Bac M2 2022, modelul oficial — rezolvat

Toate probele M2 din 2022 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $N={\log }_{2}24-{\log }_{2}12+3$ este pătratul unui număr natural.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A\left(a,a^2\right)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2-2x-2}=x-2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\{1!,2!,3!,\dots ,10!\}$, acesta să fie divizibil cu $9$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ și punctul $D$ mijlocul segmentului $BC$. Arătați că, pentru orice puncte $E$ și $F$ astfel încât $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{FD}$, are loc relația $2\left(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $(\sin x+\cos x{)}^2-(\sin x-\cos x{)}^2=2\cos \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$, pentru orice număr real $x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}{x}^2& 1\\ x-1& 1\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(-1))=3$.

b) (5 puncte) Demonstrați că matricea $A(x)$ este inversabilă, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $A(1)\cdot X\cdot A(1)=A(2)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru $x\circ y=xy-\sqrt{2}(x+y-1)+2$.

a) (5 puncte) Arătați că $\sqrt{2}\circ 0=\sqrt{2}$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\left(x-\sqrt{2}\right)\circ \left(x+\sqrt{2}\right)=x$.

c) (5 puncte) Determinați numerele raționale al căror simetric în raport cu legea de compoziție „$\circ$" este număr rațional.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$, $f(x)=x\left(1-\frac{1}{x}\ln \left(x^2+1\right)\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1{)}^2}{x^2+1}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați numărul natural nenul $n$, știind că tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(n,f(n))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y=\frac{1}{5}x+1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^3}-\frac{2\ln x}{x^3}$ și funcția $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=\frac{\ln x}{x^2}$, o primitivă a lui $f$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e{x}^2\left(f(x)+\frac{2\ln x}{x^3}\right)dx=1$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^{\sqrt{5}}x\cdot f\left(x^2+3\right)dx=-\frac{5\ln 2}{128}$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care ${\int }_e^{e^2}x\cdot F(x)dx=\frac{a^2-1}{2}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul pentru 2022; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. La cerința 4 baremul are trei rânduri punctate ($2+2+1$); le-am păstrat exact așa.

Exercițiul 1. (5 p) — logaritmi.

Diferența a doi logaritmi în aceeași bază este logaritmul câtului: $$N={\log }_2\frac{24}{12}+3={\log }_{2}2+3=\text{(3 p)}$$ $$=1+3=4=2^2\text{(2 p)}.$$

(Deci $N$ este pătratul numărului natural $2$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\log }_{2}24-{\log }_{2}12={\log }_{2}12$, scăzând argumentele în loc să le împartă.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Punctul $A\left(a,a^2\right)$ este pe grafic exact când ordonata lui este valoarea funcției în abscisa lui: $$f(a)=a^2⟺a^2-2a+1=0\text{(3 p)}.$$ $$(a-1{)}^2=0⟹\mathbf{a}=1\text{(2 p)}.$$

(Control: $A(1,1)$ și $f(1)=2-1=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f\left(a^2\right)=a$, inversând rolurile coordonatelor.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Se ridică la pătrat: $$x^2-2x-2=(x-2{)}^2⟹x^2-2x-2=x^2-4x+4\text{(3 p)}.$$ De aici $2x=6$, deci $\mathbf{x}=3$, care convine (2 p).

(Verificarea: pentru $x=3$, $x-2=1\ge 0$ și $\sqrt{9-6-2}=\sqrt{1}=1$. Ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă, de aceea condiția $x-2\ge 0$ se verifică. Unde se greșește de obicei: se desface $(x-2{)}^2=x^2-4$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea $A$ are $10$ elemente, deci sunt $10$ cazuri posibile (2 p).

Numerele divizibile cu $9$ din mulțimea $A$ sunt $6!$, $7!$, $8!$, $9!$ și $10!$, deci sunt $5$ cazuri favorabile (2 p).

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{1}{2}\text{(1 p)}.$$

(De ce de la $6!$: în produsul $1\cdot 2\cdot \dots \cdot n$ factorul $3$ apare de două ori abia când apare și $6=2\cdot 3$; $5!=120$ are un singur factor $3$, iar $6!=720=9\cdot 80$. Unde se greșește de obicei: se numără doar $9!$ și $10!$, crezând că trebuie să apară factorul $9$ însuși.)

Exercițiul 5. (5 p) — vectori.

Cu regula triunghiului, prin $A$ și prin $D$: $$\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\text{(2 p)}.$$ Cum $D$ este mijlocul lui $BC$, $2\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BC}$: $$2\left(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}\right)=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\text{(3 p)}.$$

(De ce dispar doi vectori: $\overrightarrow{EA}=-\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{FD}$, deci $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{FD}=\vec{0}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AE}$, uitând că inversarea capetelor schimbă sensul vectorului.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Diferența de pătrate (sau desfacerea celor două pătrate) dă: $$(\sin x+\cos x{)}^2-(\sin x-\cos x{)}^2=4\sin x\cos x=\text{(2 p)}$$ $$=2\sin 2x=2\cos \left(\frac{\pi }{2}-2x\right),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $(\sin x+\cos x{)}^2=1+2\sin x\cos x$ și $(\sin x-\cos x{)}^2=1-2\sin x\cos x$; diferența este $4\sin x\cos x$. Ultima egalitate este formula de reducere $\cos \left(\frac{\pi }{2}-t\right)=\sin t$, cu $t=2x$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(\sin x-\cos x{)}^2={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=-1$: $$A(-1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& 1\end{array}\right)⟹\det (A(-1))=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& 1\end{array}\right|=\text{(2 p)}$$ $$=1\cdot 1-1\cdot (-2)=3\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $x^2=-1$ sau $x-1=0$ pentru $x=-1$.)

b) (5 p) Determinantul în general: $$\det (A(x))=\left|\begin{array}{cc}{x}^2& 1\\ x-1& 1\end{array}\right|=x^2-x+1,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ Cum $\det (A(x))\ne 0$ pentru orice număr real $x$, obținem că matricea $A(x)$ este inversabilă pentru orice număr real $x$ (2 p).

(De ce $x^2-x+1\ne 0$: discriminantul este $1-4=-3<0$; mai mult, $x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\det =x^2-x-1$, cu semnul lui $-(x-1)$ greșit.)

c) (5 p) Pentru $x=1$: $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)⟹(A(1){)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Cum $A(2)=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $X=(A(1){)}^{-1}\cdot A(2)\cdot (A(1){)}^{-1}$, obținem $$X=\left(\begin{array}{cc}3& -3\\ 1& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

(Inversa se înmulțește la stânga ȘI la dreapta, pentru că $A(1)$ apare de ambele părți ale lui $X$; înmulțirea matricelor nu este comutativă. Detaliul: $(A(1){)}^{-1}A(2)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$, iar $\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -3\\ 1& 0\end{array}\right)$. Control: $A(1)\cdot X\cdot A(1)=A(2)$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește în definiție: $$\sqrt{2}\circ 0=\sqrt{2}\cdot 0-\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+0-1\right)+2=\text{(3 p)}$$ $$=-2+\sqrt{2}+2=\sqrt{2}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2}$ sau $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4$.)

b) (5 p) Se înlocuiește $x-\sqrt{2}$ și $x+\sqrt{2}$ în lege: $$x^2-2-\sqrt{2}\left(x-\sqrt{2}+x+\sqrt{2}-1\right)+2=x⟺x^2-\left(2\sqrt{2}+1\right)x+\sqrt{2}=0\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{x}=\sqrt{2}-1\text{ sau }\mathbf{x}=\sqrt{2}+2\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: produsul este $\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)=x^2-2$, iar paranteza devine $2x-1$. Discriminantul este ${\left(2\sqrt{2}+1\right)}^2-4\sqrt{2}=9+4\sqrt{2}-4\sqrt{2}=9$, deci $x=\frac{2\sqrt{2}+1\pm 3}{2}$. Control: suma soluțiilor este $2\sqrt{2}+1$, iar produsul $\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+2\right)=2+2\sqrt{2}-\sqrt{2}-2=\sqrt{2}$. Unde se greșește de obicei: se uită termenul $-\sqrt{2}\cdot (-1)=+\sqrt{2}$.)

c) (5 p) Elementul neutru: $e=\sqrt{2}+1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$", deci $a$ este simetrizabil în raport cu „$\circ$" dacă și numai dacă există $a^{\prime }$, astfel încât $a\circ a^{\prime }=a^{\prime }\circ a=\sqrt{2}+1$ (2 p). Scriind legea: $$a{a}^{\prime }-\sqrt{2}\left(a+a^{\prime }-1\right)+2=\sqrt{2}+1⟺a{a}^{\prime }+1-\sqrt{2}\left(a+a^{\prime }\right)=0,$$ deci, dacă $a$ și $a^{\prime }$ sunt numere raționale, obținem $a+a^{\prime }=0$ și $a{a}^{\prime }=-1$, deci $\mathbf{a}=-1$ sau $\mathbf{a}=1$, care convin (3 p).

(De ce $a+a^{\prime }=0$: dacă $a+a^{\prime }\ne 0$, atunci $\sqrt{2}=\frac{a{a}^{\prime }+1}{a+a^{\prime }}$ ar fi rațional — imposibil; deci $a+a^{\prime }=0$, iar atunci $a{a}^{\prime }+1=0$. Din $a^{\prime }=-a$ și $-a^2=-1$ rezultă $a=\pm 1$. Verificarea: simetricul lui $1$ este $-1$, iar al lui $-1$ este $1$, ambele raționale; în general, simetricul lui $a\ne \sqrt{2}$ este $a^{\prime }=\sqrt{2}+\frac{1}{a-\sqrt{2}}$, de exemplu pentru $a=0$ iese $\frac{\sqrt{2}}{2}$, irațional. Forma descompusă a legii, $x\circ y=\left(x-\sqrt{2}\right)\left(y-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}$, arată de ce: $\left(a-\sqrt{2}\right)\left(a^{\prime }-\sqrt{2}\right)=1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, bijectivitate.

a) (5 p) Se desface paranteza: $f(x)=x-\ln \left(x^2+1\right)$, deci $$f^{\prime }(x)={\left(x-\ln \left(x^2+1\right)\right)}^{\prime }=1-\frac{1}{x^2+1}\cdot 2x=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{x^2-2x+1}{x^2+1}=\frac{(x-1{)}^2}{x^2+1},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(\ln \left(x^2+1\right)\right)}^{\prime }=\frac{1}{x^2+1}$, fără factorul $2x$ din derivata funcției interioare.)

b) (5 p) Tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y=\frac{1}{5}x+1$, deci are aceeași pantă: $$f^{\prime }(n)=\frac{1}{5}\text{(3 p)}.$$ $$5(n-1{)}^2=n^2+1⟺2n^2-5n+2=0\text{ și, cum }n\text{ este numa˘r natural nenul, obținem }\mathbf{n}=2\text{(2 p)}.$$

(Ecuația $2n^2-5n+2=0$ are rădăcinile $2$ și $\frac{1}{2}$; a doua nu este număr natural. Control: $f^{\prime }(2)=\frac{1}{5}$. Unde se greșește de obicei: se egalează $f(n)$ cu $\frac{1}{5}$ în loc de $f^{\prime }(n)$.)

c) (5 p) Monotonia: $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x\in (0,1)$, deci $f$ este strict crescătoare pe $(0,1)$; $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x\in (1,+\infty )$, deci $f$ este strict crescătoare pe $(1,+\infty )$ și, cum $f$ este continuă în $x=1$, obținem că $f$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$, deci injectivă (2 p).

Cum $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ și $f$ este continuă și strict crescătoare pe $(0,+\infty )$, obținem că $f$ este surjectivă, deci bijectivă (3 p).

(Limita la $0$ se ia din dreapta: $x-\ln \left(x^2+1\right)\to 0-\ln 1=0$. La $+\infty$, $\frac{\ln \left(x^2+1\right)}{x}\to 0$, deci $f(x)=x\left(1-\frac{\ln \left(x^2+1\right)}{x}\right)\to +\infty$. Fiind continuă și strict crescătoare, $f$ ia toate valorile dintre cele două limite, adică exact intervalul $(0,+\infty )$ — codomeniul dat. Derivata se anulează în $x=1$, dar într-un singur punct, ceea ce nu strică monotonia strictă. Unde se greșește de obicei: se arată doar injectivitatea, uitând că bijectivitatea cere și surjectivitate.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale.

a) (5 p) Termenii cu $\ln x$ se reduc: $f(x)+\frac{2\ln x}{x^3}=\frac{1}{x^3}$, deci $${\int }_1^e{x}^2\left(f(x)+\frac{2\ln x}{x^3}\right)dx={\int }_1^e\frac{1}{x}dx=\ln x{|}_1^e=\text{(3 p)}$$ $$=\ln e-\ln 1=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se simplifică greșit $x^2\cdot \frac{1}{x^3}=x$ și se calculează ${\int }_1^{e}xdx=\frac{e^2-1}{2}$; sau se ia primitiva lui $\frac{1}{x}$ drept $-\frac{1}{x^2}$. Nu e nevoie să integrăm $f$ separat: termenii cu $\ln x$ se reduc înainte de integrare.)

b) (5 p) Factorul $x$ este jumătate din derivata lui $x^2+3$: $${\int }_1^{\sqrt{5}}x\cdot f\left(x^2+3\right)dx=\frac{1}{2}{\int }_1^{\sqrt{5}}{\left(x^2+3\right)}^{\prime }\cdot f\left(x^2+3\right)dx=\frac{1}{2}F\left(x^2+3\right){|}_1^{\sqrt{5}}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{1}{2}\left(\frac{\ln 8}{64}-\frac{\ln 4}{16}\right)=-\frac{5\ln 2}{128}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $x^2+3$ ia valorile $8$ și $4$ la capete; $\frac{\ln 8}{64}=\frac{3\ln 2}{64}$, $\frac{\ln 4}{16}=\frac{8\ln 2}{64}$, iar diferența este $-\frac{5\ln 2}{64}$. Control numeric: $-\frac{5\ln 2}{128}\approx -0,0270761$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{2}$, sau se ia $F$ în $\sqrt{5}$ și în $1$, nu în $8$ și în $4$.)

c) (5 p) $x\cdot F(x)=\frac{\ln x}{x}$, iar $\frac{\ln x}{x}=(\ln x{)}^{\prime }\cdot \ln x$: $${\int }_e^{e^2}x\cdot F(x)dx={\int }_e^{e^2}\frac{\ln x}{x}dx=\frac{{\ln }^{2}x}{2}{|}_e^{e^2}=\frac{{\ln }^2\left(e^2\right)-{\ln }^{2}e}{2}=\frac{3}{2}\text{(3 p)}.$$ $$\frac{a^2-1}{2}=\frac{3}{2},\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=-2\text{ sau }\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: ${\ln }^2\left(e^2\right)=2^2=4$ și ${\ln }^{2}e=1$, deci $\frac{4-1}{2}=\frac{3}{2}$; apoi $a^2=4$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\ln }^2\left(e^2\right)=2$, uitând pătratul — atunci iese $a^2=2$; sau se păstrează doar $a=2$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_șt-nat, publicat înaintea sesiunilor din 2022 ca reper al structurii și al nivelului de dificultate. Un model nu se dă în ziua examenului: el este documentul prin care ministerul arată cum va arăta proba — de aceea nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum o anunță modelul din 2022:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Logaritmi: diferența a doi logaritmi în aceeași bază — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: un punct care aparține graficului — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: ridicarea la pătrat și verificarea soluției — clasa a IX-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: factorialele divizibile cu $9$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: regula triunghiului și mijlocul unui segment — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: o identitate cu $\sin 2x$ și formula de reducere $\cos \left(\frac{\pi }{2}-t\right)=\sin t$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: determinantul, inversabilitatea pentru orice $x$, o ecuație matriceală rezolvată cu inversa — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calcul cu legea, o ecuație de gradul al doilea, elementul neutru și simetricul unui număr rațional — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, tangenta paralelă cu o dreaptă dată, bijectivitatea prin monotonie și limite — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale: simplificarea integrandului, o schimbare de variabilă cu primitiva dată, o integrare de tipul $u^{\prime }\cdot u$ — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2022. Subiectul I are șase cerințe de câte un pas, dar două dintre ele cer o idee: la cerința 4, $9$ divide $n!$ exact de la $6!=720$ încolo (atunci apar doi factori $3$), iar la cerința 5, egalitatea $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{FD}$ face ca $\overrightarrow{EA}$ și $\overrightarrow{FD}$ să se anuleze reciproc. La Subiectul al II-lea, determinantul lui $A(x)$ este $x^2-x+1$, un trinom fără rădăcini reale, deci matricea este inversabilă pentru orice $x$; ecuația $A(1)\cdot X\cdot A(1)=A(2)$ se rezolvă înmulțind cu inversa la stânga și la dreapta. Legea de compoziție are forma $x\circ y=\left(x-\sqrt{2}\right)\left(y-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}$ (baremul nu o folosește, dar ea explică totul), elementul neutru $\sqrt{2}+1$, iar subpunctul c) se încheie cu iraționalitatea lui $\sqrt{2}$: o egalitate $p+q\sqrt{2}=0$, cu $p$, $q$ raționale, cere $p=q=0$. La Subiectul al III-lea, funcția $x-\ln \left(x^2+1\right)$ are derivata $\frac{(x-1{)}^2}{x^2+1}\ge 0$, deci este strict crescătoare, iar bijectivitatea vine din monotonie, continuitate și limitele la capete; la integrale, primitiva $F$ este dată în enunț și se folosește direct la b) și c).

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, $\frac{1}{2}$, o matrice cu elemente întregi, $\sqrt{2}-1$, $\sqrt{2}+2$ și $-\frac{5\ln 2}{128}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluția scrisă fără verificarea condiției $x-2\ge 0$; la cerința 7, subpunctul c), inversa înmulțită doar la stânga, $X=A(1{)}^{-1}\cdot A(2)$; la cerința 8, subpunctul c), trecerea de la $a{a}^{\prime }+1-\sqrt{2}(a+a^{\prime })=0$ la $a+a^{\prime }=0$ fără a spune că $a$, $a^{\prime }$ sunt raționale și $\sqrt{2}$ este irațional; la cerința 9, subpunctul c), surjectivitatea afirmată fără limitele la capetele intervalului.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Logaritmi: ${\log }_{a}u-{\log }_{a}v={\log }_a\frac{u}{v}$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u}=v⟺u=v^2$ și $v\ge 0$. Vectori: $\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}$; dacă $D$ este mijlocul lui $BC$, atunci $2\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BC}$. Trigonometrie: $(\sin x+\cos x{)}^2-(\sin x-\cos x{)}^2=4\sin x\cos x$, $\sin 2x=2\sin x\cos x$, $\cos \left(\frac{\pi }{2}-t\right)=\sin t$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; din $B\cdot X\cdot B=C$, cu $B$ inversabilă, rezultă $X=B^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$. Legi de compoziție: $a^{\prime }$ este simetricul lui $a$ dacă $a\circ a^{\prime }=a^{\prime }\circ a=e$, unde $e$ este elementul neutru. Numere iraționale: dacă $p,q\in \mathbb{Q}$ și $p+q\sqrt{2}=0$, atunci $p=q=0$.
• Derivate: tangentele paralele au aceeași pantă; o funcție continuă, strict crescătoare pe un interval, cu limitele ${\ell }_1$ și ${\ell }_2$ la capete, ia exact valorile dintre ${\ell }_1$ și ${\ell }_2$.
• Integrale: ${\int }_a^b{u}^{\prime }(x)f(u(x))dx=F(u(x)){|}_a^b$, unde $F$ este o primitivă a lui $f$; $\int \frac{\ln x}{x}dx=\frac{{\ln }^{2}x}{2}+\mathcal{C}$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că modelul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $A$ denumește în acest model cinci obiecte diferite: punctul $A(a,a^2)$ de la cerința $2$, mulțimea $A=\{1!,2!,\dots ,10!\}$ de la cerința $4$, vârful $A$ al triunghiului de la cerința $5$, matricea $A(x)$ de la cerința $7$ și punctul $A(n,f(n))$ de la cerința $9$. Litera $f$ denumește funcția de gradul întâi de la cerința $2$ și câte o funcție la cerințele $9$ și $10$. Litera $F$ este punctul $F$ de la cerința $5$ și primitiva $F$ de la cerința $10$, iar litera $a$ este numărul real de la cerința $2$, numărul rațional de la cerința $8$, subpunctul c), și numărul real căutat la cerința $10$, subpunctul c). Așa este scris modelul oficial; fiecare problemă se citește separat.
• La cerința $8$, $\circ$ este legea de compoziție, nu compunerea funcțiilor; $a^{\prime }$ este simetricul lui $a$, nu o derivată. La cerința $10$, $F$ este primitiva dată în enunț, iar $f\left(x^2+3\right)$ înseamnă valoarea lui $f$ în punctul $x^2+3$.
• La cerința $8$, baremul notează elementul neutru cu $e=\sqrt{2}+1$, iar simetricul lui $a$ cu $a^{\prime }$; la cerința $10$ litera $e$ este numărul lui Euler, $e\approx 2,718$. Rândurile de barem le redăm cu literele oficiale, așa că la cerința $8$ litera $e$ înseamnă doar elementul neutru și $a$ doar numărul rațional căutat; în ghidajul pas cu pas scriem direct valoarea elementului neutru, $\sqrt{2}+1$. Nu se confundă.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".