Bac M2 2023, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2023 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $2(1+i)-i(2-i)=1$, unde $i^2=-1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+10$. Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A(2a,a)$ aparține graficului funcției $f$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x^2+2}=2x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre, se pot forma cu elementele mulțimii $A=\{0,1,2,3,4\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care vectorii $\vec{u}=a\vec{i}+(a-1)\vec{j}$ și $\vec{v}=\vec{i}+2\vec{j}$ sunt coliniari.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu măsura unghiului $B$ egală cu $\frac{\pi }{6}$ și $BC=24$. Bisectoarea unghiului $C$ al triunghiului $ABC$ intersectează latura $AB$ în punctul $D$. Determinați lungimea segmentului $CD$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}x+1& -1& 1\\ 0& x& 0\\ 1& -1& x+1\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=3$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A(0)\cdot A(x)=A(0)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $(A(1){)}^{-1}=aA(1)+b{I}_3$, unde $(A(1){)}^{-1}$ este inversa matricei $A(1)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy+x+y-1+2^{xy}$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast 2=8$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".

c) (5 puncte) Determinați numărul natural nenul $n$ pentru care $n\ast \left(-\frac{1}{n}\right)=0$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+1+\ln x}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=-\frac{\ln x}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\frac{\ln y}{y}-\frac{\ln x}{x}<\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$, pentru orice $x,y\in (1,+\infty )$ cu $x<y$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_3^5\left(f(x)-x^3\right)dx=8$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2\frac{x^2}{f(x)-x+2}dx=\frac{\ln 5}{3}$.

c) (5 puncte) Se consideră funcția $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{f(x)e^{-x}}{x}$. Arătați că orice primitivă $G:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ a funcției $g$ este concavă.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării din 2023; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Se desfac parantezele: $$2(1+i)-i(2-i)=2+2i-2i+i^2=\text{(3 p)}$$ $$=2-1=1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $-i(2-i)=-2i+i^2$, iar $i^2=-1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $-i(2-i)=-2i-i^2$, cu semnul lui $i^2$ greșit — atunci iese $3$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Punctul $A(2a,a)$ este pe grafic exact când ordonata lui este valoarea funcției în abscisa lui: $$f(2a)=a⟺6a+10=a\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{a}=-2\text{(2 p)}.$$

(Control: $A(-4,-2)$ și $f(-4)=-12+10=-2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(a)=2a$, inversând coordonatele — atunci iese $a=-10$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Se ridică la pătrat: $$2x^2+2=4x^2,\text{ de unde obținem }{x}^2-1=0\text{(2 p)}.$$ $x=-1$, care nu convine; $\mathbf{x}=1$, care convine (3 p).

(De ce nu convine $x=-1$: membrul drept ar fi $2x=-2<0$, iar un radical nu poate fi negativ; efectiv, $\sqrt{4}=2\ne -2$. Pentru $x=1$: $\sqrt{4}=2=2\cdot 1$. Unde se greșește de obicei: se păstrează ambele soluții — ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică.

Cifra unităților se poate alege în două moduri (2 p) — numărul este impar, deci ultima cifră este $1$ sau $3$.

Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în $5$ moduri și, pentru fiecare alegere a cifrei unităților și a cifrei zecilor, cifra sutelor se poate alege în $4$ moduri, deci se pot forma $2\cdot 5\cdot 4=40$ de numere (3 p).

(Cifrele se pot repeta — enunțul nu cere cifre distincte —, deci cifra zecilor poate fi oricare dintre cele $5$ elemente. Cifra sutelor nu poate fi $0$, deci rămân $4$ variante. Unde se greșește de obicei: se cer cifre distincte, deși enunțul nu o spune — atunci ar ieși $18$.)

Exercițiul 5. (5 p) — vectori.

Vectorii sunt coliniari când coordonatele lor sunt proporționale: $$\frac{a}{1}=\frac{a-1}{2}\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{a}=-1\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $2a=a-1$, deci $a=-1$. Control: $\vec{u}=-\vec{i}-2\vec{j}=-\vec{v}$, un vector coliniar cu $\vec{v}$. Unde se greșește de obicei: se inversează rapoartele, $\frac{a}{2}=\frac{a-1}{1}$, și iese $a=2$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Cateta $AC$ se opune unghiului $B=\frac{\pi }{6}$, deci este jumătate din ipotenuză; unghiul $C$ măsoară $\frac{\pi }{3}$, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri de $\frac{\pi }{6}$: $$AC=12;m\left(\sphericalangle ACD\right)=\frac{\pi }{6}\text{(3 p)}.$$ În triunghiul $ACD$, dreptunghic în $A$: $$\frac{AC}{CD}=\cos \frac{\pi }{6},\text{ de unde obținem }CD=8\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $CD=\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{24}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}$. Control, pe alt drum: $AB=12\sqrt{3}$, iar teorema bisectoarei dă $\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$, deci $AD=4\sqrt{3}$ și $C{D}^2=144+48=192$, $CD=8\sqrt{3}\approx 13,8564$. Unde se greșește de obicei: se ia $AC=12\sqrt{3}$, adică cateta opusă unghiului de $\frac{\pi }{3}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea.

a) (5 p) Pentru $x=1$, cu regula lui Sarrus: $$\det (A(1))=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& -1& 2\end{array}\right|=2\cdot 1\cdot 2+(-1)\cdot 0\cdot 1+0\cdot (-1)\cdot 1-1\cdot 1\cdot 1-(-1)\cdot 0\cdot 2-0\cdot (-1)\cdot 2=\text{(3 p)}$$ $$=4+0+0-1-0-0=3\text{(2 p)}.$$

(Control, dezvoltând după linia a doua, care are un singur element nenul: $1\cdot \left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=4-1=3$. Unde se greșește de obicei: se pune $x+1=1$ pentru $x=1$, în loc de $2$.)

b) (5 p) Produsul: $$A(0)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right),A(0)\cdot A(x)=\left(\begin{array}{ccc}x+2& -x-2& x+2\\ 0& 0& 0\\ x+2& -x-2& x+2\end{array}\right),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ Egalând cu $A(0)$: $x+2=1$, deci $\mathbf{x}=-1$ (2 p).

(Detaliul: linia $(1,-1,1)$ ori coloanele lui $A(x)$ dă $x+1-0+1=x+2$, $-1-x-1=-x-2$ și $1-0+x+1=x+2$. Toate cele șase elemente nenule dau aceeași condiție, $x+2=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $A(0)=I_3$, ca și cum $A(0)$ ar fi matricea unitate.)

c) (5 p) Înmulțind egalitatea cu $A(1)$: $$(A(1){)}^{-1}=aA(1)+b{I}_3⟺aA(1)\cdot A(1)+bA(1)=I_3\text{ și }A(1)\cdot A(1)=\left(\begin{array}{ccc}5& -4& 4\\ 0& 1& 0\\ 4& -4& 5\end{array}\right),$$ de unde obținem $$\left(\begin{array}{ccc}5a+2b& -4a-b& 4a+b\\ 0& a+b& 0\\ 4a+b& -4a-b& 5a+2b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ $$\mathbf{a}=-\frac{1}{3}\text{ și }\mathbf{b}=\frac{4}{3}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: din $4a+b=0$ și $a+b=1$ rezultă $3a=-1$; control în a treia ecuație, $5a+2b=-\frac{5}{3}+\frac{8}{3}=1$. Înmulțirea cu $A(1)$ este permisă pentru că $\det (A(1))=3\ne 0$, deci inversa există. Control direct: $-\frac{1}{3}A(1)+\frac{4}{3}{I}_3=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 0& 3& 0\\ -1& 1& 2\end{array}\right)$, iar produsul cu $A(1)$ dă $I_3$. Alt drum: se calculează inversa cu adjuncta și apoi se caută $a$ și $b$ element cu element — corect, dar mult mai lung. Unde se greșește de obicei: se ridică $A(1)$ la pătrat element cu element, $\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 1& 4\end{array}\right)$; atunci colțul din dreapta sus dă $a+b=0$, iar mijlocul dă $a+b=1$, deci sistemul nu are soluție.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește în definiție: $$1\ast 2=1\cdot 2+1+2-1+2^{1\cdot 2}=\text{(3 p)}$$ $$=4+4=8\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $2+1+2-1=4$ și $2^2=4$. Unde se greșește de obicei: exponentul se scrie ca sumă, $2^{1+2}=8$, și iese $1\ast 2=4+8=12$.)

b) (5 p) Verificarea în ambele ordini: $$x\ast 0=x\cdot 0+x+0-1+2^{x\cdot 0}=x,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ $0\ast x=0\cdot x+0+x-1+2^{0\cdot x}=x$, pentru orice număr real $x$, deci $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$" (3 p).

(Cheia: $2^0=1$, care se reduce cu $-1$. Legea este comutativă, dar baremul scrie totuși ambele verificări — așa se redactează definiția elementului neutru. Unde se greșește de obicei: se citește $2^{xy}$ ca $2xy$; atunci $x\ast 0=x-1\ne x$.)

c) (5 p) Se înlocuiește $y=-\frac{1}{n}$, cu $xy=-1$: $$n\ast \left(-\frac{1}{n}\right)=\frac{2n^2-3n-2}{2n},\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(2 p)}.$$ $$\frac{2n^2-3n-2}{2n}=0⟹2n^2-3n-2=0\text{ și, cum }n\text{ este numa˘r natural nenul, obținem }\mathbf{n}=2\text{(3 p)}.$$

(Detaliul: $n\cdot \left(-\frac{1}{n}\right)=-1$, iar $-1+n-\frac{1}{n}-1+2^{-1}=n-\frac{1}{n}-\frac{3}{2}=\frac{2n^2-2-3n}{2n}$. Ecuația $2n^2-3n-2=0$ are rădăcinile $2$ și $-\frac{1}{2}$; a doua nu este număr natural. Control: $2\ast \left(-\frac{1}{2}\right)=-1+2-\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2}=0$. Unde se greșește de obicei: se scrie $2^{-1}=-2$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivate și aplicații.

a) (5 p) Derivata unui cât: $$f^{\prime }(x)=\frac{\left(2+\frac{1}{x}\right)\cdot x-(2x+1+\ln x)}{x^2}=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{2x+1-2x-1-\ln x}{x^2}=-\frac{\ln x}{x^2},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită derivata lui $\ln x$ în numărător, adică termenul $\frac{1}{x}\cdot x=1$.)

b) (5 p) Limita la $+\infty$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+1+\ln x}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2+\frac{1}{x}\right)=2\text{(3 p)}.$$ Ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ este $\mathbf{y}=2$ (2 p).

(A doua egalitate este regula lui l'Hôpital: derivata numărătorului este $2+\frac{1}{x}$, iar a numitorului $1$. Altfel: $\frac{2x+1+\ln x}{x}=2+\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x}$, iar $\frac{\ln x}{x}\to 0$. Unde se greșește de obicei: se scrie limita $+\infty$, pentru că numărătorul conține $\ln x$.)

c) (5 p) Semnul derivatei: $f^{\prime }(x)<0$, pentru orice $x\in (1,+\infty )$ $⟹$ $f$ este strict descrescătoare pe $(1,+\infty )$ (2 p).

$1<x<y⟹f(x)>f(y)$, deci $\frac{\ln y}{y}-\frac{\ln x}{x}<\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$, pentru orice $x,y\in (1,+\infty )$ cu $x<y$ (3 p).

(De ce: pe $(1,+\infty )$, $\ln x>0$, deci $-\frac{\ln x}{x^2}<0$. Legătura cu inegalitatea: $f(x)=2+\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x}$, deci $f(x)>f(y)$ înseamnă $\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x}>\frac{1}{y}+\frac{\ln y}{y}$, adică exact inegalitatea din enunț, cu termenii mutați. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(x)<f(y)$ pentru $x<y$, ca la o funcție crescătoare.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) $f(x)-x^3=x$, deci $${\int }_3^5\left(f(x)-x^3\right)dx={\int }_3^{5}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_3^5=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{25}{2}-\frac{9}{2}=8\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva lui $x$ ca $x^2$, fără $\frac{1}{2}$ — atunci iese $16$.)

b) (5 p) $f(x)-x+2=x^3+2$, iar $x^2=\frac{1}{3}{\left(x^3+2\right)}^{\prime }$: $${\int }_0^2\frac{x^2}{f(x)-x+2}dx={\int }_0^2\frac{x^2}{x^3+2}dx=\frac{1}{3}{\int }_0^2\frac{{\left(x^3+2\right)}^{\prime }}{x^3+2}dx=\frac{1}{3}\ln \left(x^3+2\right){|}_0^2=\text{(3 p)}$$ $$=\frac{\ln 10}{3}-\frac{\ln 2}{3}=\frac{\ln 5}{3}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul: $x^3+2$ ia valorile $10$ și $2$ la capete, iar $\ln 10-\ln 2=\ln 5$. Pe $[0,2]$, $x^3+2>0$, deci logaritmul are sens. Control numeric: $\frac{\ln 5}{3}\approx 0,5364793$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{3}$ și iese $\ln 5$.)

c) (5 p) $g(x)=\frac{\left(x^3+x\right)e^{-x}}{x}=\left(x^2+1\right)e^{-x}$ și $G^{\prime }(x)=g(x)$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$, deci $$G^{\prime \prime }(x)=\left(-x^2+2x-1\right)e^{-x}\text{(3 p)}.$$ $G^{\prime \prime }(x)=-(x-1{)}^2{e}^{-x}\le 0$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$, deci funcția $G$ este concavă (2 p).

(Detaliul: $G^{\prime \prime }=g^{\prime }=2x{e}^{-x}-\left(x^2+1\right)e^{-x}=\left(-x^2+2x-1\right)e^{-x}$. Derivata a doua se anulează doar în $x=1$, un singur punct, ceea ce nu împiedică concavitatea. Rezultatul privește orice primitivă, pentru că două primitive diferă printr-o constantă. Unde se greșește de obicei: se derivează $e^{-x}$ ca $e^{-x}$, fără semnul minus — atunci iese $(x+1{)}^2{e}^{-x}\ge 0$ și concluzia opusă.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la simularea națională a examenului de bacalaureat din 2023, proba E. c), Matematică M_șt-nat. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în simularea din 2023:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: calcul cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: un punct care aparține graficului — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: ridicarea la pătrat și verificarea soluțiilor — clasa a IX-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numere impare de trei cifre, prin regula produsului — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Vectori: condiția de coliniaritate, cu $\vec{i}$ și $\vec{j}$ — clasa a IX-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: triunghiul dreptunghic cu un unghi de $\frac{\pi }{6}$ și bisectoarea unui unghi — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: un determinant de ordinul al treilea, un produs de matrice, inversa scrisă ca $aA(1)+b{I}_3$ — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul cu legea, elementul neutru, o ecuație cu număr natural — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui cât, asimptota orizontală, o inegalitate obținută din monotonie — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale definite: o simplificare, o integrală de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$, concavitatea unei primitive — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2023. Subiectul I este format din șase cerințe directe, cu o singură idee geometrică la cerința 6: în triunghiul dreptunghic cu $B=\frac{\pi }{6}$, cateta $AC$ este jumătate din ipotenuză, iar bisectoarea unghiului $C=\frac{\pi }{3}$ face cu $CA$ un unghi de $\frac{\pi }{6}$. La cerința 4, cifrele se pot repeta, iar cifra sutelor nu poate fi $0$. La Subiectul al II-lea, $A(0)$ are o linie nulă, iar ecuația $A(0)\cdot A(x)=A(0)$ se reduce la $x+2=1$; inversa lui $A(1)$ se scrie $-\frac{1}{3}A(1)+\frac{4}{3}{I}_3$, cu coeficienții găsiți din $aA(1)\cdot A(1)+bA(1)=I_3$. Legea $x\ast y=xy+x+y-1+2^{xy}$ are elementul neutru $0$ (pentru că $2^0=1$), iar la c) apare ecuația $2n^2-3n-2=0$, cu singura soluție naturală $n=2$. La Subiectul al III-lea, funcția $\frac{2x+1+\ln x}{x}$ are asimptota orizontală $y=2$ și este strict descrescătoare pe $(1,+\infty )$ — inegalitatea de la c) este exact $f(y)<f(x)$, rescrisă. La integrale, $f(x)-x+2=x^3+2$, iar orice primitivă a funcției $\left(x^2+1\right)e^{-x}$ are derivata a doua $-(x-1{)}^2{e}^{-x}\le 0$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție (cu element neutru), capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": $a=-2$, $x=1$, $40$, $a=-1$, $8\sqrt{3}$, $x=-1$, $a=-\frac{1}{3}$ și $b=\frac{4}{3}$, $n=2$, $y=2$, $8$ și $\frac{\ln 5}{3}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, soluția $x=-1$ păstrată fără verificare (membrul drept, $2x$, ar fi negativ); la cerința 8, subpunctul b), elementul neutru verificat doar într-o parte, $x\ast 0=x$, fără $0\ast x=x$; la cerința 9, subpunctul c), inegalitatea afirmată fără să se spună că $f$ este strict descrescătoare pe $(1,+\infty )$; la cerința 10, subpunctul c), concavitatea afirmată din semnul lui $g$ în loc de semnul lui $G^{\prime \prime }$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u}=v⟺u=v^2$ și $v\ge 0$. Regula produsului: se alege întâi cifra cu restricția cea mai tare. Vectori coliniari: $a_1\vec{i}+b_1\vec{j}$ și $a_2\vec{i}+b_2\vec{j}$ sunt coliniari când $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$ (sau $a_1{b}_2=a_2{b}_1$). Triunghi dreptunghic: cateta opusă unghiului de $\frac{\pi }{6}$ este jumătate din ipotenuză; $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Matrice: dacă $A^{-1}=aA+b{I}_3$, atunci, înmulțind cu $A$, $a{A}^2+bA=I_3$. Legi de compoziție: $e$ este element neutru dacă $x\ast e=e\ast x=x$, pentru orice $x$.
• Derivate: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; asimptota orizontală spre $+\infty$ este $y=\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$, când limita este finită; o funcție strict descrescătoare inversează inegalitățile.
• Integrale: $\int \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}dx=\ln |u(x)|+\mathcal{C}$; dacă $G$ este o primitivă a lui $g$, atunci $G^{\prime \prime }=g^{\prime }$, iar $G^{\prime \prime }\le 0$ înseamnă $G$ concavă.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că simularea oficială folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $A$ denumește punctul $A(2a,a)$ de la cerința $2$, mulțimea $A=\{0,1,2,3,4\}$ de la cerința $4$, vârful triunghiului de la cerința $6$ și matricea $A(x)$ de la cerința $7$; litera $a$ este numărul căutat la cerințele $2$ și $5$ și unul dintre coeficienții căutați la cerința $7$.
• Litera $i$ este unitatea imaginară la cerința $1$ ($i^2=-1$), iar la cerința $5$, $\vec{i}$ și $\vec{j}$ sunt vectorii unitari ai axelor.
• La cerința $8$, semnul $\ast$ este legea de compoziție definită în enunț, nu înmulțirea numerelor, iar în definiția ei $2^{xy}$ este $2$ la puterea $xy$ (nu $2\cdot x\cdot y$). Tot acolo, $e=0$ este numele elementului neutru, iar la cerința $10$ litera $e$ este numărul lui Euler, $e\approx 2,718$, din $e^{-x}$.
• Litera $f$ denumește funcția de gradul întâi de la cerința $2$ și câte o funcție la cerințele $9$ și $10$; la cerința $9$, subpunctul c), $x$ și $y$ sunt două numere reale, nu coordonate.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".