Bac M2 2023, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2023 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $4-6\sqrt{3}+3\left(2\sqrt{3}-1\right)=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x-3$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=2x+3$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=g(a)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{2x+1}\cdot 2^3=1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $A=\{3,4,5,6\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,0)$, $B(0,2)$, $C(3,3)$ și $M$, mijlocul segmentului $AB$. Arătați că segmentele $MO$ și $MC$ au lungimile egale.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră $E(x)=2\sin x\sin 2x-\cos x$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{6}\right)=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{și}A(a)=\left(\begin{array}{cc}3+a& 2-2a\\ 1-a& 1+3a\end{array}\right),$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(0)\cdot (A(a)-A(0))=a{I}_2$, pentru orice număr real $a$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\det \left(A\left(a^2\right)-aA(a)\right)\ge 0$, pentru orice număr real $a$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x^2-4xy+3y^2$.

a) (5 puncte) Arătați că $0\circ 2=12$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $(2x)\circ x=-1$.

c) (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere întregi, cu $m<n$, pentru care $m\circ n=3$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=5+\frac{4x-4}{x^2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{4(2-x)}{x^3}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $|f(x)-f(y)|\le 1$, pentru orice $x$, $y\in [1,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+4\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2(f(x)-4\ln x)dx=7$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^{e}x\left(f(x)-3x^2\right)dx=e^2+1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ${\int }_1^{\sqrt{e}}f(x)F^{\prime \prime }(x)dx=\frac{(3e-1)(3e+5)}{2}$, pentru orice primitivă $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ a funcției $f$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2023; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — radicali.

Se desface paranteza, înmulțind fiecare termen cu $3$: $$4-6\sqrt{3}+3\left(2\sqrt{3}-1\right)=4-6\sqrt{3}+6\sqrt{3}-3\text{(3 p)}.$$ Termenii cu $\sqrt{3}$ se reduc: $4-3=1$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se înmulțește doar primul termen din paranteză, $3\cdot 2\sqrt{3}-1$, și rezultatul iese $3$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Egalitatea $f(a)=g(a)$ se scrie $$5a-3=2a+3\text{(3 p)}.$$ De aici, $3a=6$, deci $\mathbf{a}=2$ (2 p).

(Control: $f(2)=7=g(2)$ — punctul $(2,7)$ este intersecția celor două grafice. Unde se greșește de obicei: la trecerea termenilor se scrie $3a=0$, uitând că $-3$ trece în dreapta cu plus.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

La produsul puterilor cu aceeași bază, exponenții se adună, iar $1=2^0$: $$2^{2x+4}=2^0,\text{ de unde obținem }2x+4=0\text{(3 p)}.$$ Rezultă $\mathbf{x}=-2$ (2 p).

(Verificare: $2^{-3}\cdot 2^3=1$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc exponenții, $2^{3(2x+1)}$, și iese $x=-\frac{1}{2}$; sau se scrie $1=2^1$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică.

Cifra zecilor se poate alege în $4$ moduri (oricare dintre $3$, $4$, $5$, $6$ — niciuna nu este $0$) (2 p).

Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte $3$ moduri (cifrele sunt distincte), deci sunt $4\cdot 3=12$ numere (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se permite repetarea cifrelor și iese $4\cdot 4=16$; sau se folosesc combinările, $C_4^2=6$, uitând că $34$ și $43$ sunt numere diferite. Numărul corect este $A_4^2=12$.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică.

Mijlocul segmentului $AB$ este $M\left(\frac{4+0}{2},\frac{0+2}{2}\right)=M(2,1)$, de unde obținem $$MO=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\text{(3 p)}.$$ La fel, $MC=\sqrt{(3-2{)}^2+(3-1{)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$, deci $\mathbf{MO}=\mathbf{MC}$ (2 p).

(Observație: triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, deci mijlocul ipotenuzei, $M$, este egal depărtat de $O$, $A$ și $B$; $MA=\sqrt{5}$ și el. Unde se greșește de obicei: se calculează mijlocul ca diferență a coordonatelor.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Pentru $x=\frac{\pi }{6}$ avem $2x=\frac{\pi }{3}$ și valorile $$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2},\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(3 p)}.$$ Înlocuind, $$E\left(\frac{\pi }{6}\right)=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $\sin 2x=2\sin x=1$, adică $\sin \frac{\pi }{3}=2\sin \frac{\pi }{6}$ — fals; sau se confundă $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ cu $\cos \frac{\pi }{6}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=0$: $$A(0)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 1\end{array}\right)\Rightarrow \det (A(0))=\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=3\cdot 1-2\cdot 1\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(0))=3-2=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se adună produsele diagonalelor, $3+2=5$.)

b) (5 p) Scăzând element cu element: $$A(a)-A(0)=\left(\begin{array}{cc}a& -2a\\ -a& 3a\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Înmulțind linie cu coloană, $$A(0)\cdot (A(a)-A(0))=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& -2a\\ -a& 3a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=a{I}_2\text{(3 p)}.$$

(Detaliul produsului: $3a-2a=a$, $-6a+6a=0$, $a-a=0$, $-2a+3a=a$. Observație: $A(a)-A(0)=a\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& 3\end{array}\right)$, iar $\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& 3\end{array}\right)$ este inversa lui $A(0)$ — de aceea și produsul în ordine inversă dă tot $a{I}_2$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele element cu element.)

c) (5 p) Se calculează cele două matrice: $$A\left(a^2\right)=\left(\begin{array}{cc}3+a^2& 2-2a^2\\ 1-a^2& 1+3a^2\end{array}\right),A\left(a^2\right)-aA(a)=\left(\begin{array}{cc}3-3a& 2-2a\\ 1-a& 1-a\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Scoțând factorul comun $1-a$ de pe fiecare linie, $$\det \left(A\left(a^2\right)-aA(a)\right)=3(1-a{)}^2-2(1-a{)}^2=(1-a{)}^2\ge 0,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$

(Detaliul scăderii: $aA(a)=\left(\begin{array}{cc}3a+a^2& 2a-2a^2\\ a-a^2& a+3a^2\end{array}\right)$, iar termenii cu $a^2$ se reduc peste tot. Control: pentru $a=1$ matricea este nulă și determinantul este $0$ — egalitatea are loc doar aici. Unde se greșește de obicei: se scrie $A\left(a^2\right)=(A(a){)}^2$ — $a^2$ este ARGUMENTUL lui $A$, nu un exponent al matricei.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=0$ și $y=2$: $$0\circ 2=0^2-4\cdot 0\cdot 2+3\cdot 2^2\text{(3 p)}.$$ $$0\circ 2=0-0+12=12\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se inversează rolurile și se calculează $2\circ 0=4$ — legea nu este comutativă; sau se scrie $3\cdot 2^2=36$.)

b) (5 p) Pentru primul termen $2x$ și al doilea $x$: $$(2x)\circ x=4x^2-8x^2+3x^2=-x^2,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Ecuația $-x^2=-1$ dă $x^2=1$, de unde obținem $\mathbf{x}=-1$ sau $\mathbf{x}=1$ (3 p).

(Unde se greșește de obicei: $(2x{)}^2=2x^2$ în loc de $4x^2$, și iese $-3x^2=-1$; sau se ia rolul invers, $x\circ (2x)=x^2-8x^2+12x^2=5x^2$, care nu poate fi negativ.)

c) (5 p) Legea se descompune în factori: $$m\circ n=m^2-mn-3mn+3n^2=(m-n)(m-3n),\text{ pentru orice numere ıˆntregi }m\text{ și }n\text{(2 p)}.$$ Egalitatea $(m-n)(m-3n)=3$ are factori întregi, iar $m<n$ face ca $m-n<0$, deci și $m-3n<0$: factorii sunt $-1$ și $-3$, în una dintre cele două ordini. Din $m-n=-1$, $m-3n=-3$ rezultă $n=1$, $m=0$; din $m-n=-3$, $m-3n=-1$ rezultă $n=-1$, $m=-4$. Obținem perechile $(-4,-1)$ și $(0,1)$ (3 p).

(Control: $(-4)\circ (-1)=16-16+3=3$ și $0\circ 1=0-0+3=3$. Fără condiția $m<n$, factorii pozitivi $1$ și $3$ ar mai da perechile $(4,1)$ și $(0,-1)$ — care nu convin. Unde se greșește de obicei: se păstrează și acestea, sau se ia doar una dintre cele două ordini ale factorilor.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, asimptotă orizontală, o inegalitate din valorile extreme.

a) (5 p) Constanta $5$ are derivata $0$, iar fracția se derivează ca un cât: $$f^{\prime }(x)=\frac{4x^2-(4x-4)\cdot 2x}{x^4}\text{(3 p)}.$$ Desfăcând, $4x^2-8x^2+8x=-4x^2+8x=4x(2-x)$, deci $$f^{\prime }(x)=\frac{4x(2-x)}{x^4}=\frac{4(2-x)}{x^3},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: derivata lui $x^2$ se scrie $2$ în loc de $2x$; sau se păstrează semnul greșit în $-(4x-4)\cdot 2x=-8x^2+8x$.)

b) (5 p) Se împarte fracția termen cu termen: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(5+\frac{4x-4}{x^2}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(5+\frac{4}{x}-\frac{4}{x^2}\right)=5\text{(3 p)}.$$ Limita este un număr real, deci dreapta de ecuație $\mathbf{y}=5$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se scrie asimptota $x=5$, confundând orizontala cu verticala; sau se ia limita fracției egală cu $4$, raportul coeficienților lui $x$ — dar numitorul are grad mai mare.)

c) (5 p) Pe $(0,+\infty )$ avem $x^3>0$, deci semnul derivatei este semnul lui $2-x$: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=2;\text{ pentru orice }x\in [1,2],f^{\prime }(x)\ge 0\Rightarrow f\text{ este cresca˘toare pe }[1,2],$$ $$\text{și pentru orice }x\in [2,+\infty ),f^{\prime }(x)\le 0\Rightarrow f\text{ este descresca˘toare pe }[2,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Cum $f(1)=5$, $f(2)=6$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=5$, rezultă $5\le f(x)\le 6$, pentru orice $x\in [1,+\infty )$; atunci diferența a două valori ale lui $f$ este cel mult $6-5$ în modul, de unde obținem $|\mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{y})|\le 1$, pentru orice $x$, $y\in [1,+\infty )$ (3 p).

(Detaliul marginii de jos: pe $[2,+\infty )$ funcția scade spre $5$, fără să coboare sub $5$; de altfel, pentru $x\ge 1$ avem $4x-4\ge 0$, deci direct $f(x)\ge 5$. Din $5\le f(x)\le 6$ și $5\le f(y)\le 6$ rezultă $-1\le f(x)-f(y)\le 1$. Marginea $1$ se atinge: $|f(1)-f(2)|=1$. Unde se greșește de obicei: se dă doar maximul $f(2)=6$, fără marginea de jos — din $f(x)\le 6$ singur nu rezultă $|f(x)-f(y)|\le 1$, iar concluzia nu mai iese.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Termenul $4\ln x$ se reduce: $${\int }_1^2(f(x)-4\ln x)dx={\int }_1^{2}3x^{2}dx=x^3{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $8-1=7$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $3x^2$ se scrie $6x$ — aceea este derivata.)

b) (5 p) Rămâne $x\cdot 4\ln x=4x\ln x$, iar $4x={\left(2x^2\right)}^{\prime }$; se integrează prin părți: $${\int }_1^{e}x\left(f(x)-3x^2\right)dx={\int }_1^{e}4x\ln xdx={\int }_1^e{\left(2x^2\right)}^{\prime }\ln xdx=2x^2\ln x{|}_1^e-x^2{|}_1^e\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele, cu $\ln e=1$ și $\ln 1=0$: $$2e^2-0-e^2+1={\mathbf{e}}^2+1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul părții a doua: ${\int }_1^{e}2x^2\cdot \frac{1}{x}dx={\int }_1^{e}2xdx=x^2{|}_1^e$. Control numeric: $e^2+1\approx 8,389056$. Alt drum, corect dar mai lung: $u=x$ și $v^{\prime }=\ln x$, cu $v=x\ln x-x$. Unde se greșește de obicei: se uită semnul minus din formula integrării prin părți și iese $2e^2+e^2-1=3e^2-1$.)

c) (5 p) Primitiva $F$ are derivata $f$, deci derivata a doua a lui $F$ este derivata lui $f$: $$F^{\prime }(x)=f(x)\Rightarrow F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x),x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Atunci integrandul este $f\cdot f^{\prime }$, cu primitiva $\frac{f^2}{2}$; cum $f\left(\sqrt{e}\right)=3e+4\cdot \frac{1}{2}=3e+2$ și $f(1)=3$, $${\int }_1^{\sqrt{e}}f(x)F^{\prime \prime }(x)dx={\int }_1^{\sqrt{e}}f(x)f^{\prime }(x)dx=\frac{f^2(x)}{2}{|}_1^{\sqrt{e}}=\frac{(3e+2{)}^2-3^2}{2}=\frac{(3e-1)(3e+5)}{2}\text{(3 p)}.$$

(Ultima egalitate este diferența de pătrate: $(3e+2{)}^2-3^2=(3e+2-3)(3e+2+3)$. Rezultatul nu depinde de primitiva aleasă, pentru că $F^{\prime \prime }$ este același pentru toate. Control numeric: $\frac{(3e-1)(3e+5)}{2}\approx 47,06044$. Unde se greșește de obicei: se calculează $\ln \sqrt{e}=\frac{1}{2}$ greșit, ca $\sqrt{e}$ sau $1$; sau se ia primitiva lui $f{f}^{\prime }$ drept $f^2$, fără împărțirea la $2$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea iunie-iulie 2023 a examenului național de bacalaureat — Varianta 1, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2023:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Radicali: desfacerea unei paranteze și reducerea termenilor cu $\sqrt{3}$ — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: egalitatea valorilor a două funcții liniare — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: produsul puterilor cu aceeași bază și $1=2^0$ — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numere de două cifre distincte, prin regula produsului — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și două distanțe — clasele a IX-a – a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valori ale funcțiilor trigonometrice în $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{\pi }{3}$ — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, produsul a două matrice și un determinant scris ca pătrat — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Lege de compoziție: calculul unui compus, o ecuație de gradul al doilea și o ecuație în numere întregi rezolvată prin descompunere în factori — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, o asimptotă orizontală și o inegalitate obținută din valorile extreme — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale: formula Leibniz–Newton, integrarea prin părți și integrala lui $f\cdot f^{\prime }$ — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2023. Subiectul I este format din șase cerințe directe, cu câte doi pași de barem; locul în care se greșește des este cerința 4, unde cifrele trebuie să fie distincte — cifra unităților se alege în trei moduri, nu în patru. La Subiectul al II-lea, matricea $A(a)$ are forma $A(0)+a\cdot (\dots )$, iar produsul de la subpunctul b) iese chiar $a{I}_2$; la subpunctul c), determinantul se scrie ca un pătrat, $(1-a{)}^2$. Legea $x\circ y=x^2-4xy+3y^2$ se descompune în $(x-y)(x-3y)$, iar ecuația $m\circ n=3$ devine o problemă de divizori ai lui $3$, cu condiția $m<n$. La Subiectul al III-lea, inegalitatea cu modul de la problema 1 se reduce la faptul că toate valorile lui $f$ pe $[1,+\infty )$ stau între $5$ și $6$, iar la problema 2 subpunctul c) nu cere primitiva $F$: cum $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$, integrala este $\int f{f}^{\prime }$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, $\sqrt{5}$, perechi de întregi și expresii scurte cu $e$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 4, numărarea numerelor cu cifre egale ($33$, $44$…); la cerința 8, subpunctul c), perechile $(4,1)$ și $(0,-1)$ păstrate, deși nu respectă $m<n$; la cerința 9, subpunctul c), inegalitatea afirmată fără valorile extreme ale lui $f$; la cerința 10, subpunctul c), încercarea de a calcula efectiv primitiva $F$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Puteri: $a^u\cdot a^v=a^{u+v}$ și $a^0=1$. Regula produsului pentru numere cu cifre distincte: după alegerea primei cifre, a doua se alege dintre cele rămase. Geometrie analitică: mijlocul segmentului $[AB]$ are coordonatele $\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$; $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$. Trigonometrie: $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; înmulțirea se face linie cu coloană; $\det (kM)=k^2\det M$ pentru o matrice de ordinul al doilea.
• Lege de compoziție: $x^2-4xy+3y^2=(x-y)(x-3y)$; o ecuație $u\cdot v=3$ în numere întregi se rezolvă prin divizorii lui $3$.
• Derivate și limite: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell \in \mathbb{R}$; dacă $p\le f(x)\le q$ pe un interval, atunci $|f(x)-f(y)|\le q-p$ pentru orice $x$, $y$ din interval.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; integrarea prin părți, ${\int }_a^b{u}^{\prime }vdx=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx$; $\int f(x)f^{\prime }(x)dx=\frac{f^2(x)}{2}+\mathcal{C}$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=5x-3$ de la cerința $2$, $f(x)=5+\frac{4x-4}{x^2}$ de la cerința $9$ și $f(x)=3x^2+4\ln x$ de la cerința $10$. Litera $A$ este o mulțime de cifre la cerința $4$, un punct la cerința $5$ și numele matricei $A(a)$ la cerința $7$; litera $a$ este numărul căutat la cerința $2$ și parametrul real al matricei la cerința $7$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Semnul $\circ$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită prin $x\circ y=x^2-4xy+3y^2$, nu compunerea funcțiilor; așa îl tipărește subiectul oficial. Legea nu este comutativă: $0\circ 2=12$, dar $2\circ 0=4$.
• La cerința $10$, $F^{\prime \prime }$ este derivata a doua a primitivei $F$, adică $F^{\prime \prime }=(F^{\prime }{)}^{\prime }=f^{\prime }$; prin $f^2(x)$ se înțelege $(f(x){)}^2$, nu $f(f(x))$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".