Bac M2 2022, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2022 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2+\sqrt{2}\right)=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-4x$. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{x-3}=\frac{1}{2^{2x}}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de $11$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,0)$, $B(0,3)$ și $C(4,0)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră $E(x)=\mathrm{tg}x+\sin \frac{3x}{2}-2\cos \frac{x}{2}$, unde $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{3}\right)=1$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $M(x)=\left(\begin{array}{cc}x+1& -x\\ -2x& 2x+1\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (M(1))=4$.

b) (5 puncte) Arătați că $M(x)\cdot M(1)=M(4x+1)$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $M(x)\cdot M(1)\cdot M(1)=M(x+2)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=5xy+10x+10y+18$.

a) (5 puncte) Arătați că $(-1)\circ 0=8$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $x\circ y=5(x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numărul întreg $m$ pentru care $m\circ m=m$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}+\ln (x-1)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-x-2}{(x-1{)}^2}$, $x\in (1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=2$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\frac{x^2+1}{x-1}+\ln (x-1)\ge 5$, pentru orice $x\in (1,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+4}{6x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{2}f(x)\left(6x^2+1\right)dx=10$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2\left(f(x)-\frac{4}{6x^2+1}\right)dx=\frac{\ln 5}{6}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care ${\int }_0^1\frac{x+4}{f(x)}\cdot e^{2x}dx=m\left(e^2-1\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2022; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Întâi primul produs, $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$: $$\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2+\sqrt{2}\right)=\left(2-\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{2}\right)\text{(3 p)}.$$ Cu formula $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $$\left(2-\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{2}\right)=4-2=2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4$ sau $\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)=2-1$, înmulțind cu $\sqrt{2}$ doar primul termen al parantezei — atunci iese $2+\sqrt{2}$, nu $2$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, intersecția cu $Ox$.

Punctele de pe axa $Ox$ au ordonata $0$, deci abscisele căutate sunt soluțiile ecuației $$f(x)=0⟺2x^2-4x=0\text{(3 p)}.$$ Dând factor comun, $2x(x-2)=0$, deci $\mathbf{x}=0$ sau $\mathbf{x}=2$ (2 p).

(Punctele de intersecție sunt $(0,0)$ și $(2,0)$. Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația prin $x$ și se pierde soluția $x=0$; sau se rezolvă $f(0)=y$, adică intersecția cu $Oy$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Membrul drept se scrie ca putere a lui $2$, $\frac{1}{2^{2x}}=2^{-2x}$, iar funcția exponențială este injectivă: $$2^{x-3}=2^{-2x}⟺x-3=-2x\text{(3 p)}.$$ De aici $3x=3$, deci $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(Verificare: $2^{-2}=\frac{1}{4}$ și $\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{1}{2^{2x}}=2^{2x}$, uitând minusul exponentului, și din $x-3=2x$ iese $x=-3$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt $9$ numere care sunt multipli de $11$ ($11,22,\dots ,99$), deci sunt $9$ cazuri favorabile, de unde obținem $$p=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se numără $99$ sau $100$ de cazuri posibile; sau se numără și $0$ drept multiplu de $11$, deși nu are două cifre.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, triunghi isoscel.

Punctele $A$ și $C$ sunt pe axa $Ox$, deci $$AC=4-(-1)=5\text{(2 p)}.$$ $$BC=\sqrt{4^2+3^2}=5,\text{ deci }AC=BC,\text{ de unde obținem ca˘ triunghiul }ABC\text{ este isoscel}\text{(3 p)}.$$

(Control: a treia latură, $AB=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\approx 3,16228$, este diferită — triunghiul este isoscel cu baza $AB$, nu echilateral. Unde se greșește de obicei: se scrie $AC=4-1=3$, pierzând minusul din abscisa lui $A$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie, valori remarcabile.

Pentru $x=\frac{\pi }{3}$ argumentele sunt $\frac{\pi }{3}$, $\frac{3}{2}\cdot \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$ și $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$, iar $$\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3},\sin \frac{\pi }{2}=1,\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(3 p)}.$$ $$E\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}+1-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ (aceea este $\sin \frac{\pi }{6}$) și iese $\sqrt{3}$; sau $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ (aceea este $\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}$).)

Exercițiul 7. (15 p) — matricea $M(x)$ și regula ei de înmulțire.

a) (5 p) Pentru $x=1$: $$M(1)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -2& 3\end{array}\right)\Rightarrow \det (M(1))=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ -2& 3\end{array}\right|=2\cdot 3-(-1)\cdot (-2)\text{(3 p)}.$$ $$\det (M(1))=6-2=4\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: $(-1)\cdot (-2)=+2$ se scade; dacă se pierde un minus, iese $6+2=8$.)

b) (5 p) Înmulțind linie cu coloană: $$M(x)\cdot M(1)=\left(\begin{array}{cc}4x+2& -4x-1\\ -8x-2& 8x+3\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Elementele se scriu cu $4x+1$ în locul lui $x$: $$M(x)\cdot M(1)=\left(\begin{array}{cc}(4x+1)+1& -(4x+1)\\ -2(4x+1)& 2(4x+1)+1\end{array}\right)=M(4x+1),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$

(Detaliul primei linii: $(x+1)\cdot 2+(-x)\cdot (-2)=4x+2$ și $(x+1)\cdot (-1)+(-x)\cdot 3=-4x-1$; a doua linie: $-2x\cdot 2+(2x+1)(-2)=-8x-2$ și $-2x\cdot (-1)+(2x+1)\cdot 3=8x+3$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele element cu element.)

c) (5 p) Folosind asociativitatea și de două ori regula de la b): $$M(x)\cdot M(1)\cdot M(1)=(M(x)\cdot M(1))\cdot M(1)=M(4x+1)\cdot M(1)=M(16x+5),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ $$M(16x+5)=M(x+2),\text{ de unde obținem }16x+5=x+2,\text{ deci }\mathbf{x}=-\frac{1}{5}\text{(2 p)}.$$

(De ce din $M(u)=M(v)$ rezultă $u=v$: elementul de pe linia întâi, coloana a doua, este $-u$, respectiv $-v$. Detaliul: $4(4x+1)+1=16x+5$. Unde se greșește de obicei: se aplică regula ca și cum $M(1)\cdot M(1)=M(2)$ — nu este așa: $M(1)\cdot M(1)=M(4\cdot 1+1)=M(5)$. Cu $M(2)$ s-ar ajunge la $M(x)\cdot M(2)=M(7x+2)$ și la $x=0$, greșit.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Înlocuind $x=-1$ și $y=0$: $$(-1)\circ 0=5\cdot (-1)\cdot 0+10\cdot (-1)+10\cdot 0+18\text{(3 p)}.$$ $$(-1)\circ 0=-10+18=8\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se pierde minusul și iese $10+18=28$.)

b) (5 p) Se scrie $18=20-2$ și se grupează: $$x\circ y=5xy+10x+10y+20-2=5x(y+2)+10(y+2)-2\text{(3 p)}.$$ $$x\circ y=(5x+10)(y+2)-2=5(x+2)(y+2)-2,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.$$

(Control: desfăcând, $5(xy+2x+2y+4)-2=5xy+10x+10y+18$. Unde se greșește de obicei: se scrie $5(x+2)(y+2)=5xy+10x+10y+4$, uitând să înmulțească și produsul $2\cdot 2$ cu $5$.)

c) (5 p) Cu forma de la b): $$m\circ m=5(m+2{)}^2-2,\text{ pentru orice numa˘r ıˆntreg }m\text{(2 p)}.$$ $$5(m+2{)}^2-2=m\Rightarrow (m+2)(5m+9)=0\text{ și, cum }m\text{ este numa˘r ıˆntreg, obținem }\mathbf{m}=-2\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $5(m+2{)}^2-2-m=5m^2+19m+18=(m+2)(5m+9)$; rădăcinile sunt $-2$ și $-\frac{9}{5}$, iar doar prima este întreagă. Control: $(-2)\circ (-2)=5\cdot 0-2=-2$. Unde se greșește de obicei: se păstrează și $m=-\frac{9}{5}$, care nu este întreg.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă și minim.

a) (5 p) Derivata câtului și a logaritmului: $$f^{\prime }(x)=\frac{2x(x-1)-\left(x^2+1\right)}{(x-1{)}^2}+\frac{1}{x-1}\text{(3 p)}.$$ Aducând la același numitor ($\frac{1}{x-1}=\frac{x-1}{(x-1{)}^2}$): $$f^{\prime }(x)=\frac{x^2-2x-1+x-1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-x-2}{(x-1{)}^2},x\in (1,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se derivează câtul cu ordinea inversată în numărător; sau se derivează $\ln (x-1)$ ca $\frac{1}{x}$.)

b) (5 p) Valoarea și derivata în $2$: $$f(2)=5,f^{\prime }(2)=0\text{(2 p)}.$$ $$\text{Ecuația tangentei este }y-f(2)=f^{\prime }(2)(x-2),\text{ adica˘ }\mathbf{y}=5\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $f(2)=\frac{5}{1}+\ln 1=5$ și $f^{\prime }(2)=\frac{4-2-2}{1}=0$ — tangenta este orizontală. Unde se greșește de obicei: se ia $\ln 1=1$ și iese $f(2)=6$.)

c) (5 p) Numărătorul derivatei se descompune, $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, iar pe $(1,+\infty )$ avem $x+1>0$; deci $$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=2;x\in (1,2]\Rightarrow f^{\prime }(x)\le 0,\text{ deci }f\text{ este descresca˘toare pe }(1,2]\text{ și }x\in [2,+\infty )\Rightarrow f^{\prime }(x)\ge 0,\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare pe }[2,+\infty )\text{(3 p)}.$$ $$f(x)\ge f(2),\text{ pentru orice }x\in (1,+\infty ),\text{ de unde obținem }\frac{x^2+1}{x-1}+\ln (x-1)\ge 5,\text{ pentru orice }x\in (1,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Punctul $x=2$ este punct de minim global, iar valoarea minimă este $f(2)=5$. Control numeric: $f(3)=5+\ln 2\approx 5,693$, $f\left(\frac{3}{2}\right)=6,5-\ln 2\approx 5,807$. Unde se greșește de obicei: se arată doar $f^{\prime }(2)=0$, fără semnul derivatei; sau se folosește rădăcina $x=-1$, care nu este în domeniu.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale, primitivă de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$, prin părți.

a) (5 p) Factorul $6x^2+1$ se simplifică: $${\int }_0^{2}f(x)\left(6x^2+1\right)dx={\int }_0^2(x+4)dx=\left(\frac{x^2}{2}+4x\right){|}_0^2\text{(3 p)}.$$ $$\left(\frac{x^2}{2}+4x\right){|}_0^2=2+8=10\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $4$ se scrie $4$ în loc de $4x$, și iese $2+4-4=2$.)

b) (5 p) După scădere rămâne $\frac{x}{6x^2+1}$, iar numărătorul este, până la un factor, derivata numitorului, ${\left(6x^2+1\right)}^{\prime }=12x$: $${\int }_0^2\left(f(x)-\frac{4}{6x^2+1}\right)dx={\int }_0^2\frac{x}{6x^2+1}dx=\frac{1}{12}{\int }_0^2\frac{{\left(6x^2+1\right)}^{\prime }}{6x^2+1}dx=\frac{1}{12}\ln \left(6x^2+1\right){|}_0^2\text{(3 p)}.$$ $$\frac{1}{12}\left(\ln 25-\ln 1\right)=\frac{1}{12}\ln 25=\frac{\ln 5}{6}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\ln 25=2\ln 5$, deci $\frac{2\ln 5}{12}=\frac{\ln 5}{6}$. Control numeric: $\frac{\ln 5}{6}\approx 0,268240$. Unde se greșește de obicei: se pune factorul $\frac{1}{6}$ în loc de $\frac{1}{12}$ și iese $\frac{\ln 5}{3}$.)

c) (5 p) Cum $\frac{x+4}{f(x)}=6x^2+1$, se integrează prin părți de două ori, cu ${\left(\frac{e^{2x}}{2}\right)}^{\prime }=e^{2x}$: $${\int }_0^1\frac{x+4}{f(x)}\cdot e^{2x}dx={\int }_0^1\left(6x^2+1\right){\left(\frac{e^{2x}}{2}\right)}^{\prime }dx=\left(6x^2+1\right)\frac{e^{2x}}{2}{|}_0^1-{\int }_0^{1}6x{e}^{2x}dx=\frac{7e^2-1}{2}-3x{e}^{2x}{|}_0^1+\frac{3e^{2x}}{2}{|}_0^1=2e^2-2\text{(3 p)}.$$ $$2e^2-2=m\left(e^2-1\right),\text{ de unde obținem }\mathbf{m}=2\text{(2 p)}.$$

(Detaliul celei de-a doua integrări prin părți: ${\int }_0^{1}6x{e}^{2x}dx=3x{e}^{2x}{|}_0^1-{\int }_0^{1}3e^{2x}dx=3e^2-\frac{3\left(e^2-1\right)}{2}$. În total: $\frac{7e^2-1}{2}-3e^2+\frac{3e^2-3}{2}=\frac{4e^2-4}{2}=2e^2-2$. Control numeric: integrala calculată numeric dă $12,778112$, iar $2\left(e^2-1\right)\approx 12,778112$. Unde se greșește de obicei: se ia primitiva lui $e^{2x}$ ca $e^{2x}$, fără împărțirea la $2$, iar toate valorile de la capete ies greșite; sau se uită semnul minus din formula integrării prin părți la a doua aplicare.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea specială 2022 a examenului național de bacalaureat — Varianta 3. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în sesiunea specială din 2022:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Radicali: un produs cu radicali, prin formula $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: intersecția graficului cu axa $Ox$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază și egalarea exponenților — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: multiplii lui $11$ de două cifre — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: distanța dintre două puncte și triunghiul isoscel — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valorile funcțiilor trigonometrice în unghiuri remarcabile — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, produs de matrice și o ecuație matriceală rezolvată prin regula de înmulțire — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calcul cu legea, forma „produs" a legii și o ecuație în numere întregi — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unei sume cu un cât și un logaritm, tangenta, monotonia și minimul — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale: formula Leibniz–Newton, primitiva de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$ și integrarea prin părți — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială din 2022. Subiectul I este format din șase cerințe directe, cu câte doi pași de barem fiecare; singurul loc în care se greșește des este cerința 6, unde trebuie știute trei valori trigonometrice diferite ($\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}$, $\sin \frac{\pi }{2}$, $\cos \frac{\pi }{6}$). Subiectul al II-lea are o matrice $M(x)$ cu regulă de înmulțire: odată arătat că $M(x)\cdot M(1)=M(4x+1)$, subpunctul c) se reduce la aplicarea ei de două ori și la o ecuație de gradul întâi. Legea de compoziție se scrie în forma „produs" $5(x+2)(y+2)-2$, din care ecuația $m\circ m=m$ devine o ecuație de gradul al doilea cu o singură soluție întreagă. Subiectul al III-lea cere, la problema 1, o inegalitate care nu este altceva decât $f(x)\ge f(2)$, iar la problema 2 o integrare prin părți aplicată de două ori la rând.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, o dreaptă orizontală și $\frac{\ln 5}{6}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 2, ecuația $2x^2-4x=0$ împărțită prin $x$, cu pierderea soluției $x=0$; la cerința 8, subpunctul c), soluția $m=-\frac{9}{5}$ păstrată, deși $m$ este întreg; la cerința 9, subpunctul c), inegalitatea afirmată fără monotonia pe cele două intervale.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Radicali: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Ecuații exponențiale: $\frac{1}{a^k}=a^{-k}$; $a^u=a^v⟺u=v$. Probabilități: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$. Geometrie analitică: $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$. Valori remarcabile: $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$, $\sin \frac{\pi }{2}=1$, $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; înmulțirea matricelor este asociativă.
• Legi de compoziție: o lege de forma $x\circ y=kxy+kax+kay+k{a}^2-a$ se scrie $x\circ y=k(x+a)(y+a)-a$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, $(\ln (x-1){)}^{\prime }=\frac{1}{x-1}$; ecuația tangentei: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$.
• Integrale: Leibniz–Newton; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția de gradul al doilea $f(x)=2x^2-4x$ de la cerința $2$, funcția $f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}+\ln (x-1)$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=\frac{x+4}{6x^2+1}$ de la cerința $10$. Litera $M$ denumește matricele $M(x)$ de la cerința $7$.
• Semnul $\circ$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită în enunț, nu compunerea funcțiilor; așa este tipărit în documentul oficial și așa l-am păstrat.
• Litera $x$ este variabila funcțiilor, dar la cerința $7$ este numărul real din $M(x)$, iar la cerința $8$ un număr real oarecare din definiția legii; litera $m$ este un număr întreg la cerința $8$ și un număr real la cerința $10$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".