Bac M2 2022, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2022 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați termenul $b_4$ al progresiei geometrice $(b_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $b_1=\sqrt{2}$ și $b_2=4$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=m{x}^2-2x+1$, unde $m$ este număr real nenul. Determinați numărul real nenul $m$ pentru care axa $Ox$ este tangentă graficului funcției $f$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{x+2}-3^x-6\cdot 3^{x-1}=6$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A$, a numerelor naturale de două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A$, numărul $2n-60$ să aparțină mulțimii $A$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,4)$, $B(5,2)$ și $C$, mijlocul segmentului $AB$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $C$ și este perpendiculară pe dreapta $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul isoscel $ABC$, cu măsura unghiului $A$ egală cu $120^{\circ }$ și $AB=6$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $9\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ și $B(x)=x{I}_2+iA$, unde $x$ este număr real și $i^2=-1$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=1$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $B(3)\cdot B(5)=8B(x)$.

c) (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere întregi pentru care matricea $B(m)+iB(n)$ nu este inversabilă.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $M=[1,+\infty )$ se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-\sqrt{(x-1)(y-1)}$.

a) (5 puncte) Arătați că $2\ast 5=8$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".

c) (5 puncte) Demonstrați că $(nx)\ast y\ge x(n\ast y)$, pentru orice $x,y\in M$ și orice număr natural $n$, $n\ge 2$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4\sqrt{x}}{x^2+3}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{6\left(1-x^2\right)}{\sqrt{x}{\left(x^2+3\right)}^2}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați $a\in (0,+\infty )$, știind că tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(a,f(a))$ este paralelă cu axa $Ox$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\frac{\sqrt{x}}{x^2+3}>\frac{\sqrt{x+\frac{1}{x}}}{x^2+\frac{1}{x^2}+5}$, pentru orice $x\in (1,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x+2x}{e^x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1{e}^{x}f(x)dx=e$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^{0}f(x)dx=-1$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_0^{1}F(x)f^{\prime \prime }(x)dx=\frac{a(e+1)}{e^2}$, unde $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este primitiva funcției $f$ cu proprietatea $F(0)=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării din 2022; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie geometrică.

Rația este raportul a doi termeni consecutivi: $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\text{(2 p)}.$$ Al patrulea termen: $$b_4=b_1{q}^3=\sqrt{2}\cdot {\left(2\sqrt{2}\right)}^3=\sqrt{2}\cdot 16\sqrt{2}=32\text{(3 p)}.$$

(Control: $b_1=\sqrt{2}$, $b_2=4$, $b_3=8\sqrt{2}$, $b_4=32$ — fiecare se obține din precedentul înmulțind cu $2\sqrt{2}$. Unde se greșește de obicei: ${\left(2\sqrt{2}\right)}^3=8\cdot 2\sqrt{2}=16\sqrt{2}$, nu $8\sqrt{2}$ sau $6\sqrt{2}$; sau se ia rația ca diferență, $4-\sqrt{2}$, ca la progresiile aritmetice.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea.

Axa $Ox$ este tangentă graficului exact când ecuația $f(x)=0$ are o singură soluție (dublă), adică discriminantul este nul: $$\text{axa }Ox\text{ este tangenta˘ graficului funcției }f⟺\Delta =0⟺4-4m=0\text{(3 p)}.$$ De aici $\mathbf{m}=1$, care este nenul (2 p).

(Control: pentru $m=1$, $f(x)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$, al cărei grafic atinge axa $Ox$ doar în punctul $(1,0)$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\Delta =4+4m$, pierzând semnul din $-4ac$; sau se pune condiția $\Delta >0$, care înseamnă două puncte de intersecție, nu tangență.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se dă factor comun cea mai mică putere, $3^{x-1}$: $3^{x+2}=3^{x-1}\cdot 3^3$ și $3^x=3^{x-1}\cdot 3$, deci $$3^{x-1}\left(3^3-3-6\right)=6⟺3^{x-1}\cdot 18=6⟺3^{x-1}=\frac{1}{3}\text{(3 p)}.$$ Cum $\frac{1}{3}=3^{-1}$, egalând exponenții, $x-1=-1$, deci $\mathbf{x}=0$ (2 p).

(Verificare: pentru $x=0$, $9-1-6\cdot \frac{1}{3}=9-1-2=6$. Unde se greșește de obicei: se scrie $3^{x+2}=3^x+9$, adică se tratează exponentul sumă ca pe o sumă de puteri; sau se dă factor comun $3^x$ și se greșește $6\cdot 3^{x-1}=6\cdot 3^x\cdot 3$ în loc de $6\cdot 3^x:3=2\cdot 3^x$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea $A=\{10,11,\dots ,99\}$ are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Numărul $2n-60$ aparține mulțimii $A$ dacă $10\le 2n-60\le 99$, adică $35\le n\le 79,5$, deci $n\in \{35,36,\dots ,79\}$: sunt $45$ de cazuri favorabile, de unde obținem $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{45}{90}=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$

(Detaliul numărării: $79-35+1=45$. Control la capete: $2\cdot 35-60=10$ și $2\cdot 79-60=98$ au două cifre, iar $2\cdot 34-60=8$ și $2\cdot 80-60=100$ nu. Unde se greșește de obicei: se numără $79-35=44$ de cazuri, uitând un capăt; sau se rezolvă doar $2n-60\ge 10$ și iese $n\ge 35$, adică $65$ de cazuri.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, dreapta perpendiculară.

Panta dreptei $AB$ este $m_{AB}=\frac{2-4}{5-(-1)}=-\frac{1}{3}$ și, cum $d\perp AB$, produsul pantelor este $-1$, deci obținem $m_d=3$ (2 p).

Mijlocul segmentului $AB$ este $C\left(\frac{-1+5}{2},\frac{4+2}{2}\right)=C(2,3)$ și, cum $C\in d$, obținem că ecuația dreptei $d$ este $y-3=3(x-2)$, adică $\mathbf{y}=3x-3$ (3 p).

(Control: $C(2,3)$ verifică $3=3\cdot 2-3$, iar $m_d\cdot m_{AB}=3\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=-1$. Unde se greșește de obicei: se ia panta perpendicularei ca $\frac{1}{3}$ (doar schimbare de semn) sau $-3$ (doar inversare) — trebuie și inversată, și cu semnul schimbat.)

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi, cu sinusul.

Triunghiul este isoscel cu unghiul $A$ obtuz, deci laturile egale sunt cele care pleacă din $A$: $$AC=AB=6\text{(2 p)}.$$ $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin 120^{\circ }}{2}=\frac{6\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=9\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$

(De ce $AB=AC$: un triunghi are cel mult un unghi obtuz, deci unghiul de $120^{\circ }$ nu poate fi unghi de la bază; el este unghiul din vârf. Unde se greșește de obicei: se ia $\sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}$ sau $-\frac{\sqrt{3}}{2}$; corect, $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, $\mathcal{S}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice cu elemente complexe.

a) (5 p) Cu regula determinantului de ordinul al doilea: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right|=0\cdot 0-1\cdot (-1)\text{(3 p)}.$$ $$\det A=0+1=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $0\cdot 0+1\cdot (-1)=-1$, adunând produsul de pe diagonala secundară în loc să-l scadă.)

b) (5 p) Înmulțind și folosind $i^2=-1$ și $A\cdot A=-I_2$: $$B(3)\cdot B(5)=\left(3I_2+iA\right)\left(5I_2+iA\right)=15I_2+8iA+i^{2}A\cdot A=16I_2+8iA\text{(3 p)}.$$ $$16I_2+8iA=8\left(2I_2+iA\right)=8B(2),\text{ deci }\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=-I_2$, deci $i^{2}A\cdot A=(-1)(-I_2)=I_2$ și $15I_2+I_2=16I_2$. Unicitatea: $8B(x)=8x{I}_2+8iA$, iar egalitatea cu $16I_2+8iA$ cere $8x=16$. Unde se greșește de obicei: i se dă termenului $i^{2}A\cdot A$ semnul minus și iese $14I_2+8iA=8B\left(\frac{7}{4}\right)$, deci $x=\frac{7}{4}$ în loc de $2$; iar dacă termenul se uită cu totul, iese $15I_2+8iA=8B\left(\frac{15}{8}\right)$, deci $x=\frac{15}{8}$.)

c) (5 p) Calculând matricea și determinantul ei: $$B(m)+iB(n)=\left(\begin{array}{cc}m+in& i-1\\ -i+1& m+in\end{array}\right)\Rightarrow \det (B(m)+iB(n))=(m+in{)}^2-2i,\text{ unde }m,n\in \mathbb{Z}\text{(2 p)}.$$ Matricea $B(m)+iB(n)$ nu este inversabilă, deci $\det (B(m)+iB(n))=0\Rightarrow m^2-n^2+2(mn-1)i=0$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere întregi, obținem perechile $(-1,-1)$ și $(1,1)$ (3 p).

(Detaliul: $B(m)+iB(n)=m{I}_2+iA+in{I}_2+i^{2}A=(m+in)I_2+(i-1)A$; determinantul este $(m+in{)}^2-(i-1)(1-i)=(m+in{)}^2+(i-1{)}^2=(m+in{)}^2-2i$. Un număr complex este zero exact când partea reală și partea imaginară sunt zero: $m^2=n^2$ și $mn=1$. Din $mn=1$ cu $m,n$ întregi rezultă $m=n=1$ sau $m=n=-1$, și ambele verifică $m^2=n^2$. Unde se greșește de obicei: se calculează $(i-1)(-i+1)$ cu semnul greșit și iese determinantul $(m+in{)}^2+2i$, care duce la $mn=-1$ și la perechile $(1,-1)$, $(-1,1)$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție cu radical.

a) (5 p) Înlocuind în formula legii: $$2\ast 5=2\cdot 5-\sqrt{(2-1)(5-1)}\text{(3 p)}.$$ $$2\ast 5=10-\sqrt{4}=8\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt{(2-1)(5-1)}=\sqrt{2\cdot 5-1}$, amestecând parantezele; sau $\sqrt{4}$ se ia $4$ și iese $6$.)

b) (5 p) Se verifică ambele ordini: $$x\ast 1=x\cdot 1-\sqrt{(x-1)(1-1)}=x,\text{ pentru orice }x\in M\text{(2 p)}.$$ $$1\ast x=1\cdot x-\sqrt{(1-1)(x-1)}=x,\text{ pentru orice }x\in M,\text{ deci }e=1\text{ este elementul neutru al legii de compoziție }\ast \text{(3 p)}.$$

(Legea este comutativă, deci a doua egalitate rezultă și din prima; baremul le cere pe amândouă. Unde se greșește de obicei: în $x\ast 1$ factorul $1-1$ de sub radical se citește ca $1$ și iese $x\ast 1=x-\sqrt{x-1}$, care diferă de $x$ pentru orice $x>1$, deci s-ar trage concluzia greșită că $1$ nu este element neutru; corect, $(x-1)(1-1)=0$. La redactare, se spune și că $1\in M$ și că egalitățile au loc pentru orice $x$ din $M$.)

c) (5 p) Se calculează diferența dintre cei doi membri: $$(nx)\ast y-x(n\ast y)=x\sqrt{(n-1)(y-1)}-\sqrt{(nx-1)(y-1)}=\sqrt{y-1}\cdot \frac{(x-1)(nx-x-1)}{x\sqrt{n-1}+\sqrt{nx-1}},\text{ pentru }x,y\in M\text{ și }n\in \mathbb{N},n\ge 2\text{(2 p)}.$$ Cum $nx-x-1=x(n-1)-1$ și $x\ge 1$, $n$ este număr natural, $n\ge 2$, obținem $nx-x-1\ge 0$, deci $(nx)\ast y\ge x(n\ast y)$, pentru orice $x,y\in M$ și orice număr natural $n$, $n\ge 2$ (3 p).

(Detaliul primei egalități: $(nx)\ast y=nxy-\sqrt{(nx-1)(y-1)}$ și $x(n\ast y)=nxy-x\sqrt{(n-1)(y-1)}$; termenii $nxy$ se reduc. Apoi se scoate factor comun $\sqrt{y-1}$ și se amplifică cu conjugata: $x\sqrt{n-1}-\sqrt{nx-1}=\frac{x^2(n-1)-(nx-1)}{x\sqrt{n-1}+\sqrt{nx-1}}$, iar $x^2(n-1)-nx+1=(x-1)(nx-x-1)$. Toți factorii sunt nenegativi: $\sqrt{y-1}\ge 0$, $x-1\ge 0$, $x(n-1)-1\ge 1\cdot 1-1=0$, iar numitorul este strict pozitiv. Control numeric: pentru $x=2$, $y=5$, $n=2$, $(4)\ast 5=20-\sqrt{12}\approx 16,536$, iar $2(2\ast 5)=16$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă orizontală, inegalitate.

a) (5 p) Cu regula de derivare a câtului, ${\left(4\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{2}{\sqrt{x}}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{2}{\sqrt{x}}\cdot \left(x^2+3\right)-4\sqrt{x}\cdot 2x}{{\left(x^2+3\right)}^2}\text{(3 p)}.$$ Amplificând cu $\sqrt{x}$ (deci $4\sqrt{x}\cdot 2x=\frac{8x^2}{\sqrt{x}}$): $$f^{\prime }(x)=\frac{2x^2+6-8x^2}{\sqrt{x}{\left(x^2+3\right)}^2}=\frac{6\left(1-x^2\right)}{\sqrt{x}{\left(x^2+3\right)}^2},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: ${\left(4\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{4}{2\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{x}}$ se scrie $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, pierzând factorul $4$; sau se inversează ordinea din numărătorul câtului, $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$, și iese $f^{\prime }$ cu semnul schimbat.)

b) (5 p) Tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(a,f(a))$ este paralelă cu axa $Ox$ $⟺f^{\prime }(a)=0$, deci $1-a^2=0$ (3 p).

Cum $a\in (0,+\infty )$, obținem $\mathbf{a}=1$ (2 p).

(Fracția se anulează exact când se anulează numărătorul $6\left(1-a^2\right)$; numitorul este strict pozitiv pe $(0,+\infty )$. Unde se greșește de obicei: se păstrează și $a=-1$, care nu este în domeniu; sau se pune condiția $f(a)=0$, care nu are soluții pe $(0,+\infty )$.)

c) (5 p) Din a), pentru $x>1$ avem $1-x^2<0$, deci $$f^{\prime }(x)<0,\text{ pentru orice }x\in (1,+\infty )\Rightarrow f\text{ este strict descresca˘toare pe }(1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Pentru $x>1$, $1<x<x+\frac{1}{x}$, deci $$f(x)>f\left(x+\frac{1}{x}\right),\text{ deci }\frac{\sqrt{x}}{x^2+3}>\frac{\sqrt{x+\frac{1}{x}}}{x^2+\frac{1}{x^2}+5},\text{ pentru orice }x\in (1,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Detaliul ultimei scrieri: $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=\frac{4\sqrt{x+\frac{1}{x}}}{{\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2+3}$, iar ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2+3=x^2+2+\frac{1}{x^2}+3=x^2+\frac{1}{x^2}+5$; împărțind inegalitatea $f(x)>f\left(x+\frac{1}{x}\right)$ la $4$ se obține exact cea din enunț. Unde se greșește de obicei: se păstrează sensul inegalității la aplicarea lui $f$, ca pentru o funcție crescătoare; o funcție descrescătoare îl INVERSEAZĂ. Control numeric: pentru $x=2$, membrul stâng este $\frac{\sqrt{2}}{7}\approx 0,2020$, iar cel drept $\frac{\sqrt{2,5}}{9,25}\approx 0,1709$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale, primitivă și integrare prin părți.

a) (5 p) Factorul $e^x$ se simplifică, $e^{x}f(x)=e^x+2x$: $${\int }_0^1{e}^{x}f(x)dx={\int }_0^1\left(e^x+2x\right)dx=\left(e^x+x^2\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$\left(e^x+x^2\right){|}_0^1=e+1-1=\mathbf{e}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită că $e^0=1$ și se scrie rezultatul $e+1$.)

b) (5 p) Se împarte fiecare termen la $e^x$: $f(x)=1+2x{e}^{-x}$, iar o primitivă a lui $2x{e}^{-x}$ este $-2(x+1)e^{-x}$ (prin părți), deci $${\int }_{-1}^{0}f(x)dx={\int }_{-1}^0\left(1+2x{e}^{-x}\right)dx=\left(x-2(x+1)e^{-x}\right){|}_{-1}^0\text{(3 p)}.$$ $$\left(x-2(x+1)e^{-x}\right){|}_{-1}^0=-2-(-1)=-1\text{(2 p)}.$$

(Control al primitivei: $(x-2(x+1)e^{-x}{)}^{\prime }=1-2e^{-x}+2(x+1)e^{-x}=1+2x{e}^{-x}$. În capete: pentru $x=0$, $0-2=-2$; pentru $x=-1$, $-1-0=-1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{e^x+2x}{e^x}=1+2x$, simplificând greșit; sau se greșește semnul primitivei lui $e^{-x}$, care este $-e^{-x}$.)

c) (5 p) $F$ este primitivă a lui $f$, deci $F^{\prime }(x)=f(x)$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$. Integrând prin părți (cu $u=F$, $v^{\prime }=f^{\prime \prime }$) și observând că $f\cdot f^{\prime }={\left(\frac{f^2}{2}\right)}^{\prime }$, $${\int }_0^{1}F(x)f^{\prime \prime }(x)dx=F(x)f^{\prime }(x){|}_0^1-\frac{f^2(x)}{2}{|}_0^1=F(1)f^{\prime }(1)-F(0)f^{\prime }(0)-\frac{f^2(1)-f^2(0)}{2}\text{(3 p)}.$$ Cum $f^{\prime }(x)=2(1-x)e^{-x}$, avem $f^{\prime }(1)=0$ și, cum $F(0)=0$, obținem ${\int }_0^{1}F(x)f^{\prime \prime }(x)dx=\frac{-2(e+1)}{e^2}$, deci $\mathbf{a}=-2$ (2 p).

(Detaliul: ${\int }_0^{1}F{f}^{\prime \prime }dx=F{f}^{\prime }{|}_0^1-{\int }_0^1{F}^{\prime }{f}^{\prime }dx=F{f}^{\prime }{|}_0^1-{\int }_0^{1}f{f}^{\prime }dx$. Termenii de la capete dispar, iar $f(1)=1+\frac{2}{e}$, $f(0)=1$, deci $f^2(1)-f^2(0)=\frac{4}{e}+\frac{4}{e^2}=\frac{4(e+1)}{e^2}$ și integrala este $-\frac{2(e+1)}{e^2}$. Nu este nevoie de formula lui $F$. Control numeric: integrala calculată numeric dă $-1,006429$, iar $-\frac{2(e+1)}{e^2}\approx -1,006429$. Unde se greșește de obicei: se uită semnul minus din formula integrării prin părți și iese $a=2$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la simularea națională a examenului de bacalaureat din 2022, proba E. c), Matematică M_șt-nat. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în simularea din 2022:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii geometrice: rația din primii doi termeni și al patrulea termen — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: axa $Ox$ tangentă graficului, condiția $\Delta =0$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: factor comun $3^{x-1}$ și egalarea exponenților — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numerele de două cifre $n$ pentru care și $2n-60$ are două cifre — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment, panta unei drepte, dreapta perpendiculară — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: aria unui triunghi cu formula cu sinusul unghiului dintre laturi — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, produse de matrice cu elemente complexe, condiția de inversabilitate — clasa a XI-a (cu numerele complexe din clasa a X-a). (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calcul cu legea, elementul neutru și o inegalitate demonstrată prin amplificare cu conjugata — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât cu radical, tangenta orizontală, monotonia folosită pentru o inegalitate — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale: formula Leibniz–Newton, o primitivă de tipul $x{e}^{-x}$ și integrarea prin părți cu primitiva $F$ — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2022. Subiectul I este format din șase cerințe directe; singurul loc cu adevărat delicat este cerința 4, unde cazurile favorabile se numără dintr-o dublă inegalitate, $10\le 2n-60\le 99$. Subiectul al II-lea combină matricele cu numerele complexe: totul se sprijină pe $A^2=-I_2$ și $i^2=-1$, iar subpunctul c) se termină cu o ecuație în numere întregi, $m^2-n^2+2(mn-1)i=0$. Legea de compoziție are un radical, iar subpunctul c) cere o inegalitate care se obține amplificând cu conjugata. Subiectul al III-lea încheie problema 1 cu o inegalitate care arată complicat, dar este doar $f(x)>f\left(x+\frac{1}{x}\right)$, scrisă desfășurat; problema 2 se încheie cu o integrare prin părți în care termenul de la capete dispare, pentru că $f^{\prime }(1)=0$ și $F(0)=0$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, $\frac{1}{2}$, $9\sqrt{3}$, o dreaptă, două perechi de numere întregi și numărul $e$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 2, valoarea $m=0$ luată în discuție, deși enunțul cere $m$ nenul; la cerința 7, subpunctul c), egalitatea $m^2-n^2+2(mn-1)i=0$ rezolvată fără să se separe partea reală de partea imaginară (ceea ce se poate face tocmai pentru că $m$ și $n$ sunt reale); la cerința 9, subpunctul b), valoarea $a=-1$ păstrată, deși $a\in (0,+\infty )$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii geometrice: $q=\frac{b_2}{b_1}$, $b_n=b_1{q}^{n-1}$. Funcția de gradul al doilea: axa $Ox$ este tangentă graficului lui $f(x)=a{x}^2+bx+c$ exact când $\Delta =b^2-4ac=0$. Probabilități: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$. Geometrie analitică: $m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$; două drepte sunt perpendiculare exact când produsul pantelor este $-1$; dreapta de pantă $m$ prin $(x_0,y_0)$ are ecuația $y-y_0=m(x-x_0)$. Aria triunghiului: $\mathcal{S}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Numere complexe: $u+vi=0$, cu $u,v$ reale, exact când $u=0$ și $v=0$.
• Legi de compoziție: $e$ este element neutru dacă $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$. Amplificare cu conjugata: $a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}$ pentru $a+b>0$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$; tangenta în $A(a,f(a))$ este paralelă cu $Ox$ exact când $f^{\prime }(a)=0$; o funcție strict descrescătoare inversează inegalitățile.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția de gradul al doilea $f(x)=m{x}^2-2x+1$ de la cerința $2$, funcția $f(x)=\frac{4\sqrt{x}}{x^2+3}$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=\frac{e^x+2x}{e^x}$ de la cerința $10$. Litera $A$ este un punct la cerințele $5$, $6$ și $9$ și o matrice la cerința $7$; la cerința $4$, $A$ este mulțimea numerelor de două cifre. Litera $B$ este un punct la cerințele $5$ și $6$, iar $B(x)$ este o matrice la cerința $7$.
• Litera $x$ este variabila funcțiilor, dar la cerința $7$ este numărul real din $B(x)=x{I}_2+iA$, iar la cerința $8$ este un element al mulțimii $M$; litera $i$ este unitatea imaginară, cu $i^2=-1$. Literele $m$ și $n$ sunt parametru real la cerința $2$, numere întregi la cerința $7$, iar $n$ este număr natural la cerința $8$. Litera $e$ este elementul neutru la cerința $8$ (acolo $e=1$) și numărul lui Euler, $e\approx 2,718$, la cerința $10$; litera $a$ este abscisa punctului de tangență la cerința $9$ și numărul real căutat la cerința $10$.
• Prin $f^2(x)$ (în rezolvarea cerinței $10$, subpunctul c) se înțelege $(f(x){)}^2$, pătratul valorii funcției, nu compunerea $f\circ f$. Semnul $\ast$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită în enunț, nu înmulțirea obișnuită.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".