Bac M2 2023, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2023 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $3-4i+i(4-i)=4$, unde $i^2=-1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4-2x$. Arătați că $(f\circ f)(1)=0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_5\left(x^2-2x+6\right)={\log }_{5}6$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu $3$ și cu $7$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$, $B(a,0)$ și $C(0,b)$. Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că punctul $A$ este mijlocul segmentului $BC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AB=AC=10$ și $BC=16$. Arătați că $AD=6$, unde $AD$ este înălțime în triunghiul $ABC$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& -2\end{array}\right)\text{și}B(x)=\left(\begin{array}{cc}x+1& 2x+1\\ x-1& 2x-1\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (B(2))=4$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $B(0)\cdot B(1)=aA$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A\cdot B(x)=A\cdot (B(0)-3I_2)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+2X^2+mX-3$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $m=0$, arătați că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X+1$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care $(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=x_1{x}_2{x}_3$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x^2}{x^2+x-2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{3x(x-4)}{{\left(x^2+x-2\right)}^2}$, $x\in (1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)+f\left(x^2\right)\ge \frac{17}{3}$, pentru orice $x\in (1,2]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x(x-1{)}^2$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_3^7\frac{f(x)}{(x-1{)}^2}dx=20$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_2^3\frac{x}{f(x)}dx=\frac{1}{2}$.

c) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\frac{xf\left(e^x\right)}{e^x}dx=\frac{e^2-5}{4}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2023; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Desfacem paranteza: $$3-4i+i(4-i)=3-4i+4i-i^2\text{(3 p)}.$$ Termenii $-4i$ și $4i$ se reduc, iar $-i^2=1$: $$3-4i+4i-i^2=3+1=4\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $-i^2=-1$, uitând că $i^2$ este deja $-1$, și iese $2$.)

Exercițiul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Întâi valoarea interioară: $$f(1)=4-2=2\text{(2 p)}.$$ $$(f\circ f)(1)=f(f(1))=f(2)=4-4=0\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează $f(1)\cdot f(1)=4$, confundând compunerea cu produsul.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmii au aceeași bază, $5$, iar funcția logaritmică este injectivă, deci argumentele sunt egale: $$x^2-2x+6=6,\text{ deci }{x}^2-2x=0\text{(2 p)}.$$ Din $x(x-2)=0$ rezultă $\mathbf{x}=0$ sau $\mathbf{x}=2$; pentru amândouă argumentul este $6>0$, deci convin (3 p).

(Observație: $x^2-2x+6=(x-1{)}^2+5>0$ pentru orice $x$ real, deci condiția de existență este îndeplinită oricum; baremul cere totuși cuvântul „convin". Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația $x^2-2x=0$ prin $x$ și se pierde soluția $x=0$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilități.

Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$: mulțimea are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Un număr divizibil cu $3$ și cu $7$ este divizibil cu $21$ (pentru că $3$ și $7$ sunt prime între ele). De două cifre sunt $21$, $42$, $63$ și $84$, deci sunt $4$ cazuri favorabile, de unde obținem $$p=\frac{4}{90}=\frac{2}{45}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se înțelege „cu $3$ sau cu $7$" și se numără toți multiplii lui $3$ și toți ai lui $7$; sau se numără $99$ de cazuri posibile, adăugând numerele de o cifră.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, mijlocul unui segment.

Mijlocul segmentului $BC$ are coordonatele mediile coordonatelor capetelor: $$A\left(\frac{a+0}{2},\frac{0+b}{2}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalând cu $A(1,2)$: $\frac{a}{2}=1$ și $\frac{b}{2}=2$, deci $\mathbf{a}=2$ și $\mathbf{b}=4$ (2 p).

(Control: $B(2,0)$ și $C(0,4)$ au mijlocul $\left(1,2\right)$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{a}{2}=2$ și $\frac{b}{2}=1$, inversând coordonatele lui $A$.)

Exercițiul 6. (5 p) — geometrie plană, înălțimea în triunghiul isoscel.

Triunghiul $ABC$ este isoscel cu baza $BC$, deci înălțimea $AD$ este și mediană: $D$ este mijlocul lui $BC$. Așadar triunghiul $ABD$ este dreptunghic în $D$ și $BD=\frac{16}{2}=8$ (3 p).

Cu teorema lui Pitagora în triunghiul $ABD$: $$AD=\sqrt{A{B}^2-B{D}^2}=\sqrt{100-64}=6\text{(2 p)}.$$

(Control: $6^2+8^2=36+64=100=10^2$. Unde se greșește de obicei: se ia $BD=16$, uitând că $D$ este mijlocul lui $BC$, și iese $A{D}^2=100-256<0$ — semn clar de greșeală.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=2$: $$B(2)=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 3\end{array}\right)\Rightarrow \det (B(2))=\left|\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 3\end{array}\right|=3\cdot 3-5\cdot 1\text{(3 p)}.$$ $$\det (B(2))=9-5=4\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: elementul $2x-1$ pentru $x=2$ este $3$, nu $5$; dacă se încurcă cu $2x+1=5$, determinantul iese $3\cdot 5-5\cdot 1=10$.)

b) (5 p) Calculăm produsul: $$B(0)\cdot B(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -2& -4\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& -2\end{array}\right)=2A\text{(3 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $aA=2A$, de unde obținem $\mathbf{a}=2$ (2 p).

(Deoarece $A$ nu este matricea nulă, din $aA=2A$ rezultă $a=2$ — de exemplu, comparând elementele din colțul stânga sus. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele element cu element și iese $\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& -1\end{array}\right)$, care nu e multiplu al lui $A$.)

c) (5 p) Calculăm cei doi membri: $$A\cdot B(x)=\left(\begin{array}{cc}3x-1& 6x-1\\ -3x+1& -6x+1\end{array}\right),\text{ pentru orice numa˘r real }x,A\cdot (B(0)-3I_2)=\left(\begin{array}{cc}-4& -7\\ 4& 7\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ $$\left(\begin{array}{cc}3x-1& 6x-1\\ -3x+1& -6x+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-4& -7\\ 4& 7\end{array}\right),\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=-1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul calculului: $B(0)-3I_2=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ -1& -4\end{array}\right)$. Toate cele patru egalități, $3x-1=-4$, $6x-1=-7$, $-3x+1=4$, $-6x+1=7$, dau aceeași valoare, $x=-1$. Atenție: $\det A=0$, deci $A$ NU este inversabilă și nu se poate „simplifica" cu $A$; totuși aici egalitatea elementelor dă o singură soluție. Unde se greșește de obicei: se simplifică cu $A$ și se scrie $B(x)=B(0)-3I_2$, ecuație care nu are soluție.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $m=0$: $$f=X^3+2X^2-3\Rightarrow f(1)=1^3+2\cdot 1^2-3\text{(3 p)}.$$ $$f(1)=1+2-3=0\text{(2 p)}.$$

b) (5 p) După teorema lui Bézout, $f$ este divizibil cu $X+1=X-(-1)$ exact când $f(-1)=0$: $$f(-1)=(-1{)}^3+2(-1{)}^2+m(-1)-3=-m-2\text{(3 p)}.$$ $$-m-2=0,\text{ de unde obținem }\mathbf{m}=-2\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $m=-2$, $f=X^3+2X^2-2X-3=(X+1)\left(X^2+X-3\right)$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(1)$ în loc de $f(-1)$.)

c) (5 p) Polinomul are coeficientul dominant $1$, deci $f=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$; înlocuind $X$ cu $1$: $$(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=f(1)=1+2+m-3=m,\text{ pentru orice numa˘r real }m\text{(3 p)}.$$ Din relațiile lui Viète, $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{-3}{1}=3$, deci egalitatea din enunț devine $m=3$, adică $\mathbf{m}=3$ (2 p).

(Control numeric: pentru $m=3$, rădăcinile lui $X^3+2X^2+3X-3$, calculate numeric, dau $(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=3=x_1{x}_2{x}_3$. Unde se greșește de obicei: se ia $x_1{x}_2{x}_3=-3$, cu semnul greșit, și iese $m=-3$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivata unui cât, asimptotă, inegalitate.

a) (5 p) Cu regula de derivare a câtului: $$f^{\prime }(x)=\frac{6x\left(x^2+x-2\right)-3x^2(2x+1)}{{\left(x^2+x-2\right)}^2}\text{(3 p)}.$$ Desfăcând numărătorul, $6x^3+6x^2-12x-6x^3-3x^2=3x^2-12x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{3x^2-12x}{{\left(x^2+x-2\right)}^2}=\frac{3x(x-4)}{{\left(x^2+x-2\right)}^2},x\in (1,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se inversează ordinea din numărător, $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$, și iese semnul opus.)

b) (5 p) Dăm factor comun $x^2$ la numitor: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2}{x^2+x-2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3}{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}=3\text{(3 p)}.$$ Dreapta de ecuație $\mathbf{y}=3$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se răspunde „$y=0$", ca și cum gradul numărătorului ar fi mai mic decât al numitorului; aici gradele sunt egale, iar limita este raportul coeficienților dominanți, $\frac{3}{1}$.)

c) (5 p) Pentru $x\in (1,4]$ avem $3x>0$ și $x-4\le 0$, deci $f^{\prime }(x)\le 0$, pentru orice $x\in (1,4]$, deci $f$ este descrescătoare pe $(1,4]$ (2 p).

Dacă $1<x\le 2$, atunci $1<x^2\le 4$; cum $f$ este descrescătoare pe $(1,4]$, rezultă $f(x)\ge f(2)$ și $f\left(x^2\right)\ge f(4)$. Cum $f(2)=\frac{12}{4}=3$ și $f(4)=\frac{48}{18}=\frac{8}{3}$, obținem $$f(x)+f\left(x^2\right)\ge 3+\frac{8}{3}=\frac{17}{3},\text{ pentru orice }x\in (1,2]\text{(3 p)}.$$

(Egalitatea are loc pentru $x=2$. Control numeric: pentru $x=1,5$, $f(1,5)=\frac{6,75}{1,75}\approx 3,857$ și $f(2,25)\approx 2,859$, cu suma $\approx 6,716>\frac{17}{3}\approx 5,667$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(x)\le f(2)$ — la o funcție descrescătoare, argumentul mai mic dă valoarea mai MARE.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Pe $[3,7]$ avem $(x-1{)}^2\ne 0$, deci $\frac{f(x)}{(x-1{)}^2}=x$ și $${\int }_3^7\frac{f(x)}{(x-1{)}^2}dx={\int }_3^{7}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_3^7\text{(3 p)}.$$ $${\int }_3^7\frac{f(x)}{(x-1{)}^2}dx=\frac{49}{2}-\frac{9}{2}=20\text{(2 p)}.$$

b) (5 p) Pe $[2,3]$ avem $x\ne 0$, deci $\frac{x}{f(x)}=\frac{1}{(x-1{)}^2}$, de tipul $\frac{u^{\prime }}{u^2}$ cu $u=x-1$: $${\int }_2^3\frac{x}{f(x)}dx={\int }_2^3\frac{(x-1{)}^{\prime }}{(x-1{)}^2}dx=-\frac{1}{x-1}{|}_2^3\text{(3 p)}.$$ $${\int }_2^3\frac{x}{f(x)}dx=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $\frac{1}{(x-1{)}^2}$ se scrie $\ln (x-1{)}^2$, ca la $\frac{u^{\prime }}{u}$; sau se pierde minusul și iese $-\frac{1}{2}$.)

c) (5 p) Cum $f\left(e^x\right)=e^x{\left(e^x-1\right)}^2$, integrandul este $x{\left(e^x-1\right)}^2$. Scriem ${\left(e^x-1\right)}^2=e^{2x}-2e^x+1={\left(\frac{e^{2x}}{2}-2e^x\right)}^{\prime }+1$ și integrăm prin părți: $${\int }_0^1\frac{xf\left(e^x\right)}{e^x}dx={\int }_0^{1}x{\left(e^x-1\right)}^{2}dx={\int }_0^{1}x{\left(\frac{e^{2x}}{2}-2e^x\right)}^{\prime }dx+\frac{x^2}{2}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $${\int }_0^1\frac{xf\left(e^x\right)}{e^x}dx=x\left(\frac{e^{2x}}{2}-2e^x\right){|}_0^1-\left(\frac{e^{2x}}{4}-2e^x\right){|}_0^1+\frac{1}{2}=\frac{{\mathbf{e}}^2-5}{4}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul ultimului calcul: primul termen este $\frac{e^2}{2}-2e$, al doilea $\frac{e^2}{4}-2e-\frac{1}{4}+2=\frac{e^2}{4}-2e+\frac{7}{4}$, iar $\frac{e^2}{2}-2e-\frac{e^2}{4}+2e-\frac{7}{4}+\frac{1}{2}=\frac{e^2}{4}-\frac{5}{4}$. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,1]$ dă $0,597264$, iar $\frac{e^2-5}{4}\approx 0,597264$. Unde se greșește de obicei: se simplifică $\frac{f\left(e^x\right)}{e^x}$ ca $f(1)$ sau se uită termenul $+1$ din pătratul binomului.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea august-septembrie 2023 a examenului național de bacalaureat — Varianta 7. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2023:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: calcul algebric cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(1)=f(f(1))$ — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică cu aceeași bază în ambii membri: egalarea argumentelor și verificarea condiției de existență — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Probabilități: numerele de două cifre divizibile cu $3$ și cu $7$ — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: coordonatele mijlocului unui segment — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: înălțimea în triunghiul isoscel și teorema lui Pitagora — gimnaziu, recapitulat în clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, produse de matrice, egalitatea a două matrice — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom, teorema lui Bézout, forma descompusă și relațiile lui Viète — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, asimptota orizontală, monotonia folosită pentru o inegalitate — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrala definită: formula Leibniz–Newton, primitiva de tipul $\frac{u^{\prime }}{u^2}$ și integrarea prin părți — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie 2023. Subiectul I este format din șase cerințe directe; singurele locuri în care se greșește din grabă sunt condiția de existență a logaritmului la cerința 3 și numărarea cazurilor la cerința 4 (divizibil cu $3$ și cu $7$ înseamnă divizibil cu $21$). Subiectul al II-lea pune în primul slot o matrice $B(x)$ la care toate cele trei subpuncte sunt calcul direct de produse, iar în al doilea un polinom de gradul al treilea la care subpunctul c) se rezolvă elegant observând că $(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=f(1)$. Subiectul al III-lea cere la problema 1 o inegalitate care se obține din monotonie, comparând $f(x)$ și $f\left(x^2\right)$ cu valorile de la capătul intervalului, iar la problema 2 trei integrale în care întâi se simplifică integrandul, iar la ultima se integrează prin părți.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple și $\frac{e^2-5}{4}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Greșeli de redactare de evitat: soluțiile ecuației logaritmice date fără verificarea condiției de existență; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; inegalitatea de la problema 9 „demonstrată" pe câteva valori, fără monotonie; integrarea prin părți fără să se scrie ce funcție se derivează.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$. Compunere: $(f\circ f)(a)=f(f(a))$. Logaritmi: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, cu $u>0$, $v>0$. Probabilități: $p=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$; un număr este divizibil cu $3$ și cu $7$ exact când este divizibil cu $21$. Mijlocul segmentului $[BC]$: $\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)$. Triunghiul isoscel: înălțimea din vârf este și mediană.
• Matrice: $\left|\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right|=ps-qr$; produsul se face „linie cu coloană"; două matrice sunt egale exact când au elementele corespunzătoare egale.
• Polinoame: teorema lui Bézout — $f$ este divizibil cu $X-x_0$ exact când $f(x_0)=0$; dacă $x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile polinomului monic $f$ de gradul al treilea, atunci $f=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$, deci $f(a)=(a-x_1)(a-x_2)(a-x_3)$; pentru $f=X^3+b{X}^2+cX+d$, $x_1{x}_2{x}_3=-d$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ când $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$; dacă $f^{\prime }\le 0$ pe un interval, $f$ este descrescătoare pe el.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{u^{\prime }}{u^2}dx=-\frac{1}{u}+\mathcal{C}$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=4-2x$ de la cerința $2$, polinomul $f=X^3+2X^2+mX-3$ de la cerința $8$, funcția $f(x)=\frac{3x^2}{x^2+x-2}$ de la cerința $9$ și funcția $f(x)=x(x-1{)}^2$ de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $a$ este o coordonată a punctului $B(a,0)$ la cerința $5$ și numărul real căutat din egalitatea $B(0)\cdot B(1)=aA$ la cerința $7$, subpunctul b); litera $A$ este un punct la cerința $5$, un vârf al triunghiului la cerința $6$ și o matrice la cerința $7$; tot așa, $B$ este punctul $B(a,0)$ la cerința $5$, un vârf al triunghiului la cerința $6$ și matricea $B(x)$ la cerința $7$, iar $C$ este punctul $C(0,b)$ la cerința $5$ și un vârf al triunghiului la cerința $6$.
• La cerința $10$, subpunctul c), $f\left(e^x\right)$ înseamnă valoarea funcției $f$ în punctul $e^x$, adică $e^x{\left(e^x-1\right)}^2$; iar la cerința $9$, subpunctul c), $f\left(x^2\right)$ este valoarea lui $f$ în $x^2$, nu $(f(x){)}^2$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".