Bac M2 2023, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele M2 din 2023 · Toate subiectele Bac M2 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$. Determinați numerele reale $a$ pentru care $f(a)=1-a$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_4\left(x^2+4\right)={\log }_4(6x-4)$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale de două cifre, cu cifra zecilor număr impar, se pot forma cu elementele mulțimii $\{1,2,3,4,5\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,-5)$ și $B(5,5)$. Determinați distanța de la punctul $O$ la mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=6$ și $\mathrm{tg}C=\sqrt{3}$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $18\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{și}A(a)=\left(\begin{array}{cc}1-a& a\\ -3a& 3a+1\end{array}\right),$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(2))=5$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(a)-I_2=a(A(1)-I_2)$, pentru orice număr real $a$.

c) (5 puncte) Determinați numărul întreg $m$ pentru care $A(m)\cdot A(2m)=A(1)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=xy-x-y+4$.

a) (5 puncte) Arătați că $0\circ 3=1$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\circ x=3x$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că $x\circ a=x+a$, pentru orice număr real $x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x\left(x^2+2x-2\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=e^x\left(x^2+4x\right)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}=1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $e^{x+4}\left(x^2+2x-2\right)\le 6$, pentru orice $x\in (-\infty ,0]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+\frac{3}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\left(f(x)-\frac{3}{x}\right)dx=\frac{15}{4}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă $G:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ a funcției $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}f(x)$ este crescătoare.

c) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{f(x)}dx=\frac{\pi }{12\sqrt{3}}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2023; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — radicali, formula $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$.

Produsul are forma „diferență ori sumă", deci $$\left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)={\left(\sqrt{6}\right)}^2-2^2\text{(3 p)}.$$ Cum ${\left(\sqrt{6}\right)}^2=6$, rezultă $6-4=2$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se scrie ${\left(\sqrt{6}\right)}^2=36$ sau $2^2=2$; sau se înmulțește termen cu termen și se uită că termenii $2\sqrt{6}$ și $-2\sqrt{6}$ se reduc.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, o egalitate de valori.

Cum $f(a)=a^2+1$, egalitatea din enunț devine $$a^2+1=1-a,\text{ deci }{a}^2+a=0\text{(3 p)}.$$ Dând factor comun, $a(a+1)=0$, deci $\mathbf{a}=-1$ sau $\mathbf{a}=0$ (2 p).

(Control: $f(-1)=2=1-(-1)$ și $f(0)=1=1-0$. Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația $a^2+a=0$ prin $a$ și se pierde soluția $a=0$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmii au aceeași bază, $4$, iar funcția logaritmică este injectivă, deci argumentele sunt egale: $$x^2+4=6x-4,\text{ deci }{x}^2-6x+8=0\text{(3 p)}.$$ Rădăcinile sunt $x=2$ și $x=4$. Argumentul $x^2+4$ este pozitiv pentru orice $x$, iar $6x-4$ este $8$, respectiv $20$ — pozitiv, deci $\mathbf{x}=2$ sau $\mathbf{x}=4$, care convin (2 p).

(Unde se greșește de obicei: la trecerea termenilor, $-4$ din membrul drept devine $+4$ în stânga — $4+4=8$, nu $0$. Suma rădăcinilor este $6$ și produsul $8$: $2+4=6$, $2\cdot 4=8$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinatorică, regula produsului.

Cifrele impare din mulțimea $\{1,2,3,4,5\}$ sunt $1$, $3$ și $5$, deci cifra zecilor se poate alege în $3$ moduri (2 p).

Enunțul nu cere cifre distincte, deci, pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte $5$ moduri; se pot forma $3\cdot 5=15$ numere (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se consideră cifrele distincte și iese $3\cdot 4=12$ — dar numere ca $11$, $33$, $55$ sunt permise. Control prin enumerare: $11,12,\dots ,15$, $31,\dots ,35$, $51,\dots ,55$ — cincisprezece numere.)

Exercițiul 5. (5 p) — geometrie analitică, mijlocul unui segment și o distanță.

Mijlocul $M$ al segmentului $AB$ are coordonatele $$x_M=\frac{1+5}{2}=3\text{ și }{y}_M=\frac{-5+5}{2}=0\text{(3 p)}.$$ Punctul $M(3,0)$ este pe axa $Ox$, deci $OM=\sqrt{3^2+0^2}=3$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se pierde minusul din $A(1,-5)$ și iese $M(3,5)$, cu $OM=\sqrt{34}$; sau se calculează lungimea segmentului $AB$ în loc de $OM$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie în triunghiul dreptunghic.

În triunghiul dreptunghic în $A$, tangenta unghiului $C$ este cateta opusă supra cateta alăturată: $$\mathrm{tg}C=\frac{AB}{AC}\Rightarrow AB=AC\cdot \sqrt{3}=6\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$ Aria este semiprodusul catetelor: $${\mathcal{S}}_{△ABC}=\frac{6\cdot 6\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $\mathrm{tg}C=\frac{AC}{AB}$ și iese $AB=2\sqrt{3}$, cu aria $6\sqrt{3}$. Control: $\mathrm{tg}C=\sqrt{3}$ înseamnă $C=60^{\circ }$, deci $B=30^{\circ }$, iar cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$, $AC=6$, este jumătate din ipotenuza $BC=12$. În baremul oficial aria este notată $\mathcal{A}$; la noi, după convenția casei, aria se notează $\mathcal{S}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice de ordinul al doilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=2$: $$A(2)=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -6& 7\end{array}\right)\Rightarrow \det (A(2))=\left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ -6& 7\end{array}\right|=(-1)\cdot 7-2\cdot (-6)\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(2))=-7+12=5\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: $2\cdot (-6)=-12$ se scade, deci devine $+12$; dacă se pierde un minus, iese $-7-12=-19$.)

b) (5 p) Scăzând $I_2$, se scade $1$ doar de pe diagonala principală: $$A(a)-I_2=\left(\begin{array}{cc}-a& a\\ -3a& 3a\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -3& 3\end{array}\right),\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$ Pentru $a=1$: $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -3& 4\end{array}\right)\Rightarrow a(A(1)-I_2)=a\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -3& 3\end{array}\right),\text{ deci }A(a)-I_2=a(A(1)-I_2)\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scade $1$ din toate elementele, ca și cum $I_2$ ar avea numai $1$; $I_2$ are zerouri în afara diagonalei.)

c) (5 p) Notând $B=A(1)-I_2=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -3& 3\end{array}\right)$, subpunctul b) dă $A(a)=I_2+aB$, iar $B^2=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ -6& 6\end{array}\right)=2B$. Atunci $$A(m)\cdot A(2m)=\left(I_2+mB\right)\left(I_2+2mB\right)=I_2+\left(3m+4m^2\right)B=A\left(4m^2+3m\right),\text{ pentru orice numa˘r ıˆntreg }m\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $A\left(4m^2+3m\right)=A(1)$ are loc exact când $4m^2+3m=1$ (elementul din dreapta sus al lui $A(a)$ este chiar $a$), adică $4m^2+3m-1=0$, cu soluțiile $-1$ și $\frac{1}{4}$; cum $m$ este număr întreg, obținem $\mathbf{m}=-1$ (2 p).

(Detaliul produsului: $\left(I_2+mB\right)\left(I_2+2mB\right)=I_2+3mB+2m^2{B}^2=I_2+3mB+4m^{2}B$. Control direct: $A(-1)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& -2\end{array}\right)$, $A(-2)=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 6& -5\end{array}\right)$, iar produsul lor este $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -3& 4\end{array}\right)=A(1)$. Ordinea factorilor nu contează aici: $A(2m)\cdot A(m)$ dă aceeași matrice. Unde se greșește de obicei: se păstrează și $m=\frac{1}{4}$, deși nu este număr întreg; sau se scrie $A(m)\cdot A(2m)=A(3m)$, adunând parametrii.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=0$ și $y=3$ în formula legii: $$0\circ 3=0\cdot 3-0-3+4\text{(3 p)}.$$ $$0\circ 3=0-3+4=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $0\cdot 3=3$ sau se uită termenul $-y$ și iese $4$.)

b) (5 p) Pentru $y=x$: $$x\circ x=x^2-2x+4,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Ecuația $x^2-2x+4=3x$ se scrie $x^2-5x+4=0$, de unde obținem $\mathbf{x}=1$ sau $\mathbf{x}=4$ (3 p).

(Control: $1\circ 1=1-2+4=3=3\cdot 1$ și $4\circ 4=16-8+4=12=3\cdot 4$. Unde se greșește de obicei: $-x-x=-2x$ se scrie $-x^2$ sau $0$.)

c) (5 p) Egalitatea din enunț, scrisă cu formula legii: $$xa-x-a+4=x+a⟺xa-2x-2a+4=0,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Grupând după $x$, $x(a-2)-2a+4=0$, și, cum egalitatea are loc pentru orice număr real $x$, coeficientul lui $x$ și termenul liber trebuie să fie nuli: $a-2=0$ și $-2a+4=0$, de unde obținem $\mathbf{a}=2$ (3 p).

(Control: $x\circ 2=2x-x-2+4=x+2$, pentru orice $x$. Legea se mai scrie $x\circ y=(x-1)(y-1)+3$; atunci condiția devine $xa-2x-2a+4=(x-2)(a-2)=0$ pentru orice $x$, deci tot $a=2$. Unde se greșește de obicei: se alege un singur $x$, de exemplu $x=2$, pentru care egalitatea are loc pentru orice $a$ — și nu se mai poate afla nimic.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită și o inegalitate din monotonie.

a) (5 p) Se derivează produsul, cu $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$: $$f^{\prime }(x)=e^x\left(x^2+2x-2\right)+e^x(2x+2)\text{(3 p)}.$$ Dând factor comun pe $e^x$: $$f^{\prime }(x)=e^x\left(x^2+2x-2+2x+2\right)=e^x\left(x^2+4x\right),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: în $x=0$ formula dă $f^{\prime }(0)=0$, iar raportul incremental $\frac{f(0,001)-f(-0,001)}{0,002}$ dă tot aproximativ $0$. Unde se greșește de obicei: se derivează doar paranteza și se uită termenul care vine din derivata lui $e^x$.)

b) (5 p) Factorul $e^x$ se simplifică: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x\left(x^2+2x-2\right)}{e^x\left(x^2+4x\right)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2x-2}{x^2+4x}\text{(2 p)}.$$ Dând factor comun forțat pe $x^2$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2\left(1+\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{4}{x}\right)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}}{1+\frac{4}{x}}=1\text{(3 p)}.$$

(Numitorul $x^2+4x$ este pozitiv pentru $x>0$, deci raportul are sens la $+\infty$. Unde se greșește de obicei: se aplică regula lui l'Hôpital fără să se simplifice $e^x$ și calculul se lungește; sau se compară doar termenii liberi, $\frac{-2}{0}$.)

c) (5 p) Derivata se anulează unde $x^2+4x=x(x+4)=0$: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=-4\text{ sau }x=0;\text{ pentru }x\in (-\infty ,-4]\Rightarrow f^{\prime }(x)\ge 0,\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare pe }(-\infty ,-4],$$ $$\text{iar pentru }x\in [-4,0]\Rightarrow f^{\prime }(x)\le 0,\text{ deci }f\text{ este descresca˘toare pe }[-4,0]\text{(2 p)}.$$ Rezultă că $f(-4)$ este cea mai mare valoare a lui $f$ pe $(-\infty ,0]$: $$f(x)\le f(-4),\text{ pentru orice }x\in (-\infty ,0],\text{ și }f(-4)=e^{-4}(16-8-2)=\frac{6}{e^4},$$ deci $e^x\left(x^2+2x-2\right)\le \frac{6}{e^4}$; înmulțind cu $e^4>0$, ${\mathbf{e}}^{\mathbf{x}+4}\left({\mathbf{x}}^2+2x-2\right)\le 6$, pentru orice $x\in (-\infty ,0]$ (3 p).

(Semnul derivatei: $e^x>0$, iar $x(x+4)$ este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele. Control numeric: $\frac{6}{e^4}\approx 0,1098938$; egalitatea are loc doar în $x=-4$. Unde se greșește de obicei: se ia valoarea în $0$, $f(0)=-2$, drept maxim, sau se uită că $e^{x+4}=e^4\cdot e^x$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale, primitive și o integrală cu arctangentă.

a) (5 p) Termenul $\frac{3}{x}$ se reduce: $${\int }_1^2\left(f(x)-\frac{3}{x}\right)dx={\int }_1^2{x}^{3}dx=\frac{x^4}{4}{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_1^2\left(f(x)-\frac{3}{x}\right)dx=\frac{16}{4}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: primitiva lui $x^3$ se scrie $3x^2$ — aceea este derivata; sau se uită să se scadă valoarea din capătul $1$.)

b) (5 p) Dacă $G$ este o primitivă a funcției $g$, atunci $$G^{\prime }(x)=g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\left(x^3+\frac{3}{x}\right),x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Pe $(0,+\infty )$ avem $\sqrt{x}>0$, $x^3>0$ și $\frac{3}{x}>0$, deci $$\frac{1}{\sqrt{x}}\left(x^3+\frac{3}{x}\right)>0,\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty ),\text{ deci funcția }G\text{ este cresca˘toare}\text{(3 p)}.$$

(Argumentul nu cere calculul lui $G$: orice primitivă are aceeași derivată, $g$, iar monotonia se citește din semnul derivatei. Unde se greșește de obicei: se încearcă găsirea formulei lui $G$ și se pierde timp; sau se afirmă că $G$ e crescătoare pentru că $f$ e crescătoare — $f$ nici nu este monotonă pe $(0,+\infty )$.)

c) (5 p) Se aduce integrandul la forma $\frac{u^{\prime }}{u^2+a^2}$, cu $u=x^2$: $${\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{f(x)}dx={\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{x}{x^4+3}dx=\frac{1}{2}{\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{{\left(x^2\right)}^{\prime }}{{\left(x^2\right)}^2+3}dx=\frac{1}{2\sqrt{3}}\mathrm{arctg}\frac{x^2}{\sqrt{3}}{|}_1^{\sqrt{3}}\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele, $\mathrm{arctg}\frac{3}{\sqrt{3}}=\mathrm{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$ și $\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{6}$: $${\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{f(x)}dx=\frac{1}{2\sqrt{3}}\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{12\sqrt{3}}\text{(2 p)}.$$

(Detaliul primului pas: $\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{x^3+\frac{3}{x}}=\frac{x}{x^4+3}$, înmulțind numărătorul și numitorul cu $x$. Primitiva $\int \frac{1}{t^2+a^2}dt=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{t}{a}+\mathcal{C}$ este în tabelul primitivelor, cu $a=\sqrt{3}$. Control numeric: $\frac{\pi }{12\sqrt{3}}\approx 0,1511499$, iar integrala calculată numeric dă aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{2}$ din substituție sau factorul $\frac{1}{\sqrt{3}}$ din formulă.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_șt-nat, în sesiunea specială 2023 a examenului național de bacalaureat — Varianta 6. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea științe ale naturii (programa M_șt-nat, numită în școală și „M2").

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din sesiunea specială 2023:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Radicali: produsul $(a-b)(a+b)$ cu un radical — clasa a IX-a. (cerința 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: o ecuație de gradul al doilea obținută dintr-o egalitate de valori — clasa a IX-a. (cerința 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică cu aceeași bază în ambii membri: egalarea argumentelor și condițiile de existență — clasa a X-a. (cerința 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: regula produsului, cu cifre care se pot repeta — clasa a X-a. (cerința 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și distanța de la origine — clasele a IX-a – a X-a. (cerința 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie în triunghiul dreptunghic: tangenta unui unghi ascuțit și aria — clasa a IX-a. (cerința 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al doilea: determinant, operații cu matrice, produsul $A(m)\cdot A(2m)$ și o ecuație în numere întregi — clasa a XI-a. (problema 7, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Lege de compoziție: calculul unui compus, o ecuație $x\circ x=3x$ și elementul $a$ pentru care $x\circ a=x+a$ — clasa a XII-a. (problema 8, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Derivate și aplicații: derivata unui produs, o limită de funcții raționale la $+\infty$ și o inegalitate din valoarea maximă pe un interval — clasa a XI-a. (problema 9, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)
• Integrale și primitive: formula Leibniz–Newton, monotonia unei primitive din semnul funcției și o integrală rezolvată prin schimbare de variabilă și primitiva cu arctangentă — clasa a XII-a. (problema 10, subpunctele a), b), c) — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială din 2023. Subiectul I este format din șase cerințe scurte, cu câte doi pași de barem; singurul loc în care se greșește des este cerința 4, unde cifrele se pot repeta (enunțul nu cere cifre distincte), deci cifra unităților se alege în cinci moduri, nu în patru. La Subiectul al II-lea, matricea $A(a)$ se scrie $I_2+aB$, iar produsul $A(m)\cdot A(2m)$ este tot o matrice de forma $A(\dots )$ — de aici subpunctul c) devine o ecuație de gradul al doilea cu o singură soluție întreagă. Legea $x\circ y=xy-x-y+4$ cere doar calcul direct și, la subpunctul c), o egalitate „pentru orice $x$", care impune anularea coeficientului lui $x$. La Subiectul al III-lea, inegalitatea de la problema 1 nu este altceva decât $f(x)\le f(-4)$, înmulțită cu $e^4$, iar la problema 2 integrala de la subpunctul c) se reduce, prin $t=x^2$, la primitiva $\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{t}{a}$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre o lege de compoziție, capitol care nu mai apare în programa de clasa a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa după care se dau sesiunile de Bacalaureat M2 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Supliment Bac M2 2027–2029: grupuri".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $20$ de minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, $18\sqrt{3}$, $\frac{15}{4}$ și $\frac{\pi }{12\sqrt{3}}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem (le redăm pe scurt): orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător; fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se calculează împărțind la zece punctajul total acordat pentru lucrare.
• Greșeli de redactare de evitat: soluțiile ecuației logaritmice date fără verificarea condițiilor de existență; la cerința 7, subpunctul c), păstrarea soluției $m=\frac{1}{4}$, deși se cere un număr întreg; la cerința 8, subpunctul c), valoarea lui $a$ găsită dintr-un singur $x$ particular, fără argumentul „pentru orice număr real $x$"; la cerința 9, subpunctul c), inegalitatea afirmată fără monotonia pe fiecare interval.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Radicali: $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$. Logaritmi: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, cu $u>0$ și $v>0$. Regula produsului: dacă o alegere se face în $p$ moduri și, pentru fiecare, alta în $q$ moduri, perechea se face în $p\cdot q$ moduri. Geometrie analitică: mijlocul segmentului $[AB]$ are coordonatele $\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$; distanța de la origine la $M(x,y)$ este $\sqrt{x^2+y^2}$. Triunghiul dreptunghic în $A$: $\mathrm{tg}C=\frac{AB}{AC}$ și aria $\frac{AB\cdot AC}{2}$.
• Matrice: $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; înmulțirea se face linie cu coloană.
• Lege de compoziție: $x\circ y$ se calculează înlocuind în formulă; o egalitate de forma $\alpha x+\beta =0$, adevărată pentru orice număr real $x$, impune $\alpha =0$ și $\beta =0$.
• Derivate și limite: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$; limita la $+\infty$ a unui raport de polinoame de același grad este raportul coeficienților dominanți.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; o primitivă $G$ a lui $g$ are $G^{\prime }=g$, deci este crescătoare unde $g>0$; $\int \frac{1}{t^2+a^2}dt=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{t}{a}+\mathcal{C}$, pentru $a>0$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=x^2+1$ de la cerința $2$, $f(x)=e^x\left(x^2+2x-2\right)$ de la cerința $9$ și $f(x)=x^3+\frac{3}{x}$ de la cerința $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare problemă se citește separat.
• Litera $a$ este necunoscută la cerința $2$, parametru real al matricei $A(a)$ la cerința $7$ și elementul căutat la cerința $8$, subpunctul c); $A$ este un punct la cerința $5$, vârful unghiului drept la cerința $6$ și numele matricei $A(a)$ la cerința $7$.
• Semnul $\circ$ de la cerința $8$ este legea de compoziție definită prin $x\circ y=xy-x-y+4$, nu compunerea funcțiilor; așa îl tipărește subiectul oficial.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".