Bac M2 2023, modelul oficial — rezolvat

Toate probele M2 din 2023 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că numerele $5-2\sqrt{6}$, $1$ și $5+\sqrt{24}$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+1$, unde $a$ este număr real nenul. Determinați numărul real nenul $a$ pentru care $(f\circ f)(1)=1$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^x\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{2-x}=32$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați numărul de submulțimi ordonate, cu câte două elemente, care se pot forma cu elementele mulțimii $M=\{0,1,2,3,4\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2,1)$ și $B(2,5)$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $B$ și este perpendiculară pe dreapta $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $(\mathrm{tg}x+1)(\mathrm{ctg}x-1)=2\mathrm{ctg}2x$, pentru orice $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& a+1\\ 1& a& -1\\ 2& -a& 4\end{array}\right)$ și sistemul de ecuații $\{\begin{array}{l}ax+y+(a+1)z=a\\ x+ay-z=4\\ 2x-ay+4z=-4\end{array}$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=-9$.

b) (5 puncte) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $a$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) (5 puncte) Arătați că, dacă sistemul are soluția unică $(x_0,y_0,z_0)$, atunci $x_0+y_0+z_0=2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-3X^2+2X+m$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $m=6$, arătați că $f(-1)=0$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g=X^2+2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care $x_1^3+x_2^3+x_3^3=0$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{\sqrt{x+1}}{e^x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=1-\frac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}}$, $x\in (-1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)-x\le \sqrt{\frac{e}{2}}$, pentru orice $x\in (-1,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^{2}3(f(x)-x\ln x)dx=7$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e\frac{f(x)}{x^3}dx=2\left(1-\frac{1}{e}\right)$.

c) (5 puncte) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g:[1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{x+1}{f(x)}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=e$ are aria strict mai mare decât $1$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul pentru 2023; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresii.

Trei numere nenule $a$, $b$, $c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice când $b^2=ac$. Cum $\sqrt{24}=2\sqrt{6}$: $$\left(5-2\sqrt{6}\right)\left(5+\sqrt{24}\right)=\left(5-\sqrt{24}\right)\left(5+\sqrt{24}\right)=5^2-{\sqrt{24}}^2=\text{(3 p)}$$ $$=25-24=1^2,\text{ deci numerele }5-2\sqrt{6},1\text{ și }5+\sqrt{24}\text{ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice}\text{(2 p)}.$$

(Ce se verifică de fapt: produsul termenilor de la capete este egal cu pătratul termenului din mijloc, $1^2=1$. Rația este $q=\frac{1}{5-2\sqrt{6}}=5+2\sqrt{6}$, iar $1\cdot q=5+\sqrt{24}$. Control numeric: $5-2\sqrt{6}\approx 0,10102$ și $5+\sqrt{24}\approx 9,89898$, cu produsul $1$. Unde se greșește de obicei: se verifică relația progresiei aritmetice, $2\cdot 1=\left(5-2\sqrt{6}\right)+\left(5+\sqrt{24}\right)$, care e falsă.)

Exercițiul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se calculează din interior spre exterior: $$f(1)=a+1,(f\circ f)(1)=f(a+1)=a(a+1)+1,\text{ pentru orice numa˘r real nenul }a\text{(3 p)}.$$ $$a(a+1)+1=1,\text{ deci }a(a+1)=0\text{ și, cum }a\text{ este numa˘r real nenul, obținem }\mathbf{a}=-1\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $a=-1$, $f(x)=-x+1$, $f(1)=0$ și $f(0)=1$. Ecuația $a(a+1)=0$ are și soluția $a=0$, dar enunțul cere $a$ nenul. Unde se greșește de obicei: se scrie $(f\circ f)(1)=f(1)\cdot f(1)$, confundând compunerea cu înmulțirea.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Cum $\frac{1}{4}=2^{-2}$, ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{2-x}=2^{-4+2x}$, deci $$2^x\cdot 2^{-4+2x}=32⟹2^{3x-4}=2^5,\text{ de unde obținem }3x-4=5\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{x}=3\text{(2 p)}.$$

(Control: $2^3\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{-1}=8\cdot 4=32$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{2-x}=2^{2-x}$, pierzând exponentul $-2$ al bazei.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică.

O submulțime ordonată cu două elemente este o pereche de elemente distincte, în care contează ordinea, deci numărul lor este un număr de aranjamente: $$A_5^2=\frac{5!}{3!}=\text{(3 p)}$$ $$=4\cdot 5=20\text{(2 p)}.$$

(Numărare directă: primul element se alege în $5$ moduri, al doilea în $4$. Unde se greșește de obicei: se calculează combinări, $C_5^2=10$, ca și cum ordinea n-ar conta; sau se exclude elementul $0$, care este un element al mulțimii ca oricare altul.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică.

Panta dreptei $AB$ și panta perpendicularei: $$m_{AB}=\frac{5-1}{2-(-2)}=1\text{ și, cum }d\perp AB,\text{ obținem }{m}_d=-1\text{(3 p)}.$$ Ecuația dreptei $d$ este $y-5=-1\cdot (x-2)$, adică $\mathbf{y}=-\mathbf{x}+7$ (2 p).

(Control: $B(2,5)$ verifică $5=-2+7$, iar $m_{AB}\cdot m_d=1\cdot (-1)=-1$. Unde se greșește de obicei: se ia panta perpendicularei egală cu $\frac{1}{m_{AB}}=1$, care este panta unei paralele. Regula corectă este $m_d=-\frac{1}{m_{AB}}$; formula greșită $-m_{AB}$ dă aici tot $-1$ numai pentru că $m_{AB}=1$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Se scriu $\mathrm{tg}$ și $\mathrm{ctg}$ cu $\sin$ și $\cos$: $$(\mathrm{tg}x+1)(\mathrm{ctg}x-1)=\left(\frac{\sin x}{\cos x}+1\right)\left(\frac{\cos x}{\sin x}-1\right)=\frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{\cos x\sin x}=\text{(2 p)}$$ $$=\frac{\cos 2x}{\frac{1}{2}\sin 2x}=2\mathrm{ctg}2x,\text{ pentru orice }x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $\left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right)\left(\frac{\cos x-\sin x}{\sin x}\right)=\frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{\sin x\cos x}$, o diferență de pătrate. Pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\sin x\ne 0$, $\cos x\ne 0$ și $\sin 2x\ne 0$, deci toate fracțiile au sens. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sin x\cos x=\sin 2x$, fără factorul $\frac{1}{2}$ — atunci iese $\mathrm{ctg}2x$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice și sisteme liniare.

a) (5 p) Pentru $a=1$: $$A(1)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 1& -1\\ 2& -1& 4\end{array}\right)⟹\det (A(1))=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 1& -1\\ 2& -1& 4\end{array}\right|=\text{(2 p)}$$ $$=4-2-2-4-1-4=-9\text{(3 p)}.$$

(Regula lui Sarrus: termenii cu plus sunt $1\cdot 1\cdot 4=4$, $1\cdot (-1)\cdot 2=-2$ și $2\cdot 1\cdot (-1)=-2$; cei cu minus sunt $2\cdot 1\cdot 2=4$, $1\cdot (-1)\cdot (-1)=1$ și $1\cdot 1\cdot 4=4$. Unde se greșește de obicei: se pune $a+1=1$ pentru $a=1$, în loc de $2$.)

b) (5 p) Determinantul matricei sistemului, în general: $$\det (A(a))=\left|\begin{array}{ccc}a& 1& a+1\\ 1& a& -1\\ 2& -a& 4\end{array}\right|=-3a-6,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$ $\det (A(a))=0⟺a=-2$; sistemul de ecuații are soluție unică $⟺\mathbf{a}\in \mathbb{R}\setminus \{-2\}$ (3 p).

(Detaliul: termenii cu plus sunt $4a^2$, $-2$ și $-a(a+1)$, iar cei cu minus sunt $2a(a+1)$, $a^2$ și $4$; rămâne $4a^2-2-a^2-a-2a^2-2a-a^2-4=-3a-6$. Control: pentru $a=1$ iese $-9$, ca la a). Matricea $A(a)$ este chiar matricea sistemului. Unde se greșește de obicei: se răspunde „$a=-2$", adică valoarea pentru care sistemul nu are soluție unică.)

c) (5 p) Adunând ultimele două ecuații ale sistemului, obținem $3x_0+3z_0=0$, deci $x_0+z_0=0$ (2 p).

Prima ecuație se scrie $a(x_0+z_0)+y_0+z_0=a$, deci $y_0+z_0=a$; a doua, cu $x_0=-z_0$, devine $a{y}_0-2z_0=4$, deci $(a+2)(y_0-2)=0$ și, cum $a\in \mathbb{R}\setminus \{-2\}$, obținem $y_0=2$, deci $x_0+y_0+z_0=2$ (3 p).

(Detaliul: din $z_0=a-y_0$, ecuația $a{y}_0-2(a-y_0)=4$ devine $(a+2)y_0-2(a+2)=0$. Atunci $x_0+y_0+z_0=(x_0+z_0)+y_0=0+2$. Control, pentru $a=0$: sistemul $y+z=0$, $x-z=4$, $2x+4z=-4$ are soluția $(2,2,-2)$, cu suma $2$. Unde se greșește de obicei: din $(a+2)(y_0-2)=0$ se trage concluzia $a=-2$ — tocmai valoarea pentru care sistemul nu are soluție unică; factorul care se anulează este $y_0-2$, iar fără $y_0=2$ suma nu mai poate fi calculată.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinoame.

a) (5 p) Pentru $m=6$: $$f=X^3-3X^2+2X+6⟹f(-1)=(-1{)}^3-3(-1{)}^2+2(-1)+6=\text{(3 p)}$$ $$=-1-3-2+6=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $-3(-1{)}^2=3$, uitând că pătratul se calculează înaintea înmulțirii cu $-3$.)

b) (5 p) Împărțind la $X^2+2$: $$f=(X-3)\left(X^2+2\right)+6+m,\text{ pentru orice numa˘r real }m\text{(3 p)}.$$ $f$ este divizibil cu polinomul $g$ dacă $6+m=0$, de unde obținem $\mathbf{m}=-6$ (2 p).

(Detaliul: $(X-3)\left(X^2+2\right)=X^3-3X^2+2X-6$, deci restul este $m-(-6)=m+6$, un polinom de grad $0$, mai mic decât gradul lui $g$. Alt drum, la fel de corect: rădăcinile lui $g$ sunt $\pm i\sqrt{2}$, iar $f\left(i\sqrt{2}\right)=0$ dă tot $m=-6$. Unde se greșește de obicei: la înmulțire se scrie $(X-3)\left(X^2+2\right)=X^3-3X^2+2X+6$, cu $+6$ în loc de $-6$; atunci restul iese $m-6$ și se obține, greșit, $m=6$.)

c) (5 p) Relațiile lui Viète: $$x_1+x_2+x_3=3\text{ și }{x}_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=2,\text{ deci }{x}_1^2+x_2^2+x_3^2=5\text{ și }{x}_1^3+x_2^3+x_3^3=9-3m,\text{ pentru orice numa˘r real }m\text{(3 p)}.$$ $$9-3m=0,\text{ deci }\mathbf{m}=3\text{(2 p)}.$$

(De unde suma cuburilor: fiecare rădăcină verifică $x_k^3=3x_k^2-2x_k-m$; adunând cele trei egalități, $x_1^3+x_2^3+x_3^3=3\cdot 5-2\cdot 3-3m=9-3m$. Pătratele: $3^2-2\cdot 2=5$. Unde se greșește de obicei: se adună termenul liber o singură dată, $-m$ în loc de $-3m$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivate și aplicații.

a) (5 p) $\frac{\sqrt{x+1}}{e^x}$ se derivează ca un cât: $$f^{\prime }(x)=1+\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot e^x-\sqrt{x+1}\cdot e^x}{e^{2x}}=\text{(3 p)}$$ $$=1+\frac{1-2x-2}{2e^x\sqrt{x+1}}=1-\frac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}},x\in (-1,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: se simplifică $e^x$ și se aduce la numitorul comun $2\sqrt{x+1}$: $\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}=\frac{1-2(x+1)}{2\sqrt{x+1}}$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(\sqrt{x+1}\right)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$, fără factorul $\frac{1}{2}$.)

b) (5 p) Panta asimptotei: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{e^x}\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)=1\text{(2 p)}.$$ $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x+1}}{e^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2e^x\sqrt{x+1}}=0,\text{ deci dreapta de ecuație }\mathbf{y}=\mathbf{x}\text{ este asimptota oblica˘ spre }+\infty \text{ la graficul funcției }f\text{(3 p)}.$$

(A doua limită este de tipul $\frac{\infty }{\infty }$ și se calculează cu regula lui l'Hôpital: derivata numărătorului este $\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$, a numitorului $e^x$. Unde se greșește de obicei: se oprește calculul la $m=1$ și se scrie asimptota $y=x+1$, fără limita lui $f(x)-x$.)

c) (5 p) Fie $h:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $h(x)=f(x)-x=\frac{\sqrt{x+1}}{e^x}$; atunci $$h^{\prime }(x)=-\frac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}};h^{\prime }(x)=0⟺x=-\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ $h^{\prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x\in \left(-1,-\frac{1}{2}\right]$, deci $h$ este crescătoare pe $\left(-1,-\frac{1}{2}\right]$; $h^{\prime }(x)\le 0$ pentru orice $x\in \left[-\frac{1}{2},+\infty \right)$, deci $h$ este descrescătoare pe $\left[-\frac{1}{2},+\infty \right)$; prin urmare $h(x)\le h\left(-\frac{1}{2}\right)$ pentru orice $x\in (-1,+\infty )$ și, cum $h\left(-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\frac{e}{2}}$, obținem $f(x)-x\le \sqrt{\frac{e}{2}}$, pentru orice $x\in (-1,+\infty )$ (3 p).

(Baremul oficial notează această funcție auxiliară cu $g$; la noi ea este $h$, ca să nu se confunde cu polinomul $g$ de la cerința $8$ și cu funcția $g$ de la cerința $10$. Derivata lui $h$ este derivata lui $f$ fără termenul $1$. Detaliul: $h\left(-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\frac{1}{2}}\cdot e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{e}{2}}$. Control numeric: $\sqrt{\frac{e}{2}}\approx 1,165822$, iar de exemplu $h(0)=1$ și $h(1)=\frac{\sqrt{2}}{e}\approx 0,52$. Unde se greșește de obicei: se studiază semnul lui $f^{\prime }$, nu al lui $h^{\prime }$ — inegalitatea privește $f(x)-x$, nu pe $f$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Termenii cu $\ln$ se reduc: $f(x)-x\ln x=x^2$, deci $${\int }_1^{2}3(f(x)-x\ln x)dx={\int }_1^{2}3x^{2}dx=x^3{|}_1^2=\text{(3 p)}$$ $$=8-1=7\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva lui $3x^2$ ca $6x$, derivând în loc să integreze.)

b) (5 p) $\frac{f(x)}{x^3}=\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x^2}$, iar $\frac{1}{x^2}={\left(-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }$, deci, integrând prin părți al doilea termen: $${\int }_1^e\frac{f(x)}{x^3}dx={\int }_1^e\frac{1}{x}dx+{\int }_1^e{\left(-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }\ln xdx=\ln x{|}_1^e-\frac{\ln x}{x}{|}_1^e+{\int }_1^e\frac{1}{x^2}dx=\text{(3 p)}$$ $$=1-\frac{1}{e}-\frac{1}{x}{|}_1^e=2-\frac{2}{e}=2\left(1-\frac{1}{e}\right)\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $\ln x{|}_1^e=1$, $\frac{\ln x}{x}{|}_1^e=\frac{1}{e}-0$, iar $-\frac{1}{x}{|}_1^e=-\frac{1}{e}+1$. Control numeric: $2\left(1-\frac{1}{e}\right)\approx 1,264241$. Unde se greșește de obicei: la integrarea prin părți se uită semnul minus din ${\left(-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }$ — atunci $\frac{1}{e}$ apare cu semnul greșit.)

c) (5 p) $g(x)=\frac{x+1}{x^2+x\ln x}\ge 0$, pentru orice $x\in [1,e]$, deci $$\mathcal{S}={\int }_1^e|g(x)|dx={\int }_1^e\frac{x+1}{x^2+x\ln x}dx=\text{(2 p)}$$ $$={\int }_1^e\left(1+\frac{1}{x}\right)\cdot \frac{1}{x+\ln x}dx={\int }_1^e\frac{(x+\ln x{)}^{\prime }}{x+\ln x}dx=\ln (x+\ln x){|}_1^e=\ln (e+1)>\ln e=1\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $x^2+x\ln x=x(x+\ln x)$, deci $\frac{x+1}{x(x+\ln x)}=\frac{x+1}{x}\cdot \frac{1}{x+\ln x}$, iar $\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}=(x+\ln x{)}^{\prime }$. Pe $[1,e]$, $x+\ln x\ge 1>0$, deci logaritmul are sens. La $x=1$: $\ln (1+0)=0$. Inegalitatea finală: $e+1>e$ și logaritmul natural este strict crescător. Control numeric: $\ln (e+1)\approx 1,313262$. Unde se greșește de obicei: se scrie aria $\ln (e+1)-\ln 1=\ln e=1$, contopind cei doi logaritmi.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_șt-nat, publicat înaintea sesiunilor din 2023 ca reper al structurii și al nivelului de dificultate. Un model nu se dă în ziua examenului: el este documentul prin care ministerul arată cum va arăta proba — de aceea nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum o anunță modelul din 2023:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii: trei numere cu radicali, termeni consecutivi ai unei progresii geometrice — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(1)$ pentru o funcție de gradul întâi cu parametru — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază, $2$ — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: submulțimi ordonate, adică aranjamente — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: dreapta perpendiculară pe o dreaptă dată, printr-un punct — clasa a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: o identitate cu $\mathrm{tg}$, $\mathrm{ctg}$ și unghiul dublu — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme liniare: un determinant de ordinul al treilea, condiția de soluție unică, o relație între necunoscute — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea într-un punct, împărțirea la $X^2+2$, suma cuburilor rădăcinilor — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata, asimptota oblică, o inegalitate obținută din valoarea maximă a unei funcții — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: o simplificare, integrarea prin părți, aria unei suprafețe plane cu o integrală de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$ — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2023. Subiectul I are șase cerințe de câte un pas, cu două capcane de scriere: la cerința 1, $\sqrt{24}=2\sqrt{6}$, deci produsul primului și al celui de-al treilea termen este $5^2-24=1$; la cerința 4, „submulțimi ordonate" înseamnă aranjamente, $A_5^2=20$, nu combinări. La Subiectul al II-lea, determinantul sistemului este $-3a-6$, deci sistemul are soluție unică exact pentru $a\ne -2$, iar suma $x_0+y_0+z_0=2$ iese fără să se rezolve sistemul, adunând ecuațiile cu grijă; polinomul se scrie $(X-3)\left(X^2+2\right)+6+m$, iar suma cuburilor rădăcinilor este $9-3m$. La Subiectul al III-lea, funcția $x+\frac{\sqrt{x+1}}{e^x}$ are asimptota oblică $y=x$, iar inegalitatea de la c) este de fapt valoarea maximă a funcției $\sqrt{x+1}{e}^{-x}$, atinsă în $x=-\frac{1}{2}$. La integrale, b) cere integrarea prin părți, iar la c) integrandul se scrie ca $\frac{u^{\prime }}{u}$ cu $u=x+\ln x$, iar aria $\ln (e+1)$ se compară cu $\ln e=1$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre un polinom (valoare, împărțire, relațiile lui Viète), capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: polinoame peste un corp comutativ".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $a=-1$, $x=3$, $20$, $y=-x+7$, $a\in \mathbb{R}\setminus \{-2\}$, $m=-6$, $m=3$, $y=x$, $7$ și $2\left(1-\frac{1}{e}\right)$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 2, păstrarea soluției $a=0$, pe care enunțul o exclude; la cerința 7, subpunctul c), împărțirea la $a+2$ fără să se spună că $a\ne -2$; la cerința 9, subpunctul b), asimptota scrisă după limita lui $\frac{f(x)}{x}$, fără limita lui $f(x)-x$; la cerința 10, subpunctul c), aria scrisă fără semnul integrandului pe $[1,e]$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii geometrice: $a$, $b$, $c$ (nenule) sunt termeni consecutivi când $b^2=ac$. Puteri: ${\left(\frac{1}{4}\right)}^t=2^{-2t}$. Aranjamente: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Drepte perpendiculare: $m_1\cdot m_2=-1$; dreapta prin $(x_0,y_0)$ cu panta $m$: $y-y_0=m(x-x_0)$. Trigonometrie: ${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x$, $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$.
• Sisteme liniare: un sistem cu tot atâtea ecuații câte necunoscute are soluție unică exact când determinantul matricei sistemului este nenul. Polinoame: dacă $f=g\cdot q+r$, cu $\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}g$, atunci $g$ divide $f$ exact când $r=0$; $x_1^2+x_2^2+x_3^2=s_1^2-2s_2$ și $x_1^3+x_2^3+x_3^3=s_1^3-3s_1{s}_2+3s_3$.
• Asimptota oblică: $y=mx+n$, cu $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$.
• Integrale: ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }v$; $\int \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}dx=\ln |u(x)|+\mathcal{C}$; aria dintre graficul lui $g$, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$ este $\mathcal{S}={\int }_a^b|g(x)|dx$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că modelul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește funcția de gradul întâi de la cerința $2$, polinomul de la cerința $8$ și câte o funcție la cerințele $9$ și $10$. La cerința $2$, $\circ$ este compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(1)=f(f(1))$.
• Litera $g$ denumește trei obiecte diferite: polinomul $X^2+2$ de la cerința $8$, o funcție auxiliară pe care baremul oficial o introduce la cerința $9$, subpunctul c) — la noi, ca să nu se confunde, ea se notează $h(x)=f(x)-x$ — și funcția $g(x)=\frac{x+1}{f(x)}$ de la cerința $10$, subpunctul c). Baremul oficial notează aria cu $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.
• Litera $A$ este punctul $A(-2,1)$ de la cerința $5$ și matricea $A(a)$ de la cerința $7$; litera $a$ este parametrul funcției de la cerința $2$ și parametrul sistemului de la cerința $7$; litera $m$ apare în pantele $m_{AB}$, $m_d$ de la cerința $5$ și în panta $m$ a asimptotei de la cerința $9$, dar la cerința $8$ este parametrul polinomului; iar la cerința $10$ litera $e$ este numărul lui Euler, $e\approx 2,718$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".