitând să se înmulțească și fracția cu $2$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, bijectivitate.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: $$f^{\prime }(x)={\left(2x^2\right)}^{\prime }+1^{\prime }+(\ln x{)}^{\prime }=\text{(2 p)}$$ $$=4x+\frac{1}{x}=\frac{4x^2+1}{x},x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se derivează constanta $1$ ca $1$, și iese $4x+1+\frac{1}{x}$.)

b) (5 p) Cum $f(x)-\ln x=2x^2+1$, se dă factor comun $x^2$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)-\ln x}{x^2+x+4}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2+1}{x^2+x+4}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2\left(2+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}=\text{(3 p)}$$ $$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}=2\text{(2 p)}.$$

(Raportul coeficienților dominanți: $\frac{2}{1}=2$. Unde se greșește de obicei: se ia raportul termenilor liberi, $\frac{1}{4}$, în loc de raportul coeficienților dominanți; sau se inversează raportul coeficienților dominanți și iese $\frac{1}{2}$.)

c) (5 p) Monotonia dă injectivitatea: $$f^{\prime }(x)>0,\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )⟹f\text{ este strict cresca˘toare, deci }f\text{ este injectiva˘}\text{(2 p)}.$$ Continuitatea și limitele dau surjectivitatea: $$f\text{ este continua˘},\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=-\infty \text{ și }\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,\text{ deci }f\text{ este surjectiva˘, de unde obținem ca˘ }f\text{ este bijectiva˘}\text{(3 p)}.$$

(De ce $f^{\prime }(x)>0$: numărătorul $4x^2+1$ și numitorul $x$ sunt pozitive pe $(0,+\infty )$. Limitele: pentru $x\to 0$, $x>0$, $2x^2+1\to 1$ și $\ln x\to -\infty$; pentru $x\to +\infty$, toți termenii cresc nemărginit. Unde se greșește de obicei: se arată doar că $f$ este strict crescătoare — asta dă injectivitatea, nu și surjectivitatea.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Se simplifică factorul $e^x+2x^2>0$: $${\int }_0^4\frac{f(x)}{e^x+2x^2}dx={\int }_0^{4}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_0^4=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{16}{2}-0=8\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se integrează $x$ ca $x^2$ și iese $16$.)

b) (5 p) Cum $f(x)-2x^3=x{e}^x$, se integrează prin părți, cu ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$: $${\int }_0^1\left(f(x)-2x^3\right)dx={\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=x{e}^x{|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=e-e^x{|}_0^1=\text{(3 p)}$$ $$=e-e+1=1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $x{e}^x{|}_0^1=e-0=e$, iar $e^x{|}_0^1=e-1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $e^x{|}_0^1=e$, uitând că $e^0=1$, și iese $0$.)

c) (5 p) Cum $f\left(x^2\right)=x^2\left(e^{x^2}+2x^4\right)$, integrandul devine $x{e}^{x^2}+2x^5$, iar $x{e}^{x^2}=\frac{1}{2}{\left(x^2\right)}^{\prime }{e}^{x^2}$: $${\int }_1^2\frac{1}{x}\cdot f\left(x^2\right)dx={\int }_1^2\frac{1}{x}\cdot x^2\left(e^{x^2}+2x^4\right)dx=\frac{1}{2}{\int }_1^2{\left(x^2\right)}^{\prime }{e}^{x^2}dx+{\int }_1^{2}2x^{5}dx=\frac{1}{2}{e}^{x^2}{|}_1^2+\frac{x^6}{3}{|}_1^2=\frac{e^4-e}{2}+21\text{(3 p)}.$$ $$\frac{e^4-e}{2}+21=\frac{e^4-e}{2}+a,\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=21\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\frac{2^6-1^6}{3}=\frac{63}{3}=21$. Control numeric: integrala este $\approx 46,939934$, iar $\frac{e^4-e}{2}\approx 25,939934$; diferența este $21$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f\left(x^2\right)=x^2\cdot f(x)$, sau ${\left(x^2\right)}^2=x^6$ în loc de $x^4$ în termenul $2x^4$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea iunie-iulie 2022 a examenului național de bacalaureat — Varianta 1, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul sesiunii iunie-iulie din 2022:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii: primul termen al unei progresii aritmetice, din doi termeni consecutivi — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: o ecuație cu valori ale funcției în $a$ și în $2a$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: multiplii lui $16$ printre numerele de două cifre — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: coordonatele unui capăt de segment, când se cunosc mijlocul și celălalt capăt — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valori ale lui $\sin$ și $\cos$ în unghiuri remarcabile — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinantul unei matrice de ordinul al doilea, o diferență de matrice, o matrice inversabilă pentru orice parametru întreg — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul cu legea, ecuația $x\ast x=2$ și o ecuație cu necunoscuta întreagă — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unei sume, o limită de funcții raționale, bijectivitatea din monotonie, continuitate și limite — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: o simplificare înainte de integrare, integrarea prin părți, o integrală de tipul $u^{\prime }{e}^u$ — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea iunie-iulie din 2022. Subiectul I este format din șase cerințe directe: rația din doi termeni consecutivi, o ecuație de gradul întâi, $5^{x-1}=5^2$, numărarea multiplilor lui $16$ între $10$ și $99$, formula mijlocului „întoarsă" și trei valori trigonometrice care se reduc. La Subiectul al II-lea, matricea $A$ are determinantul nul, iar $B(x)-B(0)=xA$; la subpunctul c), matricea $C(a)$ are determinantul $-10a+5$, care se anulează doar pentru $a=\frac{1}{2}$, un număr care nu este întreg. Legea $x\ast y=(2x-1)(2y-1)+1$ este dată direct în formă de produs, iar ecuația de la subpunctul c) are două soluții reale, dintre care doar una este număr întreg nenul. La Subiectul al III-lea, bijectivitatea lui $f$ vine din două bucăți: injectivitatea din monotonia strictă și surjectivitatea din continuitate și din limitele la capetele domeniului. La integrale, fiecare subpunct începe cu o simplificare: $\frac{f(x)}{e^x+2x^2}=x$, $f(x)-2x^3=x{e}^x$, iar $\frac{1}{x}\cdot f\left(x^2\right)=x{e}^{x^2}+2x^5$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $0$, $4$, $3$, $\frac{1}{15}$, $C(5,0)$, $1$, $-10a+5$, $\{0,1\}$, $m=-2$, $2$, $8$, $1$ și $a=21$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 7, subpunctul c), inversabilitatea afirmată fără să se arate că determinantul nu se anulează pentru niciun număr întreg; la cerința 8, subpunctul c), păstrarea soluției $m=\frac{1}{2}$, care nu este număr întreg; la cerința 9, subpunctul c), bijectivitatea afirmată doar din monotonie, fără surjectivitate.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: $r=a_{n+1}-a_n$, $a_1=a_2-r$. Exponențiale: $5^x\cdot \frac{1}{5}=5^{x-1}$; $a^u=a^v⟺u=v$. Probabilitate: numerele de două cifre sunt $90$. Mijlocul segmentului $BC$: $x_A=\frac{x_B+x_C}{2}$, $y_A=\frac{y_B+y_C}{2}$. Trigonometrie: $\sin \frac{\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{\pi }{2}=1$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul.
• Derivate și bijectivitate: $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; o funcție strict monotonă este injectivă; o funcție continuă pe un interval, cu limitele $-\infty$ și $+\infty$ la capete, ia toate valorile reale.
• Integrale: ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; $\int u^{\prime }(x)e^{u(x)}dx=e^{u(x)}+\mathcal{C}$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=x-5$ la cerința $2$, $f(x)=2x^2+1+\ln x$ la cerința $9$ și $f(x)=x\left(e^x+2x^2\right)$ la cerința $10$. Litera $a$ este, la cerința $2$, un număr real, la cerința $7$, un număr întreg, parametrul lui $C(a)$, iar la cerința $10$, un alt număr real. Așa este scris subiectul oficial; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $A$ este, la cerința $5$, un punct, $A(3,2)$, iar la cerința $7$, matricea $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$. La fel, $B$ și $C$ sunt puncte la cerința $5$, $B(1,4)$ și $C(5,0)$, iar la cerința $7$ sunt matricele $B(x)$ și $C(a)$.
• La cerința $8$, semnul $\ast$ este legea de compoziție definită în enunț, nu înmulțirea numerelor: $1\ast 2=(2\cdot 1-1)(2\cdot 2-1)+1$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".